2021届浙江省湖州市高三上学期期末数学试题
浙江省湖州市2021-2022学年高三上学期期末数学题 含解析
2021学年第一学期期末调研测试卷高三数学一、选择题（本大题共lO小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〉I.己知集合A={xεNl,l-x-20<0},B={xlx斗，则AnB=CA.{l, 2, 3}【答案】D[ I�轩斤1B.{0,1,2,3} c.(1, 2,3,4)【分析】由即日A={0,1,2,3,4｝，再综合集合交集运算求解即可【详解】解：因为x2-x-20 = ( x-5)(x+4) <0，所以-4<x<5,所以A={x E Nlx2 -x-20 <o} ＝归，l，以4},由于B={xlx主。
）所以AnB＝｛阳，2,3,4}故i态：。
2复数z＝乒（i是应数单位）在复平丽内对同的点在（L-1A第一象限 B.第二象限C第三象限【答案】A【解析】1 3【分析】由克里知z=-+-i，避而根据几何意义求解即可．5 5-l+i甲（l+i)(2+i)1+3i 1 3川剧解：Z－一一－＝一－＝－2-i (2－圳2+i) 5 5 5 D.{0,1,2,3,4} D.第四象限所叫z＝�(i是制单位〉在复平邵阳的点为（ii)在第一象限故m:A3.己知.x>O,y>O(x,yεR），则“.x+y过”是“砂主1”的〈）A.充分不必要条件B必要不充分条件D.既不充分也不必要条件C.充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义判断自l l可．【详解】当x=0.01,y=2时，则x+y三2，但是xy=0.02<1，不是充分条件，主＋f!Px+ y注：＋川当巧也1时因为x>O.川以叫所以X当且仅当y=l等号成立，所以是必要条件，故“x+y主2”是“xy主l”的必要不充分条件．故m:B【点睛】结论点睛：本,'!i考查必要不充分条件的判断，一般可根据如下规则判断：(I）若P是q的必要不充分条件，则q对应综合是P对应集合的真子集：(2)p是q的充分不必要条件，则P对应集合是qx,j应集合的真子集：(3)p是q的充分必要条件，则P对应集合与q对应集合相等；(4)p 是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与P对应集合互不包含．Ix+ y-4注0,4.在平面直角坐标系中，不等式组iX-y+2>0，，表示的平丽区域内整点个数是（I x-4三OD. 10A. 16B. 14C.12【答案】C【I�平析1【分析】作出约束条件的可行域，再直接数点即可得答案．【详解】解：根据,'!i意，作出不等式纽约束的平Tifi区域，如阁，yI /6 I-－－一一一一一＿＿J .£-y+2=0。
2023-2024学年浙江省湖州市高三上学期数学期末考试试题和答案
2023学年第一学期期末调研测试卷高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．作答选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．不按以上要求作答的答案无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14A x x =-≤≤，{}3B x x =<，则A B =A ．{}13x x -≤<B ．{}14x x -≤≤C ．{}4x x ≤D ．{}3x x <2．已知复数z 满足(1)i 43i z -=+（i 为虚数单位），则z z +=A ．8B ．6C ．6-D ．8-3．已知向量AB = ，2)AC =- ，则AB 在AC 上的投影向量是A ．1(,)22-B ．1()22C ．1(2D ．1()2-4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m ，42，49；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m n +=A ．60B ．65C ．70D ．716．记n S 是数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；设乙：12n n S =，则A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为2，PAC ∆为正三角形，点M ，N 分别在PB ，PD 上，且2PM MB =，2PN ND =，若过点A ，M ，N 的截面交PC 于点Q ，则四棱锥P AMQN -的体积是8．已知函数1(e )x f x -=，2()g x ax =，若总存在两条不同的直线与函数()y f x =，()y g x =图象均相切，则实数a 的取值范围是至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论中正确的是A ．在22⨯列联表中，若每个数据,,,a b c d 均变为原来的2倍，则2χ的值不变（22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++，其中n a b c d =+++）B ．已知随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若23ξη=+，则()1D η=C ．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点(,)i i x y （1,2,...,i n =）都在直线0.91y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9D ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M 表示为“第1枚为正面”，事件N 表示为“两枚结果相同”，则事件M ，N 是相互独立事件10．已知正数,a b 满足()1=+b a a ，下列结论中正确的是A ．22a b +的最小值为2B ．2a b +的最小值为2C ．11a b +D -的最大值为111．纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ，3f ，4f 等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是⋅⋅⋅+++=x x x y 3sin 312sin 21sin .记()nx nx x x x f n sin 13sin 312sin 21sin +⋅⋅⋅+++=，则下列结论中正确的是A ．x π=为2()f x 的一条对称轴B ．2()f x 的周期为2πC ．3()f x 12+D ．()n f x 关于点(,0)π中心对称三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知4()(1)a x x x--的展开式中含2x 项的系数为8，则实数a =▲．14．已知圆C 的圆心在直线1y x =+上且与y 轴相切．请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：▲．15．已知一个圆台的上、下底面半径为a ，b （a b <），若球O 与该圆台的上、下底面及侧面均相切，且球O 与该圆台体积比为613，则a b=▲．16．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右顶点分别为A ，B ，点C 满足AC AB λ= （1λ>），点P 为双曲线右支上任意一点（异于点B ），以AC 为直径的圆交直线AP 于点M ，直线BP 与直线CM 交于点N ．若N 点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是▲．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．17．（本题满分10分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，已知a =3sin sin 4B C =，()()()sinA sin sin sin sin sin sin B C B C A C B C -+-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，且满足11a =-，230a b +=，2n n n S a b =+（N n *∈）．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足11c b =，且2211n n c c b -=+，212n n n c c a +=+（N n *∈），求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．19．（本题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且12DE BF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足DH EG λ==（02λ<<）．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为14？请说明理由．20.（本题满分12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.（1）已知小杭是这前N 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为59，求N 的值；（2）当(20)P X =取到最大值时，求N 的值.21．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(3,0)A -，且离心率为3．过点3(,0)2B 的直线交C 于P ，Q 两点（异于点A ）．直线AP ,AQ 分别交直线290x y +-=于M ，N 两点．（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值；（2）求AMN ∆面积的最小值．22．（本题满分12分）已知函数()1()ln 1e x f x ax ax a ax -=+---（0a >）．（1）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内单调递增；（2）若函数()f x 存在极大值M ，极小值N ，证明：4M N +<-．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）湖州市2023学年第一学期高三期末教学测试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案C A A D B C D A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．题号9101112答案BD AC BCD ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．314．22(1)1x y ++=（答案不唯一，()()2221x a y a a -+--=，任意实数a 均正确.）15．3116．2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．17．（本题满分10分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a，b ，c ，已知a =3sin sin 4B C =，()()()sinA sin sin sin sin sin sin B C B C A C B C -+-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积．解：（1）()()2sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin sin A B C B C B C A C A C B C -+-=-由正弦定理可得：2cos cos cos cos ab C ac B bc A ab C bc c -+-=-，2cos cos bc A ac B bc c -=-，-----------------2分由余弦定理：222222222b c a a c b bc ac bc c bc ac+-+-⋅-⋅=-化简得：222b c a bc +-=-----------------4分所以2221cos 22b c a A bc +-==，3A π=.-----------------6分（2）由正弦定理：2sin sin sin a b c A B C===，所以4sin sin 3bc B C ==-----------------8分则13sin 22S bc A ===.-----------------10分18．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等差数列，且满足11a =-，230a b +=，2n n n S a b =+（N n *∈）．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足11c b =，且2211n n c c b -=+，212n n n c c a +=+，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．解：（1）令1n =，则11112S a b a =+=，得11b =，令2n =，则222122S a b a a =+=+，又230a b +=，所以231b b d -=-=-，即1d =．所以n b n =，-------------------------------------3分由2n n S a n =+得，1121n n S a n --=+-．两式相减得121n n a a -=-，即112(1)n n a a --=-，且112a -=-，所以{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列，所以12n n a -=-，因此21nn a =-+----------------------6分（2）解：由2211n n c c b -=+，212n n n c c a +=+可得212122+-=-+n n n c c ----8分1212322n n n c c ---=-+，2123253122,22n n n c c c c ---=-+=-+ ．累加可得21221n n c n -=-++，----------------------8分()()2135212462n n n T c c c c c c c c -=+++++++++ ()()13521135211111n n c c c c c c c c --=+++++++++++++ ()135212n c c c c n -=+++++ ，----------10分而()()12135212223521n n c c c c n -++++=-++++++++ 12222n n n +=-++，因此2224225n n T n n +=-++.-------------------------------12分19．（本题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且112BD CD ==，BD CD ⊥．DE ⊥平面ABCD ，且132DE BF ==，//DE BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足DH EG λ==（02λ<<）．（1）证明：直线//GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为4214？请说明理由．解：（1）法一：过点G 作BD 的垂线，交BD 于点Q ，则//GQ BF .连接QH ，则12DQ λ=，且由DH λ=，所以2DH DQ =，//QH BC ，又因为QH BCF ⊄∆，BC BCF ⊂∆，所以，//QH BCF平面且//GQ BCF 平面，GQ QH Q= 所以平面//GQH 平面BCF ，-----------------3分又因为HG HQG ⊂，所以//HG 平面BCF .-----------------5分（1）法二：如图，以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z 轴建立坐标系.()()()()()2,0,0,0,1,0,2,1,0,E 0,0,3,0,1,23C B A F -.()()()()2,1,0,0,0,23,2,1,3,0,1,3BC BF AE EF =-==-= .设平面BCF 的法向量为()1111,,z y x n =，则由110,0BC n BF n ⋅=⋅= ，11120230x y z -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()11,2,0n = .-------------2分因为2,DC EF EG DH λ====，所以,22DH DC EG EF λλ== 解得()3,0,0,0,,322H G λλλ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，3,,322GH λλλ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭.-----------------4分所以10n GH ⋅= ，且GH ⊄平面BCF ，所以//GH 平面BCF .----------5分（2）设平面AEF 的法向量为()2222,,z y x n =则由220,0AE n EF n ⋅=⋅=，22222200x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得)21n =- .---------------7分所以2sin cos ,14n GH θ== ，-------------10分解得1λ=.-------------12分20.（本题满分12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.（1）已知小杭是这前N 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为59，求N 的值；（2）当(20)P X =取到最大值时，求N 的值.解：（1）记“小杭被抽中”为事件A ,“小杭第i 次被抽中”为事件(1,2).i A i =121212()()()()P A P A A P A A P A A =++----------------------------2分2151515529N N N N -⎛⎫⎛⎫=+⋅⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.----------------------------------4分解得45N =.------------------------------------------------6分（2）1551051015151515151515(20),N N N N N NC C C C C P X C C C --===----------------8分记510151515N N N C C a C -=.由5152114155115(14)1,(1)(19)N N N N N N a C C N a C C N N +-+--=⋅=≥+---------------10分解得21.5N ≤，又*N N ∈,所以22N =时(20)P X =取最大值.--------------------------12分21．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(3,0)A -，过点3(,0)2B 的直线交C 于P ，Q 两点（异于点A ）．直线AP ,AQ 分别交直线290x y +-=于M ，N 两点．（1）求证：直线AP 与AQ 的斜率之积为定值；（2）求AMN ∆面积的最小值．解：（1）由题意得33c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22193x y +=.-------------------------------------2分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线AP ，AQ 的斜率分别为12,k k ，法一：设直线PQ 为32x ty =+，与椭圆联立229233x ty x y +=+=⎧⎪⎨⎪⎩，()22273304t y ty ++-=1221223327143t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，--------------------4分()121212212121219998192224y y y y k k ty ty t y y t y y ⋅=⋅==-+++++，--------------------6分代入可得1219k k ⋅=-，所以直线AP 与AQ 的斜率之积为定值19-.法二：直线PQ 的方程为(3)1m x ny ++=，又点3(,0)2B 在直线PQ 上，得29m =.由22(3)139m x ny x y ⎧⎨++=+=⎩，则23(0336(16)y y x x n m ++--=+，-----4分所以1212121613339y y m k k x x -⋅=⋅==-++.-------------------------------6分（2）设121211,t t k k ==，则129t t =-，又点(3,0)A -到直线290x y +-=的距离是d =分由13290x t y x y ⎧⎨=-+-=⎩解得1122M y t =+，同理2122n y t =+.所以2122MN t =+，-----9分故1149361224921AMN S d MN t t ∆==⨯+-+-，设492492y x x =++-，则225(1)18(2)0y x y x y ⋅----=，由题意得225(1)144(2)0y y ∆=-+-≥，化简得2169338250y y -+≥，解得2513y ≥或113y ≤，故1149121249213t t +-≥+-，故12432361313AMN S ∆≥⨯=等号成立当仅当123,155t t ==-，或者12315,5t t =-=.所以AMN ∆面积的最小值为43213.------------------12分22．（本题满分12分）已知函数()1()ln 1e x f x ax ax a ax -=+---（0a >）．（1）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内单调递增；（2）若函数()f x 存在极大值M ，极小值N ，证明：4M N +<-．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）解：（1）因为0a >，则()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()()11111()11x x x f x ae ax a e a a ax e x x---'=++---=-+------------------1分进一步化简得：()11()1x f x ax e x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭-----------------3分令()11x g x e x -=-，()121+0x g x e x-'=>，则()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，且()10g =，所以()0,1x ∈时，()0g x <，()1,+x ∈∞时，()0g x >要使得()f x 单调递增，则()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立当1a =时，()11()10x f x x e x -⎛⎫'=--≥ ⎪⎝⎭恒成立当01a <<时，11a <，当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，不合题意当1a >时，11a <，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，不合题意综上：1a =.-----------------5分（2）由（1）可得0a >且1a ≠，极值点为1a与1，所以()()111111ln 11ln 2a a M N f f a a a e a a ae a -⎛⎫+=+=--+--=--- ⎪⎝⎭---7分令()11ln 2a h a a a ae -=---，()1111112111111a a a h a e ae e a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=----=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-------9分当01a <<时，()0h a '>，()h a 单调递增当1a ≥时，()0h a '≥，()h a 单调递减，-----------------11分所以()()14h a h ≤=-，即4M N +<-成立.----------------12分。
浙江省湖州市2020-2021学年高三上学期期末数学试卷 (解析版)
22．已知函数 f（x）＝mx3﹣x+sinx+nex（m，n∈R），e 为自然对数的底数． （Ⅰ）当 m＝0 且 n＝1 时，证明：f（x）＞0； （Ⅱ）当 n＝0 时，函数 f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数 m 的取值范围．
所以以 AB 为直径的圆的圆心为 M（3，2），半径为 r＝
，
若该圆上恰有三个点到直线 y＝x+b（b＞0）的距离为 2，
则圆心 M 到直线的距离 d＝2，即
，解得 b＝﹣1+2 或﹣1﹣2 （舍去），
所以 b＝2
，
故答案为：4，2
．
15．一个口袋中有 7 个大小相同的球，其中红球 3 个，黄球 2 个，绿球 2 个．现从该口袋中
则
，
令 f′（x）＝0，解得
，x2＝1﹣a，
因为 x＞0，所以
＞0，x2＝1﹣a＞0，故 0＜a＜1；
则
＞1，x2＝1﹣a＜1，
当 x∈（0，1﹣a）时，f'（x）＞0，所以 f（x）单调递增，
当 x∈（1﹣a， ）时，f'（x）＜0，所以 f（x）单调递减，
又当 x→0 时，f（x）→﹣∞，当 x→+∞时，f（x）→+∞， 因为函数 f（x）有三个零点，
11．椭圆
的焦距是
，离心率是
．
12．设（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则 a3＝
浙江省湖州市高三期末调研测试试题
第5题图2021学年第一学期期末调研测试卷高三数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}2200A x x x =∈--<N ，{}0B x x =≥，则A B = A.{}123，， B.{}0123，，， C.{}1234，，， D.{}01234，，，，2．复数1i2iz +=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．已知实数0,0x y >>，则“2x y +≥”是“1xy ≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-≥-+04,02,04x y x y x 表示的平面区域内整点个数是A.16B.14C.12D.105．一个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的表面积（单位：cm 2）是A．16+B．16+C．20+D．20+6．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l //C ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定7．若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以是A ．()e e x xx f x -=+B ．()e e x xx f x -=-C ．()e e x x f x x -+=D ．()e e x x f x x--=8．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 的直线与圆222x y a +=相切，且与双曲线的左支交于点P .若123cos 5F PF ∠=，则双曲线的离心率是B.C.D.9．定义{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x ，()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为假命题的是（）A ．若()f x ，()g x 都是增函数，则函数()(){}min ,f x g x 为增函数B ．若()f x ，()g x 都是减函数，则函数()(){}min ,f x g x 为减函数C ．若()f x ，()g x 都是偶函数，则函数()(){}min ,f x g x 为偶函数D ．若()f x ，()g x 都是奇函数，则函数()(){}min ,f x g x 为奇函数10．已知数列{}n a 满足1231516n n n n a a a a a n -≤⎧=⎨-≥⎩ ，，，若正整数()6k k ≥使得2222123123k k a a a a a a a a ++++= 成立，则k 的值是A.68B.70C.72D.74第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二．填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是▲尺．12．二项式2nx ⎛- ⎝的展开式中第5项为常数项，则n =▲，系数最大的项是▲．13．已知圆C 的圆心在y 轴上，且与直线4290x y -+=切于点512P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则圆C 的圆心坐标为▲，半径r =▲．14．在ABC ∆中，已知3AB =，5AC =，23BAC π∠=,点D 在边BC 上，且满足AD BD =.则cos B =▲，sin DAC ∠=▲．15．已知甲袋内有大小相同的2个红球和2个白球，乙袋内有大小相同的1个红球和2个白球.现从甲､乙两个袋内各任取2个球，则恰好有2个红球的概率为▲.记取出的4个球中红球的个数为随机变量X ，则X 的数学期望为▲．16．已知圆O 的半径是3，P 是圆O 内一动点，且2OP =，AB 是圆O 上的两个动点．若60APO ∠=︒，则AP AB的取值范围是▲．17．若函数()()2221x f x x x a e +=+++存在最小值，则实数a 的取值范围是▲．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18．(本小题满分14分）设函数()2cos 3sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 图象的对称中心；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆面积的最大值．19．（本小题满分15分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，64AB AD ==，，点E F ，分别在线段AB CD ，上，且2AE DF ==，现以EF 为折痕将四边形AEFD 折起至A EFD ''的位置．（Ⅰ）求证：平面//A EB '平面D FC '；（Ⅱ）若D B '=，求直线BD '与平面A EF '所成角的正弦值．ABCD EFA 'D 'EFBC第19题图20．（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足，111a =-，且112215n n n a a ++=++（*n ∈N ）．（Ⅰ）设152n n na b +=（*n ∈N ），求数列{}n b 前三项的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n c a =，求{}n c 的前n 项和n T ．21．（本小题满分15分）已知在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，设动点(),M x y 到直线30x +=的距离为d ，且2d MF -=，记动点(),M x y 的轨迹为曲线C ，(),2N t -在曲线C 上．（Ⅰ）求曲线C 的方程和t 的值；（Ⅱ）设动直线l 与曲线C 交于,P Q 两点（不与点N 重合），若直线,PN QN 分别与x 轴相交于,A B 两点，且1OA OB ⋅=.请判断动直线l 是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若否，请说明理由．22．（本小题满分15分）已知函数()()R ∈--=a ax x x f 1ln 2．（Ⅰ）设函数()()f x g x x=．当1a =时，求曲线()g x 在点()()1,1g 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()()F x xf x =存在极值点0x ，求证：020e 21x ax ->．。
浙江省2021版高三上学期数学期末考试试卷D卷
浙江省2021版高三上学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·成都月考) 已知全集集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）设a＞1,且,则m,n,p的大小关系为（）A . n＞m＞pB . m＞p＞nC . m＞n＞pD . p＞m＞n3. （2分）已知变量x,y满足约束条件，则z=4x+y的最小值为（）A . 55B . -55C . 5D . -54. （2分） (2019高二下·海珠期末) 的展开式中的系数是（）A . －20B . －5C . 5D . 205. （2分）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二下·江西期中) 已知圆：，圆：，是椭圆：的半焦距，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·景德镇期末) “2a＞2b＞1“是“ ＞“的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）如图A是单位圆与轴的交点，点P在单位圆上，,,四边形OAQP的面积为S,当取得最大值时的值和最大值分别为（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·平顶山模拟) 过双曲线：的右顶点作轴的垂线，与C的一条渐近线交于点A，以C的右焦点为圆心的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D . 210. （2分） (2016高一下·湖北期中) 已知等差数列{an}满足 =1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则该数列首项a1的取值范围是（）A . （，）B . [ ， ]C . （，）D . [ ， ]二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2018·如皋模拟) 复数，其中为虚数单位,则的虚部为________.12. （1分）设函数f（x）= ，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是________．13. （1分） (2019高一上·嘉兴期末) 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 ________．14. （1分）设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y描述1次试验的成功次数，则D（Y）=________．三、填空题 (共3题；共4分)15. （2分） (2019高一下·包头期中) 如图，正三棱柱的主视图面积为2a2 ，则左视图的面积为________．16. （1分） (2020高三上·台州期末) 在我国东汉的数学专著《九章算术》中记载了计算两个最大公约数的一种方法，叫做“更相减损法”，它类似于古希腊数学家欧几里得提出的“辗转相除法”.比如求273，1313的最大公约数：可先用1313除以273，余数为221（商4）；再用273除以221，余数为52；再用221除以52，余数为13；这时发现13就是52的约数，所以273，1313的最大公约数就是13.运用这种方法，可求得5665，2163的最大公约数为________.17. （1分） (2019高三上·南京月考) 如图，在中，，，，E为的中点，与交于点F，G为的中点. ________.四、解答题 (共5题；共47分)18. （10分）(2016高二上·三原期中) 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且．（1）求A的值．（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c的值．19. （10分）(2020·绍兴模拟) 如图，四棱锥中，底面BCDE是正方形，，，， .（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分） (2016高一下·扬州期末) 已知等差数列{an}中，a3=8，a6=17．（1）求a1 ， d；（2）设bn=an+2n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Sn ．21. （2分） (2019高二下·杭州期末) 已知直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点.（I）当直线经过抛物线的焦点，时，求点的横坐标；（Ⅱ）若，求点横坐标的最小值，井求此时直线的方程.22. （15分）(2017·高台模拟) 已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意的，都存在x0∈（0，1]使得不等式成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共4分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共47分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
浙江省湖州市安吉县中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析
浙江省湖州市安吉县中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是参考答案：C2. 已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）参考答案：B【考点】函数的值．【分析】根据条件判断1﹣a和1+a的范围，结合分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：∵a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，则f（1﹣a）≥f（1+a）等价为﹣（1﹣a）≥（1+a）2+2a，即a2+3a+2≤0，得﹣2≤a≤﹣1，即实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]，故选：B 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断变量1﹣a和1+a的范围是解决本题的关键．3. 已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m?f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．2参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】做出f（x）的图象，根据图象判断m的范围，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：∵f（m）=f（n），m＞n≥﹣1，∴1≤m＜4，∴mf（m）=m（1+）=m+≥2．当且仅当m=时取等号．故选：D．4. 已知函数，且，则当时，的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：A5. 已知，，则A∩B中的元素个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：A【分析】本题首先可以明确集合与集合中所包含的元素，然后通过交集的相关性质求出所包含的元素，即可得出结果。
【详解】集合：，，；集合：，所以，有两个元素，故选A。
【点睛】本题考查了集合的相关性质，主要考查了集合的运算以及交集的相关性质，考查了计算能力，体现了基础性，提高了学生对于集合的理解，是简单题。
浙江省湖州市第二中学2021年高三数学理期末试题含解析
浙江省湖州市第二中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式的解集为（）A. B. C. D.参考答案：C2. 正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（）2．3．4．5．参考答案：C略3. 已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C4. 若复数为纯虚数，则（）A. B. 13 C. 10 D.参考答案：A【分析】由题意首先求得实数a的值，然后求解即可。
【详解】由复数的运算法则有：, 复数为纯虚数，则，即.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.5. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）A. B. C. D. 不存在参考答案：A因为，所以，即，解得。
若存在两项，有，即，，即，所以，即。
所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.6. 定义在上的函数满足且时，则（）(A) (B) (C) (D)参考答案：C7. 右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A ． 11B ．10C ．9D ．8参考答案：C8. 已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B 略 9. 若向量，，则与共线的向量是（ ） A. (－1,1)B. (－3,－4)C. (－4,3)D. (2,－3)参考答案：C 【分析】 首先求 ，根据共线向量的坐标表示求满足条件的向量. 【详解】设与平行的向量是，则 即，满足条件的只有.故选：C【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，主要考查基本公式，属于基础题型. 10. 搜集到两个相关变量的一组数据，经回归分析之后得到回归直线方程中斜率的估计值为2，且，则回归直线方程为（ ）A 、B 、C 、D 、参考答案：A 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在区间[0,1]内任取两个数，能使方程两根均为实数的概率为.参考答案：12. 抛物线的焦点坐标是 .参考答案：13. 如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB=I ，，则______________。
2021年浙江省湖州市练镇花林中学高三数学理期末试题含解析
2021年浙江省湖州市练镇花林中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的框图，若输入的N是4，则输出p的值是（）A. 6B. 24C. 30D. 120参考答案：B【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】若，，是，，，是，，，是，，，否，，故选：B．2. 已知复数z满足（1+i）z=2i，则z=（）A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i参考答案：C略3. 已知那么的值是A.0B.-2C.1D.-1参考答案：C略4. 某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．参考答案：D5. 已知，则a，b，c大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：A略6. 函数的值域是A． B．C．D．参考答案：C略7. 已知函数，则方程（为正实数）的根的个数不可能为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个参考答案：A8. 已知函数是偶函数，则一定是函数图象的对称轴的直线是（）A． B． C． D．参考答案：C9. 若（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A．﹣1 B．31 C．32 D．33参考答案：D【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】令x=1，得25=a0+a1+a2+…+a5，令x=0，得（﹣1）5=a0，由此能求出a1+a2+a3+a4+a5的值．【解答】解：∵（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，∴令x=1，得25=a0+a1+a2+…+a5=32，令x=0，得（﹣1）5=a0=﹣1，∴a1+a2+a3+a4+a5=32﹣（﹣1）=33．故选：D．10. 设，函数的图象如图2，则有 A． B．C． D．参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC中，，，，则．参考答案：略12. （5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）则f（x）= ．参考答案：2sin（x+）【考点】：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】： 三角函数的图像与性质．【分析】： 根据图象求出A ，T ，求出ω，图象经过（0，1），求出φ，然后求f （x ）的解析式解：（1）由题意可得：A=2，=2π，T=4π∴ω===，∴f（x ）=2sin （x+φ） ∴f（0）=2sinφ=1，由|φ|＜），∴φ=．（∴，故答案为：2sin （x+）【点评】： 本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力，视图能力，是基础题13.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．参考答案： 40 略14. 已知函数f(x)＝x|x 2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是__ __．参考答案：a ≥1仅考虑函数f(x)在x>0时的情况，可知函数f(x)在x ＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得，x ＝4.作出函数的图象(如右图所示)．函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑：①当0<m<2时，函数的值域为[0，m(12－m 2)]，有m(12－m 2)＝am 2，所以a ＝－m ，因为0<m<2，所以a>4；②当2≤m≤4时，函数的值域为[0, 16]，有am 2＝16，所以a ＝，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4；③当m>4时，函数的值域为[0，m(m 2－12)]，有m(m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －，因为m>4，所以a>1. 综上所述，实数a 的取值范围是a≥1.15. 已知等差数列的前项和为，且，，则=参考答案：8416. 设数列，都是正项等比数列，，分别为数列与的前n 项和，且，则．参考答案：17. 已知过点P （1，0）且倾斜角为60°的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则弦长|AB|= 参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届浙江省丽水、湖州、衢州市高三上学期期末数学试题
6．已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
7．如图，正四面体 中， 分别是线段 的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的动点，则( )
A．存在点 ，使 成立B．存在点 ，使 成立
C．不存在点 ，使平面 平面 成立D．不存在点 ，使平面 平面 成立
8．条件 将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格 中的数字为 ，方格 中的数字为 ；命题1若 ，则 ，且 ；命题2若 ，则 ，且 ( )
2．D
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 ，求出 在复平面上对应的点的坐标得答案．
【详解】
在复平面上对应的点的坐标为 ，位于第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．C
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
7．C
【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案．
【详解】
正四面体 中， 分别是线段 的三等分点，
是线段 的中点， 是直线 的动点，
在A中，不存在点 ，使 成立，故A错误；
在B中，不存在点 ，使 成立，故B错误；
在C中，不存在点 ，使平面 平面 成立，故C正确；
在D中，存在点 ，使平面 平面 成立，故D错误.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若实数 满足不等式组 ，则 的最大值是( )
A．3B．5C．6D．7
4．已知 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
2021年浙江省湖州市练市第一高级中学高三数学理期末试题含解析
2021年浙江省湖州市练市第一高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在下列向量中，可以把向量表示出来的是( )A.，B.，C.，D.，参考答案：B根据，对于A，，则，无解，故错误；对于，，则，解得，故正确；对于C，，则，无解，故错误；对于D，，则，无解，故错误.故选B.2. “m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．.必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B略3. 、为平面向量，已知，则、夹角的余弦值等于（）.A． B． C． D．参考答案：C4. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．24－πB．24－3πC．D．参考答案：C由三视图，可知该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个半径为2 的八分之一球，则该几何体的体积为；故选C.5. 已知、，如果函数的图象上存在点P，使，则称是线段AB的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段AB的“和谐函数”的是（）A．B．C．D．参考答案：D由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”与直线有公共点有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选．6. 展开式中的常数项是( )A.12B.－12C.8D. －8参考答案：B由展开式的第项，得展开式的通项为或，则当或，即或时，为展开式的常数项，即.故选B.7. 抛物线的焦点为，在抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）(A) (B ) (C ) (D)参考答案：A略8. 在等腰三角形中，，，则（）A． B． C． D．参考答案：A9. 设，若和的等差中项是0，则的最小值是( )A．1 B．2 C．4 D．参考答案：B略10. “a>2”是“关于x的不等式的解集非空”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的左焦点为，的三个顶点均在其左支上，若0，则．参考答案：略12. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 的系数为．参考答案：﹣41【考点】二项式定理的应用．【分析】根据展开式中各项系数的和2求得m的值，再把二项式展开，求得该展开式中含x的系数．【解答】解：∵已知的展开式中各项系数的和为m+1=2，∴m=1，∴=（x+）?（?（2x）5﹣?（2x）4+?（2x）3﹣?（2x）2+?2x﹣），则该展开式中含x的系数为﹣﹣?4=﹣41，故答案为：﹣41．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．13. 若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则= ．参考答案：【知识点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3解析：=.【思路点拨】用表示所求数量积中的向量，再用数量积公式求解.14. 一位同学种了甲、乙两种树苗各一株，分别观察了9次、10次得到树苗的高度数据的茎叶图如图（单位：厘米），则甲乙两种树苗高度的数据中位数和是参考答案：5215. 如图，已知点在圆直径的延长线上，过作圆的切线,切点为若,则圆的面积为.参考答案：略16. 要使函数的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围是.参考答案：函数的图像是的图像向右平移个单位得到，如果不经过第一象限，则至少向左平移1个单位（即向右平移个单位），所以．17. 等比数列的前项和为，且成等差数列。
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14．设 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， .若 ，则 ______， 的最大值是______.
三、填空题
15．现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是______.
2020届浙江省湖州市高三上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的模 （ ）
A．1B． C．2D．4
3．已知等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，则 （）
19．如图，三棱锥 中， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若二面角 的大小为 且 时，求 的中线 与面 所成角的正弦值.
20．已知 是数列 的前 项和，已知 且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求正整数 的最小值.
21．已知点 是抛物线 ： 的焦点，直线 与抛物线 相切于点 ，连接 交抛物线于另一点 ，过点 作 的垂线交抛物线 于另一点 .
解：因为等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，
即
解得
故选：
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.
4．C
【分析】
画出可行域,再根据目标函数斜率的几何意义分析即可.
【详解】
画出可行域,易得 的几何意义为 到 的斜率,
又 .故 或
故 的取值范围是
故选：C
【点睛】
本题主要考查了线性规划中斜率的几何意义的方法,属于基础题型.
故此时
综上所述, .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.
9．B
【分析】
根据题意利用 与 的基本不等式,再转换为含 的二次不等式求解即可.
【详解】
若 取最小值,显然 异号且 .故 ,
即 ,故 ,
当且仅当 分别取 时等号成立.
A．-4B．-6C．-8D．-10
4．实数 、 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 交双曲线于 ， 两点.若 长为5，则 的周长是（ ）
16．对任意 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______.
17．正方形 的边长为2， ， 分别为 ， 的中点，点 是以 为圆心， 为半径的圆上的动点，点 在正方形 的边上运动，则 的最小值是______.
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求 的值和 的最小正周期；
（2）设锐角 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ，且 ， ，求 的取值范围.
【详解】
根据 的图像,取绝对值可知 如图.当 的函数图像有三个交点时分两种情况
①当直线 与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为 过原点时,此时 ,以及与抛物线相切,此时
判别式 ,故
②当直线 与抛物线部分相交于1个点,与 相交于两点,此时临界条件为直线 与 相切,此时
判别式 ,由图得 中 ,故 为临界条件.
②当 在 外时,不妨设 在 的延长线构成的角内.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的综合运用,需要注意分析 的正负再利用基本不等式,属于中等题型.
10．D
【分析】
作 在底面 的投影为 ,再分别作 ,进而分析 的正切值再判断即可.
【详解】
作 在底面 的投影 ,再分别作 ,设 边长为 .
①当 在 内时,
易得 分别为 .由 可得
.
当 无限接近 时易得 接近0,故C错误.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）求三角形 面积 的最小值.
22．已知函数 ， .
（1）求证： 在 上单调递增；
（2）若关于 的方程 在区间 上有三个零点，求实数 的值；
（3）若对任意的 ， 恒成立（ 为自然对数的底数），求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据指数不等式的求解方法求出 再求并集即可.
【详解】
易得 .故 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了指数不等式的求解以及并集的运算,属于基础题型.
2．C
【分析】
根据复数模长的性质求解即可.
【详解】
由题 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了模长的性质与运算,属于基础题型.
3．B
【分析】
把 ， 用 和公差2表示，根据 ， ， 成等比数列，得到
解得.
【详解】
本题主要考查了双曲线的定义运用,属于基础题型.
7．D
【分析】
根据 的公式关于 的函数表达式分析即可.
【详解】
易得二项分布 为关于 的二次函数,对称轴为 ,故当 在 内增大时 先增大后减小.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项分布中方差的公式运用,属于基础题型.
8．A
【分析】
恰有三个零点则 的函数图像有三个交点,再画图分析求解即可.
A．13B．18C．21D．26
7．已知离散型随机变量 满足二项分布且 ，则当 在 内增大时，（ ）
A． 减小B． 增大
C． 先减小后增大D． 先增大后减小
8．已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数 ， ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．-1D．
10．在三棱锥 中， 为正三角形，设二面角 ， ， 的平面角的大小分别为 ，则下面结论正确的是（ ）
A． 的值可能是负Βιβλιοθήκη B．C． D． 的值恒为正数
二、双空题
11．某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积为______ ，表面积为______ .
12．二项式 的展开式中常数项等于______，有理项共有______项.
5．A
【分析】
分别求解两个不等式再判断即可.
【详解】
因为 为增函数,故 解得 ,又 解得 或 ,故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型.
6．D
【分析】
根据双曲线的定义求解即可.
【详解】
易得 的周长为 .
故选：D
【点睛】