成人高考数学知识点梳理

第一部分代数第一章 集合和简易逻辑一.元素与集合的关系： x A ∈ 或 ｘ∉A 二.集合的运算：１.交集 A ∩B=｛ｘ︱x A ∈且x B ∈｝ ２.并集 A ∪B ＝｛ｘ︱x A ∈或x B ∈｝ 三.充分条件.必要条件：１.充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. ２.必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.３.充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.第二章 函数一、函数的定义：１.理解ｆ的含义，掌握求函数解析式的方法－配方法 ２.求函数值３.求函数定义域：１）分式的分母不等于０；２）偶次根式的被开方数≥０；３）对数的真数＞０；二.函数的性质１.单调性：（１）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数２.奇偶性 （１）定义：若()()f x f x -=，则函数)(x f y =是偶函数；若()()f x f x -=-，则函数)(x f y =是奇函数.（２）奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

（３）常见函数的图象及性质（熟记）３.反函数定义及求法：（１）反解；（２）互换ｘ，ｙ；（３）写出定义域。

（文科不考）４.互为反函数的两个函数的关系：a b f b a f =⇔=-)()(1（文科不考）５.函数)(x f y =和与其反函数)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称（文科不考）６.一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ 图像是一条直线7.二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠８.二次函数的最值： 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； 若[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =； 若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q = 分数指数幂 (1)m nmnaa =（0,,a m n N *>∈，且1n >）；(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.９. 二次函数图像、性质10.根式的性质（1）nn a a =.（2）当n n n a a =； 当n ,0||,0n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.11.有理指数幂的运算性质(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈；(2)()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈；(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈12.指数式与对数式的互化式★log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.13.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).14.对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1) log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a M M N N=-;(3)log log ()na a M n M n R =∈. 15.常见函数的图像（2）指数函数)1,0(≠=a a a y x（1）幂函数∂=x y（3）对数函数)1,0(log ≠=a a x y a第三章 不等式与不等式组１.含绝对值的不等式当a>0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<；22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-２.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或第四章 数列１.数列的通项公式n a 与前n 项的和n S 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ . ★２.等差数列：1n n a a d --=３.等差数列的通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和n S 公式为：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.４.等比数列：1nn a q a -= ５.等比数列的通项公式：1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈；★ 其前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.第五章 复数（文科不考）１.复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）２.复数z a bi =+的模（或绝对值）：||z =||a bi +实部：a ；虚部：ｂ３.复数的四则运算法则（ｉ２＝－１）★(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++;(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++４.实系数一元二次方程的解：实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,2x =;②若240b ac ∆=-=,则12b x x ==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac -<５.★一元二次方程20ax bx c ++=根12,x x 与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-•=第六章 导数★★★★★１.导数的计算 （１）公式0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x cos )(sin '=（文科不考）x x sin )(cos '-=（文科不考）x x e e =')(（文科不考）（２）求导数的四则运算法则：（其中v u ,必须是可导函数.）''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）（文科不考） )0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv vu v u （文科不考） ２.导数的应用（１）利用几何意义求曲线的切线方程：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-（２）判断函数单调性.求极值.求最值：１０.函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数２０.极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.３.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定要有意义.第二部分 三角１.三角函数在四个象限内的符号：函.弦.切.余２.★同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=， tan θ=θθcos sin ， tan 1cot θθ⋅=.θtanθsec２.正弦.余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。