巧算综合
二年级巧算速算
巧算速算例1计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10．分析：解题时我们可以从左往右逐步相加：1＋2＝3 3＋3＝6 6＋4＝1010＋5＝15 15＋6＝21 21＋7＝2828＋8＝36 36＋9＝45 45＋10＝55这种逐步相加非常麻烦，且容易出错；如果利用“凑十法”，计算简便得多．解：例2计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19．分析：这是求1到19这10个单数的和，用凑整法计算可使计算过程简化．解：20+20+20+20+20＝100例3计算2＋3＋15＋36＋27＋85＋64＋88．分析：先观察加数的特点，然后用凑整的方法进行简便计算．解：30+90+100+100＝320例4计算10－9＋8－7＋6－5＋4－3＋2－1．分析：本题如果按常规计算的方法从左到右依次计算，同样可以得到结果．但这样计算不仅速度慢，而且又容易错．这时，我们就可以考虑通过改变一下运算的顺序，以达到计算简便的目的．解：10－9＋8－7＋6－5＋4－3＋2－1＝(10－9)＋(8－7)＋(6－5)＋(4－3)＋(2－1)＝1＋1＋1＋1＋1＝5例5计算：(1)43＋24＋17；(2)86＋35＋65分析：观察加数的特点，把能够凑成整百的两个数相加，然后再加上第三个数，这样计算简便．解：(1)43＋24＋57＝(43＋57)＋24＝100＋24＝124(2)86＋35＋65＝86＋(35＋65)＝86＋100＝186例6计算：(1)65＋28－45；(2)75－38＋25分析：在只有加减运算的算式中，有时改变加、减运算的顺序，可以使计算简便．解：(1)65＋28－45＝65－45＋28＝20＋28＝48(2)75－38＋25＝75＋25－38＝100－38＝62例7计算1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11解：这题只有加减运算，而且1－2不够减．我们可以采用带着加减号搬家的方法解决．要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“＋”号或“－”号，搬家时要带着符号一起搬．1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝1＋3－2＋5－4＋7－6＋9－8＋11－10＝1＋(3－2)＋(5－4)＋(7－6)＋(9－8)＋(11－10)〔先减后加〕＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝6在这道题的运算中，把“＋3”搬到“－2”的前面，把“＋5”搬到了“－4”的前面，……把“＋11”搬到了“－10”的前面，这就叫带着符号搬家．巧妙利用这种搬法，可以使计算简便．摆一摆例1(1)用三根火柴棒摆出一个三角形．(2)用四根火柴棒摆出一个正方形．(3)用六根火柴棒摆出一个长方形．(4)用五根火柴棒摆出一个五边形．(5)用六根火柴棒摆出一个六边形．解：根据各图形的边数特点，可拼成下面图形：例2用3根火柴棒可以摆出一个三角形．(1)再加2根火柴棒，摆出两个三角形．(2)再加2根，摆出3个三角形．分析：摆一个三角形要用3根火柴棒，摆2个三角形要用6根，但现在只增加2根，却要摆出2个三角形，可见其中必有一根火柴棒是2个三角形共用的．同样的道理，再加2根火柴棒(共7根)要摆成三个三角形，必须有2根是共用的．解：根据题意，可分别作图如下：例3用4根火柴棒可以摆出一个正方形，如下图所示．再加3根火柴棒，摆出2个正方形．分析：摆一个正方形必须要4根火柴棒，按照这样，摆2个正方形就需要8根火柴棒．但是现在只给你增加3根火柴棒，却要摆出2个正方形，可见其中必有一根火柴棒是共用的．解：如下图所示，摆出2个正方形．例4蝇拍是用来打苍蝇的，可是小马虎却误打了一只蜜蜂，见下图，你能只移动3根火柴棒，从蝇拍中“救出”小蜜蜂吗？分析：这只蝇拍是用5根火柴棒组成的．“只移动3根火柴棒”，就是有2根火柴棒不需要移动．解：按下图所示，只移动3根火柴棒，可以从蝇拍中救出小蜜蜂．例5下图是由8根火柴棒组成的向上飞的小燕子，请你移动3根火柴棒，使小燕子掉头向下飞．分析：只要移动下面的2根和左边的1根．即把下面的2根移到上面，左边的1根移到右边．解：按要求移的3根火柴棒，得下图：例6下面的算式是错的，请你只移动一根火柴棒，使等号两边相等．分析：怎样移动其中一根火柴棒，才能使左边等于1呢？我们可以从第二个“＋”里拿出一根火柴棒添在前面的两个1的前面或后面，使等式成立．解：例7只移动一根火柴棒，使下面的等式成立．分析：因为14＋7－4＝17，要使等号左边等于11，应当采用多减、少加的办法．通过改变运算符号就能达到多减少加的目的．我们可以从“＋”里拿出一根火柴棒放到“－”上．解：例8只移动一根火柴棒，使下面的等式成立．分析：我们可以从等号右边的77中拿去一根火柴棒变成17，然后把这根火柴棒添加到右边的“－”号上变成“＋”；我们还可以拿掉左边“＋”号中的一根，使“＋”变成“－”，然后把这一根火柴棒放到“17”的十位的“1”上，变成“77”，使等式成立．解：例9只移动两根火柴棒，使下面的等式成立．分析：等号右边是2，而左边中间的一个数是112，因此，必须把112变小．我们可以拿去112中的百位数字1，添加在第一个“－”上成为接着，把左边的＋1改成－11就正好得到右边的2；或从＋1的“＋”中移去一根火柴棒放到等号右边2的前面，也可以使等号两边相等．解：有下面两个正确的算式：植树锯木例1把一根木头锯成5段，每锯一次要2分钟，一共要锯多少分钟？分析：先看下面的示意图：从图中可见，把一根木头锯成5段，实际只要锯4次，题中告诉我们每锯1次要2分钟，所以锯4次需要8分钟．解法一：5－1＝4(次)用加法算就是4个2相加：2＋2＋2＋2＝8(分)．解法二：4个2相加可以用乘法算：2×4＝8(分)．答：锯5段需要8分钟．例2 同学们在一段马路的一边种树，从马路的一头到另一头共种了9棵，每两棵之间相距3米．问这段马路长多少米？分析：先看下面的示意图：从图中可以看出，9棵树之间有8个间隔，每个间隔长3米，8个间隔的长度就是这段马路的长度．解法一：用加法计算：3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＝24(米)解法二：用乘法计算：3×8＝24(米)答：这段马路长24米．例3一幢六层楼，小明从底楼跑到六楼一共用了45秒．平均每层楼用了多少秒？分析：小明从底楼到六楼一共走了6－1＝5(层)，用了45秒，平均每跑一层楼用的时间是：45÷5＝9(秒)解：6－1＝5(层)45÷5＝9(秒)答：平均每层楼用了9秒．例4 10名男生排成一队，老师要求在每2名男生中间插进1名女生，问可插进多少名女生？分析：可以按要求写出队伍的排列情况：男女男女男女男女男女男女男女男女男女男数一数，就可以知道一共插进9名女生．我们可以这样想：10个男生之间有9个间隔，每个间隔插进一名女生，所以可以插进9名女生．解：10－1＝9(名)答：可以插进9名女生．例5在圆形花坛上放了10盆鲜花，每两盆鲜花之间相隔1米．问这花坛一圈长多少米？分析：先看下面的示意图(用“黑点”代表花盆)：从图中不难看出，花盆的盆数和两花盆之间的间隔数相同，放了10盆，就有10个间隔，因为每个间隔1米，所以花坛的1圈长10米．解：1×10＝10(米)答：这花坛一圈长10米．例6 小朋友在一段马路的一边种树．每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？解：画示意图如下：由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔．每个间隔长1米，10个间隔长10米．也就是说这段马路长10米．像这类问题一般叫做“植树问题”．可以得出一个公式：当两头都种树时：例7 把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟．①如果把这根木头锯成10段，需要几分钟？②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟？解：画出示意图：由图可见，把木头锯成5段，只需锯4次．所以锯一次需1分钟．①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟．②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟．例8 鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟．问中午12点时打12下需要几秒钟？解：画示意图．钟打一下用一个点代表，打5下画5个点．由图可见，钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，每个间隔就是1秒钟．由此推理钟打12下时有12－1＝11个时间间隔，故用11秒钟.四则运算例1用五个2与加、减、乘、除四则运算符号结合起来，使下面的10个算式均成立：22222＝1(1)22222＝2(2)22222＝3(3)22222＝4(4)22222＝5(5)22222＝6(6)22222＝7(7)22222＝8(8)22222＝9(9)22222＝10(10)这个问题主要用“凑”的思想，但不应该盲目的凑，每相邻两个数之间都有四种运算符号可填(加、减、乘、除)，在凑时，一边试，一边估计结果，不断调整．我们有：2－2÷2＋2－2＝12＋2－2＋2－2＝22＋2÷2＋2－2＝32×2×2－2×2＝42－2÷2＋2＋2＝52＋2＋2＋2－2＝62＋2÷2＋2＋2＝72×2×2＋2－2＝82×2×2＋2÷2＝92＋2＋2＋2＋2＝10例2将1、2、3、4、5、6、7、8这8个数字分别填入图中8个空格内，使图中的4边正好组成加、减、乘、除4道算式．突破口是在做除法的第一行，在1～8中，只有五种可能：8÷4＝2，8÷2＝4；6÷3＝2；6÷2＝3；4÷2＝2．最后一个除式中出现两个2，应舍去．因此，只有4种可能情况，经过“凑”“试”有下面两个结果：例3如图所示，在大方框内的各数中选出3个数填到左面的四道乘式中使四道乘式成立．解例4将1～9这9个数字分别填入下面算式的方格中，使每个等式都成立．□＋□＝□(1)□＋□＝□(2)□×□＝□(3)取三个数字试乘要比试加、试减的情况简单，所以，选(3)作突破口，它只有两种情形：2×4＝8，2×3＝6．满足题目要求的解为：例5 学校举办书法比赛，共有24名同学参加，按年级正好平均分成4组，学校给每组指定了一名组长，叫组长每人收5元报名费，收好后交到教导处，每个组交来报名费多少元？书法比赛名单第一组第二组第三组第四组………………………………………………………………【解答】要求每组交多少元报名费，除了知道每人交5元，还要知道每个组有几名同学．根据一共有24名同学参加，正好平均分成4组，可以用除法计算出平均每组有几个人．先求每组有几个人？24÷4＝6(人)再求每组收报名费多少元？5×6＝30(元)综合列式：答：每组收报名费30元．例6 学校举行广播操比赛，二年级选出一些选手参加，他们训练时排成6排，每排正好排6人，后来学校规定每个参赛队一律排成4排，那么二年级调整队伍，每排几人？(总人数不变)【解答】学校规定每个参赛队一律排成4排，要知道每排几人，就要知道二年级参加比赛的一共有多少人．根据训练时排成6排，每排正好6人，可以用乘法计算出二年级参加比赛的一共有多少人．二年级参赛的一共有多少人？6×6＝36(人)按学校规定排成4排．每排多少人？36÷4＝9(人)综合列式：答：每排9人．例7 小猴买来一批苹果，每筐装6千克，可以装7筐；现在只有6只筐，把苹果都装上，平均每筐多装多少千克？(用不同的方法解答)【解答】这道题并不难，但要求能用不同的方法解答，怎样的解法最巧妙呢？解法一：先算出这批苹果的总重量，再除以6，算出现在每筐装苹果多少千克，最后减去6，就可算出平均每筐多装多少千克．解法二：可以先求出原来比现在多几个筐，再乘6，算出现在6个筐比原来6个筐多装多少千克苹果，最后再除以6，就可算出平均每筐多装多少千克．解法三：原来每筐装6千克，要装7筐．还是这么多的苹果，现在只有6个筐，每筐肯定要装7千克，每筐就要多装1千克．7－6=1(千克)答：平均每筐多装1千克．例8 已知：☆×3＋◇×2＝21，☆＋◇＝8，求：☆×◇＝？【解答】这道趣味题可以用不同的方法解答．解法一：从条件☆＋◇＝8出发，可以得到下面几组情况：⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧352617536271◇＝☆＝，◇＝☆＝，◇＝☆＝，◇＝☆＝，◇＝☆＝，◇＝☆＝ 把每组的两个数代入到☆×3＋◇×2＝21这道算式中一一试算，只有第6组⎩⎨⎧35◇＝☆＝符合条件，因为216231535＝＋⨯⨯，所以☆×◇＝5×3＝15． 解法二：把☆×3＋◇×2＝21还原成☆＋☆＋☆＋◇＋◇＝21把一个☆和一个◇看作一组，并用“8”代替，即：可得：☆＝21－8－8＝5，再把☆＝5代入到☆＋◇＝8这道算式中，得：◇＝8－5＝3所以，☆×◇＝5×3＝15．解法三：假设☆＝1，或2，或3，或4，或5，或6，或7，…去试算，只有当☆＝5时，5×3＋◇×2＝21，◇×2＝21－15＝6◇＝3所以☆×◇＝5×3＝15．例9 一副扑克牌有54张(包括大王和小王，)把“大王”和“小王”拿去，就剩下52张，每种花色只有13张．例如红桃♥的13张牌是：从52张牌中任意抽出4张牌，运用这四个数和＋、－、×、÷、()都可以组成得数是24的算式．如果小华在一次游戏时拿到的四张牌是：那么小华可以组成怎样的算式呢？【解答】小华组算式时用的四个数是：4、7、8、9，可以从结果是24出发，先运用四个数中的一个数，如用4，4×6＝24，还有7、8、9，这三个数怎样组成得“6”的算式呢？如用8，8×3＝24，还有4、7、9，这三个数怎样组成得“3”的算式呢？方法一：9－8＝1，7－1＝6，6×4＝24或7－(9－8)＝6，6×4＝24．方法二：9－7＝2，8－2＝6，6×4＝24或8－(9－7)＝6，6×4＝24．方法三：8＋7＝15，15－9＝6，4×6＝24或(8＋7－9)×4＝24．方法四：7－4＝3，9÷3＝3，3×8＝24或9÷(7－4)×8＝24．例10 妈妈来到服装柜台买衣服．妈妈买衣服的钱比40元多，但不超过50元，请问她买两种衣服各多少件？共有多少种不同的买法？【解答】可以先考虑多买上衣，余下的钱再买短裤，每种买法算出的总价，要比40元多，但最多50元．买5件上衣、1条短裤，共用：9×5＋5×1＝50(元)买4件上衣、2条短裤，共用：9×4＋5×2＝46(元)买3件上衣、3条短裤，共用：9×3＋5×3＝42(元)买3件上衣、4条短裤，共用：9×3＋5×4＝47(元)买2件上衣、5条短裤，共用：9×2＋5×5＝43(元)买2件上衣、6条短裤，共用：9×2＋5×6＝48(元)买1件上衣、7条短裤，共用：9×1＋5×7=44(元)买1件上衣、8条短裤，共用：9×1＋5×8=49(元)全买上衣5件，共用：9×5=45(元)全买短裤10条，共用：5×10=50(元)全买短裤9条，共用：5×9=45(元)口答：衣服件数从略，共有11种不同的买法．简单数列例1找出下面各数列的规律，并填空．(1)1，2，3，4，5，□，□，8，9，10．(2)1，3，5，7，9，□，□，15，17，19．(3)2，4，6，8，10，□，□，16，18，20．(4)1，4，7，10，□，□，19，22，25．(5)5，10，15，20，□，□，35，40，45．解：(1)是自然数列，它的规律是：后一个数比前一个数大1；空处依次填：，．(2)是奇数列，它的规律是：后一个数比前一个数大2；空处依次填：，．(3)是偶数列，它的规律是：后一个数比前一个数大2；空处依次填：，．(4)是等差数列，它的规律是：后一个数比前一个数大3；空处依次填：，．(5)是等差数列，它的规律是：后一个数比前一个数大5；空处依次填：，．注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列．例2找出下面的数列的规律并填空．1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89．解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和．这是个有重要用途的数列．8＋13＝21，13＋21＝34．所以：空处依次填：，．例3 找出下面数列的生成规律并填空．1，2，4，8，16，□，□，128，256．解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍．16×2＝32，32×2＝64，所以空处依次填：，．例4 找出下面数列的规律，并填空．1，2，4，7，11，□，□，29，37．解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：例5 找出下面数列的规律，并填空：1，3，7，15，31，□，□，255，511．解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍．另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个数乘以2再加1，即后一个数＝前一个数×2＋1．例6 找出下面数列的生成规律，并填空．1，4，9，16，25，□，□，64，81，100．解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自乘积．如：1＝1×1，4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4．25＝5×5，，，64＝8×8，81＝9×9，100＝10×10．若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚．10081644936251694110987654321↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓自然数平方数列：：自然数列例7 一辆公共汽车有78个座位，空车出发．第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？(假定在坐满以前，无乘客下车，见表.解：方法1方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78时，就可知道是到多少站了．1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝78(人)可见第12站以后，车上坐满乘客．例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：3，10，17，……，73．这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求73是第几项？解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现为止(见表)．可见73是第11项．例9 一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块．爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去．要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对(见表)放满10个盒所需要的糖块总数：可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢．例10 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”？解：分类计算：“1”出现在个位上的数有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个；“l”出现在十位上的数有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；“1”出现在百位上的数有：100共1个；共计10＋10＋1＝21个．例11 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？解：分类计算：从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9＝9(个)；从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90＝180(个)；第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是：9＋180＋3＝192(个)．例12 把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？解：(见图5－1)先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算：图5－1如图5－1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是：(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)×10＝45×10＝450．窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是：1×10＋2×10＋3×10＋4×10＋5×10＋6×10＋7×10＋8×10＋9×10 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)×10＝45×10＝450．另外100这个数的数字和是1＋0＋0＝1．所以，这一百个自然数的数字总和是：450＋450＋1＝901．顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力．比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来.抽屉原理例1请你说明：5只鸽子飞进4个笼子中去，至少有一个笼子中要飞进1个以上的鸽子．分析与解如果你已经懂得抽屉原理了，那么，这个问题很简单，你将笼子看作抽屉，将鸽子看作苹果，那么，这个问题就变成4个抽屉中要放5只苹果，因为5＞4，苹果数多于抽屉数，所以，至少有一个抽屉中，要放一个以上苹果．再换回题目的说法，就是必有一个笼子中至少要飞进两只鸽子．(当然，如果允许有的笼子不飞进鸽子，那么，有的笼子中可以飞进3只，4只甚至5只鸽子，题目的结论仍然是对的．)例2一年级(2)班共有53位小朋友，他们年龄都相同，请你用抽屉原理说明，至少有2个小朋友出生在同一周．分析与解因为每年共有52周，小朋友人数是53．而53＞52，根据抽屉原理，至少有两位小朋友出生在同一周．开始理解抽屉原理时，可以这样仔细想一想：总共有52周，如果小朋友都出生在不同的周，那么，小朋友人数最多是52人，现在共有53人，说明第53位小朋友必与前52位小朋友中某一位出生在同一周．那么，就有2位小朋友同在这一周出生了．例3用三种颜色给正方体涂色，请你证明：至少有两个面涂色相同．分析与解一个正方体共有6个面(如图)，将6个面看成6只苹果，三种颜色看成三个抽屉．6＞3，说明，苹果数多于抽屉数．根据抽屉原理，至少在1个抽屉内装有1只以上的苹果，换句话说，至少有2个面涂用同一种颜色．例4在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，至少有两盆花它们之间的距离小于2米．分析与解第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第l盆花恰为2米处(这是两盆花之间最近的距离了，再近就说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于2米！)，第3盆花放在距离第2盆花的距离2米处，这样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花．至此，阳台上的11盆花中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于2米放好了．现在考虑最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于2米．题目的结论是正确的(见下面)．例5学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？分析与解下面按两本课外读物的种类来“制造”抽屉．这两本书的种类有以下三种可能：，即有3个抽屉．我们将4位小朋友实际所借的两本书的种类看作苹果，因为有4位小朋友，所以有4个苹果．4＞3，根据抽屉原理，可以保证，至少有2位小朋友，他们所借阅的两本书属于同类．枚举法例1如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？(边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米)．解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米．下长(厘米) 9 8 7 6 5宽(厘米) 1 2 3 4 5(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形)．下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图(1)～(5)．例2如下图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米．问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来．解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图．注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如下图所示方法较为便捷．图中交点处的数字表示到达该点的路线条数．如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的(1)和(2)；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的(1)、(2)、(3)可知有3条路径可由A到H．仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1＋1＝2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3＋3＝6．例3在10和31之间有多少个数是3的倍数？解：由尝试法可求出答案：3×4＝123×5＝153×6＝183×7＝213×8＝243×9＝273×10＝30可知满足条件的数是12、15、18、21、24、27和30共7个．注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：10÷3＝3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；1000÷3＝333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数：333－3＝330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数．由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围．例4两个整数之积为144，差为10，求这两个数？例512枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个？解：列举出两种硬币的可能搭配：可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币．例6 小虎给4个小朋友写信．由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了．4个好朋友收到的都是给别人的信．问小虎装错的情况共有多少种可能？解：把4封信编号：1，2，3，4． 把小朋友编号，1友，2友，3友，4友．并假定1号信是给1友写的，2号信是给2友写的，3号信是给3友的，4号信是给4友写的：再把各种可能的错装情况列成下表：所以，共有9种可能．说明：如第一种错收情况是1友得2号信，2友得了1号信，3友得了4号信，4友得了3号信．一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问： ①这个长方形的面积有( )种可能值.②面积最大的长方形的长是( )米,宽是( )米.等量代换.例1 1只小狗的重量等于2只小兔的重量，4只小猫的重量等于2只小兔的重量，1只小狗重4千克，1只小猫重多少千克？[完全解题]1只小狗的重量＝2只小兔的重量，4只小猫的重量＝2只小兔的重量，1只小狗的重量＝4只小猫的重量，1只小猫的重量＝4÷4＝1(千克)．答：1只小猫重1千克．[知识点评]这是一个等量问题，主要是看它们的等量关系．[方法点击]将相等的量列出来，然后对照上面依次推算就可以得出结果．例2如图，已知＝6千克，求＝？千克．[完全解题]3个白球重：6×2＝12(千克)，每个白球重：12÷3＝4(千克)，所以阴影方格重4×4＝16(千克)．[知识点评]同学们，请看下面这道题：“1只鸡的重量等于2只鸭的重量，1只鸭的重量等于2只鸽的重量．那么1只鸡的重量等于几只鸽子的重量呢？”这是一个简单的推理问题．这个专题就是要你想一想，理一理，进行简单的推理．在推理时，有时需要算一算，如本题用到千克数的乘除．[方法点击]仔细读题，看看有哪些已知条件，再根据这些己知条件有条理、有次序地去想一想，并充分利用每次得出的结论，作为后一步推理的论据．例3 △＋○＝12，△＝○＋○＋○．求△＝？○＝？[完全解题]因为△＋○＝12，而△＝○＋○＋○，所以○＋○＋○＋○＝12．4个○是12，所以○＝12÷4＝3．因为△＋○＝12，○＝3，所以△＝12－3＝9．答：△＝9，○＝3．[知识点评]应用等量代换原理，推导出所求问题的结果．[方法点击]已知△＋○＝12，而△＝○＋○＋○，可以推算出○＋○＋○＋○＝12，○＝12÷4＝3，依次算出即可．例4已知(□－△)×(□－△)＝81，△＝5，求□＝？[完全解题]因为(□－△)×(□－△)＝81，所以□－△＝9．又因为△＝5，所以□＝9＋5，□＝14．[知识点评]根据表内乘法口诀，同数相乘等于81可知是：9×9＝81．再根据□－△＝9，△＝5推算出结果．[方法点击]关键是要把握□－△与□－△的积是同数相乘的积．例51只白兔的重量等于2只松鼠的重量，1只松鼠的重量等于3只小鸡的重量，1只白兔的重量等于几只小鸡的重量？[完全解题]1只白兔＝2只松鼠，1只松鼠＝3只小鸡，那么，2只松鼠＝6只小鸡．因为前面1只白兔＝2只松鼠，而2只松鼠＝6只小鸡，即1只白兔＝6只小鸡．[知识点评]首先把等量列出来，找出相对应的即可．[方法点击]首先把相对的等量列出来，弄清楚几等于几，就可以．例6三个相同的瓶子里放有石头，哪个瓶子里拿出的石头最大？[完全解题]三个大小、形状相同的瓶子里盛有水并放有石头，水位不一样，但取出石头后，水位下降后都是一样高了，说明取出的石头越大，水位下降越多，所以右边这个瓶里的石头最大．答：右边第1个瓶子里的石头最大．[知识点评]在同一个杯里盛有水，放入或取出的石头大小不同，水位升降也不同，放入或取出的石头大，水位的升或降就多．水位在变化，但水的总量没有变，这些都是寻找变与不变的一些基本规律．[方法点击]因为水的总量不变，放进去的物体体积越大，水位就会越高．例7三杯盐水一样咸，哪杯水里盐放得最多？。
多位数乘法口算巧算
乘法口算巧算技法两位数乘法1.十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=？解:1×1=12+4=62×4=812×14=168注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
2.头相同，尾互补(尾相加等于10)：口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=？解：2+1=32×3=63×7=2123×27=621注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
3.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=？解：3+1=44×4=167×4=2837×44=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
4.几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=？解：2×4=82+4=61×1=121×41=8615.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在首尾11×23125=254375 注：和满十要进一。
6.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：13×467=？解：13个位是33×4+6=183×6+7=253×7=2113×467=6071注：和满十要进一。
7.多位数乘以多位数口诀：前一个因数逐一乘后一个因数的每一位，第二位乘10倍，第三位乘100倍……以此类推例：33*132=？33*1=3333*3=9933*2=6699*10=99033*100=330066+990+3300=435633*132=4356注：和满十要进一。
数学中关于两位数乘法的“首同末和十”和“末同首和十”速算法。
小学奥数 计算题库 速算巧算 整数四则混合运算综合.题库版
本讲主要是通过一些速算技巧，培养学生的数感，并通过一些大数运算转化为简单运算，让学生感受学习的成就感，进而激发学生的学习兴趣一、运算定律 ⑴加法交换律：a b b a +=+的等比数列求和⑵加法结合律：()()a b c a b c ++=++⑶乘法交换律：a b b a ⨯=⨯⑷乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⑸乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数）⑹减法的性质：()a b c a b c --=-+⑺除法的性质：()a b c a b c ÷⨯=÷÷()a b c a c b c +÷=÷+÷()a b c a c b c -÷=÷-÷上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．二、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响⑴在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都不变；⑵在“-”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都改变，其中“+”号变成“-”号，“-”号变成“+”号；⑶在“⨯”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；⑷在“÷”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都改变，其中“⨯”号变成“÷”号，“÷”号变成“⨯”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．【例 1】 计算：315325335345÷+÷+÷+÷．【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】1星 【题型】计算【关键词】第二届，希望杯，四年级，第二试【解析】 原式313233345=+++÷（）例题精讲 知识点拨教学目标整数四则混合运算130526=÷= 【答案】26【巩固】 计算：⑴ 36196419⨯+⨯⑵ 361964144⨯+⨯【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 ⑴原式3664191900=+⨯=（）⑵原式36196419125=⨯+⨯+（）36641964125190088125190080009900=+⨯+⨯=+⨯⨯=+=（） 【答案】⑴1900 ⑵9900【例 2】 计算：234432483305+-⨯+÷= 。
二年级数学速算巧算题目加减乘除混合
二年级数学速算巧算题目加减乘除混合一、概述数学是一门重要的学科，学好数学对培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力非常重要。
而在数学学习中，速算巧算是帮助学生提高运算速度和准确度的重要途径。
本文将介绍二年级数学速算巧算题目，主要包括加减乘除混合运算。
二、加法巧算1. 十位数相同，个位数和为10的加数：38+72，= 110。
2. 个位数相同，十位数和为10的加法：34+57，= 91。
3. 进位巧算法：对于两个多位数相加，如果没有进位时，只需对每一位数字相加即可；如果有进位，则需要进位后再相加。
三、减法巧算1. 相邻近数相减：86-84=2，87-86=1。
2. 敬借法：当个位数不够减时，就向十位借1，十位数不够减时，就向百位借1，以此类推。
四、乘法巧算1. 九九乘法口诀表：学好九九乘法口诀表，可以将乘法运算转化为熟悉的乘法口诀进行计算，提高速算能力。
2. 特殊乘法巧算：当乘数为10的倍数时，直接在被乘数后面加上一个0即可；当乘数为5的倍数时，被乘数末尾加上0.5。
五、除法巧算1. 乘法逆运算：当除数和被除数中有一个是乘数的倍数时，可以利用乘法的逆运算来进行快速计算。
2. 除法概念理解：帮助学生理解除法的本质，如掌握整除的概念，可以快速判断除法的结果。
六、综合运算巧算1. 先乘除后加减：在进行综合运算时，首先计算乘法和除法运算，然后再进行加法和减法运算，可以减少中间步骤，提高计算速度。
2. 逐步计算：对于复杂的综合运算题目，可以逐步计算，将大问题拆分为小问题，然后逐步解决，减少出错的可能性。
七、结语速算巧算是培养学生数学思维和运算能力的重要途径，在二年级数学教学中，引导学生掌握一些速算巧算技巧，不仅能够提高学生的数学成绩，更能够增强学生的自信心和学习兴趣。
希望本文所介绍的加减乘除混合的速算巧算题目对广大教师和家长有所帮助，能够在教学和家庭作业中为学生提供更多的帮助和指导。
八、数学速算在实际生活中的应用数学速算不仅仅是学校教育中的一种技巧，它还有着广泛的实际应用。
三年级奥数
第一讲：巧算加减法综合板块一：加法巧算加法交换律：a+b+c=a+c+b 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)凑整：利用运算定律（如交换律，结合律，分配律）将一些数凑成整一，整十，整百再计算。
主要的凑整方法有：（1）配对凑整法：根据各个数尾数的特征配对计算，从而得到一些整十，整百数。
（2）拆补凑整法：把一个数通过加法或减法拆出一个整十，整百的数，进而计算。
例1、计算（1）124+158+76 （2）112+164+133+136+188（3）（134+37+55）+（63+866+25）练一练：计算1+2+3+4+……+9例2：计算（1）9+99+999 （2）4001+402+43（3）92+88+93+89+91+91+88+87+94+89练一练：计算（1）19+199+1999+19999 （2）201+196+203+199+202+195板块二：减法巧算（1）带着符号搬家：每个数的符号在自己前面，需要改变预算顺序时，则带着前面的符号搬家。
（2）去添括号：加减混合运算中需要去添括号时，如果括号前面是减号，则括号内“+”变“—”，“—”变“+”。
例3：计算（1）500—8—97—96—6—94—4—3—92（2）300—9—19—29—39—49例4：计算（1）538—125—38 （2）1358—（358+840）（3）（123+348+400）—（23+150+148）练一练：计算（1）743—（343+52）（2）586—47—53—7—93板块三：综合应用例5：818+64—18+36 练一练：计算985+32—85+68本课作业：31+46+32+33+47+48+34+49 9+99+999+9999567+58+242—67 450—137—54—13—146 2014—99—199—299—399 264+451—216+136—184+14924+63+52+37+49+51+76+48+95 7+97+997+9997+99997第二讲：巧算乘法板块一：乘法三率一、常用固定搭配：1、25×4=100；125×8=1000；625×16=10000；2、37×3=111；37×3A=AAA（1≤A≤9）；3、7×11×13=1001；4、×9=1；5、142857×7=999999二、乘法三率：1、乘法交换律：a×b=b×a2、乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)3、乘法分配律：（a+b)×c=a×c+b×c （a—b)×c=a×c—b×c三、分拆思想：这里所说的分拆是指在计算的过程中以巧算为目的的分拆，为了使计算简便，我们常常把一个数写成两个数或多个数的和差积的形式，这种方法叫分拆。
六年级奥数分数乘法的巧算
分数乘法的巧算（一）一、拆分因数，使计算简便。
1、拆分分数：一个分数接近单位“1”（小于单位“1”或大于单位“1”）例：1. 计算3334×27 2. 计算2322×17练习1：4850×13 4341×133334×133938×252、拆分整数：整数接近分数的分母或接近分母的倍数例：1. 计算2010 ×1232009 2. 计算93 ×2346练习2：52 ×37501001 ×1011002199 ×89994365×129二、先分拆分数，然后运用乘法分配律进行简便运算。
1、分母相同的，拆分成一个分数与另一个因数的积的形式，再运用乘法分配律进行计算例：1. 计算34×27 +14×39 2. 计算57×27-27×29练习3：16×45 + 56×1557×19 —8 ×472、将一个带分数拆分成整数加分数的形式，再运用乘法分配律进行计算例：计算15311×174457×49练习4：2137 × 15 2915 × 56 3429 × 911 2916 × 67作业（一）2728 × 15 1002 × 1001001 35 × 31 + 15 × 7 2623 × 15作业（二）22311 × 17 3842 × 43 13 × 45 + 23 × 15 3940 × 13 131 × 386557 × 9 — 47 ×6作业（四）1738 × 37 103 × 15104 57 × 5 + 47 × 6 2517 × 78二、乘法分配律的进一步运用例1：计算527 ×5 + 457 ×923练习1：335 ×25 25 + 37910 ×625 338 ×4+ 558 ×535 1049 ×4 — 249 ×712例2：计算22×17 + 11×27 + 337 ×211练习2：39×14 + 25×34 + 264 ×313 9×38 + 15×18 — 54 ×350.7×149 +234 × 15 + 0.7 × 59 + 14 × 15 9×35 + 24×15 — 115 ×38作业（一）（325 + 523 +635 + 613 ）×（3 — 311 ）1614 ×45 + 1717 ×78 + 1315 ×56625 ×7 + 335 ×101322×15 + 11×25 + 335 ×211作业（二）（449 + 856 + 759 + 716 ）×（3 — 314 ）1915 ×56 + 1919 ×89 — 2513 ×34425 ×1025 +17910 ×53539×17 + 25×37 + 267 ×313作业（三）（1227 — 235 — 325 +1757 ）×（8 — 38 ）715 ×56 +13 12 ×23 + 2225 ×57758 ×4+ 438 ×5359×313 + 15×113 — 1013 ×35专题训练：例1：计算12 + 14 + 18 + 116 + 132 + 164 + 1128巩固练习：12 + 14 + 18 + 116 + 132 + 164 12 + 14 + 18 + 116 + 132 + 164 + 1128 + 1256分数乘法的巧算综合作业：计算下面各题1．4950 × 12 3839 × 40 58 × 15 + 38 × 23 2．978 ×8 + 867 × 7+ 756 ×6 + 645 ×579617 ×59 + 119 ×517 + 50×19 999+1002×10001001×1002—32001×20032002 + 2002×20042003 + 40052002×2003。
小学奥数 计算题库 速算巧算 整数四则混合运算综合.题库版
本讲主要是通过一些速算技巧，培养学生的数感，并通过一些大数运算转化为简单运算，让学生感受学习的成就感，进而激发学生的学习兴趣一、运算定律 ⑴加法交换律：a b b a +=+的等比数列求和⑵加法结合律：()()a b c a b c ++=++⑶乘法交换律：a b b a ⨯=⨯⑷乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⑸乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数）⑹减法的性质：()a b c a b c --=-+⑺除法的性质：()a b c a b c ÷⨯=÷÷()a b c a c b c +÷=÷+÷()a b c a c b c -÷=÷-÷上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．二、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响⑴在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都不变；⑵在“-”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都改变，其中“+”号变成“-”号，“-”号变成“+”号；⑶在“⨯”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；⑷在“÷”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都改变，其中“⨯”号变成“÷”号，“÷”号变成“⨯”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．【例 1】 计算：315325335345÷+÷+÷+÷．【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】1星 【题型】计算【关键词】第二届，希望杯，四年级，第二试【解析】 原式313233345=+++÷（）例题精讲 知识点拨教学目标整数四则混合运算130526=÷= 【答案】26【巩固】 计算：⑴ 36196419⨯+⨯⑵ 361964144⨯+⨯【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2星 【题型】计算【解析】 ⑴原式3664191900=+⨯=（）⑵原式36196419125=⨯+⨯+（）36641964125190088125190080009900=+⨯+⨯=+⨯⨯=+=（） 【答案】⑴1900 ⑵9900【例 2】 计算：234432483305+-⨯+÷= 。
初中数学竞赛巧算综合及解析
巧算综合例1.计算：【答案】【解答】记则两式相减得例2.计算：【答案】【解答】原式例3.已知：，，试比较A与B的大小.【答案】A>B【解答】分析：解：所以A>B.例4.已知：，试比较A与的大小.【答案】【解答】记，，则A<B<C，且，所以.进一步思考：试比较B、C与的大小.【答案】B＞，C＞例5.给定正整数按照如下的方式构成三角形表：即第一行依次写上数1，2，3，在第一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面的一行（比下面的一行少一个数），依次类推，最后一行（第行）只有一个数.如时的数表如右图所示，则时，最后一行的数为.【答案】1280【解答】先把的前两行写出来，如图1。
接着将图1 的元素左右颠倒一下，得到图2。
将图1和图2的对应元素相加，得到图3。
根据图3的特征，我们知道图3中第9行的数字为10×28。
这个数是图1和图2第9行数字的和。
而图1和图2第9行数字相等。
所以，时，最后一行的数为10×27=1280。
例6.将一个正三角形的每条边五等分，过每个分点作另外两边的平行线，在三角形内部和边界上形成一个点阵.在三角形的三个顶点上分别写上100，200，300，在每个分点上也各写一个数，使得每条线段上的数都成一个等差数列.求点阵上所有数的和.【答案】4200【解答】将正三角形表示为图1（内部和边界的点未标出），将图1旋转分别得到图2 和图3。
我们将三个图的对应数字相加。
得到图4。
可求得图4点阵中每个点的对应数字都是600。
每个图总共有1＋2＋3＋4＋5＋6=21个点。
所以，图4的点阵所有数的和是600×21=12600。
由于前3个图的点阵的所有数字的和是相等的。
因此，每个点阵所有数的和是12600÷3=4200。