【浙教版】2020年九年级下册数学第1章综合达标测试卷(含答案)
第1章综合达标测试卷
(满分：100分时间：90分钟)
一、选择题(每小题2分，共20分)
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子不一定成立的是(A) A ．sin A ＝sin B B ．cos A ＝sin B C ．sin A ＝cos B
D ．∠A ＋∠B ＝90°
2．如果α是锐角，且sin α＝3
5，那么cos(90°－α)的值为(A) A ．35 B ．45 C ．34
D ．43
3．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为(B)
A ．12
B ．22
C ．32
D ．33
4．当锐角α>30°时，则cos α的值(D) A ．大于12 B ．小于1
2 C ．大于3
2
D ．小于3
2
5．已知∠A 为锐角，tan A 是方程x 2－2x －3＝0的一个根，则代数式tan 2A ＋2tan A ＋1的值为(A)
A ．16
B ．8
C ．15
D ．17
6．如图，已知∠α的一边在x 轴上，另一边经过点A (2,4)，顶点为(－1,0)，则sin α的值是(D)
A ．25
B ．55
C ．35
D ．45
7．如图是一个棱长为4的正方体盒子，一只蚂蚁在D 1C 1的中点M 处，它到BB 1的中点N 的最短路线是(C)
A ．8
B ．42
C ．210
D ．2＋2 5
8．【2019·浙江中考】如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连结AE 、DE ，则∠EAD 的余弦值是(B)
A ．312
B ．36
C ．33
D ．32
9．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是(B)
A ．9 m
B ．6 m
C ．6 3 m
D ．3 3 m
10．【2016·广西钦州中考】如图为固定电线杆AC ，在离地面高度为6 m 的A 处引拉线AB ，使拉线AB 与地面BC 的夹角为48°，则拉线AB 的长度约为(结果精确到0．1 m ，参考数据：sin 48°≈0．74，cos 48°≈0．67，tan 48°≈1．11)(C)
A ．6．7 m
B ．7．2 m
C ．8．1 m
D ．9．0 m
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．计算：2sin 30°＋2cos 60°＋3tan 45°＝__5__． 12．已知sin A ＝1
2，则锐角∠A ＝__30°__．
13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则sin A ＝__55__．
14．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡
度i ＝__1∶26__．
15．如图，△ABC 的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α＋β) __>__tan α＋tan β．(填“＞”“<”或“＝”)
16．如图，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13 m ，且tan ∠BAE ＝12
5，则河堤的高BE ＝__12__m ．
17．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B ＝1
2，则CD ∶DB ＝__1∶2__．
18．如图，在A 处看建筑物CD 的顶端D 的仰角为α，且tan α＝0．7，向前行进3米到达B 处，从B 处看顶端D 的仰角为45°(图中各点均在同一平面内，A 、B 、C 三点在同一条直线上，CD ⊥AC )，则建筑物CD 的高度为__7__米．
三、解答题(共56分) 19．(8分)计算：
(1)cos 2
45°＋ cos 30°
2sin 60°＋1
－3tan 30°；
解：原式＝⎝
⎛
⎭⎪⎫2
22
＋3
22×3
2＋1
－3×33＝12＋3－34－1＝1－34． (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13 －1·2
3
－|tan 45°－3|． 解：原式＝1＋3×23
3－(3－1)＝1＋23－3＋1＝2＋3． 20．(8分)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝4
5，BC ＝8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ．
(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠ABE 的值．
解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝45．∵BC ＝8，∴AB ＝10．∵D 是AB 中点，∴CD ＝12AB ＝5． (2)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝
AB 2－BC 2＝6．∵D
是AB 中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即1
2CD·BE ＝12×12AC·BC ，∴BE ＝AC·BC 2CD ＝6×82×5＝245
．在Rt △BDE 中，∵∠BED
＝90°，∴cos∠DBE
＝BE
BD＝
24
5
5＝
24
25，即cos∠ABE的值为
24
25．21．(8分)【2019·四川中考】某国发生8．1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin 25°≈0．4，cos 25°≈0．9，tan 25°≈0．5，3≈1．7)
解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D．设CD＝x 米．在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝25°，∴tan∠DAC＝
CD
AD＝0．5，∴AD＝2x米，∴BD＝(2x－4)米．在Rt△BDC中，∵∠BDC ＝90°，∠DBC＝60°，∴tan∠DBC＝
CD
BD＝
x
2x－4
＝3，解得x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．
22．(10分)如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3 m远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45°夹角范围内，才能有效避免雷击(α≤45°)．已知接收设备高80 cm，那么避雷针至少应安装多高？
解：如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，AB ＝EC ＝0．8 m ，AE ＝BC ＝3 m ．在Rt △ADE 中，tan α＝AE DE ，∴DE ＝AE
tan α＝3
tan α．
∵α≤45°，∴tan α≤1，即DE ≥3 m ，∴CD ＝CE ＋DE ≥3．8 m ．故避雷针至少应安装3．8 m 高．
23．(10分)如图，将水库拦水坝背水坡的坝顶加宽2 m ，坡度由原来的1∶2改为1∶2．5，已知坝高6 m ，坝长50 m ．
(1)加宽部分横断面AFEB 的面积是多少？ (2)完成这一工程需要多少立方米的土？
解：(1)如图，过点A 作AG ⊥BC ，过点F 作FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ．根据题意，得FH ＝AG ＝6 m ，HG ＝AF ＝2 m ．在Rt △AGB 和Rt △FHE 中，∵tan ∠ABG ＝AG BG ＝12，tan ∠E ＝FH EH ＝1
2.5，∴BG ＝2AG ＝12 m ，EH ＝2．5FH ＝15 m ，∴EB ＝EH －BH ＝15－(12－2)＝5(m)，∴S
梯形AFEB
＝12(AF ＋EB)·FH ＝12
×(2＋5)×6＝21(m 2)．即加宽部分横断面AFEB 的面积为21平方米． (2)完成这一项工程需要21×50＝1050(m 3)的土．
24．(12分)如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81 n mile处．甲船从A出发，沿AP方向以9 n mile/h的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向以18 n mile/h的速度驶离港口．现两船同时出发．
(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等？
(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向上？(结果精确到0．1 h)
解：(1)设出发后x h两船与港口P的距离相等．根据题意，得81－9x＝18x．解得x＝3．故出发后3 h两船与港口P的距离相等．(2)如图，设出发后y h乙船在甲船的正东方向上，此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处，连结CD，过点P作PE⊥CD，垂足为点E，则点E在点P的正南方向上．在Rt△CEP中，∠CPE＝45°，∴PE＝PC·cos 45°．在Rt△PED中，∠EPD＝60°，∴PE＝PD·cos 60°，∴PC·cos 45°＝PD·cos 60°，即(81－9y)·cos 45°＝18y·cos 60°．解得y≈3．7．故出发后约3．7 h乙船在甲船的正东方向上．。
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合能力测试题3(附答案详解)
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合能力测试题3（附答案详解） 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝3，则BC 的长为（ ）A ．3sin35°B ．3cos35︒C ．3cos35°D ．3tan35°2．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平底面A 处安置测角仪测一得楼房CD 顶部点CD 的仰角为45°，向前走20米到达A 1处，测得点D 的仰角为67.5°．已知测角仪AB 的高度为1米，则楼房CD 的高度为（ ）A ．（10220+）米B ．（10221+）米C ．（8320+）米D ．（8321+）米 3．如图，点P 在第二象限，OP 与x 轴负半轴的夹角是α，且35,cos 5OP α==，则P 点的坐标为（）A ．()3,4B ．()3,4-C ．()4,3-D ．()3,5-4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=23，那么AB 的长是（ ） A ．3 B ．43 C ．5D ．13 5．如图，在正方形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径作 BD ，交对角线AC 于点E ，连结BE 并延长交CD 于点F ，记图中分割部分的面积为S 1，S 2．则下列对S 1与S 2的大小关系判断正确的是( )A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1=S 2D ．与正方形ABCD 的边长有关6．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB 的坡度为1：2.4，AB 长为3.9米，钓竿AC 与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC 与钓鱼线CD 的夹角也是60°，则浮漂D 与河堤下端B 之间的距离约为( )米．(参考数据：3≈1.732)A ．1.732B ．1.754C ．1.766D ．1.8237．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ，AB=c ，∠A=α，则CD 长为（ ）A ．c•sin 2αB ．c•cos 2αC ．c•sinα•tanαD ．c•sinα•cosα 8．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B '处，若3AE =，8DE =，60EFB ∠=︒，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．333B ．243C ．163D ．169．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，AC ＝8，BC ＝6，则∠ACD 的正切值是( )A ．43B ．35C ．53D ．3410．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为_______.11．如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是( )A．15°B．30°C．45°D．60°12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BC-AD=4，则梯形的腰AB= ．13．若α，β均为锐角，且|sinα﹣12|+（3﹣tanβ）2＝0，则α+β＝_____．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是________．15．在中，，，，则__________．16．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=45，则AC=____.17．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34，则sinB=_______，tanB=______.18．如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若m47n25=，则△ABC的边长是19．计算：10)21(41)1(45cos 2-+++-︒π 20．计算：20201914(3)(1)cos603π-︒⎛⎫-----+ ⎪⎝⎭21．计算：021273tan 30(3)()3π--︒+-+．22．如图，已知反比例函数k y x=的图象经过点A （﹣1，a ），过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，△AOB 的面积为32．（1）求k 的值；（2）若一次函数y ＝mx +n 图象经过点A 和反比例函数图象上另一点3,C t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且与x 轴交于M 点，求AM 的值；（3）在（2）的条件下，如果以线段AM 为一边作等边△AMN ，顶点N 在另一个反比例函数k y x'=上，则k '＝ ． 23．如图，兰兰站在河岸上的G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC ＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG ＝1米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡的坡度i ＝4：3，坡高BE ＝8米，求小船C 到岸边的距离CA 的长．（参考数据：3≈1.7，结果保留一位小数）24．计算：（12）﹣1﹣34sin30°﹣（π﹣3.14）0+|1|25．(1)计算：28sin 302cos 45tan 60︒︒︒-+；(2)计算：+ (3)用配方法解方程：210220x x -+=．参考答案1．C【解析】【分析】根据余弦定义求解即可．【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝3，cos35°＝3CB CB AB ，∴BC ＝3cos35°． 故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，属于基础题型，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 2．B【解析】【分析】过B 作BF ⊥CD 于F ，作B′E ⊥BD ，根据∠DBC=45°，∠DB′C=67.5°，可知∠BDB'=∠B'DC=22.5°，所以EB'=B'F ，由∠BEB′=45°，BB′=20米，得2（米）即可求出AC 的长.【详解】过B 作BF ⊥CD 于F ，作B′E ⊥BD ，∵∠BDB'=∠B'DC=22.5°， ∴EB'=B'F ，在Rt △BEE′中，∵∠BEB′=45°，BB′=20米，∴2（米），∴BF=BB′+B′F=（2）（米）∴DF=（2）（米）∴2+1=（2）米故选B．【点睛】本题考查角平分线定理，特殊角三角函数值，熟练掌握角平分线定理，并正确添加辅助线是解题关键.3．B【解析】【分析】过点P作PA⊥x轴于A，利用35,cos5OPα==求出OA，再根据勾股定理求出PA即可得到点P的坐标.【详解】过点P作PA⊥x轴于A，∵35,cos5 OPα==，∴3cos535OA OPα=⋅=⨯=，∴22PA OP OA=-=4，∵点P在第二象限，∴点P的坐标是（-3,4）故选：B.【点睛】此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点.4．A【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA=ACAB=23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A∠的邻边斜边，然后带入数值即可求解.5．B【解析】【分析】过E作EH⊥AB，延长HE与CD交于点G，设正方形的边长为a，由题意可知AB=AD=AE=DC=a，利用相似三角形的判定和性质，可证得CE=CF，利用解直角三角形分别求出AC，HE，CF，EG的长，然后根据S1=S扇形BAE-S△ABE，S2=S△ADC-S扇形BAE-S△CEF，就可求出S1-S2的值，根据其值的大小，可作出判断.【详解】如图，过E作EH⊥AB，延长HE与CD交于点G，设正方形的边长为a，由题意可知AB=AD=AE=DC=a，AB∥CD∴△ABE∽△CFE∴AB AECF CE=，即CE AE=1CF AB=∴CE=CF在Rt △ABC 中，在Rt △AEH 中，∠HAE=45°，∴HE HE sin HAE AE ∠===a∴HE=2a∴-a在Rt △CEG 中，∠ECG=45°，∴sin ∠ECG=EGCE 2==解得2EG a 2= ∴S 1=S 扇形BAE -S △ABE ，S 2=S △ADC -S 扇形BAE -S △CEF∴S 1-S 2=S 扇形BAE -S △ABE -S △ADC +S 扇形BAE +S △CEF=2S 扇形BAE -S △ABE -S △ADC +S △CEF=S扇形BAD -(S 正方形ABCD -S △BEC )+S △CEF =S 扇形BAD-S 正方形ABCD +S △BEC +S △CEF)2290πa 11a a 1a 36022=-++⨯2222124πa a a 444=-++2π64+=a ＜0 ∴S 1＜S 2故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形与扇形的面积问题，熟练掌握扇形面积公式，根据图形特征求出S 1-S 2的值是解题的关键.6．C【解析】【分析】延长CA交DB延长线与点E,根据题意得到∠BAE=90°,利用正切的概念求出AE、BE,判断△CDE为等边三角形,求出DE,计算即可.【详解】如图，延长CA交DB延长线与点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴152.412AFBF==，则设AF＝5x，BF＝12x，∵AB＝3.9米，∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.92＝25x2+144x2．解得x＝310．∴AF＝5x＝32，BF＝12x＝185∴EF＝0033 tan60sin60AF AFAE=====∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∵AC＝4.5米，∴DE＝CE＝AC+AE＝(米)，则BD＝DE﹣EF﹣BF＝185≈1.766(米)，答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米．故选C．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，关键在于求出△CDE 是等边三角形. 7．D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义可得结论.【详解】在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =c ，∠A =a ，根据锐角三角函数的定义可得sinα=BC AB ， ∴BC =c •sinα，∵∠A +∠B =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠DCB =∠A =α在Rt △DCB 中，∠CDB =90°，∴cos ∠DCB = CD BC， ∴CD =BC •cosα=c •sinα•cosα，故选D ．8．A【解析】【分析】由折叠的性质和矩形的性质可得：B FE '∠=∠B EF '=60°，进而可得△EFB '是等边三角形，可得EF B F BF '==，连接BE ，如图，则△BEF 是等边三角形，可得∠EBF =60°，从而得∠ABE =30°，于是在Rt △ABE 中解直角三角形可求出AB 的长，然后根据矩形的面积公式即可求出结果．解：∵把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B '处，∴∠BFE =B FE '∠=60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠B EF '=∠BFE =60°，∴△EFB '是等边三角形，∴EF B F BF '==，连接BE ，如图，则△BEF 是等边三角形，∴∠EBF =60°，∴∠ABE =30°，∴333AB AE ==，∵AD =AE +DE =3+8=11，∴矩形ABCD 的面积=AB ×AD =333． 故选：A ．【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键．9．D【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．【详解】∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴tan∠A＝6384 BCAC==，∴tan∠ACD的值34．故选D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．10．210米【解析】【分析】根据坡比求出AF的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．【详解】解：如图：作BF⊥AF，垂足为F．∵BF：AF=1：3，∴2：AF=1：3，∴AF=6，∴2226+10，故答案为10米.本题考查了解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．11．B【解析】解法一：由同角三角函数关系，sin2a+cos2a=1，所以a=30°,选B.解法二：sin2a+cos230°=1, cos30°=3∴sin2a=1- cos230°=1-3144=,∴sin a=12±,∴sin a=12, a=30°,选B.点睛：（1）掌握同角三角函数的关系sin2a+cos2a=1，可以为解题带来方便.(2)熟练记忆特殊三角函数值对应的角度.12．4.【解析】试题解析：过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，BE=AD，∵AB=DC，BC-AD=4，∴DE=DC，CE=BC-BE=BC-AD=4，∵∠C=60°，∴△DEC是等边三角形，∴AB=CE=4．考点：1.等腰梯形的性质;2.平行四边形的判定与性质;3.等边三角形的判定与性质．13．90°【解析】【分析】由绝对值及一个数平方的非负性推出sinα-12=0，3-tanβ=0，再由特殊角的三角函数值即可求出结果．【详解】解：在|sinα﹣12|+（3﹣tanβ）2＝0中，∵|sinα﹣12|≥0，（3﹣tanβ）2≥0，∴sinα﹣12＝0，3﹣tanβ＝0，∴sinα＝12，tanβ＝3，∴α＝30°，β＝60°，∴α+β＝90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查了绝对值及一个数平方的非负性及特殊角的三角函数，解题关键是记牢特殊角的三角函数值．14．43．【解析】【分析】当F与A点重合时和F与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是EE'的长；由已知条件可以推导出△DEE'是直角三角形，且∠DEE'=30°，在Rt△ADE'中，求出DE'＝23即可求解．【详解】解：如图E的运动路径是EE'的长；∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝433，当F与A点重合时，在Rt△ADE'中，AD＝433，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，∴DE'＝23，∠CDE'＝30°，当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝43；故答案为433．【点睛】本题考查点的轨迹；能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键．15．【解析】如图在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=5，BC=4，∴tanA==．16．5【解析】【分析】只需证明∠CAD=∠B，便可在Rt△ADC中直接推算AC【详解】∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高∴∠BAC=∠ADB=90°∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，cosB=45 ∴∠B=∠CAD ，cos ∠CAD=45在Rt △ADC 中，AD=4， ∴AC=4=4cos 5∠AD CAD =5.故答案为5.17．44,53【解析】试题分析：由∠C=90°，tanA=34可得43=AC BC ，即可求得结果. ∵∠C=90°，tanA=34 ∴43=AC BC ∴54sin ==AB AC B ，.34tan ==BC AC B 考点：三角函数点评：计算能力是学生必须具备的基本能力，中考中各种题型中均会涉及到计算问题，因而学生应该努力提升自己的计算能力.18．12【解析】设正△ABC 的边长为x x ，2ABC 1S x x ?x 2∆=⋅=． ∵所分成的都是正三角形，∴1x =x 1 232⎛- ⎝．∴黑色菱形的面积=()2113x x 1x 22228⎛⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝．∴()()2223 x x 2m 4748=3n 25x 28--=-，整理得，11x 2－144x ＋144=0． 解得112x ?11=（不符合题意，舍去），x 2=12． 所以，△ABC 的边长是12 1932. 【解析】试题分析：先分别计算特殊角三角函数值、零次幂、二次根式的负整数指数幂，最后算加减即可.试题解析：原式=2322211222+=++-⨯. 考点：实数的运算.20．﹣6.5【解析】【分析】先计算算数平方根及乘方，然后再计算加减即可.【详解】解：原式＝2﹣1+1﹣9+12＝﹣6.5． 【点睛】含有乘方和特殊角三角函数的实数的混合运算是本题的考点，熟练掌握运算法则是解题的关键.21．+10．【解析】【分析】按顺序先进行二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值、0次幂的运算、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可.(2013tan30π3-⎛⎫︒++ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到二次根式的化简、特殊角的三角函数值、0次幂、负指数幂等运算，熟练掌握各运算的运算法则以及特殊角的三角函数值是解题的关键.22．（1）k =（2）AM =；（3）： .【解析】【分析】（1）根据点A 的坐标以及三角形的面积公式即可求出a 值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 的值；（2）根据反比例函数解析式可求出点C 的坐标，由点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AM 的解析式，令直线AM 的解析式中y ＝0求出x 值，即可得出点M 的坐标，再利用勾股定理即可求出线段AM 的长度；（3）设点N 的坐标为（m ，n ），由等边三角形的性质结合三角函数找出关于m 、n 的关系来求得点N ．【详解】解：（1）∵S △AOB ＝12OB •AB∴12×1×a ＝2，∴a∴点A （﹣1．∵反比例函数y ＝k x的图象经过点A （﹣1，∴k（2）∵C （t ，y ＝-∴3-t＝﹣3，解得：t＝3，∴C（3，33-）．将A（﹣1，3）、C（3，33-）代入y＝mx+n中，得：3333m nm n⎧-+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得：3233mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AM的解析式为y＝3-x+23．令y＝3-x+23中y＝0，则x＝2，∴M（2，0）．在Rt△ABM中，AB＝3，BM＝2﹣（﹣1）＝3，∴AM＝()2233+＝23．（3）设点N的坐标为（m，n），∵△AMN为等边三角形，且AM＝3．∴∠AMN＝60°，∵tan∠AMB＝ABBM3∴∠AMB＝30°，∴∠NMB＝90°，∴N（2，），同法可得：当△AMN′是等边三角形时，可得N′（﹣1），∵顶点N在另一个反比例函数y＝'kx上，∴k′＝故答案为：．【点睛】题考查了三角形的面积公式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出点M的坐标；（3）根据等边三角形的性质利用勾股定理找出关于m、n的关系来求得点N．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形的性质利用两点间的距离公式找出点的横纵坐标之间的关系是关键．23．9.2米．【解析】【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE﹣EH即为AC长度．【详解】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．i＝BEAE＝43，∵BE＝8，AE＝6，DG＝1.5，BG＝1，∴DH＝DG+GH＝1.5+8＝9.5，AH＝AE+EH＝6+1＝7．在Rt△CDH中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5，tan30°＝DH CH，∴CH＝又∵CH＝CA+7，即9.53＝CA+7，∴CA≈9.15≈9.2（米）．答：CA的长约是9.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．24．33 8-+【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝2﹣31131 42⨯-+，＝﹣338+．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．25．(1) 12；(2)2372(3)153x=253x=【解析】【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可；’（2）按二次根式的加减混合运算计算即可；（3）按配方法的步骤解一元二次方程即可.【详解】解：(1)原式2182419122=⨯-⨯+=-+=．(2)原式=-=．(3)∵210220x x -+=，∴2102530x x -+-=，则210253x x -+=，即2(5)3x -=，∴5x -=∴5x =±15x =25x =【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，配方法解一元二次方程，掌握运算方法是解题的关键.。
浙教版2020九年级数学第一章二次函数单元综合基础过关测试卷B卷(附答案详解)
浙教版2020九年级数学第一章二次函数单元综合基础过关测试卷B 卷（附答案详解） 1．如图，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，∠O BC =45°，则下列各式成立的是（ ）A ．1-b+c =0B ．1+b+c =0C ．1+b-c=0D ．1-b-c =02．抛物线y=ax 2+bx ﹣3经过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值是（ ）A ．9B ．﹣9C ．15D ．﹣153．下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y=2（x ﹣1）B ．y=（x ﹣1）2﹣x 2C ．y=a （x ﹣1）2D ．y=2x 2﹣14．以()2,6P --为顶点的二次函数是（ ）A ．25(2)6y x =++B ．25(2)6y x =-+C ．25(2)6y x =+-D ．25(2)6y x =--5．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．()21y x x x =--B ．23y ax +=-C ．223x y =+.D ．22y x x -=+ 6．将抛物线 y = 22x -+1 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得的抛物线为（ ）A ．y =﹣2（x ﹣1）2﹣2B ．y =﹣2（x +1）2﹣2C ．y =﹣2（x ﹣1）2+4D ．y =﹣2（x +1）2+4 7．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，与y 轴的交点B 在()0,2-和()0,1-之间(包括这两点)下列结论：①30a b +>；②当13x -<<时，0y <；③b c >；④1233a ≤≤，其中正确的是( )8．抛物线y=﹣2（x ﹣1）2的图象上有三个点A （﹣1，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 1 9．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB=m ．若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S 的最大值为（ ）A ．193B ．194C ．195D ．19610．二次函数221y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1k < B ．1k ≤ C ．1k <且0k ≠ D ．1k ≤且0k ≠ 11．若x ＝2t ﹣5，y ＝10﹣t ，S ＝xy ，则当t ＝______时，S 的最大值为______．12．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是______．13．请将函数21212y x x =++写成2()y a x h k =-+的形式为________． 14．某抛物线与2y 6x =形状相同，且当x 3=时y 有最大值2，则该抛物线的表达式为________．15．已知二次函数 y=x²﹣2mx ＋1 (m 为常数)，当自变量 x 的值满足﹣1≤x≤2 时，与其对应的 函数值 y 的最小值为-2，则 m 的值为_____．16．抛物线y=﹣x 2﹣2x+3用配方法化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是________，抛物线与x 轴的交点坐标是________，抛物线与y 轴的交点坐标是________．17．如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．18．若二次函数y ＝－x 2－4x ＋k 的最大值是9，则k ＝______．19．将抛物线y=5（x ﹣1）2+3先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到抛物线的解析式为_____．20．二次函数y=x 2+2x-5的最小值是______________．21．如图1，直线l ：y=x+3与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别相交于A 、C 两点，抛物线y=﹣33x 2+bx+c 经过点B （1，0）和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点Q 是抛物线y=﹣3x 2+bx+c 在第二象限内的一个动点． ①如图1，连接AQ 、CQ ，设点Q 的横坐标为t ，△AQC 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；②连接BQ 交AC 于点D ，连接BC ，以BD 为直径作⊙I ，分别交BC 、AB 于点E 、F ，连接EF ，求线段EF 的最小值，并直接写出此时点Q 的坐标．22．已知二次函数2y ax bx 2=++，它的图象经过点()1,2．()1若该图象与x 轴的一个交点为()1,0-．①求二次函数2y ax bx 2=++的表达式；②出该二次函数的大致图象，并借助函数图象，求不等式2ax bx 20++≥的解集； ()2当a 取1a ，2a 时，二次函数图象与x 轴正半轴分别交于点()M m,0，点()N n,0．如果点N 在点M 的右边，且点M 和点N 都在点()1,0的右边．试比较1a 和2a 的大小．23．如图，四边形ABCO 的两边OA 、OC 在坐标轴的正半轴上，//BC x 轴，4OA OC ==，以直线1x =为对称轴的抛物线过A ，B ，C 三点．()1求该抛物线的函数解析式；()2已知抛物线交x 轴的负半轴于点D ，直线BD 交y 轴于点N ，点(),0E m 是线段AD 上一个动点，过点E 作x 轴的垂线交直线BD 于点P ，交抛物线于点F ，求当12PF CN =时相应的m 的值． ()3在()2的条件下，连接CP 以CP 为一边向外作正方形CPGH ，如图2所示，当正方形的顶点G 或顶点H 随着点E 的运动落在抛物线上时，直接写出此时点E 的坐标．24．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． ()1当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？()2若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？25．在平面直角坐标系中，直线1y 22x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数21y bx 2x c =++的图象经过点B,C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上.（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD 的面积为S,求S 的最大值；（3）如图2，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由.26．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的关系可以近似地看作一次函数（利润=售价﹣制造成本）．（1）写出每月的利润w （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？（3）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？27．如图，抛物线y=14x 2+ 14x+c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连结AB ，点C （6，152）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D ．（1）求c 的值及直线AC 的函数表达式；（2）点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点．①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长（用含m 的代数式表示）．28．如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y轴交于点C。
2020年浙教新版九年级数学下册《第1章 解直角三角形》单元测试卷题及答案解析
2020年浙教新版九年级数学下册《第1章解直角三角形》单元测试卷题及答案解析一．选择题（共12小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．3．如果∠A为锐角，且sin A＝0.6，那么（）A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°4．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°5．在△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么tan A的值为（）A．B．C．D．6．已知α是锐角，且sinα+cosα＝，则sinα•cosα值为（）A．B．C．D．17．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B＝（）A．B．C．D．8．在△ABC中，∠C＝90°，若，则cos B的值为（）A．B．C．2D．9．sin30°的值等于（）A．B．C．D．10．sin45°的值是（）A．B．C．D．11．下面四个数中，最大的是（）A．B．sin88°C．tan46°D．12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBC＝，则AD的长为（）A ．2B．4C．D．二．填空题（共8小题）13．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB的值是．14．比较下列三角函数值的大小：sin40°sin50°．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tan B＝．16．若sin28°＝cosα，则α＝度．17．2cos30°＝．18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于．19．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．20．如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE＝30°，高DE＝2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是．三．解答题（共8小题）21．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．23．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．25．为了方便居民低碳出行，聊城市公共自行车租赁系统（一期）试运行．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）26．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30米，坝顶宽CD＝10米，求大坝的截面的周长和面积．27．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）28．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）2020年浙教新版九年级数学下册《第1章解直角三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，∴AB＝，A．sin A＝＝＝，故此选项错误；B．cos A＝＝，故此选项错误；C．tan A＝＝，故此选项正确；D．cot A＝＝，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cos A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如果∠A为锐角，且sin A＝0.6，那么（）A．0°＜A≤30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A≤90°【分析】由sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sin A ＝0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．【解答】解：∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sin A ＝0.6，且sinα随α的增大而增大，∴30°＜A＜45°．故选：B．【点评】此题考查了正弦函数的增减性与特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握sinα随α的增大而增大．4．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．5．在△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么tan A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据sin A＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A的值．【解答】解：由sin A＝知，设a＝3x，则c＝5x，结合a2+b2＝c2得b＝4x，可得tan A＝＝＝．故选：A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．6．已知α是锐角，且sinα+cosα＝，则sinα•cosα值为（）A．B．C．D．1【分析】把所求式子化为完全平方的形式，再把sin2α+cos2α＝1代入即可．【解答】解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+2sinαcosα＝（）2＝，∴sinαcosα＝（﹣1）÷2＝．故选：C．【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α＝1来变形求值的．7．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B＝（）A．B．C．D．【分析】现根据∠A的正切值求出b、c之间的关系，然后根据勾股定理求出a，根据正切函数的定义求解．【解答】解：由cos A＝b＝，设b＝3x，则c＝5x．由勾股定理知，a＝4x．∴tan B＝＝．故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，求锐角三角函数值，可用设合适参数，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解．8．在△ABC中，∠C＝90°，若，则cos B的值为（）A．B．C．2D．【分析】在直角三角形中，互余的两个角的正弦和余弦相等，即可求cos B．【解答】解：如右图所示，∠C＝90°，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B＝．故选：A．【点评】本题考查了互余三角函数的关系．知道互余的两个角的正弦和余弦相等．9．sin30°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin30°＝，故选：A．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．10．sin45°的值是（）A ．B．C．D．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：sin45°＝．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．11．下面四个数中，最大的是（）A ．B．sin88°C．tan46°D．【分析】利用计算器求出数值，再计算即可．【解答】解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；B、sin88°≈0.999；C、tan46°≈1.036；D、≈≈0.568．故tan46°最大，故选：C．【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力．12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBC＝，则AD的长为（）A．2B．4C．D．【分析】先由等腰直角三角形的性质得出BC＝AC＝6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD＝AC﹣DC即可求解．【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，∴BC＝AC＝6．在Rt△DBC中，∵∠C＝90°，∴tan∠DBC＝＝，∴DC＝BC＝4，∴AD＝AC﹣DC＝6﹣4＝2．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．二．填空题（共8小题）13．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则cos∠AOB 的值是．【分析】观察图形，可知在直角△COD中，OD＝1，CD ＝2，首先由勾股定理求出OC的值，再根据锐角三角函数的定义求值．【解答】解：∵在直角△COD中，OD＝1，CD＝2，∴OC＝，∴cos∠AOB＝＝．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．14．比较下列三角函数值的大小：sin40°＜sin50°．【分析】根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin50°．【解答】解：∵40°＜50°，∴sin40°＜sin50°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tan B＝．【分析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tan B的值＝∠B的对边与邻边之比．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝不妨设BC＝3x，则AB＝5x，根据勾股定理可得：AC＝＝4x，∴tan B＝＝．故答案为：．【点评】考查求锐角的三角函数值的方法通常为：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．16．若sin28°＝cosα，则α＝62度．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵sin28°＝cosα，∴α＝90°﹣28°＝62°．【点评】掌握互为余角的正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．17．2cos30°＝．【分析】根据cos30°＝，继而代入可得出答案．【解答】解：原式＝．故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则sin∠BOD的值等于．【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．【解答】解：连接AE、EF，如图所示，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴sin∠FAE＝＝，即sin∠BOD＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．19．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）（2+1.6）m．【分析】已知小丽与树之间的距离为6m即AD＝7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD的长度，再由AB＝1.6m可得出树的高度．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2，又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6，所以树的高度为（2+1.6）m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段．20．如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE＝30°，高DE＝2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是（10﹣2）m．【分析】过点B作BF⊥CE于点F，分别根据∠BAE＝30°，斜坡BC的坡度i＝1：5，在Rt△ABF和Rt△BCF中求出AF、CF的长度，然后求出AC的长度．【解答】解：如图，过点B作BF⊥CE于点F，则BF＝DE＝2m，在Rt△ABF中，∵∠BAE＝30°，∴AF＝＝＝2（m），在Rt△BCF中，∵BF：CF＝1：5，∴CF＝5×2＝10，则AC＝CF﹣AF＝（10﹣2）m．故答案为：（10﹣2）m．【点评】本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，注意理解坡度与坡角的定义．三．解答题（共8小题）21．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF ＝AD＝BD•cos∠ADB＝8×＝4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A 不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK＝FK时；②F为顶点，即AF＝FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF＝；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK＝FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN ⊥AF，AN＝NF＝AF＝2cm．在直角△NFK中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，∴KN＝NF•tan∠F＝2cm．∴△AFK的面积＝×AF×KN＝；②当AF＝FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF＝90°，∠F＝30°，∴KP＝KF＝2cm．∴△AFK的面积＝×AF×KP＝12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．23．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝（）2﹣2×﹣×＝3﹣1﹣1＝1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．24．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D．∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3，AD＝AC•cos A＝9，∵cos B＝，∴设BD＝4x，则BC＝5x，由勾股定理得，CD＝3x，由题意的，3x＝3，解得，x＝，∴BD＝4，∴AB＝AD+BD＝9+4．【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．25．为了方便居民低碳出行，聊城市公共自行车租赁系统（一期）试运行．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长；（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．【解答】解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD＝＝＝15（cm）；（2）AE＝AD+CD+EC＝15+30+15＝60（cm），如图②，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，sin∠EAH＝，则EH＝AE•sin∠EAH＝AB•sin75°≈60×0.97＝58.2（cm）．答：点E到AB的距离为58.2 cm．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．26．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30米，坝顶宽CD＝10米，求大坝的截面的周长和面积．【分析】先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．【解答】解：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE＝30m，∴AE＝18米，在RT△ADE中，AD＝＝6米∵背水坡坡比为1：2，∴BF＝60米，在RT△BCF中，BC＝＝30米，∴周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC＝6+10+30+88＝（6+30+98）米，面积＝（10+18+10+60）×30÷2＝1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，面积是1470平方米．【点评】本题考查了坡度和坡比问题，利用三角函数求得梯形的各边，还涉及了勾股定理的应用，解答本题关键是理解坡比所表示的意义．27．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE＝BF＝CH＝10m，根据直角三角形的性质得出DF的长，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC＝BE﹣CE即可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m．在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．28．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.73）【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×0.92＝478.4km，BD＝AB•cos67°＝520×0.38＝197.6km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝197.6×≈113.9km，∴AC＝AD+CD＝478.4+113.9≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．。
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合培优提升训练题2(附答案详解)
16．如图，在平面直角坐标系 中，已知 经过点 、 、 ， ，点 在 轴上，点 在 轴上，点 的坐标为 ，则 的值是_______．
A． 个B． 个C． 个D． 个
10．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB=4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连结AM，则AM∥FB；②连结FE，当F、E、M共线时，AE=4 -4；③连结EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则AE=4 -4；④连结EF，设FC、ED交于点O，若FE平分∠BFC，则O是FC的中点，且AE=2 -2，其中正确的个数有（ ）个．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．10.2B．9.8C．11.2D．10.8
9．如图，在正方形 中， 是 边的中点，将 沿 折叠，使点 落在点 处， 的延长线与 边交于点 .下列四个结论:① ;② ;③ ;④ S正方形ABCD，其中正确结论的个数为（）
29．如图1，芜湖临江桥是一座集合交通、休闲为一体的景观桥梁．桥塔线条流畅、圆润，灵感来源于鱼、米造型，象征着芜湖“鱼米之乡”的历史地位．小华是一个数学爱好者，他打算用学过的知识测量一下桥塔 (如图2)的高度，桥塔不远处有一观光楼 他开始站在观光楼上进行观测，观测时的仰角 为 ，回到观光楼下面进行再次观测，发现角度变化了，仰角 为 若他两次观测的高度相差 米(即 )，试求桥塔的高．(参考数据： 结果保留整数)
A． B． C． D．6
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合培优提升训练题1(附答案详解)
②若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当点C在什么位置时tanα的值最大？
31．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （ ），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．
（3）若⊙O的半径为5，sinA= ，求BH的长．
29．计算： ﹣2tan60°+（ ﹣1）0﹣（ ）﹣1=________．
30．已知点A（3，4），点B为直线x=−1上的动点，设B（－1，y）．
（1）如图①，若△ABO是等腰三角形且AO=AB时，求点B的坐标；
（2）如图②，若点C（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C；
A． cm2B． cm2C． cm2D． cm2
10．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（）
A． B． C． D．
11．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是弧 上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是
19．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，则sinA=________．
20．正六边形的边长为8cm，则它的面积为____cm2．
21．将矩形纸片ABCD（如图）那样折起，使顶点C落在Cꞌ处，测量得AB=4，DE=8,则sin∠CꞌED为________________.
22．如图，点E（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则sin∠OBE=___．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第1章 解直角三角形》单元测试卷(有答案)
2020-2021学年浙教新版九年级下册数学《第1章解直角三角形》单元测试卷一．选择题1．已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．﹣C．D．±2．2cos60°的值等于（）A．B．1C．D．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则tan B的值为（）A．B．C．D．6．锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°7．某次台风来袭时，﹣棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是（）米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）A．9B．10C．11D．128．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．A．4B．4C．2D．69．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（）A．B．C．D．10．如图，商用手扶梯AB的坡比为1：，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为（）A．6米B．6米C．12米D．12米二．填空题11．比较大小：tan30°cos30°（用“＞”或“＜”填空）12．已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为．13．在Rt△ABC中，∠C是直角，sin A＝，则cos B＝．14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为米．15．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为米（结果保留根号）．16．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，坡顶有一旗杆BC，顶端B点与A 点有一条彩带相连，已知CD＝3米，AB＝10米，则旗杆BC的高度为米．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝2，则∠A的大小为（精确到0.1°）．18．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．19．在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD 相交于点E，则∠AED的正切值是．20．设α是锐角，如果tanα＝3，那么cotα＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC．（1）求证：AC＝BD；（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．24．为了让乘客有良好的候车环境，某市在公交站牌旁投放大量（如图①），其结构示意图的侧面如图②所示，其中支柱CD的长为2.1m，且支柱DC垂直于地面DG，顶棚横梁AE长为1.5m，BC为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，要求横梁一端点E在支柱DC的延长线上，此时测量得镶接点B与点E的距离为0.35m．根据以上测量数据，求点A到地面DG的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）．25．计算：﹣tan260°26．为了测量建筑物的高度AB，兴趣小组在C处用高为1.5米的测角仪CD，测得屋顶B 的仰角为45°，再向房屋方向前进15米，又测得房屋的顶端B的仰角为61°，求房屋的高度AB．（参考数据sin61°≈0.67，tan61°≈1.80，结果保留整数）参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵sinαcosα＝，∴2sinα•cosα＝，∴sin2α+cos2α﹣2sinα•cosα＝1﹣，即（sinα﹣cosα）2＝，∵0°＜α＜45°，∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，∴sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝﹣．故选：B．2．解：2cos60°＝2×＝1．故选：B．3．解：由tan∠A＝，得tan∠A＝．故选：D．4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，则tan A＝＝，A选项计算正确；cot A＝＝，B选项计算错误；sin A＝＝，C选项计算错误；cos A＝＝，D选项计算错误；故选：A．5．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴tan A•tan B＝1，∵tan B＝＝，故选：D．6．解：∵，且，∴45°＜α＜60°．故选：B．7．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC＝15°，∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，∵∠ADC＝60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°＝＝＝，∴DE＝2，∵sin60°＝＝＝，∴AE＝2，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝CE＝2，∴sin45°＝＝＝，∴AC＝2，∴AB＝2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．答：这棵大树AB原来的高度是10米．故选：B．8．解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，∴PC＝PA＝3千米，在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，∴PB＝＝＝6千米．故选：D．9．解：过点P作PE⊥x轴于E．∵P（a，3），∴OE＝a，PE＝3，∵tan∠POE＝＝，∴OE＝4，∴OP＝＝＝5，∴cosα＝＝．故选：B．10．解：∵商用手扶梯AB的坡比1：，设AC＝x米，则BC＝x米，∴AB＝＝＝2x＝12，解得：x＝6，∴AC＝6米，故选：A．二．填空题11．解：∵tan30°＝，cos30°，＜，∴tan30°＜cos30°，故答案为：＜．12．解：∵tan60°＝，∴α+15°＝60°，解得：α＝45°，∴tanα＝1，故答案为：1．13．解：在Rt△ABC中，∵∠C是直角，∴cos B＝又∵sin A＝＝，∴cos B＝．故答案为：14．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△PAC中，＝tan∠PAC＝tan60°，∴AC＝PC，在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，∴BC＝PC，∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，∴PC＝100（米），故答案为：100．15．解：根据题意可知：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，∴BD＝AD•tan60°＝9，∴BC＝CD+BD＝3+9＝12（米）．答；该建筑物的高度BC为12米．故答案为：12．16．解：∵斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，CD＝3米，∴AD＝6米，∵AB＝10米，AD＝6米，∴BD＝＝8（米），∴BC＝8﹣3＝5（米），∴旗杆BC的高度为5米．故答案为：5．17．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝2，∵cos A＝＝＝0.917，∴∠A＝23.4°，故答案为：23.4°．18．解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．19．解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，故答案为：．20．解：∵tanα•cotα＝1，tanα＝3，∴cotα＝，故答案为．三．解答题21．解：如图，∵a＝2，sin，∴c＝＝＝6，则b＝＝＝4．22．解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．23．（1）证明：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan B＝cos∠DAC，∴＝，∴BD＝AC；（2）解：设AC＝BD＝x，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣x，∵sin C＝，∴cos C＝，tan C＝，∴＝，＝，即＝，解得：x＝，∴CD＝12﹣x＝，∴AD＝CD＝×＝8，∴△ABC的面积＝BC×AD＝×12×8＝48．24．解：如图②连接EC．根据题意可知：∠EBC＝45°，∠ECB＝30°．过点E作EP⊥BC．∴EP＝BE×sin45°≈0.25m．∴CE＝2EP＝0.5m；过点A作AF⊥DG，过点E作EM⊥AF，∴AM＝AE×sin15°．∴AF＝AM+CE+DC＝AE×sin15°+2BE×sin45°+2.1≈0.39+0.50+2.1＝2.99≈3.0（m）．所以点A到地面的距离是3.0m．25．解：原式＝﹣（）2＝﹣2．26．解：由题意得，四边形DCEF，四边形MAEF都是矩形，所以，AM＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝15米，设BM＝x米，在Rt△BMF中，tan∠BFM＝tan61°＝≈1.80，∴FM＝，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝tan45°＝＝1，∴DM＝BM＝x，∵DM＝DF+FM，∴x＝15+，解得，x＝33.75，∴AB＝AM+BM＝1.5+33.75≈35（米），答：房屋的高度AB约为35米．。
浙教版九年级下册数学第一章 解直角三角形含答案(综合考察)
浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A.1+tan∠ADB=B.2BC=5CFC.∠AEB+22°=∠DEFD.4cos∠AGB=2、如图，在中，，则 sinB 的值为（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC 相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A.2B.2C.3D.44、如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数y= 的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=16，tan∠BAO=2，则k的值为（）A.20B.22C.24D.265、用计算器求sin50°的值，按键顺序是（）A. B. C.D.6、如图，四边形内接于圆，过点作于点，若，，则的长度为( )A. B.6 C. D.不能确定7、在中，，则的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，若∠ACB＝90°，则sinα的值是（）A. B. C. D.9、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是( )A. B. C. D.10、某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=（）A. B.2 C. D.11、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，，则菱形的周长是（）A.10B.20C.40D.2812、sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A.cos28°＜cos58°＜sin58°B.sin58°＜cos28°＜cos58° C.cos58°＜sin58°＜cos28° D.sin58°＜cos58°＜cos28°13、如图，▱ABCD中，AB=14，BC=17，其中一边上的高为15，∠B为锐角，则tanB等于（）A. B. C.15 D. 或1514、在△ABC中，∠C=90°，cos A=，那么sin A的值等于（）A. B. C. D.15、如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C 处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A.20海里B.40海里C. 海里D. 海里二、填空题(共10题，共计30分)16、△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是________ 。
九年级下册数学单元测试卷-第一章 解直角三角形-浙教版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第一章解直角三角形-浙教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=12米，则树的高AB(单位：米)为( )A. B. C.12tan37° D.12sin37°2、如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒。
其中正确的结论个数为( )A.4B.3C.2D.13、2sin60°的值等于（）A.1B.C.D.24、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（）A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.7cotα5、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosB的值为（）A. B. C. D.6、如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D。
若AC=BD=2 ，∠A=30°，则的长度为( )A.πB. πC. πD.2π7、如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE =S△AOF，上述结论中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在y轴上，点D （4，4），cos∠BCD＝，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过平行四边形对角线的交点E，则k的值为（）A.14B.7C.8D.9、如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得 BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30°，则电线杆 AB 的高度为（）A. B. C. D.10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（）A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.tanB=11、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）．A. B. C. D.12、如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF= ，④S△CGE ：S△CAB=1：4．其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④13、如图，是圆的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是（）A. B. C. D. 平分14、△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2,则sinA=（）A. B. C. D.15、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，，则菱形的周长是（）A.10B.20C.40D.28二、填空题(共10题，共计30分)16、20170+2|1﹣sin30°|﹣（）﹣1+ =________．17、如图，以矩形ABCD的对角线AC为一边向左下方作正方形ACEF，延长AB 交EF于点G，若AB=3，BC=4，则EG的长为________.18、如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号）19、计算：=________．20、在中，若，则的度数是________．21、如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为旗杆底部与平面镜的水平距离为若小明的眼睛与地面的距离为则旗杆的高度为________22、等腰三角形腰长为2cm，底边长为cm，则顶角为________，面积为________．23、如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形OABC的顶点A、B的坐标分别为（12，0）、（14，6），将□OABC绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形O ，当点落在BC的延长线上时，线段交BC于点E，则线段的长度为________.24、课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是________米．（结果保留根号）25、如图，在平面直角坐标系中，A（1，），B（2，0），C点在x轴上运动，过点Ｏ作直线AC的垂线，垂足为D.当点C在x轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣127、一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）28、如图，广场上空有一个气球A，地面上B，C，D在同一条直线上，BC=20米，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A 离地面的高度AD（精确到0.1m）.(参考数据sin56°≈0.829；cos56°≈0.559；tan56°≈1.482)29、如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C、楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度.(sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58)30、如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B 处测得山顶A的仰角为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A 到地面BC的高度AC是多少米？参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、C4、C5、D6、B7、C8、B9、B10、A11、A12、A13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合基础测试题1(附答案详解)
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合基础测试题1（附答案详解）1．如图,BC为⊙O的直径,AB=OB.则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（）．A．2 B． C． D．13．若Rt△ABC的各边都扩大4倍，得到Rt△A′B′C′，则锐角∠A、∠A′的正弦值的关系为( )A．sin A′＝sin A B．4sin A′＝sin A C．sin A′＝4sin A D．不能确定4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，那么△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定5．Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=12，则tanB的值是( )A．3B．22C．12D．36．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是( ).A．B．C．D．7．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC 绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）A ．（2，6）或（﹣6，﹣2）B ．（6，2）或（﹣6，﹣2）C ．（﹣2，﹣6）或（6，2）D ．（﹣2，﹣6）或（2，6）8．如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC ，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达B 处，又测得信号塔顶端C 的仰角为45°，CE ⊥AB 于点E ，E 、B 、A 在一条直线上．则信号塔CD 的高度为( )A ．203米B ．(203－8)米C ．(203－28)米D ．(203－20)米9．sin45°的值等于（ ） A ． B ．C ．D ．110．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥于点D ，3BC =，4AC =，设BCD α∠=，则tan α等于（ ）A ．43B ．34C ．35D ．4511．如图所示，某地下车库的人口处有一斜坡AB ，其坡度1:1.5i =，则斜坡AB 的长为________．12．如图，在正方形ABCD 中，43AD =把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接PC ，则三角形PCE 的面积为__________．13．如图已知Rt ABC ∆中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边AC 的长是_________．14．如图，已知矩形ABCD ，AD=9，AB=6，若点G 、H 、M 、N 分别在AB 、CD 、AD 、BC 上，线段MN 与GH 交于点K ．若∠GKM=45°，NM=35，则GH=__．15．如图，对折矩形纸片ABCD 使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，再把纸片展平．E 是AD 上一点，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A ′落在MN 上．若CD ＝5，则BE 的长是_____．16．某人沿斜坡（坡度为i=1：3）前进了10米，则它升高了______米． 17．在Rt △ABC 中，∠C=90°． （1）若sinA=3，则∠A=______，tanA=______； （2）若tanA=3，则∠A=_______，cosA=_________． 18．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=12∠BAC ，tan ∠BPC=_______________.19．在ABC ∆中90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ． （1）若3a =，4b =，则tan A =______； （2）若21b =，29c =，则tan A =______； （3）若2a =，6b =，则tan A =______； （4）若9a =，15c =，则tan A =______； 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点．动点P 从点A 出发，在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向点O 作匀速运动，到达点O 停止运动，点A 关于点P 的对称点为点Q ，以线段PQ 为边向上作正方形PQMN ．设运动时间为t 秒．若正方形PQMN 对角线的交点为T ，请直接写出在运动过程中OT+PT 的最小值____.21．已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ． （I ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，求BD 、CD 的长； （II ）如图②，若∠CAB=60°，求BD 、BC 的长．22．如图，港口A 在观测站C 的正东方向20km 处，某船从港口A 出发，沿东偏北75︒方向匀速航行2小时后到达B 处，此时从观测站C 处测得该船位于北偏东60︒的方向，求该船航行的速度．23．（本题满分10分）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12米的建筑物CD 上的C 处观察，测得某建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°．求建筑物AB 的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．24．如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离28CD =米，某人在河岸MN 的A 处测得45DAN ∠=︒，然后沿河岸走了43米到达B 处，测得64CBN ∠=︒，求河流的宽度CE.（参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.44︒≈，tan64 2.0︒≈）25．（12sin30°+tan60°−cos45°+tan30°． （2） (13)－1＋|13－2sin60°＋(π－2017)08. 26．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T ，大灯照亮地面的宽度BC 的长为56m ． （1）求BT 的长（不考虑其他因素）． （2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s ，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h 的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是149m ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈38，tan22°≈25，sin31°≈1325，tan31°≈35）27．如图，甲、乙两车在行驶、超车过程均近似地看作直线平移，已知甲、乙两车均以20米/秒的速度在右车道匀速行驶，甲车头D与乙车头A之间的距离AD=50米，车宽EC=1.8米，为保证安全，一般车子在行驶过程中与车行道分界线相距0.6米，甲、乙两车行驶路线与CD所在直线平行于道路分界线，现乙车加速，沿路线AB加速行驶到左车道，且∠BAC=1.5o，若B、C、E刚好在同一水平线上．(1)求CD的距离；(2)已知该高速路段限速110km/h，判断乙车在超车过程是否超速？请通过计算说明．(参考数据：tanl.5o≈0.015，sin1.5o≈0.014)28．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB＝16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB＝43，点E、F分别是线段AD、AC上的动点，（点E不与点A，D重合），且∠CEF＝∠ACB．（1）求AC的长和点D的坐标；（2）求证：FE AE EC DC；（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．参考答案1．A 【解析】 【分析】利用圆周角定理得到∠BAC=90°，然后根据正弦的定义求∠C 的度数． 【详解】解：∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC=90°， ∵AB=OB ， ∴BC=2AB ，∴在Rt△ABC 中，sinC=12AB BC ， ∴∠C=30°． 故选：A ． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2．B ． 【解析】试题分析：观察图形得知：∠B=45°，因为45度的正弦值是22，所以sinB 的值为22．故选B ．考点：特殊角的三角函数值． 3．A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理、正弦的定义判断即可． 【详解】Rt △ABC 的各边都扩大4倍,得到Rt △A′B′C′与Rt △ABC 相似， ∴∠A=A′，∴sinA′=sinA，故选：A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义与应用. 4．B【解析】【分析】根据∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，可得出∠A和∠B的度数，继而可得出三角形ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=12，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠A=180°-30°-60°=90°．故△ABC为直角三角形．故选B．5．D【解析】【分析】根据30°的正弦值是12，求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．【详解】解：sinA=12，则∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=60°，∴tanB=tan60°故选：D．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 6．C 【解析】试题分析：由题意可知，三角形ABD ，三角形ACD 和三角形ABC 都是直角三角形，在直角三角形ABD 中，∠B 的正弦等于∠B 的对边AD 比斜边AB ，故A 正确；在直角三角形ABC 中，∠B 的正弦等于∠B 的对边AC 比斜边BC ，故B 正确；又因为∠B=∠DAC ，而sin ∠DAC=,所以sin ∠B=，故D 正确；而AD:AC 是∠DAC 的余弦，也是∠B 的余弦，故结论不正确的是C.选C. 考点：锐角三角函数. 7．C 【解析】 【分析】由A （1，﹣1），B （2，﹣2），可得O 、A 、B 在同一条直线上，且为一、三象限的平分线，△ABC 绕着原点O 旋转75°，可分顺时针和逆时针两种情况讨论，结合三角函数可得B 1 【详解】解：如图由A （1，﹣1），B （2，﹣2），可得直线OA 的解析式为：y=-x ， OB 的解析式为：y=-x ，可得O 、A 、B 三点位于同一直线上，即y=-x ， 且OAB 为第二、四象限的平分线，与x 轴、y 轴的夹角为o 45， 222(2)+-22当△ABC 绕着原点O 旋转75°，当为逆时针旋转时，1OB 与x 轴的夹角为o 30，1B X =o 22cos306，o 122sin302B Y =，此时1B 点坐标为62（，），同理可得当为顺时针旋转时，1OB 与y 轴的夹角为o 30, 可得1B 点坐标为-2-6（，）， 故选C. 【点睛】本题主要考查一次函数与旋转及三角函数的综合，需灵活运用所学知识求解. 8．C 【解析】 【分析】利用30°的正切值即可求得AE 长，进而根据45°角的正切值可求得CE 长．根据△BEC 是等腰直角三角形可知CE=BE ，CE 减去DE 长即为信号塔CD 的高度． 【详解】∵AB=8米，DE=20米，∠A=30°，∠EBC=45°， ∴在Rt △ADE 中，tan30=DE AE =3，解得AE=203米， 在Rt △BCE 中，CE=BE•tan45°=（203-8）×1=203-8（米）， ∴CD=CE-DE=203-8-20=203-28（米）； 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题关键； 9．B 【解析】特殊角的三角函数值。
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合能力达标训练题2(附答案详解)
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合能力达标训练题2（附答案详解）1．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60︒方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15︒方向上，此时轮船与小岛C的距离为（）A．52海里B．6海里C．102海里D．3海里2．如图，已知AE与BF相交于点D，AB⊥AE，垂足为点A，EF⊥AE，垂足为点E，点C在AD上，连接BC，要计算A、B两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，各组分别得到以下数据：甲：AC、∠ACB；乙：EF、DE、AD；丙：AD、DE和∠DCB；丁：CD、∠ABC、∠ADB．其中能求得A、B两地距离的数据有（）A．甲、乙两组B．丙、丁两组C．甲、乙、丙三组D．甲、乙、丁三组3．如图，在菱形ABCD 中，对角线BD=53，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长是( )A．20 B．18 C．16 D．154．如图，一艘快艇从O 港出发，向西北方向行驶到M 处，然后向正东行驶到N 处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O 港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M ，N 之间的距离是（ ）海里A ．752﹣75B ．7575244-C ．752D ．502 5．如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形AB C D '''位置，此时AC '的中点恰好与点D 重合，AB '交CD 于点E .若3AB =，则AEC ∆的面积为（ ）A ．3B ．32C ．23D ．36．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=26°，BC=4．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是( )A ．B ．C ．D ． 7．下列等式不正确的是（ ）A ．3sin 60︒=B ．tan30tan601︒⋅︒=C ．22sin 30cos 301︒+︒=D ．1sin 302=︒ 8．在Rt ABC 中90B =∠，则AB BC等于（ ）A ．tanAB ．cotAC ．sin AD ．cosA 9．已知A ∠为锐角，且2tan 3A =，那么下列判断正确的是（ ） A ．030A <∠<︒B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒10．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C 地测得旗杆顶部A 的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D 点处再测得旗杆顶部A 点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD 坡度i =1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB 所在旗台高度EF 为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB 为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A ．10.2B ．9.8C ．11.2D ．10.8 11．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，30∠=CDB ，O 的半径为3cm ，则弦CD 的长为（ ）A ．32cmB ．3cmC ．23cmD ．6cm 12．如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，则cosB 的值为( )A ．12 B ．22 C 3D ．113．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2016的坐标是______．14．如图，在菱形ABCD 中，E 在BC 上，G 在CD 延长线上，AE 和BG 相交于点M ，若AE ＝BG ，tan ∠BME ＝2，菱形ABCD 面积为3259，则AB 的长_____．15．已知点C 为二次函265y x x =-+数图象上的动点，A 、B 为直线26y x =--上两动点，且2AB =，当ABC 的面积最小时，此时点C 的坐标为____________． 16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512，则sin B 的值为_____． 17．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 与AC 所在的直线相交于点E ，垂足为D ，连接BE ．已知AD=6，cos ∠AED=45，则BE+CE=____________． 18．在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A 、C 两地的距离为_____．19．如图，对折矩形纸片ABCD 使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，再把纸片展平．E 是AD 上一点，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A ′落在MN 上．若CD ＝5，则BE 的长是_____．20．矩形ABCD 中，AB ＝6，以AB 为直径在矩形内作半圆，与DE 相切于点E （如图），延长DE 交BC 于F ，若BF ＝3，则阴影部分的面积为_____．21．如图，点P 是边长为2的正方形ABCD 的对角线BD 上的动点，过点P 分别作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥DC 于点F ，连接AP 并延长，交射线BC 于点H ，交射线DC 于点M ，连接EF 交AH 于点G ，当点P 在BD 上运动时（不包括B 、D 两点），以下结论：①MF =MC ；②AH ⊥EF ；③AP 2=PM •PH ； ④EF 的最小值是2．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）22．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，隔之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失也．”也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积和周长．如图1，若用圆的内接正六边形的面积1S 来近似估计半径为1的⊙O 的面积，再用如图2的圆的内接正十二边形的面积2S 来近似估计半径为1的⊙O 的面积，则21S S -=____．(结果保留根号)23．如图，在△ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．24．在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AB =,3cos 4A =，则AC 的长是__________． 25．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是射线CB 上一动点，以每秒2个单位长度的速度从C 出发向B 运动，以CA ，CD 为边作矩形ACDE ，直线AB 与直线CE 、DE 的交点分别为F ，G ．设点D 运动的时间为t （s ）．（1）BD ＝ （用含t 的代数式表示）．（2）当四边形ACDE 是正方形时，求GF 的长．（3）当t 为何值时，△DFG 为等腰三角形？26．计算：0(1)232tan 60π︒-+-.27．2019年12月17日，我国第一艘国产航母“山东舰”在海南三亚交付海军如图，“山东舰”在一次试水测试中，航行至位于灯塔P 的南偏东30方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正比方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东45方向上的B 处．问B 处距离灯塔P 有多远?（结果精确到0.1海里，2 1.414≈，3 1.732≈）28．先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中a ＝4sin30°+2cos45°•tan45°. 29．（110124520193-︒⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）解方程组：528x y x y =+⎧⎨-=⎩． 30．计算： 1306()0304545tan sin cos tan cos -︒+︒⋅︒-︒+︒31．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC 是可伸缩的，其转动点A 距离地面BD 的高度AE 为3.5m ．当AC 长度为9m ，张角∠CAE 为112°时，求云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF ．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）32．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，9AD =，点E 是边AD 上一点，且3AE =，点F 在边AB 上，过点B 、F 、E 作圆O ，交边BC 或其延长线于G ，连接BE ，GE ，GF ，设BF x =（06x <<）． （1）求tan FGE ∠的值；（2）若BG EG =，求x 的值；（3）若2x =，求弧EF 的长；（4）若圆O 经过矩形的两个顶点时，直接写出x 的值． （注：1sin 193∠︒=，1cos754︒=，1tan 272∠︒=）33．计算：（1）221(1)cos30tan 602⎛⎫-⋅︒-⋅︒ ⎪⎝⎭； （2）4sin603tan302cos45sin 45︒-︒+︒⋅︒.34．计算题：（1）20(2)(3.14)4cos30|212|π--+--+-︒（2）214111x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ 35．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60︒时，箱盖ADE 落在AD E ''的位置（将后备箱放大后如图2所示）．已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米．在图2中求：（1）点D 到BC 的距离（结果保留根号）；（2）E 、E '两点的距离（结果保留根号）．36．（1()034cos45π--︒； （2）解方程：2210x x --=．参考答案1．C【解析】【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．【详解】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝20海里，∠BAH＝30︒，∴∠ABH＝60︒，BH＝12AB＝10（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45︒，BH＝10（海里），∴BH＝CH＝10海里，∴22BH CH+＝2．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．2．D【解析】【分析】分别根据相似三角形的判定和性质以及利用三角函数解直角三角形对四组数据逐一分析即可．【详解】∵已知AC、∠ACB，∴AB ＝AC •tan ∠ACB ，∴甲组符合题意；∵AB ⊥AE ，EF ⊥AE ，∴AE ∥EF ，∴∠A ＝∠E ＝90°，∵∠ADB ＝∠EDF ，∴△DEF ∽△DAB ， ∴DE EF AD AB=， ∴AB ＝AD EF DE ⋅， ∴乙组符合题意；知道AD 、DE 的长， 知道∠DCB 的度数，不能求出AB 的值，∴丙不符合题意；设AC ＝x ，∵AB ＝（x +CD ）•tan ∠ADB ＝tan x ABC ∠， ∴能求出AC 的长，∴AB ＝tan AC ABC∠， ∴丁组符合题意；∴符合题意的是甲、乙、丁组；故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，掌握相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，是解题的关键．3．A【解析】【分析】设AC 与BD 相交于点O ，根据菱形的性质可得AB=AD=BC=CD ，BO=12，BD ⊥AC ，然后利用锐角三角函数即可求出AB ，从而求出菱形的周长．【详解】解：设AC与BD相交于点O∵在菱形ABCD 中，对角线BD=53，∠BAD=120°，∴AB=AD=BC=CD，BO=12BD=53，BD⊥AC∴∠ABD=∠ADB=12（180°－∠BAD）=30°∴在Rt△ABO中，AB=cos BOABD=∠5∴菱形ABCD 的周长是4AB=20故选A．【点睛】此题考查的是菱形的性质和锐角三角函数，掌握菱形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．4．A【解析】【分析】先证出△MON为等腰直角三角形，OM＝ON＝22MN，根据题意可得OM+OM+MN＝75，由此即可求得M，N之间的距离．【详解】如图所示：由题意得：∠NOC＝45°，∠MOD＝45°，∴∠MON＝90°，∵MN ∥x 轴，∴∠MNO ＝∠NOC ＝45°，∠NMO ＝∠MOD ＝45°，∴△MON 为等腰直角三角形，∴OM ＝ON ＝2MN ， ∵OM +OM +MN ＝50×1.5＝75（海里），∴2MN +2MN +MN ＝75，解得：MN ＝（﹣75）海里，即M ，N 之间的距离是（﹣75）海里；故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题意证得△MON 为等腰直角三角形是解决问题的关键．5．D【解析】【分析】先根据旋转的性质和中点得出2AC AD =，然后利用矩形的性质和特殊角的三家函数值得出30DCA ∠=︒，进而可得出30B AC '∠=︒ ，AE EC =，然后解Rt ADC 可得到AD 的长度，然后设AE EC x ==，在Rt ADE 中利用勾股定理即可求出EC 的长度，最后利用12AEC S EC AD =⋅即可求出答案． 【详解】∵AC '的中点恰好与点D 重合，2AC AD '∴= ．由旋转的性质可知，,AC AC CAB C AB '''=∠=∠ ，2AC AD =∴．∵四边形ABCD 是矩形，∴3,//,90DC AB DC AB ADC ==∠=︒ ，DCA CAB C AB ''∴∠=∠=∠ ．在Rt ADC 中，1sin 2AD DCA AC ∠== ， 30DCA ∴∠=︒ ，903060DAC ∴∠=︒-︒=︒，30CAB C AB ''∠=∠=︒，603030B AC DAC C AB '''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，B AC DCA '∴∠=∠，AE EC ∴=．3DC = ，3tan 303AD ∴=︒==． 设AE EC x == ，则3DE x =- ，在Rt ADE 中，222AD DE AE += ，222(3)x x ∴+-= ，解得2x = ，∴EC=2 ，11222AEC S EC AD ∴=⋅=⨯=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握矩形的性质，旋转的性质，特殊角的三角函数值和勾股定理是解题的关键．6．D【解析】【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B=ACBC，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案. 【详解】由题意得：tan∠B=AC BC，∴AC=BC∙tanB=4∙tan26°，故选：D.【点睛】本题主要考查了正切三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键. 7．D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，逐一判断即可.【详解】解：A.sin60︒=，故A选项正确；B.tan30tan601︒⋅︒==故B选项正确；C. 2213sin30cos30144︒+︒=+=,故C正确；D.1sin302︒=，故D错误.故选：D【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 8．B【解析】【分析】根据余切的定义：锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．【详解】∵∠B=90°，∴cot AB A BC=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．9．B 【解析】【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．【详解】解：32133<<， 由正切函数随锐角的增大而增大，得tan30°＜tanA ＜tan45°，即30°＜A ＜45°，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．10．B【解析】【分析】如图，作DH FC ⊥交FC 的延长线于H ，延长AB 交CF 的延长线于T ，作DJ AT ⊥于J ．设AT TC x ==，在Rt ADJ ∆中，根据tan AJ ADJ DJ∠=，构造方程解决问题即可． 【详解】 解：如图，作DH ⊥FC 交FC 的延长线于H ，延长AB 交CF 的延长线于T ，作DJ ⊥AT 于J ．由题意四边形EFTB 四边形DHTJ 是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，DHCH=12.4，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ=AJDJ=0.75，∴12.4xx-+=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．11．B【解析】【分析】根据圆周角定理即可求出∠COB=60°，在Rt△COE中，已知OC的长，再结合∠COB=60°，可求出CE的长，由垂径定理知CD=2CE，即可得出CD的长．【详解】∵∠CDB=30，∴∠COB=60°，∵，∵CD AB⊥∴在Rt△COE中，，∴32cm ==，∴CD=3cm，故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理和解直角三角形的应用，关键在于求出∠COB的度数．12．B【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义求解即可.【详解】∵AC=2，BC=2，∴∴2.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理，以及锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.13．（1009，【解析】【分析】根据题意得出直线OB 1的解析式为y=3x ，进而得出O ，B 1，B 2，B 3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B 1向x 轴作垂线B 1C ，垂足为C ，由题意可得：A （1，0），AO ∥A 1B 1，∠B 1OC ＝30°，∴CB 1＝OB 1cos30°＝32， ∴B 1的横坐标为：12，则B 1的纵坐标为：3， ∴点B 1，B 2，B 3，…都在直线y ＝3x 上，∴B 1（12，3）， 同理可得出：A 的横坐标为：1，∴y ＝3，∴A 2（2，3），…A n （1+2n ，32n ）． ∴A 2016（1009，10083），故答案为：（1009，10083）【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．14．45【解析】【分析】作BK⊥CD于K，作EN⊥AD于N，作DH⊥BC于H；根据全等三角形的性质得到∠EAN ＝∠G，设DH＝2k，CH＝k，由勾股定理得到CD＝5k，于是得到结论．【详解】解：作BK⊥CD于K，作EN⊥AD于N，作DH⊥BC于H；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AD•EN＝CD•BK，∴BK＝EN，在Rt△AEN和Rt△BGK中，AE BG EN BK=⎧⎨=⎩，∴Rt△AEN≌Rt△BGK（HL），∴∠EAN＝∠G，∵∠AFM＝∠GFD，∴∠BME＝∠AFM＝∠ADK＝∠C，∴tan∠C＝tan∠BME＝2，设DH＝2k，CH＝k，则CD5，根据题意得：菱形ABCD5k•2k 325，解得：k ＝43， ∴AB ＝CD ＝45； 故答案为：45． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 15．（2，-3）【解析】【分析】根据△ABC 的底边AB 长度为2，是定值，因此当AB 边上的高最小时，△ABC 的面积最小．如图所示，由点C 向直线y=-2x-6作垂线，利用三角函数求出高CE 的表达式，根据表达式确定点C 的坐标．【详解】设直线y=-2x-6与x 轴，y 轴分别交于点M ，点N ，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-3∴M （-3，0），N （0，-6），∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：35MN =15tan ,sin 2OM OM MNO MNO ON MN ∴∠==∠== 设点C 坐标为（x ，y ），过点C作CD⊥y轴于点D，则CD=x，DN=6+y．过点C作直线y=-2x-6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，在Rt△CDF中，1tan tan,2DF CD DCF CD MNO x=∠=⋅∠=152sin sin25xDF DFCF xDCF MNO====∠∠162FN DN DF y x∴=-=+-在Rt△EFN中，51sin652EF FN MNO y x⎛⎫=⋅∠=+-⎪⎝⎭5516252CE CF EF x y x⎛⎫∴=+=++-⎪⎝⎭∵C（x，y）在抛物线上，∴y=x2-6x+5，代入上式整理得：)2255754112)CE x x x=-+=-∴当x=2时，CE75当x=2时，y=x2-6x+5=-3，∴C（2，-3）．△ABC 的最小面积为：117575222AB CE ⋅=⨯⨯= ∴当C 点坐标为（2，-3）时，△ABC 的面积最小故答案为：（2，-3）【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、解直角三角形等知识点，确定高CE 的表达式是解题的关键，属于中考填空题中的压轴题．16．1213 【解析】【分析】根据∠A 的正切值，设两直角边分别为5k ，12k ，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B 的正弦值即可求出．【详解】解：如图，∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512， ∴设AC ＝12k ，BC ＝5k ，则AB 22(12)(5)k k +＝13k ，∴sin B ＝AC AB ＝12k 13k ＝1213． 故答案为：1213． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理．17．12或32【解析】【分析】本题有两种情形，需要分类讨论．首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE＝BE，又由三角函数的定义以及勾股定理，求得AE和CE的长，进而求得答案．【详解】解：①若∠BAC为锐角，如图1所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE＝BE，ED⊥AB，AD＝12 AB，∵AD＝6，∴AC=AB=2AD=12，∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝AB＝12；②若∠BAC为钝角，如图2所示：∵AB的垂直平分线是DE，∴AE＝BE，ED⊥AB，AD＝12 AB，∵AD＝6，cos∠AED=45，∴cos∠AED=45 DEAE，设DE=4x，AE=5x，∴在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即62+(4x)2=(5x)2，解得x=2或x=-2（舍去），∴AE=10，∵AC=AB=2AD=12，∴CE=AC+AE=12+10=22，∴BE＋CE＝AE＋CE＝10+22=32；故答案为：12或32．【点睛】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．18．103km【解析】【分析】根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据正弦定义求得AC的长．【详解】解：如图由题意可知，AB＝5km，∠2＝30°，∠EAB＝60°，∠3＝30°．∵EF∥PQ，∴∠1＝∠EAB＝60°又∵∠2＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4＝∠2＝30°．∴∠ACB＝∠4+∠3＝30°+30°＝60°．∴AC ＝sin 3ACB ==∠km ．． 【点睛】本题考查了方向角在实际生活中的运用，解答关键是根据题意画出图形找到图中的直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答问题．19 【解析】【分析】在Rt △A'BM 中，利用轴对称的性质与锐角三角函数求出∠BA′M=30°，再证明∠ABE=30°即可解决问题．【详解】解：∵将矩形纸片ABCD 对折一次，使边AD 与BC 重合，得到折痕MN ，∴AB=2BM ，∠A′MB=90°，MN ∥BC ．∵将△ABE 沿BE 折叠，使点A 的对应点A′落在MN 上．∴A′B=AB=2BM ．在Rt △A′MB 中，∵∠A′MB=90°，∴sin ∠MA′B= BM BA '＝12， ∴∠MA′B=30°，∵MN ∥BC ，∴∠CBA′=∠MA′B=30°，∵∠ABC=90°， ∴∠ABA′=60°，∴∠ABE=∠EBA′=30°，5,AB CD ==cos303BE ∴===︒． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．20．﹣3π【解析】【分析】连接OF 、OE 、OD ，如图，在Rt △OBF 中利用三角函数的定义求出∠OFB=60°，再利用切线的性质和切线长定理得到∠OFE=∠OFB=60°，OE ⊥DF ，所以∠BFE=120°，则∠ADE=60°，同样可得∠ADO=∠EDO=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出S △ADO=2；接着计算出∠AOE=120°，于是得到S 扇形AO =3π，然后利用阴影部分的面积=四边形AOED 的面积-扇形AOE 的面积进行计算即可．【详解】解：连接OF 、OE 、OD ，如图，在Rt △OBF 中，∵tan ∠OFB ＝OB BF∴∠OFB ＝60°，∵BF ⊥AB ，∴BF 为切线，∵DF 为切线，∴∠OFE ＝∠OFB ＝60°，OE ⊥DF ，∴∠BFE ＝120°，∵BC ∥AD ，∴∠ADE ＝60°，∵AD ⊥AB ，∴AD 为切线， 而DE 为切线， ∴∠ADO ＝∠EDO ＝30°，在Rt △AOD 中，AD ＝3OA ＝33，∴S △ADO ＝12×3×33＝93； ∵∠AOE ＝180°﹣∠ADE ＝120°，∴S 扇形AOE ＝21203360π⋅⋅＝3π， ∴阴影部分的面积＝四边形AOED 的面积﹣扇形AOE 的面积＝2×93﹣3π＝93﹣3π． 故答案为93﹣3π．【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、扇形面积的计算、三角函数的定义，正确作辅助线是解题的关键．21．②③④【解析】【分析】①可用特殊值法证明，当P 为BD 的中点时，0MC =，可见MF MC ≠.②可连接PC ，交EF 于点O ，先根据SAS 证明ADP CDP ≅，得到DAP DCP ∠=∠，根据矩形的性质可得DCP CFE ∠=∠，故DAP CFE ∠=∠，又因为90DAP AMD ∠+∠=︒，故90CFE AMD ∠+∠=︒，故AH EF ⊥.③先证明CPMHPC ，得到PC PM HP PC=，再根据ADP CDP ≅，得到AP PC =，代换可得.④根据EF PC AP ==，可知当AP 取最小值时，EF 也取最小值，根据点到直线的距离也就是垂线段最短可得，当AP BD ⊥时，EF 取最小值，再通过计算可得.【详解】解：①错误.当P 为BD 的中点时，0MC =，可见MF MC ≠；②正确.如图，连接PC ，交EF 于点O ，45AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADP CDP SAS ≅∴DAP DCP ∠=∠，PF CD ⊥，PE BC ⊥，90BCD ∠=︒，∴四边形PECF 为矩形，∴OF OC =，∴DCP CFE ∠=∠，∴DAP CFE ∠=∠，90DAP AMD ∠+∠=︒，∴90CFE AMD ∠+∠=︒，∴90FGM ∠=︒，∴AH EF ⊥.③正确.//AD BH ，∴H DAP ∠=∠，ADP CDP ≅，∴DAP DCP ∠=∠，∴H DCP ∠=∠， 又CPH MPC ∠=∠，∴CPM HPC ， ∴PC PM HP PC=， AP PC =，∴AP PM HP AP=， ∴2AP PM PH =.④正确.()ADP CDP SAS ≅且四边形PECF 为矩形，∴EF PC AP ==，∴当AP BD ⊥时，EF 取最小值，此时sin 4522AP AB =︒=⨯=故EF .故答案为：②③④.【点睛】本题是动点问题，综合考查了矩形、正方形的性质，全等三角形与相似三角形的性质与判定，线段的最值问题等，合理作出辅助线，熟练掌握各个相关知识点是解答关键.22．3- 【解析】【分析】根据正多边形的性质分别求出S 1，S 2即可解决问题．【详解】解：如图1,过点O 作OE⊥AB 于点E.如图2，过点D 作DF⊥OC.如图1，由题意,知三角形ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=1,AE=BE=123.∴S1=6×132×33如图2，由题意，知∠COD=30°，CO=OD=1,则FD=12DO=12.S2=12×12×1×12=3.∴S2-S133．故答案为：33【点睛】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．332．【解析】【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．【详解】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，333∴EH=DE×sin∠HDE=3×33∴E到直线BD33【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．24．6【解析】【分析】根据∠A的余弦值列出比例式即可求出AC的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，3cos 4AC A AB ==，8AB = ∴AC=338644AB =⨯= 故答案为6．【点睛】此题考查是已知一个角的余弦值，求直角三角形的边长，掌握余弦的定义是解决此题的关键． 25．（1）6﹣2t 或2t ﹣6；（2）16021；（3）满足条件的t 的值为2或147． 【解析】【分析】（1）分两种情形分别求解即可．（2）构建方程求出t 的值，再利用平行线分线段成比例定理求出DG ，BG ，AG 即可解决问题．（3）分两种情形：如图2中，当GF DG =时，如图3中，当DG DF =时分别构建方程求解即可．【详解】解：（1）由题意：当03t <时，62BDCB CD t ， 当3t >时，26BD t 故答案为62t -或26t -．（2）如图1中，当四边形ACDE 是正方形，CD AC =，可得28t =，4t ∴=，8CD ∴=，862BD CD BC ，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，22228610AB AC BC ∴=+=+=，//DG AC ， ∴DG DB BG AC BC AB ， ∴28610DG BG ， 83DG ，103BG =， 323EG ∴=，403AG ， //AC EG ， ∴324383FG EG AF AC ， 4160721FG AG ． （3）如图2中，当GF DG =时，//DG AC ， ∴DG BD BG AC BC BA ， 628610DG t BG ， 4(62)3DG t ，5(62)3BG t ， //AE BC ， ∴AE AF BC BF =， ∴26t AF BF ， ∴22610t AF t ， 103t AFt ， 51010(62)33t FGt t ， ∴4510(62)10(62)333t t t t ， 解得2t =或2-（舍弃），如图3中，当DG DF =时，过点D 作DH AG ⊥于H ．DG DF ，DH FG ⊥， GH FH ， 4cos cos 5GHG BAC GD ， //DG AC ， ∴DGBD BG AC BC BA ， 268610DG t BG ， 4(26)3DG t ，5(26)3BG t ， //AE BC ， ∴AE AF BC BF =， ∴26t AF BF ， ∴22610t AF t ， 103t AFt ， 510(26)(10)33t FG t t ， ∴1510[(26)(10)]423345(26)3t t t t ， 解得1214t 或12147-综上所述，满足条件的t的值为2或1214．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，等腰三角形的判定，解分式方程，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．26．1.【解析】【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值、实数的混合运算即可解答.【详解】解：原式12323=+-⨯=1.【点睛】本题考查实数的运算，突破此类问题的关键是熟练掌握实数的运算及大小比较.错因分析：1.对实数的运算掌握不牢固；2对特殊角的三角函数值记忆不准确，属于容易题. 27．B处距离灯塔P约70.7海里【解析】【分析】作PD⊥AB于点D，由PA＝100，∠APD＝60°，∠BPD＝45°，知∠A＝30°，从而得PD＝50，再由BD＝PD＝50即可求得PB．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，依题意可知，PA ＝100，∠APD ＝60°，∠BPD ＝45°，∴∠A ＝30°，∴PD ＝50，在△PBD 中，BD ＝PD ＝50，∴PB ＝sin 45BD =50≈70.7， 答：B 处距离灯塔P 约70.7海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造出直角三角形是解题关键．28．2a a -+1. 【解析】【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案.【详解】解：原式＝()()21212a a a a a --⨯-- ＝2a a -， ∵a ＝4sin30°+2cos45°•tan45°＝4×12+2×2×1＝，∴把a ＝. 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，掌握分式的化简求值、特殊角的三角函数值是解题的关键. 29．（1）﹣1；（2）32x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】（13+1，再进行计算即可得到答案；（2）用代入消元法进行计算即可得到答案. 【详解】（1114520193-︒⎛⎫-+⎪⎝⎭2﹣3+1=1﹣3+1=﹣1，（2）528x yx y=+⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：2（y+5）﹣y=8，解得：y=﹣2，把y=﹣2代入①得：x=﹣2+5=3，即原方程组的解为：32xy=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查三角函数、负指数幂、零指数幂和解二元一次方程组，解题的关键是掌握三角函数、负指数幂、零指数幂和解二元一次方程组的计算.30．134-+【解析】【分析】将特殊三角函数值代入运用实数的运算法则计算即可．【详解】解：原式=1 333213222-⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭=3312 34+-+=312 34-+【点睛】本题考查特殊三角函数值的相关计算，掌握特殊三角函数值以及负整数指数幂计算是解题关键．31．CF≈6.8m．【解析】【分析】如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝28°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可．【详解】如图，作AG⊥CF于点G，∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°，∴四边形AEFG为矩形，∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝112°﹣90°＝22°，在Rt△ACG中，sin∠CAG＝CG AC，∴CG＝AC•sin∠CAG＝9sin22°≈9×0.37＝3.33m，∴CF＝CG+GF＝3.33+3.5≈6.8m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算． 32．（1）12 ；（2）154 ；（3）354π ；（4）3或32 【解析】【分析】（1）由题意得∠FGE=∠ABE ，根据锐角三角函数的定义可得出结论；（2）连接EF ，OE ，证明Rt △BFG ≌Rt △EFG （HL ），得出BF=EF ，由勾股定理得出x 2=（6-x ）2+32，解得154x =． （3）证明△ABE ∽△EGF ，得出AE BE EF GF=，求出GF ，EG ，由锐角三角函数可求出∠FGE ，由弧长公式可得出答案； （4）分两种情况：①若圆O 经过矩形的顶点C 时，②若圆O 经过矩形的顶点D 时，过点G 作GM ⊥AD ，垂足M 落在AD 的延长线，由勾股定理可求出答案．【详解】（1）EF EF =∴FGE ABE ∠=∠，∵31tan 62AE ABE AB ∠===， ∴1tan tan 2FGE ABE ∠=∠= （2）连接EF ，OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ABC ∠=∠=︒，∴FG 是圆O 的直径，∴90FEG ∠=︒，在Rt BFG 和Rt EFG 中，BG EG =，FG FG =，∴BFG EFG ≌，∴EF BF =在Rt △AEF 中，∵EF 2=AE 2+AF 2，∴x 2=（6-x ）2+32， 解得154x = （3）∵BF=2，∴AF=AB-BF=6-2=4，∵AE=3，∴5EF ==，∵6AB =，∴BE ===∵90FEG A ∠=∠=，FGE ABE ∠=∠，∴ABE EGF ∽△△ ∴AE BE EF GF=，∴EF BE GF AE ⋅== ∴10EG = ∴51tan 102EF FGE EG ∠=== ∴27FGE ∠=︒∴54FOE ∠=︒∴弧EF 的长54180π== （4）3或32①若圆O 经过矩形的顶点C 时，∵6DE =，6CD =，∴62CE =，∵1tan 2EF ECF CE ∠==， ∴32EF = 又∵222AF AE EF +=，∴3AF =，∴3BF x ==②若圆O 经过矩形的顶点D 时，过G 作GM AD ⊥，垂足M 落在AD 的延长线上，易得四边形CGMD 是矩形，四边形ABGM 是矩形，过O 作ON AM ⊥于N ，延长NO 交BG 于Q ，∴EN DN =，AN MN =，∴3DM AE ==∴222296117313EG ME MG ++=，∴313EF =∵222AF AE EF +=， ∴92AF =， ∴32BF x ==． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，弧长公式，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确进行分类是解题的关键．33．（1（21 【解析】【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘方再算乘除后算加减的运算法则计算即可. （2）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘除后算加减的运算法则计算即可.【详解】解：（1）原式14-=4=.（2）原式4322322=⨯-⨯+⨯⨯1=.【点睛】本题考查了有关特殊的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.34．（1）3,4-（2）1.2x -+ 【解析】【分析】(1)根据011,(0)-==≠p pa a a a 及三角函数值和绝对值即可求解； (2)先因式分解，再根据分式的加减乘除运算规则求解即可.【详解】解：(1)原式=1=14242+-⨯+ 524=- 34=- 故答案为：34-. (2)原式=11111(2)(2)-⎛⎫-⨯ ⎪--⎝⎭-+-x x x x x x =21(2)1)(2⎛⎫⨯ ⎪--⎝⎭+--x x x x x 1(2)=-+x . 故答案为：1(2)-+x . 【点睛】 本题考查了实数的运算，分式的加减乘除混合运算，记住常见的三角函数值及公式是解决此类题的关键.35．（1）()70厘米；（2）【解析】【分析】（1）过点D′作D′H ⊥BC ，垂足为点H ，交AD 于点F ，利用旋转的性质可得出AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°，在Rt △AD′F 中，通过解直角三角形可求出D′F 的长，结合FH=DC=DE+CE 及D′H=D′F+FH 可求出点D′到BC 的距离；（2）连接AE ，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE ′=AE ，∠EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′=AE ，在Rt △ADE 中，利用勾股定理可求出AE 的长度，结合EE′=AE 可得出E 、E′两点的距离．【详解】解：（1）过点D 作D H BC '⊥，垂足为点H ，交AD 于点F ．由题意得90'==AD AD （厘米），60DAD '∠=︒．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，90AFD BHD ''∠=∠=︒．在Rt AD F '∆中，sin 90sin 60453'''︒⋅=∠=⋅=D F AD DAD又∵40CE =，30DE =，∴70=FH ．∴(45370)''=+=+D H D F FH （厘米）答：点D 到BC 的距离是()45370+（厘米）．（2）连结AE 、AE '、EE '．由题意得AE AE '=，60EAE '∠=︒．∴AEE '∆是等边三角形．∴EE AE '=．∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADE ∠=︒．在Rt ADE ∆中，90AD =，30DE =，∴222290303010=+=+=AE AD DE答：E 、E '两点的距离是3010【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F 的长度；（2）利用勾股定理求出AE 的长度． 36．（1）-1；（2） 121x =，221x =-【解析】【分析】（1）实数的混合运算，先化简二次根式，零指数幂和三角函数，然后做乘法，最后做加减； （2）用配方法解一元二次方程．【详解】解：（1()0834cos45π--︒=2214-=22122-=1-（2）2210x x --=221x x -=22+11+1x x -=2(1)2x -=12x -=±∴121x =，221x =-【点睛】本题考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键．。