2015年虹口区高三一模数学试卷(理科)WORD版
高三数学答案(15.12.24)
C 1B 1A 1QPCBA（第19题图）虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2016年1月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．2log 1(0)x x -> 2．[]0,2 3. 2 4．285． 13 6. 80 7. 2213y x -= 8． 8 9. 12 10． 8π 11．509112. 14n -13．63 14．()1,12,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. B 16. A 17. B 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 解：（1）1111122=23=210+31020600)ABC ABC A B C ABB A S S S cm ∆-+⨯⨯=+正三棱柱侧矩形 ……(3分)111231=1020)ABC ABC A B C V S AA cm -∆⋅⨯=正三棱柱……(6分)（2）连结11,,BA BC 则1//,BC PQ 又11//,A C AC故11BC A ∠等于异面直线PQ AC 与所成角. ……(8分)易得111110BC BA AC ===而，故222111111111cos 2BC A C BA BC A BC A C +-∠==⋅⋅于是异面直线PQ AC 与所成角的大小为arc ……(12分) 20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由AB AC S ⋅=得 1cos sin 2c b A c b A ⋅⋅=⋅⋅⋅tan 2,0,.2A A π⎛⎫⇒=∈ ⎪⎝⎭于是 ……(4分)进而求得4sin ,cos tan 2.3A A A ===- ……(7分)（2）66, 6.CA CB BA c-===由得即……(9分)6sinsin sin sin()b c c BbB C A B=⇒===+由正弦定理，有 (12))11sin612.22S bc A=⋅=⋅=于是……(14分)21．(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）因为()11()()1,1f x f x xx==≠-故[]()2111()()10,1,111f x f f x x xxx===-≠≠--[][]32431()()(0,1),11(1)1()()(0,1),(3)1f x f f x x x xxf x f f x x xx===≠≠--==≠≠-分故对任意的3,()()(2,3,4),n i in N f x f x i+∈==有于是20153671221()()()1(0,1);f x f x f x x xx⨯+===-≠≠201510,1()()1.x x g x f xx>≠==-故当时，1(1)0,0()1.g x g xx=>=-又故当时，由()g x为偶函数，1100,()()11.x x g x g xx x<->=-=-=+-当时，11,0,1()1110.xxg xxxx⎧+<⎪⎪==-⎨⎪->⎪⎩，因此.……(6分)(2) 由于()y g x=的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞又,,a b mb ma a b<<可知与同号，0m<且;进而[](),g x a b在递减,且0.a b<<……(8分)函数()y g x=的图像，如图所示.由题意，有1()1,1()1,g a maag b mbb⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩……(10分)故,a b 是方程11m x x+=的两个不相等的负实数根，即方程210m x x --=在(),0-∞上有 两个不相等的实根，于是140101010.4m a b m ab m m ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=<⎨⎪⎪=->⎪⎩⇔-<< ……(12分) 综合上述，得：实数m 的取值范围为1,0.4⎛⎫-⎪⎝⎭……(14分) 注：若采用数形结合，得出直线y m x =与曲线11(0)y x x=+<有两个不同交点，并进行求解也可.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分. 解：（1）当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a = 当3n =时，由33323233,S a a +=+=得33;a =当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a =猜想：23().n a n n N *=-∈ ……(3分) 下面用数学归纳法证明：① 当2n =时， 21,a =结论显然成立；② 假设当2n k =≥时，2 3.k a k =-由条件知2,n n S na n =-故[]1111222(1)(1)()(1)1,k k k k k k k a S S k a k ka k k a ka ++++=-=+-+--=+--于是11(1)1(23)1(1)(21),2(1) 3.k k k k a ka k k k k a k ++-=+=-+=--=+-从而故数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈ ……(6分)另解（1）：当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a =当3n =时，由33323233,S a a +=+=得3 3.a =当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a = ……(2分) 当3n ≥时，由条件知2,n n S na n =-故()[]111222(1)(1)(1)1,n n n n n n n a S S na n n a n na n a ---=-=-----=---于是1111(2)(1)1,1221n n n n a a n a n a n n n n -----=⇒-=----- ……(4分) 112322()()()1122321111111111111()()()()()212233432211n n n n n a a a a a a aa n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-----=+-+-+-++-+-=------从而故23(3).n a n n =-≥ 于是数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈……(6分)证：（2）当1n =时， 11231,b a =+=当2n ≥时，由条件得[][]()()123112311111(21)35(23)(21)35(23)23232(23)2(25)2(8(1)2)n n n n n n n n n n n n b b b b n b n b b b b n b a a n n n -------=++++-+--++++-=⋅+-+=---=-分从而12.n n b -= 故数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)解：（3）由题意，得1112212221111111(223)(221)(221)(227)(225)2(223)(225)(12)34224n n n n n n n n n n n n nnn c a a a a ---++------+=++++=⋅-+⋅-+⋅+++⋅-+⋅-⎡⎤⋅⋅-+⋅-⎣⎦==⋅-分22311223(444)(222)434(41)2(21)442344 (14)121n n n n n n n n T c c c +=+++=+++++++-⋅-=⋅-=-⋅+--故分从而 11lim lim 143 1.424n nn n nn T →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ……(16分)注：在解答第（3）小题时，可直接求出n T .23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.解：（1）由题意，得22222,,,b c b b c a =⎧⎪=⎨⎪+=⎩ ……(2分)2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩解得 故椭圆C 的方程为22 1.4x y += ……(4分) （2）设00(,),M x y 则由条件，知000000,0,(,),(,0).x y N x y H x >>--且 从而000(0,),(,).HM y HN x y ==--于是由20000001(0,)(,),0,22HM HN y x y y y y ⋅=⋅--=-=->=及得 再由点M 在椭圆C上，得220001,4x y x +==求得所以),(),0);M N H ……(6分) 进而求得直线NH 的方程:40.x y -=由2240,1,4x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩J 求得 ……(8分)进而NJ NJ =线段的中点坐标为 因此以线段NJ为直径的圆的方程为：22153((.50x y +=……(10分) （3）当直线1l 的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意；当直线1l的斜率为0时，可以求得PQR S ∆= ……(12分)当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为1(0),y k x k =-≠则点O 到直线1l的距离为d =从而由几何意义，得PQ ==由于21,l l ⊥故直线2l 的方程为11,y x k=--可求得它与椭圆C 的交点R 的坐标为22284,;44k k k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭于是AR =12PQRS PQ AR ∆⋅==故 ……(15分)u =令则232321313PQR u u u uS ∆=≤++=当且仅当u k =>=即时，上式取等号.>故当k =时，()max PQR S ∆=此时直线1l 的方程为：1.y x =-（也可写成220.y ++=） ……(18分)。
上海市虹口区2015年高三(二模)数学(理科)及答案
虹口区2015年数学学科（理科）高考练习卷时间120分钟，满分150分 2015.4.21一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、计算：20151+1i i=+_________.（i 是虚数单位）2、已知函数()()()132,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()()3f f -=_________.3、函数()()1ln 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数()1f x -=_______.4、已知正实数,x y 满足31x y +=，则13xx y+的最小值为___________. 5、已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =θ为钝角时，tan θ=_______. 6、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_________种.7、设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13N n n a S n +=∈，则n S =_________.8、在极坐标系中，过点4π⎫⎪⎭且与圆2cos ρθ=相切的直线的方程为_______________.9、若二项式6x ⎛- ⎝展开式中含2x 项的系数为52，则()2lim 1n n a a a →∞++++=__________.10、若行列式()51sin 0cos 24x x ππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1行第2列的元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为___________.11、如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆ 为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.12、随机变量ξ的分布列为其中,,a b c 成等差数列，若13E ξ=，则D ξ=_________. 13、已知向量,a b ，满足2a b a b ==⋅=，且()()0a c b c -⋅-=，则2b c -的最小值为_______. 14、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________.二、选择题（本题共4题，满分20分）15.设全集R U =，已知2302x A xx ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<，则()U A B =（ ）A. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (]1,2-C. (]2,3D. [)2,316.设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件D.必要不充分条件17.如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分 18.已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点， O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ） A.3 B.4C.6D.9三、解答题（本大题共5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共2小题，第1小题5分，第2小题7分. 已知函数()log a f x b x =+（0a >且1a ≠）的图像经过点()8,2和()1,1-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()21g x f x f x =+-，求()g x 的最小值及取最小值时x 的值.20.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.βαPB ADC在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，且90BAD ADC ∠=∠=，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，PD =（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ； （2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.21.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，经过村庄A 有两条夹角60为的公路,AB AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）.记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？ABCQPD MA MBPNC22.（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第2小题6分. 已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题6分，第2小题6分. 已知数列{}n a 满足：121a a ==，且()*22N n n n a a n +-=∈，设3n n b a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列{}n b 中，一定存在正整数(),1k l k l <<，使得1,,k l b b b 构成等比数列；并求出,k l 之间的关系.虹口区2015年数学学科（理科）高考练习卷答案（仅供参考）一．填空题 1. i -； 2. 12； 3. 11()(0)1x f x x e -=>-； 4. 7； 5. 1-； 6. 10； 7. 4n； 8. 1y =； 9. 23； 10. {|2,}x x k k Z ππ=+∈11.1； 12.59；13. 1；14. 6；二．选择题15. B ； 16. C ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题19.（1）2()1log f x x =-+；（2）1x =，()1g x =； 20.（1）联结PC ，证明略；（2）3π； 21.（1）AN θ=；)AM θ=︒-；（2）2AM AN ==，AP =22.（1）2212x y +=；（2）14；（3）(0,1)；23.（1）1(21)31(21)3nn n n a n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，为奇数，为偶数；（2）23b =，39b =，415b =成等差数列；（3）略。
2015虹口二模Word版 上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案
2015虹口二模Word版上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案虹口区2015年数学学科（理科）高考练卷时间120分钟，满分150分。
2015年4月21日。
一、填空题（本大题满分56分）1.计算：$\frac{1+i}{1+i^2}$ = $\frac{1+i}{1-1}$ = $-i$2.已知函数$f(x)$ = $\begin{cases}2x。
(x\leq 1) \\ x。
(x>1)\end{cases}$，则$f(f(-3))$ = $f(2)$ = 43.函数$f(x)$ = $ln(\frac{1}{x}+1)$，则$f^{-1}(x)$ = $\frac{1}{1+e^{-x}}$4.已知正实数$x,y$满足$x+3y=1$，则$\frac{13x}{xy}$的最小值为$\frac{13}{9}$5.已知复数$z$ = $3sin\theta+icos\theta$，且$z$ = 5，且当$\theta$为钝角时，$tan\theta$ = $-\frac{4}{3}$6.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，XXX同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么XXX同学的选科方案有20种。
7.设数列$\{a_n\}$前$n$项的和为$S_n$，若$a_1$ = 4，且$a_{n+1}$ = $3S_n$，则$S_n$ = $\frac{4(3^n-1)}{2}$8.在极坐标系中，过点$(2,\frac{\pi}{4})$且与圆$\rho$ = $2cos\theta$相切的直线的方程为$y=x\sqrt{2}$9.若二项式$(x-\frac{3}{2})^6$展开式中含$x^2$项的系数为20，则$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x(1+a+a^2+。
上海市虹口区复兴高中2015届高三数学上学期摸底试卷(含解析)
上海市虹口区复兴高中2015届高三上学期摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1. （4分）不等式’|的解集是.K+4 '2. （4分）在厶ABC中，角A, B, C满足si nA : si nB : si nC=1 : 2： . _，则最大的角等于.3. （4分）若复数z满足z=i （2 - z）（i是虚数单位），则|z|=.4. （4 分）已知全集U=R 集合A=｛x|x+a >0, x€ R｝, B=｛x||x - 1| < 3, x € R｝.若（？U A） n B=[-2, 4]，则实数a的取值范围是.5. （4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为6. （4分）设直线I仁ax+2y=0的方向向量是，[，直线l 2：x+ （a+1）y+4=0的法向量是：.,若与.平行，则a=.7. （4分）若圆锥的侧面积为3n,底面积为n,则该圆锥的体积为.X 1& （4分）若不等式：>0对任意x € R恒成立，则实数a的取值范围是.-1计曰2 2 29. （4分）若抛物线y =2px （p > 0）的焦点与双曲线x - y =2的右焦点重合，贝U p的值为."log, （x+1 ）!xE [6,十8）10. （4分）设函数f （x）= * J 的反函数为f 1（x），若_6I圧（-卩6〕|L3K-1 | —：1,贝U f （a+4）=.11.（4分）设a € R, （x- a）&的二项展开式中含x5项的系数为乙则15 （針/ + ・■・+ =.12. （4分）等差数列｛a n｝的通项公式为a n=2n - 8，下列四个命题.a 1 ：数列｛a n｝是递增数列；a 2：数列｛na n｝是递增数列；a 3：数列是递增数列；na 4：数列｛a n2｝是递增数列.其中真命题的是.13. ( 4分)设定义域为R 的函数f (工)斗丘二1 1 ’ ,若关于x 的方程f 2 (x ) +bf (x )| [1, 1=1+c=0有3个不同的整数解Xi ，X2, X3，则X I 2+X 22+X 32等于.14. ( 4分)将数轴Ox 、Oy 的原点放在一起，且使/ xOy=45，则得到一个平面斜坐标系.设二、选择题(每小题 5分，满分20分)215. (5分)若a € R,则"关于x 的方程x +ax+1=0无实根”是"z= ( 2a - 1) + (a - 1) i (其 中i 表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的()A.充分非必要条件 B .必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16. ( 5分)已知m 和n 是两条不同的直线，a 和B 是两个不重合的平面，那么下面给出的 条件中一定能推出 mX3的是()A. a 丄B,且 m? a B . m 〃 n ,且 n 丄B C. a 丄B,且 m 〃a D . ml n ,且 n 〃B2 2 ~* *_ • ■17. ( 5分)已知直线 x+y=a 与圆x +y =4交于A B 两点，且| I i ，|=|- , ,|，其中O为原点，则实数a 的值为()A. 2 B . - 2 C. 2 或-2 D.I,或-I,18. ( 5分)对于函数f (x ),若存在区间 A=[m, n]，使得{y|y=f (x ), x € A}=A ，则称函数f(x )为“可等域函数”，区间 A 为函数f (x )的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：I 兀 ① f ( x ) =sin ( x );② f ( x ) =2x - 1; ③ f ( x ) =|1 - 2X | ; ④ f ( x ) =log 2 (2x - 2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()A.①②③ B .②③ C.①③ D.②③④三、解答题P 为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若——•・分别为与x 轴、y轴同向的单位向量)，则点P 的坐标为x , y )若 Fi (- 1 , 0), F2 (1, 0),且动点 M(x , y )则点M 的轨迹方程为.19. ( 12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PU底面ABCD E是PC的中点, 已知AB=2, AD=2 ： \ PA=2 求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.20. (14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,向量；_ ：'『，,::,(1) 求角B；(2) 若b=2，求△ ABC的面积的最大值.21. ( 14分)抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点恰是椭圆=1的一个焦点，过点4 3的直线与抛物线C交于点A, B.(1)求抛物线C的方程;(2) O是坐标原点，求△ AOB的面积的最小值;(3) O是坐标原点，证明:证明：数列｛b n｝是等比数列; 求数列｛nb n｝的前n项和T n；2+ < +1的前n项和，求不超过P2014的最大的整气+c n数.23. (18 分)设a 是实数，函数f (x) =4x+|2x- a| (x € R).(1)求证：函数f (x)不是奇函数；(2)当a<0时，求满足f (x) > a2的x的取值范围；(3)求函数y=f (x)的值域(用a表示).F（・0）22. (16分)在数列{a n}中,, 2a n=a n2 -1- n- 1 （n》2, n€ N*）,设b n=a n+n.（出）,P n为数列参考答案与试题解析 一、填空题（每小题 4分，满分56分）1.（ 4分）不等式’|的解集是（-汽-4）U [3 , +R ）x+4考点：其他不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用. 分析：由不等式可得!心-小‘创）氏，由此求得x 的范围.R+4 穽 0解答：解：由不等式'■，可得、■■ ’ ■',求得x V- 4，或x >3,X +Q JU U+4^0I故答案为：（-a,- 4）U [3 , +m ）.点评： 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题.2. （4分）在厶ABC 中，角A , B, C 满足si nA : si nB : si nC=1 : 2:衙，则最大的角等于孕」考点：余弦定理的应用；正弦定理. 专题： 计算题；解三角形. 分析：运用正弦定理，可得三边之比，判断最大的角，再由余弦定理，即可解得.解答： 解：运用正弦定理，得， sinA : sinB : sinC=1 : 2 :沐匚 即为 a : b : c=1 : 2： ||, 可令a=t , b=2t , c V 「t ，显然c 最大，由于0 V C Vn,即有C=—3点评： 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查判断和运算能力，属于基础题.3. （4分）若复数z 满足z=i （2 - z ） （i 是虚数单位），则|z|=二考点： 复数求模；复数代数形式的乘除运算. 专题： 计算题.分析：由题意可得（1+i ） z=2i ，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位1+ii 的幕运算性质求得 z 的值，即可求得|z| .解答： 解：T 复数z 满足z=i （2 - z ） （i 是虚数单位），二z=2i - iz ,即（1+i ） z=2i , 2L 2i （1-i ）……z= ------ = =1+i ,1+i （LH ） （1-D，故|z|=:对 故答案为打理. 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位属于基础题.4. (4 分)已知全集U=R 集合A={x|x+a >0, x € R}, B={x||x - 1| < 3, x € R}.若(？u A ) n B=[-由余弦定理，得,1i 的幕运算性质，求复数的模,2, 4]，则实数a的取值范围是a v- 4.考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：表示出A中的解集确定出A,求出B中不等式的解集确定出B,根据A补集与B的交集确定出a的范围即可.解答：解：由A中的不等式解得：x>- a,即A=[ - a, +a）,•••全集U=R ••• ?U A= (-a,- a),由B中的不等式变形得：-3W x- K3,即-2W x w4, •- B=[ - 2, 4],•••( ?u A)n B=[ - 2, 4],••- a>4, 即卩a v- 4.故答案为：a v- 4点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.（4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为考点：等可能事件的概率.专题：计算题.分析：由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率.解答：解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况：甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为2故答案为：2.2点评：本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结果出现的可能性相等求出对应事件的概率.6. （4分）设直线I仁ax+2y=0的方向向量是dr，直线l 2：x+ （a+1）y+4=0的法向量是口^ ,1 2若-"与门，平行，则考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算.专题：平面向量及应用.分析：先求出直线的法向量，再利用向量共线的充要条件即可得出a的值.解答： 解：由直线1仁ax+2y=0可得方向向量= （- 2, a ）;由直线丨2： x+ （a+1） y+4=0可得方向向量为（a+1，- 1）,其法向量门？= （1, a+1）;T J 与、平行，「•- 2 (a+1) - a=0,解得 a=-故答案为 点评：正确理解直线的法向量和向量的共线是解题的关键.7. （4分）若圆锥的侧面积为 3n,底面积为n,则该圆锥的体积为 f 「考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）. 专题： 空间位置关系与距离. 分析：由圆锥的侧面积求出圆锥的母线长度，由底面面积球底面圆半径，进一步求出圆锥的高，求体积. 解答：解：根据题意，圆锥的底面积为n,则其底面半径是1，底面周长为2n,又-X 2n l=3 n,•••圆锥的母线为3，则圆锥的高• ： ：「-二,故答案为：■'二3点评：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力.| x&（ 4分）若不等式对任意x € R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（-2, 2）.> 0对任意x € R 恒成立，因此△ =a - 4v 0，解得可得a 的范围.••X +ax+1 > 0对任意x € R 恒成立,2=a — 4v 0••- 2 v a v 2,故答案为：（-2, 2） 点评：本题主要考查二次不等式的解法，解一元二次不等式要借助于一元二次函数解决.一 1 x-Fa考点： 专题： 函数恒成立问题. 函数的性质及应用. 分析:不等式2 2-1X(- 1)> 0，即 x +ax+1 > 0,故 x +ax+1解答：解：：•不等式|等价于 x (x+a )- 1X> 0,即 x 2+ax+1 > 0,9. (4分)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点与双曲线 x 2-y 2=2的右焦点重合，贝U p 的值为4.考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质. 专题：计算题. 分析：将双曲线化成标准方程，求得a 2=b 2=2的值，从而得到双曲线的右焦点为 F (2, 0),该点也是抛物线的焦点，可得=2，所以p 的值为4.22 2解答： 解：•••双曲线x 2- y 2=2的标准形式为：乙二12 2.•.a 2=b 2=2,可得c=.・|「=2，双曲线的右焦点为 F (2, 0) T 抛物线y 2=2px ( p > 0)的焦点与双曲线 x 2 - y 2=2的右焦点重合， •••丄=2,可得p=42故答案为：4 点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题._log, (x+1 ) , xf [6,十8)10. (4分)设函数f (x )二J的反函数为f 1 (x )，若3旷耳疋(一7 6)考点：反函数.专题：函数的性质及应用. 分析：由于f 7(丄)二且，可得f (a ) j.对a 分类讨论，即可得出.9 9解答：解：T f 7讣)=a ,当 x >6 时，f (x ) =- log 3 (x+1) <- log 37V 0，不符合条件，舍去； 当 x v 6 时，f (x ) =3x -6,令=3-2,. a - 6=- 2，解得 a=4,满足条件.g• f ( 8) = - log 39=- 2. 故答案为：-2. 点评：本题考查了分类讨论、反函数的性质、分段函数的性质，属于基础题.x 5项的系数为7,则• f ( a )一二 方.则 f (a+4) =- 2.11. ( 4分)设a € R , (x - a ) 8的二项展开式中含故答案为：-土. 3点评：本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质,等比数列的前n 项和公式，属于基础题.12. （ 4分）等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n - 8，下列四个命题. a i :数列｛a n ｝是递增数列；a 2：数列｛na n ｝是递增数列； a 3：数列是递增数列；na 4：数列｛a n ）是递增数列.其中真命题的是 a i ,a 4.考点：等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列.分析： 利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论. 解答： 解：•••等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n -8, 数列｛a n ｝是递增数列，故 a 1是真命题；2T na n =2n - 8n ,•••数列｛na n ｝是先减后增数列，故 a 2是假命题； 匸=2弟•数列｛ ―-｝是递增数列，故 a 3是真命题；n2 2• a n =4n — 32n+64,••数列｛a n ｝不是递增数列，故 a 4是假命题. 故答案为：a i ,a 4. 点评：本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题.13. ( 4分)设定义域为R 的函数f (工)二 丘二1 1‘ ,若关于x 的方程f 2 (x ) +bf (x )考点： 二项式系数的性质. 专题： 二项式定理.由条件求得a=-丄，可得a+a'+a 3*-2+a 的值，从而求得 li值. 解答:解：由于（x - a ） 8的二项展开式中含 x 5项的系数为3 ? (- a ) 3=7,•. a=-=3 (1 -屮)拎［「（令I=1 -a占1 -1乳（-丄）2分析: 2 - 二 a+a +a3 n]=-_一 ["T ■怕L尸1. . 2 2 2+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s,则x i +X2 +X3等于5.考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断. 专题：计算题；数形结合；分类讨论./ X f l \ I> 好1分析：根据已知中函数F (Q二彳一1 | 的解析式，我们可以画出函数F (工)二|x 一1「"厂1的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2(x) +bf (x)1 J尸1\. . ___________________________________________________________________________ _ 2 2 2+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s时，x i, X2, x s的值，进而求出X1 +X2+X3的值.|[| 1P占1解答：解：函数f (门二< 玄一1丨的图象如图所示：[1,孟二1由图易得函数的值域为(0, +8)令t=f (X )则方程f2(x) +bf (x) +c=02可化为t +bt+c=O ,若此方程无正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0无根若此方程有一个非1的正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0有两根；若此方程有一个等1的正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0有三根；2 2 2此时t=f (x) =1, X1=0, X2=1, X3=2, X1 +X2 +X3 =5若此方程有两个非1的正根，则方程f2(x) +bf (x ) +c=0有四根；若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f2(x ) +bf (x) +c=0有五根；综上X12+X22+X32=5点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，根的存在性及根的个数判1 ]厂,尹断，其中画出函数f(X)- is-1 r 的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程[1* x二1f2(x) +bf (x)+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s时，所满足的条件是解答醒本题的关键.14. ( 4分)将数轴Ox、Oy的原点放在一起，且使/ xOy=45，则得到一个平面斜坐标系.设P为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若_ , . 分别为与x轴、y轴同向的单位向量)，则点P的坐标为(x, y).若F i (- 1 , 0) , F2 (1, 0),且动点M(x, y)I臥I L满足f二i，则点M的轨迹方程为y=-“叵x.|o2| —_考点：轨迹方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：欲求点M在斜坐标系中的轨迹方程，只须求出其坐标x, y之间的关系即可，根据M 两I(x, y)满足L =1，建立等式关系，解之即可求出点M的轨迹方程.iMFjl解答：解：TF 1 (- 1 , 0), F2 (1 , 0),•••由定义知，帀=(—1—X)哥-药，丽;=(1 -X)哥-爲,I MP, I由动点M(x, y)满足 _____ i ~1 ,|化|得：I|=|W^|,所以(—1 - x) +y +2 (1+x) y..・.=(1 - x) +y - 2 (1 - x)y.. | ,所以(-1 - x) 2+y2+2 (1+x) y x二=(1 - x) 2+y2- 2 (1 - x) y X ',2 2整理得v <x+y=0,即y= - : :x.点M的轨迹方程为y= .点评：本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为45°的坐标系，本小题主要考查向量的模、平面向量的基本定理及其意义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.二、选择题(每小题5分，满分20分)15. ( 5分)若a€ R,则"关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是"z= ( 2a - 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断.分析：一方面由a€ R,且"关于x的方程x2+ax+1=0无实根"，得到厶=a 2- 4 v 0,解得a 的取值范围，即可判断出“ z= ( 2a- 1) + ( a- 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“ a€ R, z= (2a- 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”，可得1>0，解出a的取值范围，即可判断出△<0是否成立即可.a-l< -0解答：解：①••• a€ R,且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，•••△ =a - 4v 0,解得-2v a v2.•••- 3v2a - 1 v3,- 3v a- 1 v 1,因此z= ( 2a- 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a€ R, z= (2a- 1) + (a- 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”正确，f2a-l>0^[a-KO •••△< 0,•关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确.综上①②可知：若a€ R,则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“ z= ( 2a - 1) + (a - 1) i(其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件.故选B.点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键.16. ( 5分)已知m和n是两条不同的直线，a 和B是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出mX3的是()A. a丄B,且m? aB. m〃n,且n丄BC. a丄B,且m〃aD. ml n,且n〃B考点：直线与平面垂直的判定.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据A, B, C, D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果.解答：解：alB，且m? a ? n? B,或m//B,或m与B相交，故A不成立；m// n,且n lB ? m±B，故B成立；alB,且m//a ? m? B,或m//B,或m与B相交，故C不成立；由ml n,且n //B,知m±B不成立，故D不正确.故选B.点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.17. ( 5分)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A B两点，且|八丨，|=| j ，其中0为原点，则实数a的值为()A. 2B. - 2C. 2 或-2D. 「或—「④••• f ( x ) =log 2 (2x - 2)单调递增，且函数的定义域为(1, +8), 加-2-严若存在“可等域区间”，则满足1□吕 2_” 二E log 2（2n - 2）-n，即[2n-2= 2n考点： 直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用.专题：计算题.分析：条件"丨J -」=| I, - [I ”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积I 丨，|2=|—- 「I 2,广；？|飞=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A 、B 两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法.2 2解答： 解：由丨F 1 「一 . •」得1丨m | 一 . |」，？ I ,=o ,丄■,三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为鳥即一J = ', a=±2,故选C.V2点评：若非零向量 U ，满足iZ.-m* 「二i ，则□丄工.模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积.向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问 题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁.18. ( 5分)对于函数f (x ),若存在区间 A=[m, n]，使得{y|y=f (x ), x € A}=A ，则称函数f(x )为“可等域函数”，区间 A 为函数f (x )的一个“可等域区间”.给出下列 4个函数:I TT① f ( x ) =sin ( x );2② f ( x ) =2x - 1; ③ f ( x ) =|1 - 2x | ; ④ f ( x ) =log 2 (2x - 2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()考点： 正弦函数的定义域和值域. 专题： 新定义；函数的性质及应用.分析： 根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论. 解答：I JT解：①函数f (x ) =sin (x )的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0 , 1]为函数的一个“可等域区间”，同时当 A=[ - 1 , 0]时也是函数的一个“可等域区间”，.••不 满足唯一性. ② 当A=[ - 1 , 1]时，f (x )€ [ - 1, 1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的 集合只有A=[ - 1, 1] 一个.③ A=[0, 1]为函数f (x ) =|2x - 1|的“可等域区间”，当 x € [0 , 1]时，f (x ) =2x - 1,函数单调递增，f (0) =1 - 1=0, f (1) =2 - 1=1 满足条件, •••m n 取值唯一.故满足条件.A.①②③B .②③C.①③D.②③④••• m n是方程2x - 2x+2=0 的两个根，设f (x) =2x-2x+2, f '( x) =2x ln2 - 2，当x> 1时, f '( x)> 0，此时函数f (x)单调递增，• f( x)=2x- 2x+2=0不可能存在两个解，故f (x) =log 2 (2x - 2)不存在"可等域区间”.故选：B.点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.三、解答题19. ( 12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PU底面ABCD E是PC的中点, 已知AB=2, AD=2 :，PA=2 求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角. 专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：(1)可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△ PAD中，利用勾股定理得到PD=2l ；，最后得到三角形PCD的面积S；(2)［解法一］建立如图空间直角坐标系，可得B、C E各点的坐标，从而「= (1，二1),此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为［解法二］取PB的中点F,连接AF、EF, △ PBC中，禾U用中位线定理，得到EF// BC从而/ AEF 或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△ AEF是以F为直角顶兀TT点的等腰直角三角形，所以/ AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为•.4 4解答：解：(1)v PAL底面ABCD CD?底面ABCD•CD L PA•••矩形ABCD中, CDLAD PA AD是平面PDC内的相交直线.•CDL平面PDA••• PD?平面PDA • CD L PD三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形.•/ Rt△ PAD 中,AD=2 :■: , PA=2,• PD=.L；；'=2■.0),利用空间向量数量积的公式，得到「.与I…夹角0满足：cos•••三角形PCD 的面积 S=_ X PDX DC=2. （2）［解法一］如图所示，建立空间直角坐标系，可得 B （2, 0, 0）, C （2, 卫,0）, E （1,血，1）.• AE = （1，近，1）, BC =（0,应,0）,设垃与P 夹角为B,则cos 0= 订…’：= ■: :=::|AE| |BC| 2X2^22長—，由此可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为4［解法二］取PB 的中点F ,连接AF 、EF 、AC,•••△ PBC 中，E 、F 分别是PC PB 的中点，• EF// BC / AEF 或其补角就是异面直线 BC 与AE 所成的角.••• Rt △ PAC 中，PC=]…，眾'=4.• AE J PC=22点评： 本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题.7T 7•••在△ AEF 中, EF 二BC 八:,AF 」PB=:• AF 2+EF 2=A^,^ AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形, • / AEF=，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为47T720. ( 14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,向重 | 一一二址.匚二二，-- :"■，.，且''-.(1)求角B;(2)若b=2，求△ ABC的面积的最大值.考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理.专题：解三角形.分析：(1 )利用数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性即可得出.(2)利用余弦定理和基本不等式即可得出ac< 4,再利用三角形的面积计算公式即可得出.解答：解：(1)，5 5二1 ,「•器］边- 2®/片1 ,•••拆匚g2B二2,五口(2B- —)二1, &又0V B<n,.・.—卫<證一6 6 6(2)v b=2, b2=a2+c2-2ac?cosB,•_ 二.-i - - ：；-：■：：!■ 一，即4=a2+c2—ac,•4=a2+c2- ac>2ac- ac=ac，即ac< 4,当且仅当a=c=2 时等号成立.—丄-「…：一，当a=b=c=2 时，「厂(:-:.点评：熟练掌握数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性、余弦定理和基本不等式、三角形的面积计算公式是解题的关键.21. ( 14分)抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点恰是椭圆' =1的一个焦点，过点F (上，0)4 3 2 的直线与抛物线C交于点A, B.(1)求抛物线C的方程；(2)O是坐标原点，求△ AOB的面积的最小值；(3)O是坐标原点，证明：〔为定值.考点：椭圆的简单性质.专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(1 )根据已知条件知抛物线C的焦点(专，0)是椭圆的右焦点(1, 0),这样便可求得p=2,也就得到了抛物线方程为y2=4x；| - -T -—.-、； -：■:，而△ AOB 的面积可表示成> 2;而不存在斜率时容易求得S=2,所以△ AOB 的面积的最小值为 2;（3）由（2）即可求出|「- •；,所以说「=■为定值.解答： 解：（1）由已知条件知（三.I ）= （1, 0）;2.p=2;•••抛物线C 的方程为y 2=4x ;2 2（2） F （1, 0）, .F 是抛物线C 的焦点，如图，设直（牛，和），B 〔冷一，y 2）;根据题意知k z 0,.••扯J*],带入抛物线方程 y 2=4x 并整理得:2;•••即 S >2;②当过F 的直线不存在斜率，即垂直于x 轴时，直线方程为 x=1 ;（2）过F 的直线根据题意可分成两种情况：存在斜率 k ，（ k z 0）,和不存在斜率•存在斜率k 时，方程为y=kx - k ，联立抛物线方程可得/4二。
上海市虹口高中2014_2015学年高三数学上学期摸底试卷(含解析)
2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1．已知集合，则A∩B=．2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ．3．在二项式的展开式中，常数项等于．4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z| ．5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是．6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是．（用反三角函数表示结果）7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ．10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是．14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B． [4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）A． 2sinx B． 2cosx C． sin2x D． cos2x18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④三、解答题19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a=1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．解答：解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，∴A=[﹣1，4）；由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，∴B=（﹣3，3），则A∩B=[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）点评：此题属于以其他不等式的解法及函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ﹣1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．解答：解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题．3．在二项式的展开式中，常数项等于160 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求解答：解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z| ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用行列式偶的运算性质可得zi﹣2=1+i，化简再利用模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i，∴zi﹣2=1+i，化为zi=3+i，∴﹣i•iz=﹣i（3+i），∴z=1﹣3i．∴|z|==．故答案为：．点评：本题考查了行列式的运算性质、复数的运算性质、模的计算公式，属于基础题．5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜3} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．解答：解：由x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1移项得：x2﹣2x+3﹣a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为∅，所以△=4﹣4（3﹣a2+2a+1）＜0，即a2﹣2a﹣3＜0，分解因式得：（a﹣3）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜3，则实数a的取值范围是：{a|﹣1＜a＜3}．故答案为：{a|﹣1＜a＜3}点评：此题考查学生掌握二次函数与x轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题．6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是π﹣arctan4 ．（用反三角函数表示结果）考点：直线的倾斜角；等差数列的性质；反三角函数的运用．专题：计算题．分析：由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得 a1=3，d=4，直线的斜率为=﹣d=﹣4，由tanθ=﹣4，和θ的范围，求出θ值．解答：解：设公差为d，由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得 a1=3，d=4．则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的斜率为=﹣d=﹣4，设直线的倾斜角是θ，则 tanθ=﹣4，又0≤θ＜π，∴θ=π﹣arctan4，故答案为π﹣arctan4．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出首项a1和公差d的值，是解题的关键．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为16π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．分析：根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．解答：解：∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，母线与底面所成的角为，可得①∵侧面积是20π，∴πrl=20π，②由①②解得：r=4，l=5，故圆锥的高h===3则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π故答案为：16π．点评：本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是正确的进行圆锥与扇形的转化．8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于 4 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a 即可得出．解答：解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．联立，解得．∴4=|AB|=，解得a2=4．∴a=2．∴双曲线C的实轴长等于4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ﹣9 ．考点：等比数列的性质；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：根据B n=A n+1可知 A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B n=A n+1 A n=B n﹣1则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除=﹣=﹣=﹣=﹣很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项q=﹣或 q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）∴q=﹣∴6q=﹣9故答案为：﹣9点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，由此求得三本数学书排在一起的概率．解答：解：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，故三本数学书排在一起的概率为=，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，相邻问题的排列，属于基础题．11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是 2 ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），从而得到关于 a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．解答：解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），∴2（a+b）﹣2=2，⇒a+b=2，∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，则a2+b2的最小值是2．故答案为：2．点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合．分析：将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视．13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是2．考点：解三角形；平面向量数量积的运算．专题：综合题；平面向量及应用．分析：根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．解答：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，则y′=令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC=时，取得最大值为∴的最小值是故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为 2 ．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：与函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，画出图象，看交点个数．解答：解：函数y=log4（x+1）可以由对数函数y=log4x的图象向左平移1个单位得到，则函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，图象如下：其中虚的曲线部分为函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象，此部分与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数是2个，所以，函数g（x）关于原点的中心对称点的组数为2组，故答案为：2．点评：本题考查分段函数的图象，涉及分段函数与对数函数的图象，注意其图象中的特殊点进行分析即可．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B． [4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式．专题：计算题．分析：解不等式我们可以求出命题A与命题B中x的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，结合A是B的充分不必要条件，则A⊊B，将问题转化为一个集合关系问题，分析参数a的取值后，即可得到结论．解答：解：由|x﹣1|＜3，得﹣2＜x＜4，∴命题A：﹣2＜x＜4．命题B：当a=2时，x∈φ，当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，当a＞2时，﹣a＜x＜﹣2．∵A是B的充分而不必要条件，∴命题B：当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，∴﹣a＞4，∴a＜﹣4，综上，当a＜﹣4时，A是B的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件与集合之间的关系，其中根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，将充要条件问题转化为集合关系问题是解答本题的关键．16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”可判断①是否正确；根据分别位于两个平行平面的直线的位置关系是平行或异面，可判断②是否正确；根据直线有可能在平面内，可判断③是否正确；利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”和“两个平行平面中的一个垂直于直线，则另一个平面也垂直于直线”，可判断④是否正确．解答：解：①，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，∴①正确②，α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m、n异面，∴②不正确；③，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，∴③不正确；④，α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，∴④正确．故选A．点评：熟练掌握线线、线面、面面的平行与垂直的性质与判定定理是解题的关键．17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）A． 2sinx B． 2cosx C． sin2x D． cos2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：化简变换后的函数解析式，结合函数的变换，逆推求出函数的解析式即可．解答：解：y=2sin2x=1﹣cos2x，要求函数f（x），函数y=f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到y=sin2（x﹣）=﹣cos2x，故所求函数解析式为y=sin2x．故选：C．点评：本题考查了三角函数图象的平移，三角函数的化简，属于中档题．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：阅读型；新定义．分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．解答：解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以集合M是好集合；对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．故选B．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．三、解答题19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，可得，于是四边形AMCN是平行四边形，可得CN∥AM，因此∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可．解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；（2）由PA垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．解答：解：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，∴，∴四边形AMCN是平行四边形，∴CN∥AM，∴∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角．因为PA垂直于底面，所以PA⊥AM，点M分别是DC的中点，DC=6，∴．在Rt△PAM中，PA=8，，∴，∴，即异面直线PM与CN所成角的大小为．解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），∴，，直线PM与CN所成角为θ，向量的夹角为ϕ，∵，又，，即异面直线PM与CN所成角的大小为．（2）因为PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PAD，又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PDC，∵底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S底=36又S侧=S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD=．S表=108+36=144所以四棱锥P﹣ABCD的表面积是144．点评：本题综合考查了利用“平移法”和通过建立空间直角坐标系利用向量的方向向量的夹角求异面直线的夹角、线面垂直的判定与性质、四棱锥的表面积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．解答：解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．…3分又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．…6分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN 是关键．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C 于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由于C的焦点在x轴上且长轴为4，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），把点代入椭圆的方程可得，解出即可．（2）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），由于直线l方向向量，可得直线l的方程是．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵点在椭圆C上，∴，解得b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∵直线l方向向量，∴直线l的方程是，联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，，∴===（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a=1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=，由此作出函数的图象．（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，分a=0、a＜0、、、这几种情况，结合函数的图象，利用函数的单调性，求出g（a）的解析式．（3）根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，h（x2）﹣h（x1）＞0，可得ax1x2＞2a﹣1，分a=0、a＞0、a＜0分别求得实数a的取值范围，再取并集即得所求．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=．作图（如图所示）（4分）（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1．若a=0，则f（x）=﹣x﹣1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=﹣分）若a≠0，则，f（x）图象的对称轴是直线．当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）当，即时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a﹣分）当，即时，，（8分）当，即时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）综上可得．（10分）（3）当x∈[1，2]时，，在区间[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，则=．（12分）因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x2）﹣h（x1）＞0，因为x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2﹣（2a﹣1）＞0，即ax1x2＞2a﹣1，当a=0时，上面的不等式变为0＞﹣1，即a=0时结论成立．（14分）当a＞0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得0＜a≤1，（16分）当a＜0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得，（17分）综上，实数a的取值范围为．（18分）点评：本题主要考查带有绝对值的函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类讨论的层次，这是解题的难点，属于中档题．23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用=计算即可；（2）通过b1=b及（1）可知b n=，进而只需解不等式b2k﹣1≤b2k≤b2k+1即可；（3）通过（2）分别计算出n=2k﹣1（k∈N*）、n=2k（k∈N*）时的表达式并令两者相等，通过方程有无解即可判断．解答：（1）证明：∵b n•b n+1=2n+1，∴b n+1•b n+2=2n+2，∴===2，∴数列{b n}是“类等比数列”；（2）解：∵b1=b，b n•b n+1=2n+1，∴b2==，∴b n=，∵数列{b n}是单调递增数列，∴b2k﹣1≤b2k≤b2k+1，即b•2k﹣1≤•2k﹣1≤b•2k，整理得：b≤≤2b，解得：≤b≤2，∴实数b的取值范围为：[，2]；（3）结论：当b=±时=，否则不存在．理由如下：由（2）可知b n=，①当n=2k﹣1（k∈N*）时，b n+b n+1=b2k﹣1+b2k=b•2k﹣1+=（b+）•2k﹣1，S n=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）=+=（2b+）•2k﹣1﹣（b+），∴===2﹣；②当n=2k（k∈N*）时，b n+b n+1=b2k+b2k+1=+b•2k=（2b+）•2k﹣1，S n=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）+b2k=（2b+）•2k﹣1﹣（b+）+=2（b+）•2k﹣1﹣（b+），∴===1+；令2﹣=1+，化简得：b4=8，解得：b=±，综上所述，当b=±时=，否则不存在．点评：本题考查数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，考查极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。
上海市虹口区2015届高三第三次模拟考试数学理试题（无答案）
上海市虹⼝区2015届⾼三第三次模拟考试数学理试题（⽆答案）2015年虹⼝区第三次模拟考试（理科试卷）满分150分，时间120分钟2015.05.19⼀、填空题（本⼤题满分56分）本⼤题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则⼀律得零分. 1.若{}{}2,,0,2,4A a aB ==，且A B ?，则实数a 的值为_________.2.不等式220x x-≤的解集为_________.3.已知20151232z i i =+（i 为虚数单位），则复数z 的值为_______.4.6x ?展开式的常数项为___________.5.已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等⽐数列，则122a ab +的值为_______. 6.⼀个算法的程序框图如右，则其输出结果为_________.7.随机投掷两枚质地均匀的骰⼦，它们向上的点数之积为6的倍数的概率为_________. 8.设函数()()()log 0,1a f x x b a a =+>≠的图象过点()2,1，其反函数的图象过点()2,8，则a b +等于_________.9.已知向量()()()1,cos ,sin ,10m x n x ωωω==->，函数()f x m n =?，且()f x 图象上⼀个最⾼点的坐标为38π?，与之相邻的⼀个最低点的坐标为8π?- ?，，则()f x 的解析式为__________.10.如果⼀个球的外切圆锥的⾼是这个球半径的3倍，那么圆锥侧⾯积和球⾯积的⽐为___________.11.在极坐标系中，若直线sin 4a πρθ??+= ??被圆2ρ=截得的弦长为，则实数a =__________.12.已知,a b 为平⾯内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满⾜()()c a c b R λλ+=+∈，则c 的最⼩值为_________.13.关于x 的实系数⼀元⼆次⽅程230x px ++=的两个虚根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平⾯上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为_______. 14.关于曲线2211:1C x y +=，有如下结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线0x y ±=对称；③曲线C 是封闭图形，且封闭图形的⾯积⼤于2π；④曲线C 不是封闭图形，且它与圆222x y +=⽆公共点；⑤曲线C与曲线:D x y +=4个交点，这4点构成正⽅形.其中所有正确结论的序号为__________.⼆、选择题（本题共4题，满分20分）每题只有⼀个正确答案，考⽣在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂⿊，选对得5分，否则⼀律零分.15.对⼀个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同⽅法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是1p 、2p 、3p ，则（） A.123p p p =<B. 321p p p =<C. 132p p p =<D.123p p p ==16.对于函数()f x ，若存在0a ≠，使得x 取定义域内的每⼀个值，都有()()2f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数是准偶函数的是（） A. ()()cos 1f x x =+B. ()f x x =C. ()tan f x x =D. ()3f x x =17.点,,,A B C D 是半径为1的球⾯上的四个点，线段,,AB AC AD 两两垂直，若⽤123,,S S S 分别表⽰,,ABC ABD ACD 的⾯积，则123S S S ++的最⼤值为（） A.12B.2C.4D.8ABCDO18.已知12,F F 是双曲线()222:10y C x b b-=>的两个焦点，P 是双曲线C12PF PF ⊥，2PF 与两渐近线相交于,M N 两点（如图），若点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线C 的焦距为（） A. B.C.D.4三、解答题（本⼤题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共2⼩题，第1⼩题6分，第2⼩题6分. 如图，在所有棱长为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D 为11AC 的中点，求（1）直线AD 与平⾯1B DC 所成⾓的⼤⼩；（2）点A 到平⾯1B DC 的距离.20.（本题满分14分）本题共2⼩题，第1⼩题7分，第2⼩题7分.已知函数()22sin 24f x x x π??=+ ，,42x ππ??∈.（1）求函数()f x 的最⼤值与最⼩值；（2）若不等式()2f x m -<在,42x ππ??∈恒成⽴，求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分）本题共2⼩题，第1⼩题6分，第2⼩题8分. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F .（1）点,A F 满⾜2AP AF =，当点A 在抛物线上运动时，求动点P 的轨迹⽅程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求出所有满⾜条件的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.ABC1B 1C 1A D22.（本题满分16分）本题共3⼩题，第1⼩题4分，第2⼩题6分，第3⼩题6分. 定义⾮零向量(),OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+（R x ∈），向量(),OM a b =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”（其中O 为坐标原点），记平⾯内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知点(),M a b 满⾜250a b +-=，求向量OM 的模的最⼩值；（2）设()()c o s 2c o s 6h x x x a π?=+-+（R a ∈），求证：()h x S ∈，并求函数()h x 的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点(),M a b （0b ≠）满⾜(()2211a b -+-=，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最⼤值，当M 点运动时，求0tan 2x 的取值范围.23.（本题满分18分）本题共3⼩题，第1⼩题5分，第2⼩题6分，第3⼩题7分. 某情报部门获取⼀些信息密码需要破译，密码可以看成⼀个数列，记为{}n a ，并且满⾜11a >，()()()*612N n n n S a a n =++∈，其中n S 表⽰该数列的前n 项和.（1）求出1a 的值，对任意的*N n ∈，写出1n a +与n a 的关系的各种表达式；（2）有⼀条密码可由数列{}n a 的前100项组成，试问共可组成多少条不同的密码，为什么？（3）若⼀条密码可由数列的前10项组成，且10100S =，试问组成的密码是否唯⼀确定？并说明理由.。
2015.10虹口区高三数学第一次月考试卷A(15.10)
虹口区2015学年第一学期10月份考试高三数学 试卷(A)考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知{}2,A x x x N =≥∈，则N A =ð ．2.已知{}162<=x x A ，{}2>=x x B ，则=⋂B A ． 3. 若α：2x ≤4≤是β：3+≤≤m x m 的充分条件，则实数m 的取值范围是_________．4.若复数))(3(log )43(22R m m i m m z ∈-⋅+--=是纯虚数，则m 的值为 ．5.用一个到球心距离为1的平面去截球，若所得截面的面积为π，则球的体积为 ．6.在65(2x+的二项展开式中，常数项为 ．7.数据5，7，7，8，10，11的标准差是 ．8.100辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[)7050，的汽车大约有 辆．9.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n = ，向量(1,2)b =- ，则a b ⊥ 的概率是 ．10.校团委组织“中国梦，我的梦”演讲比赛，有4名选手进入决赛；若每位选手都可从4个备选题目中任选一个进行演讲，则恰有一个题目没有被选中的情况有 种．11.已知直线10(,0)ax by c b c ++-=>经过圆05222=--+y y x 的圆心，则c b 14+的最小值是 ．12.若不等式012≥++ax x 对一切⎥⎦⎤ ⎝⎛∈210，x 成立，则a 的最小值为 ．13.设集合{}n S n ，，，，⋯=321，若n S X ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集．若n = 4，则n S 的所有偶子集的容量之和为 ．14.设集合X 是实数集R 的子集，如果实数0x 满足：对任意0>a ,都存在X x ∈，使得a x x <-<00，则称0x 为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合中：①⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∈+01n Z n n n ，；②{}0≠∈x R x x ，；③⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈01n Z n n ，；④整数集Z 以0为聚点的集合是_________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15.已知a ＞b ，ab ≠0，则下列不等式中：① a 2＞b 2；② 11a b<；③ a 3＞b 3；④ a 2+b 2＞2ab ， 恒成立的不等式的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16.设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )A ．若m ∥l ，m ∥α，则l ∥αB ．若,m l m α⊥⊥，则l ∥αC ．若α∥β，l α⊥，m ∥β，则l m ⊥D ．若m α⊆，m ∥β，l β⊆，l ∥α，则α∥β 17.若非空数集A 满足：①0A ∉，②若对任意x A ∈，都有1A x∈，则称数集A 为“互倒集”.给出三个数集： {}2110,A x x a x x R =++=∈, {}22410,A x x x x R =-+<∈[)[]322,0,151,1,2x x A y y x x x ⎧⎫⎧+∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎬⎪⎪⎪+∈⎪⎪⎪⎩⎩⎭． 其中“互倒集”的个数是 ( )A ．3B ． 2C ．1D ． 018.如图,长方形的边AB = 2, BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 已知{}2340A x x x =+-<，11{|24}2x B x -=<<，{}0222<-+=m mx x x C ， （1）求A B ； （2）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC 所成的角为3π， M 是BC 的中点，求：（1）三棱锥ABC P -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21．(本题满分15分) 本题共3个小题，每小题5分.某中学高中学生900名，学校要从中选出9名同学作为国庆庆祝活动的志愿者.已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生，为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取.(1)求高一、高二、高三分别抽取学生的人数；(2)若再从这9名同学中随机抽取2人作为活动负责人，求抽到的这2名同学都是高一学生的概率；（3）在（2）的条件下，求抽到的这2名同学不是同一年级的概率.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 对于函数)(x f ，我们把使得x x f =)(成立的x 称为函数)(x f 的“不动点”；把使得x x f f =))((成立的x 称为函数)(x f 的“稳定点”，函数)(x f 的“不动点”和“稳定点” 构成的集合分别记为A 和B ，即{}x x f x A ==)(，{}x x f f x B ==))((．（1）若12)(-=x x f ，求集合B ；（2）求证：A ⊆B ；（3）若a x x f -=2)(，且A =B ≠∅，求实数a 的取值范围．23. (本题满分17分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题6分. 已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（1）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（2）若集合}2,,8,4,2{n A =，求证：2)1()(-=n n A l ； （3）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由?。
15年虹口一模
初中数学 备课组 教师 班级学生日期 月 日上课时间教学内容：2015年虹口区一模卷1、在Rt ABC V ，A ∠=90°，513AC BC ==，，那么tan B 的值是（ ）512A 、 125B 、 1213C 、 513D 、 2、二次函数()21y a x =-（a 为常数）的图像如图所示，则a 的取值范围为（ ）1A a 、＞ 1B a 、＜ 0C a 、＞ D a 、＜03、已知点()()1122,x y x y ，，均在抛物线21y x =-上，下列说法中，正确的是（ ）A 、若12y y =，则12x x =； B 、 若12x x =-，则12y y =- ； C 、若120x x ＜＜，则12y y ＞ ； D 、 若12x x ＜＜0，则12y y ＞ 4、如图，如果BAD CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC ADE V V ∽的是（ ）A B D ∠=∠、 B C AED ∠=∠、 AB DE C AD BC =、 AB ACD AD AE=、 5、如果+2,3a b c a b c →→→→→→=-=，且0c →→≠，那么a →与b →是（ ） A 、a →与b →是相等向量； B 、a →与b →是平行向量； C 、a →与b →方向相同，长度不同； D 、a →与b →方向相反，长度相同；6、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若BDE CDE S S △△：=1:3，则DOE S S △△AOC ：的值为（ ）第6题图OE DCAB第4题图E DCBAA 、13B 、14C 、19D 、116二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、若13x y =，则xx y -= 。
8、抛物线233y x x =--+与y 轴交点的坐标为 。
9、抛物线22y x =+向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 。
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虹口区2014学年第一学期高三期终教学质量监测试卷
2015.1.8
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1、椭圆2
214
x y +=的焦距为 .
2
、在9
1x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭的展开式中，各项系数之和为 .
3、若复数z 满足
22zi
i i
=-+（i 为虚数单位）
，则复数z = . 4、若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 .
5、行列式
()
3sin tan 4cos tan(
)
2
x x x x ππ
-+的最小值为 .
6、在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、
，若75,60,
A B b =︒=︒，则
c = .
7、若()22sin 00x x f x x x π≤≤⎧=⎨<⎩
，
，，，则方程()1f x =的所有解之和等于 .
8、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122
lim
n
n a a a n →∞++
+= .
9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则
q = .
10、已知12,l l 是分别经过()()21
02A B ,，,两点的两条平行直线，当12,l l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 .
11、若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .
12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）
13、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .
E
14、右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A π
ωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴
的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且
2
8
MD MN π⋅=
，则函数()f x 的解析式为 .
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15、设全集(){}{}
,ln 1,11U R A x y x B x x ===-=-<，则()
U C A B = （ ）.
A.()2,1-
B.(]2,1-
C.[)1,2
D.()1,2
16、设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使
a b a
b
=
成立的必要条件是 （ ）.
A.a b =-
B.//a b
C.2a b =
D.//a b 且a b =
17、关于曲线42:1C x y +=，给出下列四个命题： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称 ③曲线C 围成的面积大于π ④曲线C 围成的面积小于π
上述命题中，真命题的序号为 （ ）
A.①②③
B.①②④
C.①④
D.①③
18、若直线1y kx =+与曲线11
y x x x x
=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是 （ ）.
A.11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
B.11,88⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭ C.11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭
三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.
19、（本题满分12分）
已知3cos ,424
x x πππ
⎛⎫⎛⎫
-∈ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值
20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分
一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的3
16
，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .
（1）试确定R 与r
（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分 已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；
（2）若()()()3h x g x m f x =-⋅+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围.
22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()1
21n b n
n N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.
23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.
已知12F F 、为为双曲线22
221x y C a b
-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的
直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；
（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；
（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆
的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.。