约数和倍数
约数与倍 约数与倍 数
0 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是
15． （适用于数比较大，不容易直接找到约数的时候） 分数求公约： 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各 个分数的分子的最大公约数 b； 2.最大公约数的性质： ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
例题 2：一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是 111，这个自然数是________. 【考点】约数 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】2007 年，第十二届，华杯赛，六年级，决赛，第 7 题 【答案】因为 111 是奇数，而奇数＝奇数＋偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为 一奇一偶。而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数 1 的次大约数应为这个偶数的 ，设这个次大约数为 a，则最大约数为 2a，a＋2a＝111，求 2 得 a＝37，2a＝74，即所求数为 74。
b 即为所求． a
③几个数都乘以一个自然数 n ， 所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
n．
例题 1：2004 的约数中，比 100 大且比 200 小的约数是 【考点】约数 【难度】1 星 【题型】填空
。
【关键词】2004 年，希望杯，第二届，五年级，初赛，第 4 题，5 分 【答案】2004=3×4×167，所以结果为 167
例题 5： N 为自然数，且 N 1 ， N 2 、……、 N 9 与 690 都有大于 Biblioteka 的公约数． N 的最 小值为多少？
约数与倍数
约数与倍数基础知识：1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示.例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3.2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质.3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示.例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90.4.约数个数公式、约数和公式.例1.360有多少个约数？[答疑编号5721260101]1【答案】24【解答】，所以360共有24个约数.例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是.[答疑编号5721260102]【答案】36【解答】这个数可以表示成，与6互质，所以x≥2，y≥2，故最小数为.基础知识5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法：（1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数，①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数.（2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）.2（3）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积：（a，b）×[a，b] ＝a×b.例3.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数有几组？[答疑编号5721260103]【答案】6组【解答】，由此得a和a－b的值为1988的互补因子.1988有（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）＝12个约数，所以答案为6组.例4.已知将自然数84的全部约数的乘积分解质因数为，那么△＋◇＋□等于.[答疑编号5721260104]【答案】24【解答】，它有3×2×2＝12个约数.这些约数可以分成两两一组，使得同一组的两个数的乘积就是84，因此所有这些约数的乘积就是 .所以△＋◇＋□＝12＋6＋6＝24.3例5.两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1.那么这两个数分别是 .[答疑编号5721260105]【答案】175和16【解答】，两数的约数个数相差1，则两数约数的个数必为一奇一偶.而一个数的约数个数为奇数，它必为完全平方数，它可能是1、、、、、，经试验只有这个平方数取，另一个数为时，分别有5、6个约数.所以这两个数分别为175和16.例6.三位数A的所有奇约数之和是403，那么A最大可能是多少？[答疑编号5721260106]【答案】900【解答】先考虑A的奇数部分B，利用奇偶分析可知B有奇数个约数，所以B是完全平方数，又403＜21×21，所以B只可能是、……可得B＝225. 那么A最大是225×4＝900.例7.一个正整数是2004的倍数，且恰有24个约数是偶数，那么这个数最多有个约数是奇数.[答疑编号5721260107]4【答案】12【解答】2004是4的倍数，所以偶约数至少是奇约数的2倍，所以为12个.例8.小文买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？[答疑编号5721260108]【答案】红笔每支13元，蓝笔每支4元【解答】35＝5×7，两种笔的单价不能是5元和7元（否则35元可全部用完）；由于不是5元和7元，那么也不是17－5＝12（元）和17－7＝10（元）；17元可用完，而35元不能用完，那么笔价不会是35－17＝18（元）的约数：1、2、3、6、9、18，当然也不会是17－1＝16、17－2＝15、17－3＝14、17－6＝11、17－9＝8，故笔价又排除了：1、2、3、6、8、9、11、14、15、16.综上所述，只有4和13未被排除，而4＋13＝17，所以红笔每支13元，蓝笔每支4元.引例1.求15708和6468的最大公约数、最小公倍数.[答疑编号5721260201]5【解析】方法一：方法二：15708＝6468×2＋2772 6468＝2772×2＋9242772＝924×3引例2.1007、10017、100117、1001117和10011117的最大公约数是 .[答疑编号5721260202]【答案】53【解析】因为1007×10－10017＝53，所以最大公约数肯定是53或1.因为1007＝53×19，而且数列中每个数都是前一个数的10倍减去53，所以只要前一个数是53的倍数那么后一个数就也是53的倍数，因此数列中每个数都是53的倍数.例1.已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？[答疑编号5721260203]6【解析】要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b.因为这两个数的最大公约数是21，故设a＝21m，b＝21n，且（m，n）＝1.因为这两个数的最小公倍数是126，所以126＝21×m×n，于是m×n ＝6，因此，这两个数的和为21＋126＝147，或42＋63＝105.所以这两个数的和为147或105.例2.已知自然数A、B满足以下两个性质：（1）A、B不互素；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35.那么A+B的最小值是多少？[答疑编号5721260204]【答案】25【解析】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数.因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数.它们的最大公约数可能是5或7.如果A、B的最大公约数是5，则A、B的最小公倍数是30，此时有A＝5、B＝30或A＝10、B＝15；如果A、B的最大公约数是7，则A、B的最小公倍数是28，此时有A＝7，B ＝28.所以A＋B的最小值为10＋15＝25.7例3.两个数的最小公倍数比它们的最大公约数的3倍多15，请写出这两个数的所有可能值.[答疑编号5721260205]【答案】1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60 【解析】设两个数a、b，则[a,b]＝3×（a,b）＋15，且15是（a,b）的倍数，故a和b可以为1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60.例4. 三位数☆◇☆与四位数☆☆◇◇的最大公约数是22，那么☆＋◇＝.[答疑编号5721260206]【答案】6【解析】两个数的最大公约数是22，☆☆◇◇是11的倍数，所以◇是偶数，22是☆◇☆的约数，☆是偶数，◇＝2☆，所以◇＝4，☆＝2，所以◇＋☆＝6.例5.试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？[答疑编号5721260207]8【答案】324、756【解析】因为，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为，再进行试验，108×2＝216，216中1不是已知数字，108×3＝324，还剩5，6，7三个数字，而108×7＝756，于是问题得到解决.例6.已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？[答疑编号5721260208]【答案】24【解析】1440整除12×甲数和15×乙数，所以1440÷12＝120和1440÷15＝96分别要整除甲数和乙数，所以甲数和乙数的最大公约数至少为（120,96）＝24.当甲数和乙数分别为120和96时，它们的最大公约数为24，所以它们的最大公约数最小可以是24.例7.定义表示a和b的最大公约数，那么使得和同时成立的三位数a= .[答疑编号5721260209]【答案】237【解析】根据题意：是21的倍数，所以a是3的倍数，a除以7余6，9a＋63是60的倍数，a除以4余1，a除以5余2，所以a＝60×4－3=237.例8.已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。
约数与倍数
约数和倍数，最大公约数和最小公倍数约数和倍数是不同的。
约数又叫因数 factor ，倍数 multiple 。
两者相互依存。
如果 （即 能被 整除）, 那么 就是 的倍数， 就是 的约数。
注意：每个数（1除外）至少有两个约数，1和它本身。
1也是这个数最小的约数，它本身是这个数最大的约数。
知识要点1. 一个数的约数的个数是有限个(finite)，但是它的倍数的个数有无限个(infinite)。
2. 约数不大于原数，倍数不小于原数3. 约数是除法得到的，倍数是乘以一个正整数得到的4. 约数和倍数都是一系列的数组成的5. 公因数和最大公因数6. 公倍数和最小公倍数7. 分解素因数8. 辗转相除法9. 约数个数定理10. 只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数约数的个数及个数定理为了得到一个数的约数个数，首先需要将这个数进行素因数分解，并将结果写成 指数形式，即将相同素因数的乘积写成指数形式，如 。
指数形式：一个合数的约数个数，等于它的素因数分解式中每个素因数的个数（即指数）加1的连乘。
对于一个大于 1 正整数 可以分解质因数：则 的正约数的个数就是 。
其中 是 的指数分解素因数是关键Python 语言中有一个模块 sympy, 其中有一个函数 factorint(n) 就可以分解素因数。
>>> import sympy>>> sympy.factorint(32){2: 5}>>> sympy.factorint(132){2: 2, 3: 1, 11: 1}>>> sympy.factorint(35){5: 1, 7: 1}>>> sympy.factorint(360){2: 3, 3: 2, 5: 1}>>> sympy.factorint(240){2: 4, 3: 1, 5: 1}p ∣n n p n p p n p 表示k 个p 相乘k n 个a 相乘，记成a ,它是乘法的简写形式。
小学数学中的倍数与约数
小学数学中的倍数与约数在小学数学的学习中，倍数与约数是一个非常基础且重要的概念。
理解了倍数与约数的概念，对于后续数学知识的学习和应用具有很大的帮助。
本文将详细介绍倍数与约数的含义以及相关的性质和应用。
1. 倍数的定义与性质倍数指的是一个数能够被另一个数整除，即后者是前者的倍数。
具体地说，如果存在整数m和n，使得m ×n = a，那么b就是a的倍数。
其中，m为倍数关系的倍数，a为被乘数，n为乘数。
在学习倍数的过程中，我们需要了解和掌握一些倍数的性质：1) 任何数的倍数包括它本身和0。
例如，整数a的倍数包括：a，2a，3a，-a，0等。
2) 一个数的倍数可以无穷多个，也可以没有。
例如，2的倍数有：2，4，6，8，10......而3的倍数有：3，6，9，12，15......3) 两个数的公倍数是它们的倍数的公共部分。
例如，8的倍数有：8，16，24，32......12的倍数有：12，24，36，48......那么8和12的公倍数就是24。
2. 约数的定义与性质约数是指能够整除被除数的数，也可以叫做因数。
具体地说，如果存在整数m和n，使得m × n = a，那么m就是a的约数。
与倍数相似，约数也有一些性质需要我们了解和掌握：1) 除数一定是被除数的约数。
例如，4除以2等于2，说明2是4的约数。
2) 一个数的约数数量是有限的。
例如，数7的约数有1和7，而没有其他的约数。
3) 两个数的公约数是它们的约数的公共部分。
例如，12的约数有：1，2，3，4，6，12，而15的约数有：1，3，5，15，那么12和15的公约数就是1和3。
3. 倍数与约数的关系与应用在小学数学的学习中，倍数与约数的关系是密切相关的。
更准确地说，一个数的倍数同时也是它的约数。
通过对倍数与约数的学习，我们可以应用于以下几个方面：1) 最大公约数：最大公约数即为两个或多个数中最大的公约数。
通过列举数的约数并找到其公共部分即可求出最大公约数。
约数和倍数小结
第三单元小结一、约数和倍数的意义（1）两个整数相除，如果用字母表示，可以这样说：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。
如：1.5÷3＝0.5中1.5不能被3整除；15÷3＝5中，15能被3整除。
（2）如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
如：15能被3整除，我们就说15是3的倍数，3是15的约数。
①倍数和约数是相互依存的，不能单独说某一个数是约数或倍数。
②一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身；一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身；一个数既是它本身的约数，又是它本身的倍数。
（3）求一个数的约数和倍数的方法。
①找一个数的约数时，应从最小的约数找起，一直找到它本身（如24的约数有：1、2、3、4、6、8、12、24共8个）；也可以一对一的找，如24的约数有：（一对）（一对）1 2 3 4 6 8 12 24（一对）（一对）②找一个数的倍数，可以用这个数分别去乘自然数1、2、3、4、……如2的倍数有：2×1＝2、2×2＝4、2×3＝6、2×4＝8、……二、能被2、5、3整除的数1．能被2整除的数（1）能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
如：72、20、56、38、94等数都能被2整除。
（2）奇数和偶数的意义：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
如：2、4、6、8、10、……是偶数；1、3、5、7、9、……是奇数。
注意：因为0也能被2整除，所以0也是偶数。
2．能被5整除的数（1）能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。
如：10、55、75、150等数，都能被5整除。
（2）能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的数，能同时被2和5整除。
如：10、70、90、250等数，都能同时被2和5整除3．能被3整除的数（1）能被3整除的数的特征：一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
四年级数学数的倍数和约数
四年级数学数的倍数和约数数学是一门充满魅力的学科，在学习数学的过程中，我们会遇到许多有趣的概念和知识点。
其中，数的倍数和约数是我们学习数学的基础，它们对理解数学的发展和应用具有重要的意义。
本文将介绍四年级数学中的数的倍数和约数，帮助大家更好地理解和应用这些概念。
一、数的倍数数的倍数是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，一个数是另一个数的倍数，通常用乘法来表示。
举个例子，如果我们说4是8的倍数，那么就意味着8能够被4整除。
具体而言，一个数的倍数是由这个数与任意整数相乘得到的。
例如，4的倍数可以是4、8、12、16等。
在计算数的倍数时，有一些基本规律需要注意。
首先，每个数都是其自身的倍数，即任何数乘以1都等于这个数本身。
其次，每个数都是0的倍数，因为任何数乘以0都等于0。
此外，一个正整数的倍数可以是正整数、负整数或零。
例如，4的倍数可以是4、-4、8、-8、12、-12等。
了解数的倍数对解决一些实际问题非常有帮助。
例如，在购物时，如果我们知道某个商品的价格是6元，而我们有12元可以购买多个这个商品，我们可以通过计算12除以6的商，得出我们可以购买2个这个商品。
这个计算过程中，我们就在使用数的倍数的概念。
二、数的约数数的约数是指能够整除一个数的数，也就是说，能够整除一个数的数就是这个数的约数。
例如，6的约数包括1、2、3、6。
一个数的约数有两个特殊的约数，即1和它本身，这是因为任何数除以1和它自己都能得到整数的结果。
在计算数的约数时，我们需要注意以下几点。
首先，一个数的约数的个数是有限的，不会无穷无尽。
其次，对于一个正整数n，它的最小正因数是2，即大于1且小于n的最小整数。
最后，一个数的约数具有一定的规律性，即如果一个数是另一个数的约数，那么这个数的倍数也是这个数的约数。
了解数的约数对于解决一些实际问题也非常有帮助。
例如，我们在分发物品时，如果我们知道有24个物品需要平均分给12个人，我们可以通过计算24除以12的商，得出每个人可以得到2个物品。
了解倍数与约数的定义与判定
了解倍数与约数的定义与判定倍数与约数是数学中常见的概念，对于理解和运用数字关系具有重要意义。
本文将详细介绍倍数与约数的定义以及判定方法，并通过实例来帮助读者更好地理解。
一、倍数的定义与判定倍数是指一个数能够被另一个数整除，即能够用另一个数乘以某个整数获得的数。
具体来说，如果说a能被b整除，那么a就是b的倍数。
例如，6能被2整除，因此6是2的倍数。
判定一个数是否是另一个数的倍数，我们可以使用取余运算来实现。
如果一个数能够被另一个数整除，即余数为0，那么该数就是另一个数的倍数。
例如，我们来判定48是否是8的倍数。
我们可以进行48除以8的运算，结果为6，余数为0。
因此，48是8的倍数。
二、约数的定义与判定约数是指能够整除一个数的数。
换句话说，如果一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的约数。
例如，2是4的约数，因为2能够整除4。
判定一个数是否是另一个数的约数，我们同样可以使用取余运算。
如果一个数能够整除另一个数，即余数为0，那么该数就是另一个数的约数。
例如，我们来判定12的约数。
我们可以将12除以不同的数，如3、4、6等等。
如果结果的余数均为0，那么这些数就是12的约数。
三、倍数与约数的关系倍数和约数之间存在着密切的关系。
如果一个数x是另一个数y的倍数，那么y一定是x的约数。
相反地，如果一个数x是另一个数y的约数，那么y一定是x的倍数。
这是因为倍数与约数本质上是数的整除关系的两种表达方式。
如果一个数x能够整除另一个数y，那么x就是y的约数，y就是x的倍数。
因此，倍数与约数是相互对应的。
举个例子来说明，我们考虑数字12。
12是3的倍数，同时12的约数有1、2、3、4、6和12。
其中3是12的约数，而12又是3的倍数。
这充分展示了倍数与约数之间的对应关系。
四、实例分析为了更好地理解倍数与约数的定义与判定，我们来分析一个实际问题。
假设我们需要判断一个数x是否是另一个数y的倍数。
我们可以通过以下步骤来进行：1. 用x去除以y，如果余数为0，说明x是y的倍数；2. 如果余数不为0，说明x不是y的倍数。
约数与倍数(正式)
约数与倍数知识点拨：a、b是两个任意整数，其中b≠0，如果存在整数q，使得a＝bq成立（或者说，如果a除以b能得到整数商q），我们就说a能被b整除，或者b整除a，记作b∣a．当a能被b 整除时，我们就说a是b的倍数，或者说b是a的约数（也叫因数）．如果满足条件a＝bq的整数q不存在，我们就说b不能整除a，或者a不能被b整除，记作b a．整除的概念是在整数范围内讨论的，即只有当被除数、除数和商都是整数（除数不能是零）时，才能叫做整除．因为自然数a的约数不会大于a，a的约数的个数也就不会多于a，所以自然数a的约数的个数是有限的．因为自然数集是无限的，所以一个自然数的倍数的个数是无限的．零可以被任何自然数整除，所以零是任何自然数的倍数，任何自然数都是零的约数．任何整数都能被1整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的约数．约数和倍数表达的是两个数之间的关系，所以它们只具有相对的意义．15＝3×5，只能说“15是3的倍数”，“3是15的约数“，不能说“15是倍数”或“3是约数”．将自然数N分解质因数后，N= （a1、a2、a3、a4、…a n为不相同的质因数；r1、r2、r3、r4、…r m为a1…a n的指数）；N所有约数个数：=（r1＋1）×（r2＋1）×（r3＋1）×（r4＋1）×…×（r m＋1）N所有约数个数的和：约数与倍数中的一个结论：完全平方数的约数个数是奇数。
【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）【分析】不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。
所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。
一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
LX1、用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.【分析】4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
约数和倍数一、教学内容：原通用教材六年制小学数学第十册第32—33页例1、例2，练习九第4—7题。
二、教学目的：使学生理解约数和倍数的意义，初步学会寻找一个数的约数和倍数的方法。
三、教学过程：师：同学们，我们已经学习了自然数、整数和整除的知识。
现在老师想了解一下，你们对这些知识学得怎么样。
请同学们想一想：什么样的数叫做自然数？生：用来表示物体个数的1、2、3、4……等都叫做自然数。
师：很好。
那么，有没有最小的自然数呢？生：有最小的自然数。
师：最小的自然数是几？生：最小的自然数是1。
师：有没有最大的自然数？生：没有。
师：为什么？生：因为自然数是无限的。
师：因为自然数的个数是无限的，所以就没有最大的自然数。
那么，请大家想一想：零是不是自然数？生：零不是自然数。
零是整数。
师：为什么零不是自然数？生：因为零不能够表示物体的个数。
师：零不是通过数物体个数得来的，所以零不是自然数。
[出示小黑板]大家来看看，小黑板上的两句话对不对？先看第一句话。
生：“零和自然数都是整数”这句话是对的。
师：再看第二句。
生：“整数就是零和自然数”这句话是错的。
因为除了零和自然数以外，还有我们没有学过的整数。
师：对！除了零和自然数以外，还有其他的整数，不过现在我们还没有学到。
现在请大家想想：什么叫做整除？生：数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，数a能被数b整除。
师：这里所说的数a和数b，一般指的是什么数？生：一般指的是自然数。
师：好。
[出示小黑板]现在来看看这些算式里哪些是属于整除？生：“15÷3=5”是整除，“24÷2=12”是整除，“8÷4=2”是整除。
师：那么其他几个算式是不是属于整除？[指“14÷3＝4……2”]这是不是整除？为什么？生：不是。
因为它有余数。
师：[指“25÷2=12.5”]这个算式呢？生：不是。
因为它的商是小数。
师：[指“0.8÷0.4=2”]这个算式呢？生：也不是。
因为它的被除数和除数都是小数。
师：对。
只有被除数、除数和商都是整数，而且没有余数，才是整除。
大家对这方面的知识学得很好。
今天，我们要在这个基础上继续学习约数和倍数。
[板书“约数和倍数”]通过这节课的学习，要求每个同学都要弄清楚什么叫做约数，什么叫做倍数，并且要学会找一个数的约数和倍数的方法。
师：[指着小黑板上“15÷3=5”的算式]我们知道，15能被3整除。
我们就说，15是3的倍数，3是15的约数。
请同学们跟老师一起说。
师：[合]15是3的倍数，3是15的约数。
生：师：我们还可以这样说：因为15能被3整除，所以15是3的倍数，3是15的约数。
一齐说一遍。
师：生：[合]因为15能被3整除，所以15是3的倍数，3是15的约数。
师：现在大家再看第二个能够整除的算式。
[指“24÷2=12”]在这里，哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的约数？生：24是2的倍数，2是24的约数。
师：[指“8÷4=2”]在这个算式里呢？生：8是4的倍数，4是8的约数。
师：我们再来看这个算式。
[指“0.8÷0.4=2”]能不能说0.8是0.4的倍数，0.4是0.8的约数呢？生：不能。
因为除数和被除数都是小数。
师：也就是说，0.8÷0.4=2这个算式不是整除，所以不能说0.8是0.4的倍数或0.4是0.8的约数。
我们说一个数是另一个数的倍数或约数时，有一个前提，那就是要能够整除。
现在你们能不能自己举出一些例子来说明倍数和约数？生(1)：6÷3=2。
6是3的倍数，2是6的……3是6的约数。
师：6是3的倍数，3是6的约数。
他刚才还想说2是6的约数。
大家想一想，2是不是6的约数？生：是的。
师：因为6÷2=3，所以2也是6的约数。
现在请哪个同学再来举几个例子。
生(2)：60÷5=12，60是5的倍数，5是60的约数。
生(3)：24÷8=3，24是8的倍数，8是24的约数。
师：现在请大家想想：什么叫做约数？什么叫做倍数？生(1)：在整除的情况下，被除数是除数的倍数，除数是被除数的约数。
生(2)：a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数。
师：现在请大家把课本翻到第32页，看看书上是怎样说的，然后再把它们读一遍。
生：[齐]如果数a能被数b整除，a就叫做b 的倍数，b就叫做a的约数。
师：[出示小黑板]请看下面的说法对不对。
第一句是“21是7的倍数，7是21的约数。
”这句话对不对？生：[齐]对。
师：再看第二句：“6是6的倍数，6也是6的约数。
”这句话对不对。
生：这句话是对的。
师：为什么？生：因为6÷6=1，6能被6整除，所以6是6的倍数，6也是6的约数。
师：再看这一句：“20是倍数，10是约数。
”这种说法对不对？生：不对。
因为它只告诉我们：“20是倍数，10是约数。
”没有告诉我们20是哪个数的倍数，10是哪个数的约数。
师：是的。
光说一个数是倍数或一个数是约数，这种说法是很不清楚的。
20是4的倍数，20是40的约数。
所以今后在说约数或倍数的时候，一定要说清楚哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的约数。
[继续出示小黑板，让学生判断各组数中，哪个数是另一个数的约数，哪个数是另一个数的倍数]第一组：72和8。
生：72是8的倍数，8是72的约数。
师：第二组：140和20。
生：140是20的倍数，20是140的约数。
师：第三组：35和105。
生：105是35的倍数，35是105的约数。
师：第四组：50和1000。
生：1000是50的倍数，50是1000的约数。
师：说得很好。
现在我们要学习寻找约数的方法。
比如，要找15的约数有哪几个，24的约数有哪几个。
[出示例1]要找15的约数有哪几个，可以这样想：15分别能被哪些数整除？可以从最小的数找起。
你们找一找。
生(1)：15能被1整除。
[教师板书：1]生(2)：15能被3整除。
[教师板书：3]生(3)：15能被5整除。
[教师板书：5]生(4)：15能被15整除。
[教师板书：15]师：15除了能被这4个数整除以外，还能不能被其他什么数整除？生：[齐]没有了。
师：这就是说，15只能被1、3、5、15这四个数整除。
那我们就说，15的约数有1、3、5、15四个。
[在1、3、5、15前板书：“15的约数有：”]会找一个数的约数了吗？用这种方法找一找，24的约数有哪几个？从小到大开始去找。
生(1)：24的约数有1、2、3、4、6、8、24。
[教师板书：l、2、3、4、6、8、24]生(2)：还有12。
[教师在“8”和“24”之间板书“12”]师：刚才我们用除的方法来找15和24的约数。
用这种方法去找约数，比较慢。
如果一个数的约数比较多的话，就容易把其中的某些约数漏掉，像刚才那位同学找24的约数就漏掉了12。
请同学们想想，能不能找出一种既快又不容易漏掉的好方法？生：可以一对一对地找。
例如用24除以1，就得到24。
师：这就是说，在整除的情况下，除数和商都是被除数的约数，这实际上就是用乘的方法去找。
比如15，想几和几相乘得15，1×15=15，3×5=15，就得到15的约数有1、15、3、5。
[在15的约数旁边板书：]下面请同学们用这种方法找100的约数有哪几个。
生(1)：1和100，2和50，4和25，5和20。
生(2)：还有10和10。
[教师先后板书：]师：最后找的两个因数都是10，我们写约数时只写一个10。
师：请同学们再看一看，这些数的约数有没有全部找出来？生：[齐]全部找出来了。
师：从刚才找约数的过程中，你发现了什么？[略等片刻]最小的约数都是几？最大的约数都是什么样的数？生：最小的约数都是1。
15的约数中最大的是15，24的约数中最大的是24，100的约数中最大的是100。
师：这就是说，在一个数的所有约数中，最小的约数是1，最大的约数是它的本身。
因为一个数的约数不会小于1，也不会大于它的本身，所以一个数的约数的个数是有限的。
[出示小黑板]下面请同学们看一看这些说法对不对？应该怎样说才对？师：[读题]42的约数有2、3、6、7、14、21。
生：错的。
42的约数还有1和42。
师：这句话错就错在少了42最小的约数1和42最大的约数42。
我们在寻找一个数的约数的时候，很容易会把最小的约数1和最大的约数——即这个数的本身给忘了。
请大家要注意。
再看下面一句：“25的约数有1、5、5、25。
”这句话对不对？生：这句话也是错的。
应该说，25的约数有1、5、25。
师：这句话里多了一个5，就重复了。
下面请哪个同学说说，10的约数有哪几个？生：10的约数有1、2、5、10。
师：13的约数呢？生：13的约数有1和13。
师：36的约数呢？生(1)：36的约数有1、2、3、6、8、12、24、36。
师：他说得对不对？生(2)：他说错了。
应该是，36的约数有1、36；2、18；3、12；4、9；6。
师：对。
一对一对找一个数的约数就不容易发生错误。
现在再来学习寻找倍数的方法。
[出示例2]2的倍数有哪些？3的倍数有哪些？要找一个数的倍数，可以这样来想：这个数的1倍是多少，2倍是多少，3信是多少，依此类推。
现在大家先来找2的倍数。
生：有2、4、6、8、10，等等。
[教师板书：2、4、6、8、10]师：还有多少？能把它们全部写下来吗？生：还有很多很多，不能全部写下来。
师：那我们就在后面用省略号表示。
[在“10”的后面板书：……]读的时候，这里的省略号可以读成“等等”。
现在再来看3的倍数。
生：3的倍数有3、6、9、12，等等。
[教师板书：3、6、9、12、……]师：为什么前面找约数的时候，最后用句号表示。
而在这里找倍数时，后面用省略号来表示？生：因为15、24和100的约数全找出来了，而2和3的倍数还没有写完。
师：一个数的约数的个数是有限的，全都找出来了，最后就用句号表示。
而一个数的倍数的个数是无限的，不可能全部找出来，所以后面用省略号来表示。
现在来看看，一个数的最小的倍数是什么样的数？生：一个数最小的倍数是它本身。
师：有没有最大的倍数呢？生：没有。
师：为什么？生：因为自然数是无限的。
师：因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
[出示小黑板]看看下面的说法对不对？把不对的地方改过来。
先看第一句：5的倍数有10、15、20、25，等等。
生：倍数里少个5。
应该说，5的倍数有5、10、15、20、25，等等。
师：对。
再看下面一句：6的倍数有6、12、24、48，等等。
生：这一句也错的。
在12和24中间，少了个18。
师：对。
48后面用了省略号，表示48后面还有很多6的倍数没写出来；48前面没有省略号，在48前面6的倍数就要一个不漏地按顺序写出来。