约数与倍数(三)
小学奥数王峰数论(3)约数_倍数_完全平方数
教 案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 王峰 上课时间： 学生签字：__________【专题知识点概述】本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，而完全平方数的定义也很容易，故我们讲解的重点放在这些数的性质上,以及如何正确的运用这些性质解决数论问题。
一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即若11(,),(,),a a a b b b a b =⨯=⨯则11(,)1a b =(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯注：(,)a b 表示两个数的最大公约数，[,]a b 表示两个数的最小公倍数(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=二、约数个数与所有约数的和(1)求任一合数约数的个数：一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(31)(21)(11)43224+⨯+⨯+=⨯⨯=个。
(包括1和1400本身)(2)求任一合数的所有约数的和：一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数(1)求几个分数的最小公倍数求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；例如：求121624,,202430的最小公倍数首先将3个分数化为最简分数，123162244,, 205243305 ===由[3,2,4]12,(5,3,5)1==，所以12162412[,,]122024301==，即它们的最小公倍数是12.(2)求几个分数的最大公约数求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.例如：求121624,,202430的最大公约数首先将3个分数化为最简分数，123162244,, 205243305 ===由(3,2,4)1,[5,3,5]15==，所以1216241(,,)20243015=，即它们的最大公约数是115.四、完全平方数的性质1.常用主要性质：● 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
五年级上册数学知识点概述认识倍数与约数的概念
五年级上册数学知识点概述认识倍数与约数的概念五年级上册数学知识点概述：认识倍数与约数的概念数学是一门有趣而又实用的学科，它有许多基础知识点需要我们掌握。
在五年级上册的数学课程中，我们将学习并深入理解倍数与约数的概念，这些内容对我们今后的数学学习将起到重要的基础作用。
一、倍数的概念及性质倍数是指一个数能够被另一个数整除，而没有余数。
例如，数1、2、3都是数6的倍数，因为它们分别整除6都没有余数。
在五年级上册数学中，我们学到了倍数的概念及其性质。
1. 倍数的定义一个数m是另一个数n的倍数，当且仅当存在一个整数k，使得m=k×n。
其中，k可以是正整数、零或负整数。
2. 倍数的性质（1）任何一个数都是它自己的倍数，即n是n的倍数。
（2）如果a是b的倍数，而b是c的倍数，那么a一定是c的倍数。
（3）如果a是b的倍数，那么a是b的整数倍数。
通过学习倍数的概念及其性质，我们可以更好地理解和运用倍数的相关知识，解决实际问题。
二、约数的概念及性质约数是指能够整除某个数并且没有余数的其他数。
在五年级上册数学课程中，我们除了学习约数的概念，还要了解约数的性质及其应用。
1. 约数的定义设整数m和n满足m×k=n（其中k为整数），则m称为n的约数。
也就是说，如果一个数能够整除另一个数，而没有余数，那么这个数就是另一个数的约数。
2. 约数的性质（1）任何一个数的约数包括1和它自身。
（2）如果a是b的约数，而b是c的约数，那么a一定是c的约数。
（3）如果a是b的约数，那么a是b的整数约数。
掌握约数的概念和性质对我们进行数学推理和解题非常重要。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到一些需要运用约数概念的问题，并通过寻找约数的方法来解决。
三、倍数与约数的联系和应用倍数与约数是密切相关的概念，在实际问题中应用非常广泛。
在五年级上册数学中，我们学习了一些与倍数和约数相关的应用及其解题方法。
1. 最大公约数最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
了解小学数学中的倍数与约数
了解小学数学中的倍数与约数在小学数学中，倍数和约数是经常出现的概念。
它们是数学学习的重要基础，对于深入理解数的性质和运算有着重要的作用。
本文将详细介绍倍数和约数的定义、性质以及在数学中的应用。
一、倍数的定义和性质1.1 定义在数学中，一个数如果能够被另一个数整除，那么后者就是前者的倍数。
例如，6能够被2整除，因此6是2的倍数。
通常表示为“6是2的倍数”。
1.2 倍数的性质（1）零是任何数的倍数，而任何数都是1的倍数。
（2）一个非零数的倍数可以是正数、负数或零。
（3）一个数的倍数总是大于或等于这个数本身。
（4）如果一个整数能同时被两个或更多个数整除，那么它一定是这些数的公倍数。
以5为例，5的倍数可以是-10、0、5、10、15等。
而10是-5和2的公倍数，15是3和5的公倍数。
二、约数的定义和性质2.1 定义在数学中，一个数如果能够整除另一个数，那么前者就是后者的约数。
例如，4可以整除8，因此4是8的约数。
通常表示为“4是8的约数”。
2.2 约数的性质（1）零的约数是所有的整数，而一个非零数的约数总是小于或等于这个数的绝对值。
（2）一个数的约数必定可以整除这个数。
（3）一个数的除数个数是有限的。
例如，8的约数有1、2、4和8。
而15的约数有1、3、5和15。
三、倍数与约数的联系倍数和约数是密切相关的概念，它们之间有以下的联系：（1）一个数是另一个数的倍数，那么这个数的约数也是后者的约数。
（2）一个数是另一个数的倍数，那么后者的倍数也是前者的倍数。
例如，8是4的倍数，那么8的约数1、2、4也是4的约数。
同时，16是8的倍数，而8是4的倍数，所以16也是4的倍数。
四、倍数和约数在数学中的应用4.1 最大公约数和最小公倍数在数学的分数运算、约分、化简、通分等问题中，最大公约数和最小公倍数是非常重要的概念。
最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个，而最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
四年级数学数的倍数和约数
四年级数学数的倍数和约数数学是一门充满魅力的学科，在学习数学的过程中，我们会遇到许多有趣的概念和知识点。
其中，数的倍数和约数是我们学习数学的基础，它们对理解数学的发展和应用具有重要的意义。
本文将介绍四年级数学中的数的倍数和约数，帮助大家更好地理解和应用这些概念。
一、数的倍数数的倍数是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，一个数是另一个数的倍数，通常用乘法来表示。
举个例子，如果我们说4是8的倍数，那么就意味着8能够被4整除。
具体而言，一个数的倍数是由这个数与任意整数相乘得到的。
例如，4的倍数可以是4、8、12、16等。
在计算数的倍数时，有一些基本规律需要注意。
首先，每个数都是其自身的倍数，即任何数乘以1都等于这个数本身。
其次，每个数都是0的倍数，因为任何数乘以0都等于0。
此外，一个正整数的倍数可以是正整数、负整数或零。
例如，4的倍数可以是4、-4、8、-8、12、-12等。
了解数的倍数对解决一些实际问题非常有帮助。
例如，在购物时，如果我们知道某个商品的价格是6元，而我们有12元可以购买多个这个商品，我们可以通过计算12除以6的商，得出我们可以购买2个这个商品。
这个计算过程中，我们就在使用数的倍数的概念。
二、数的约数数的约数是指能够整除一个数的数，也就是说，能够整除一个数的数就是这个数的约数。
例如，6的约数包括1、2、3、6。
一个数的约数有两个特殊的约数，即1和它本身，这是因为任何数除以1和它自己都能得到整数的结果。
在计算数的约数时，我们需要注意以下几点。
首先，一个数的约数的个数是有限的，不会无穷无尽。
其次，对于一个正整数n，它的最小正因数是2，即大于1且小于n的最小整数。
最后，一个数的约数具有一定的规律性，即如果一个数是另一个数的约数，那么这个数的倍数也是这个数的约数。
了解数的约数对于解决一些实际问题也非常有帮助。
例如，我们在分发物品时，如果我们知道有24个物品需要平均分给12个人，我们可以通过计算24除以12的商，得出每个人可以得到2个物品。
倍数与约数的关系
倍数与约数的关系倍数与约数是数学中常常涉及到的概念。
在数学中，我们经常遇到需要计算某个数的倍数或者约数的情况。
倍数是指一个数可以被另一个数整除，而约数是指能够整除某个数的数。
本文将详细探讨倍数与约数之间的关系以及它们在数学中的应用。
一、倍数的概念倍数是指一个数可以被另一个数整除，即一个数是另一个数的倍数。
例如，2是4的倍数，因为4可以被2整除。
同样地，10是5的倍数，因为5可以被10整除。
换句话说，如果存在整数k，使得k乘以另一个数n等于某个数m（kp = m），那么我们可以称m是n的倍数，同时也可以称n是m的约数。
二、约数的概念约数是指能够整除某个数的数，即一个数可以被其他数整除的因子。
例如，4的约数有1、2和4，因为这些数能够整除4。
同样地，10的约数有1、2、5和10，因为它们能够整除10。
我们可以发现，一个数的约数有限个，且包括1和它本身。
另外，任意两个数的约数之积即为它们的倍数。
三、倍数与约数之间存在着密切的关系。
具体来说，一个数n的约数都是n的倍数，同时，n的倍数一定是n的约数。
这是因为如果一个数n是另一个数m的倍数，即存在整数k，使得nk = m，那么n肯定能够整除m，即n是m的约数。
同样地，如果一个数d是另一个数n的约数，即存在整数k，使得dk = n，那么d肯定能够被n整除，即d 是n的倍数。
四、倍数与约数的应用倍数与约数在数学中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在因数分解中。
因数分解是指将一个数表示为若干个素数的乘积的过程。
在因数分解中，我们需要找到一个数的所有约数，然后将约数进行分解，直到不能再分解为止。
这样可以得到该数的因数分解式。
另一个应用是在最大公约数和最小公倍数的求解中。
最大公约数是指两个或多个数中最大的能够同时整除这些数的数，最小公倍数是指两个或多个数中最小的能够被这些数整除的数。
通过寻找两个数的约数，我们可以求解它们的最大公约数和最小公倍数。
在实际生活中，倍数与约数的概念也有很多应用。
掌握倍数与约数的概念
掌握倍数与约数的概念倍数和约数是数学中常见且重要的概念，它们在数学运算和问题解决中起到关键作用。
本文将详细介绍倍数和约数的定义、特性以及它们在实际问题中的应用。
一、倍数的定义与特性倍数是指一个数可以被另一个数整除，被整除的数称为倍数，而整除的数称为倍数的基数。
例如，如果一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是这个数的倍数。
例如，6是3的倍数，因为6能够被3整除。
1.1 倍数的定义：对于两个整数a和b，如果存在整数c，使得b = ca，那么b就是a的倍数，a称为b的因数或除数。
1.2 倍数的特性：(1) 任何一个整数都是它本身的倍数；(2) 一个整数的倍数还是整数；(3) 如果a是b的倍数，b是c的倍数，则a也是c的倍数；(4) 0是任何整数的倍数。
二、约数的定义与特性约数是指可以整除某个数的所有因数，也可以说是某个数的正因数。
例如，一个数的约数包括1和它本身。
约数在数学中具有重要的性质和应用，下面将详细介绍约数的定义和特性。
2.1 约数的定义：对于两个整数a和b，如果存在整数c，使得a = bc，那么a就是b的约数，b称为a的倍数。
2.2 约数的特性：(1) 任何一个整数都是1和它本身的约数；(2) 如果a是b的约数，b是c的约数，则a也是c的约数；(3) 如果a是b的约数，且b是a的约数，则a = b。
三、倍数与约数的关系倍数和约数是互相关联的。
对于一个数来说，它的所有约数都是它的倍数，而它的所有倍数也都是它的约数。
例如，对于数8来说，它的倍数包括1、2、4和8，而它的约数也包括1、2、4和8。
四、倍数与约数的应用倍数和约数在实际问题中有广泛的应用，尤其是在数论和代数中。
以下是倍数和约数的几个常见应用：4.1 因数分解：通过找到一个数的所有约数，可以将它表示为若干个质数的乘积，这就是因数分解。
4.2 最大公约数和最小公倍数：通过求两个数的约数，可以得到它们的最大公约数和最小公倍数，这在求解最简分数和计算公式的化简中非常常见。
五年级数学思维拓展约数与倍数第三讲
【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（一）——约数与倍数（3）了解约数与倍数1、认识什么是约数，什么是倍数2、会利用公式和技巧解题1. 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是8，最小公倍数是288，求乙数是多少？2. 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？3. 两个自然数的和是75，它们的最大公约数是25，试求这两个数。
（即是该课程的课后测试）1. 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？2. 甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？3. 马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______。
4. 如图，鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。
老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。
”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？5. 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。
那么这些小朋友最多有多少人？1. 答案：最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。
于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98。
2. 答案：对90分解质因数： 290235=⨯⨯。
因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5。
如果乙也不含因数5，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5，但90是5的倍数，所以乙含有因数5。
约数与倍数知识点总结
约数与倍数知识点总结一、约数的定义与性质1. 定义：如果一个整数a能被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的约数。
2. 性质：（1）1是任何整数的约数；（2）任何整数都是其本身的约数；（3）如果a是b的约数，那么-b也是b的约数，即约数是成对出现的；（4）如果a是b的约数，b是c的约数，那么a也是c的约数；（5）如果a是b的约数，b是c的约数，那么a也是c的倍数。
二、约数与倍数的应用1. 约数的应用：（1）判断一个数是否是质数：一个数的约数只有1和本身，那么这个数就是质数；（2）求一个数的所有约数：可以利用因式分解的方法来求一个数的所有约数；（3）求两个数的最大公约数：可以利用约数的性质来求两个数的最大公约数。
2. 倍数的应用：（1）求两个数的最小公倍数：可以利用倍数的性质来求两个数的最小公倍数；（2）判断一个数与另一个数的关系：如果一个数是另一个数的倍数，就说明这两个数之间存在一定的倍数关系。
三、整数的因数分解1. 定义：将一个整数用几个素数的乘积表示出来，这样的运算叫做分解因数。
2. 方法：（1）分解质因数：一个合数可以分解为几个素数的积；（2）分解因数的方法：首先写成质因数，然后列成积。
3. 应用：（1）求一个数的所有约数；（2）求两个数的最大公约数；（3）求两个数的最小公倍数。
四、素数与合数1. 定义：（1）素数：一个大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其他正整数整除的数；（2）合数：大于1的自然数，除了1和它本身之外还有其他约数的数。
2. 性质：（1）1不是素数也不是合数；（2）任何一个大于1的自然数都可以表示为质数的积；（3）质数的特性：一个合数可以分解为几个素数的积。
3. 应用：判断一个数是否是素数；对一个合数进行因数分解。
五、相关的习题和例题例1：求出自然数24的所有约数。
解：首先找出24的所有因数，再对因数进行两两配对，最后对配对的结果进行相乘，就可以得到24的所有约数。
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2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ； b 即 a
【例 4】 已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假 设 这 两 个 数 是 21a 和 21b ， 易 得 21 a b 126 ， 所 以 a b 6 ， 由 a 和 b 互 质 ， 那 么 就 有
。
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】2009 年，希望杯，第七届，六年级，二试，第 5 题，5 分
【解析】根据最小公倍数 最大公约数 A B ，知道， B 180 30 90 60 【答案】 60
【例 2】 已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数． 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由 于 两 个 自 然 数 的 积 两 数 的 最 大 公 约 数 两 数 的 最 小 公 倍 数 ， 可 以 得 到 ， 最 大 公 约 数 是
a
4． 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公 倍 数 中 最 小 的 那 个 称 为 这 些 正 整 数 的 最 小 公 倍 数 。
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】设 a b ，有 a b 120 ，又设 (a,b) d ， a pd ， b qd ， ( p, q) 1 ，且 p q ，则 [Байду номын сангаас,b] pqd ，
32 ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相 除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原 来的两个数是互质的)． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数： 1515 600 2315 ； 600 315 1285 ； 315 285 130 ； 285 30 915 ； 30 15 20 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15．
为所求．例如： [ 3 , 5 ] [3,5] 15 4 12 (4,12) 4
注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：
1 2
,
4 3
1, 4 2, 3
4
4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
合条件的数：9 与 1 或者 7 与 3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45 与 5，35 与 15．它们的 差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是 40 或者 20． 【答案】这两个数的差是 40 或者 20
【巩固】两个自然数的和是 125，它们的最大公约数是 25，试求这两个数． 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 125 25 5 ， 5 1 4 2 3 ，两数可以为 25、100 或者 50、75． 【答案】两数可以为 25、100 或者 50、75
将 30 分解成两个互质的数之积：1 和 30，2 和 15，3 和 10，5 和 6，所以这两个数为 4 与 120，或 8 与 60，或 12 与 40，或 20 与 24． 【答案】两个数为 4 与 120，或 8 与 60，或 12 与 40，或 20 与 24
【例 5】 甲、乙两个自然数的最大公约数是 7，并且甲数除以乙数所得的商是11 .乙数是_____. 8
2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 (a,b) [a,b] a b ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如： 5 6 7 210 ，210 就是 567 的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍 例如： 6 7 8 336 ，而 6,7,8 的最小公倍数为 336 2 168 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几 个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
知识点拨
一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最 大公约数 b； b 即为所求．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】由(甲，乙) 7 ，且甲：乙 9 : 8 ，由于 8 与 9 互质，所以乙数 8 7 56 . 【答案】56
【例 6】 已知正整数 a、b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那么 a、b 中较大的数 是多少？
四、求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 23 52 7 ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如： 21000 23 3 53 7 ，所以 21000 所有约数的和为 (1 2 22 23)(1 3)(1 5 52 53)(1 7) 74880 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。
6 1 6 2 3 两种情况．所以甲、乙是： 211 21 ， 21 6 126 或 21 2 42 ， 21 3 63 两种情 况．它们的和是 147 或 105． 【答案】和是 147 或 105
【巩固】已知两个自然数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120，求这两个数． 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，120 4 30 ，
5-4-3.约数与倍数（三）
教学目标
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 △☆ △☆ ... △☆ 的结构， 而且表达形式唯一”
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： 231 3 7 11 ， 252 22 32 7 ，所以 (231, 252) 3 7 21 ；
2 18 12 ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 3 9 6 ，所以 (12,18) 2 3 6 ；
例题精讲
模块一、运用大公约和小公倍的模型解题
如果 m 为 A 、 B 的最大公约数，根据模型知道：
（1）且 A ma ， B mb （2）那么 a、b 互质 （3）所以 A 、 B 的最大公约数为 m ，最小公倍数为 mab （4）最大公约数与最小公倍数的成绩为 A 与 B 的成绩
【例 1】 甲数是 36，甲、乙两数最大公约数是 4，最小公倍数是 288，那么乙数是多少？ 【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】法 1：根据两个自然数的积 两数的最大公约数 两数的最小公倍数，有：甲数 乙数 4 288 ，所
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；