9.16分组分解法
9.16分组分解法(2)
活动4
练习 分解因式： m2–5m+n2+5n–2mn
m2–2mn+n2–5m+5n
拓展提高
多项式有什么特征？
(m–n)2–5(m–n) 解： m2–5m+n2+5n–2mn =m2–2mn+n2–5m+5n 2 = (m–n) –5(m–n) =(m–n)(m–n–5)
活动5
自我小结
1.“一三”分组分解四项式的要点： (1)含三项的这组是完全平方式； (2)先用完全平方公式，再用平方差公式． 2.分组分解四项式的思考顺序：
活动3
分解因式：
2 2 x –4xy+4y –4；
课堂练习
(2) a2–9b2+2a–6b
(1) 解： (1) x2–4xy+4y2–4 2 2 = (x –4xy+4y )–4 2 = (x–2y) –4 =(x–2y+2) (x–2y–2) (2) a2–9b2+2a–6b =( a2–9b2) +(2a–6b) =(a+3b)( a–3b) +2 (a–3b) = ( a–3b) (a+3b+2)
活动3
分解因式： 2 2 (3) 1–a +2ab–b ． 解： (3) 1–a2+2ab–b2 =1–(a2–2ab+b2) =1–(a–b)2 =(1+a–b)[1–(a–b)] =(1+a–b)(1–a+b)
课堂练习
活动4
例题2 分解因式：
拓展提高
完全平方式
x2+2xy+y2–3x–3y 多项式有什么特征？ 提取 – 3 “二三”分组 如何进一步分解？ (x+y)2 –3(x+y) 提取公因式法 (x+y) (x+y–3) 解： x2+2xy+y2–3x–3y 五项式进行“二三”分组 =(x2+2xy+y2) +(–3x–3y) = (x+y)2–3(x+y) = (x+y)(x+y–3)
【最新整理版】秋上海教育版数学七上9.16《分组分解法》ppt课件.pptx
(5) a4b+2a3b2-a2b-2ab2 (5) = ab(a+2b)(a+1)(a-1)
(6) 45am2-20ax2+20axy-5ay2
(6) =5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)
(7) 2(a2-3mn)+a(4m-3n) (7) =(2a-3n)(a+2m)
(8) x2+x-(y2+y) (8) =(x-y)(x+y+1)
=[(a+b)-c][a-(b+c)]
课堂练习
把下列各式分解因式
(1) a2-ab+3b-3a (1) =(a-b)(a-3)
(2) x2-6xy+9y2-1 (2) =(x-3y+1)(x-3y-1)
(3) am-an-m2+n2 (3) = (m-n)(a-m-n)
(4) 2ab-a2-b2+c2 (4) =c+a-b)(c-a+b)
(a b c)(a b c)
如果把一个多项式分组后各组都 能分解因式,且在各组分解后,各组之 间又能继续分解因式,那么,这个多项 式就可以用分组分解法分解因式.
例１ 把 a2-ab+ac-bc 分解因式
分析：把这个多项式的前两项与后两项分成 两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式 正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b 。
【注意】
(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新
的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组 方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会 使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有 直接达到分解的目的．
9.16 分组分解法学案教案.doc
9.16 分组分解法一、课前练习 1. 分解因式：（1）65x x 2--； (2)2510x x 2++（3）229y -x ； (4)8a -2ax ax 2+.2. 分解因式：（1）x)-n(3-3)-m(x ； (2)b)(a -b)-b)(a (a ++；（3）y)-(x -y)-(x -2.二、阅读理解1.阅读教材P52～54.2.利用_______来分解因式的方法叫做分组分解法.3.尝试 你能将多项式2222c b ab a -+-因式分解吗？4．阅读中遇到的问题有________________________________________________________ ___________________________________________________________________________三、新课探索1.尝试 分解因式 a(x+y)-x-y.2. 尝试 分解因式by bx ay ax +++.3. 尝试 分解因式1b 2ab a 22-++例题1 把3bd -bc 6ad -2ac +分解因式.4 练一练 把4kn 6mn 9km 6k 2--+分解因式.例题2 把222c a b 2bc -+-分解因式.例题3 把x y y x x 882223-+-分解因式四、课内练习 1．分解因式：（1）c -b ac -ab + ； (2)2b 2a -ab -a 2+；（3）6bc -2ac 9b -3a +； (4)8-4x -6x y 32+y x .2．分解因式：（1）b a b a ---22； (2)12a -b -a 22+；（3）2222c b a ac -+-.3．分解因式：（1）x xy y 33x 2--+； (2)18y -9x -y 2x x 23+；（3）24-12y -2)x (y 2)x (y 2+++； (4)22222222x n y m y n x m --+.9个小学生教育案例个案一：学生小田，老师，家长都反映他是个“不开窍”的孩子，一道应用题，老师课堂上讲过，家长又复习过，可做起来就是错误百出，一到考试就更不行了，别的同学背课文，一下子背出了，可他读了好多遍，还是记不住，丢三落四，常用字常会错，渐渐地学习提不起兴趣。
9.16 分组分解法
解：=(p-q)+k(p-q)
=(p-q)(1+k)
(3)5m(a+b)-a-b
解：=5m(a+b)-(a+b) =(a+b)(5m-1)
(4)2m-2n-4x(m-n)
解：=2(m-n)-4x(m-n) =(m-n)(2-4x) =2(m-n)(1–2x)
(2 z 2 )(x 2 y 2 )
1、分组分解法是一种适合于四项以上的多项式 的因式分解，是在多项式暂无公因式可提，通过 分组能产生新的公因式 2、在有公因式的前提下，按对应项系数成比例 分组，或按对应项的次数成比例分组。
1、B册/14.2 习题三 2、同步
思考： 如何进行多项式am+an+bm+bn分解因式？ 观察：多项式的各项有公因式吗？ 每两项之间呢？ 怎样把am+an+bm+bn分解因式？ 解： am+an+bm+bn =(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b)
分组 提取组内公因式 产生新的公因式
这种利用分组来分解因式的方法叫做 分组分解法
分组的目的是为了提取， 提取的目的是为了再提取
解：原式 abc2 abd2 cda2 cdb2 2 2 2 2 (abc cda ) (cdb abd ) ac(bc ad) bd(bc ad) c d ) cd ( a b )分解因式 例3
七年级数学上册 9.16《分组分解法》课件
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
9.16分组分解法
§9.16 分组分解法（1）学习目标：1、理解分组分解法的概念，进一步理解因式分解的意义；2、在尝试分组的过程中掌握含有四项的多项式的分组分解的方法；3、在探求一题多解的同时培养学生观察、分析、归纳的能力。
学习重难点：把握分组分解法的特征，会用分组分解法进行因式分解。
；注意结果要分解到不能再分解为止。
学习过程： 一、课前预习 1、复习回顾：我们已经学习了因式分解的四种方法，在解因式分解时，应按怎样的考虑顺序进行分解： ①先考虑： 。
②再看 ，（1）若多项式的项数是二项，考虑用 。
（2）若多项式的项数是三项，考虑用 或 。
（3）若多项式的项数是四项或四项以上，考虑用 。
（注意：这格若填不出来，先放一放，学完这节课就一定能填出来）（4）最后千万不要忘记： 。
2、因式分解：(1) 2153xy xy + (2) 416x - (3) 29124x x -+3、课前练习填空：（1）))((_________)(3)(2b a b a a b a +=+++ （2）_))(________()()(b a b a y b a x -=--- （3）_))(________()()(2y x y x y x --=----4、预习课本第52-54页，写下你的疑惑：二、课堂学习思考1：如何将多项式by bx ay ax +++分解因式呢？先观察多项式by ba ay ax +++，它有什么特征，回答：多项式共有几项？ ， 前两项有什么特征？ ，后两项又有什么特征？ ， 把前两项分成一组，提取a 后得： ，把后两项分成一组，提取b 后得： ，然后发现了什么 ？ ，再把 提取后就完成了本题的因式分解。
具体的解题过程你会写吗？by ba ay ax +++总结：什么叫分组分解法： 。
例题1 因式分解：263ac ad bc bd -+-课堂练习1 因式分解：（1）c b ac ab -+- （2）kn mn km k 46962--+思考2：如何将多项式1222-++b ab a 分解因式呢？本题共有几项？ ，你发现前三项是什么？ ，因此把前三项分成一组，分解为： ，然后和后面的1-组成平方差公式，也就完成了本题的因式分解。
9.16分组分解法
9.16分组分解法
班级 学号 姓名
一．课前练习
因式分解:
（1) 2)())(3y x y x y x ---+（ (2)4481y x -
方法: .
(3) 2212123b ab a ++ (4)
12)(8)222++-+x x x x （
方法 : .
根据项数的不同，可以选择不同的分解方法.当然，分解的前提是如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目：
分解因式：ax ＋ay ＋ab ＋ac .
二．探索尝试
1.把上面的式子改为a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能用刚刚我们回顾过的方法分解因式吗？
归纳：利用 来分解因式的方法叫做分组分解法 .
分解因式：
按字母特征分组
（1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc
按系数特征分组
（1）27321x y xy x +++
（2）263ac ad bc bd -+-
按指数特点分组
（1）22926a b a b -+-
（2）2242x x y y +--
按公式特点分组
（1）a 2－2ab ＋b 2－c 2
（2）2229124c bc b a -+-
练习
分解因式
（3）9m 2－6m ＋2n －n 2
xz
yz xy x 4696)1(2--+444-)4(22-+y xy x b a b a a 882-2)2(23-+。
9.16分组分解法-
一、填空题
1、分解因式xy-xz+y-z=
2、式3x-6y+ax-2ay=
二、分解因式
3 x2-4y2-x+2y
4、ac-bc-a2+2ab-b2
5、x2-y2+2y-1
能力提升
6、分解因式（x2-3x）2－2(x2－3x)－8
7、分解因式a2-3a+b2-3b+2ab-54
课后反思
ax+ay+bx+by将它们分成两组
=a(x+y)+b(x+y)（两、两分组）
=(x+y)(a+b)
这个多项式还有其它分组的方法吗
？
ax+ay+bx+by
=ax+bx+ay+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
a2+2ab+b2-1将它们分成两组
=(a+b)2-1（一、三分组）
=(a+b+1)(a+b-1)
教学目标
知识与技能
理解分组分解法的意义；掌握用分组分解法分解含有四项的多项式
过程与方法
注意培养学生观察、分析和应用能力以及团队协作的能力
情感、态度
与价值观
尝试中获得合作的成功，感受成功的喜悦
教学策略与手段
教学重点
掌握分组分解法的分组原则
教学难点
如何分组才能达到因式分解的目的；选择分组方法
教学策略
（或方法、模式）
=(c-3d)(2a+b)
用一，三；二，四分组的方法，独立完成这道题。
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例2:
3 2 把2x -2x y+8y-8x
分解因式
• 练习：把下列各式分解因式 • (1)3x3+6x2y-3x2z-6xyz
•
2 (2)(y+2) +(y+2)x-12y-24
小结:
(1)把有公因式的各项归为一组，并使组 与组 之间产生新的公因式，这是正确分 组的关键，因此，设计分组方案是否有 效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分 组方案，会使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添 加带有“－”号的括号时，括号内每项 的符号都要改变. (4)要分解不能再分解为止。
复习提问：
1、至今为止，我们学过哪几种因式 分解的方法？
2、 将下列多项式因式分解 ： 1)a ab 2) a ( m n ) b ( m n )
2
3)(x y ) 2( x y )
2
问题1:
如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 注意到: am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n)
2 2
(2) x 2x 1 y z 2yz
2 2 2
(3) x 6xy 9y 10x 30y 25
2 2
(4) a b a b ab a b
2 2 2 2
(5) a 4ab 4b 2a 4b
2 2
方法
分类
分组方法
特点
二项、二项 四项
①按字母分组 ②按系数分组 ③符合公式的两项分组
先完全平方公式后平方 差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式
分 组 分 解 法
三项、一项 五项 三项、二项 三项、三项 二项、二项、二项
六项
三项、二项、一项
解：
am+an+bm+bn =(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b)
• 分组后能 提取公因式
• 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
例1: 把2ac-6ad+bc-3bd分解因式
分解因式 6k2+9km -6mn-4kn
• • • • •
练习：把下列各式分解因式 (1)ab-ac+b-c (2)a2 –ab-2a+2b (3)3a-9b+2ac-6bc 2 (4)3x y+6xy-4x-8
问题3:
2 2 2 把a -2ab+b -c 分解因式. 2 2 2 解：a -2ab+b -c
• 分组后能直 2 接运用公式
=( c =( a-b)2- c2 =[(a-b)+c][(a-b)-c] =(a-b+c)(a-b-c)
2 2 a -2ab+b )-
练习2：
把下列各式分解因式
2 2 (1)4a 解因式 2 2 (1) 4a -b +6a-3b ; (2) 9m2-6m+2n-n2 ; 2 2 2 (3) x y -4+xy -2y ; (4) a2b2-c2+abd+cd ;
小结:
运用分组分解法进行 因式分解时，不一定 只有提取公因式的方 法，也可运用公式进 行分组。
(2)c2-a2-2ab-b2
2 2 2 (3)x -4y +12yz-9z
(4)a2b2-c2+2ab+1
小结:
1.运用公式进行分组分解时，可运用平 方差及完全平方公式进行分解 2.运用平方差公式特征是二项含平方 项，运用完全平方公式时则是三项 含平方项，且其中一项为平方项的 关联项，因此在分组中会出现三项 一组的情况。 3.在分组分解过程中要注意填括号去 括号时的符号问题,避免公式辨识 困难
因式分解中分组分解法是在多项式为四项 或以上时运用，在仔细观察多项式各项系 数，指数等关联因素后，选择提取公因式 或运用公式等方法将多项式合理分组进行 分解。在此过程中可以尝试各种途径，关 键是分组之后能够继续分解达到因式分解 的目的。
拓展：多于四项的多项式的分组
例题：因式分解
(1) m n 2mn n m
1．什么是分组分解法？ 2．把下列各式分解因式 (1) 5ax+6by+10ay+3bx (2)ay2-ax+bx-by2 3.填空: (1)a2-b2=________ (2)a2+2ab+b2=__________ (3)a2-2ab+b2=___________
问题2:
分解因式: x2-y2+ax+ay 解：x2-y2+ax+ay • 分组后能直 2 2 =(x -y )+(ax+ay） 接运用公式 =(x+y)(x-y)+a(x+y) =(x+y)+[(x-y)+a] =(x+y)(x-y+a)