分组分解法解
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
分组分解法
因式分解
• 练习6: m3 + 4m4 - 5 - 20m
解原式 = (m3 - 5) + 4m(m3 - 5)
= (m3 - 5)(1 + 4m)
解原式= m3(1 + 4m) - 5(1 + 4m) = (1+4m)(m - 5)
3
因式分解
• 练习7: 3x3 + 6x2y - 3x2z - 6xyz
(a + b ) - a - b
解原式 = (a + b ) - (a + b) =(a + b)( a + b - 1)
2 2
因式分解 分组
2
找规律
ma - mb + m + mn + na - nb
解原式=(ma + na) - (mb + nb) + (m2 + mn)
= a(m + n) - b(m + n) + m(m + n)
解原式 = (mx - n) + x(mx - n)
= (mx - n)(x + 1)
因式分解
• 练习4: ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1) = (b + 1)(a + 1)
因式分解
• 练习4: ab + a + b + 1
解原式 = a(b + 1) + (b + 1)
= (m + n)(a - b + m)
一、分组后能 直接提取公因式
分组分解法
三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
因式分解-分组分解法
总结与归纳
(1) a2+2ab+b2-c2 (2) x2-y2+ax+ay
(2)利用分组分解法进行因式分解时，应该怎样 进行分解？
若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑用 分组分解法，常用分组方法有一、三分组，二、二分组; 一、三分组的前提是可以运用完全平方公式，然后再和 剩下的一项用平方差公式来分解；二、二分组的前提是 可以运用提公因式法或平方差公式，然后再用提公因式 法来分解.
②提取公因式后， 如果是三项的则考虑用完全平方 公式来分解因式如；果是二项的则考虑用平方差公式来分 解因式.
③最后检查式子是不是分解彻底了.
探究新知 例 把下列各式因式分解：
(1) a2+2ab+b2-c2 解:原式=( a2+2ab+b2 ) -c2
=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c)
同步练习 把下列各式因式分解：
(1) 4a2-b2+4a-2b
解:原式=(4a2-b2 ) +( 4a-2b) =[(2a)2-b2]+(4a-2b) =(2a+b)(2a-b)+2(2a-b) =(2a-b)(2a+b+2)
同步练习 把下列各式因式分解：
(2) x2-2xy+y2 Nhomakorabea1解:原式=( x2-2xy+y2 ) -1
拓展提升
已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.
解：因为 a2+b2-6a+2b+10=0 所以 a2-6a+9+b2+2b+1=0 所以 (a-3)2+(b+1)2=0 所以 a-3=0,b+1=0 解得 a=3,b=-1
因式分解(分组分解法)
（一）分组后能直接提公因式
复习提问
1.什么叫做因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式。 2.回想我们已经学过那些分解因式的方法？ 提供因式法，公式法——平方差公式， 完全平方公式
引例
(a+b)(m+n)
例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
•
六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
•
七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
•
八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
想一想
例１，例２种还有没有其他分组的方法；如果 有，因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
=(a2+ac)-(ab+bc)
整 am+an+bm+bn 因
9.16分组分解法
（x 2y 1）(x 2y 1)
活动6 练一练
（3）（y 2）x2 ( y 2)x 12 y 24
（y 2）x2 ( y 2)x 12( y 2) （y 2）(x2 x 12) ( y 2)(x 4)(x 3)
（4）a2 b2 c2 2a 2bc 1 a2 2a 1 (b2 2bc c2 )
=(a2–b2)+(a+b) =(a+b)(a–b)+(a+b) =(a+b)(a–b+1)
2ac–8ad+bc–4bd
=(2ac+bc) + (–8ad–4bd)
=c(2a+b)–4d(2a+b)
=(2a+b)(c–4d)
1. 按字母特征,或按系数特征, 或按字母指数特征分组； 2. 产生新公因式； 3.继续用提取公因式法； 4.分解到不能分解为止．
探究新知
例题1 分解因式： (1) x2–4x–y2+4； 分析: “一三”分组
多项式有何特征? 如何分组？
(x2–4x+4)–y2
(x–2)2–y2 “一三”分组的要点:
解：(1) x2–4x–y2+4 =(x2–4x+4)–y2 =(x–2)2–y2 =(x–2+y)(x–2–y)
1.含三项的这组是完全平方式； 2.先用完全平方公式，再用平方差公式．
= (x+y)2–3(x+y)
= (x+y)(x+y–3)
活动4 拓展提高
练习 分解因式： m2–5m+n2+5n–2mn
多项式有什么特征？
m2–2mn+n2–5m+5n
分解因式之分组分解法
第9讲、 分组分解(A)姓名：____________一、知识梳理：我们已经学过了那些分解因式的方法？你能用我们已经学过的方法分解下面多项式的因式吗？am bn an bm +++，此多项式有四项，不能直接用我们已经学过的方法进行分解，但我们观察到一、四两项和二、四两项都有公因式可以提，因此采取分组的方法进行分解。
解：am bn an bm +++()()()()()()am bm bn an m a b n b a m n a b =+++=+++=++此多项式还有其他的分解方法吗？自己试试看)像上面先把多项式分组然后再分解因式的方法叫做分组分解法。
1、 分组方法的探究运用分组分解法分解因式时，要四项以上才能分组，且分组后要能提取公因式、运用公式、十字相乘法分解因式，若分组后既不能提取公因式，也不能运用公式法、十字相乘法分解因式，分组也是徒劳的。
分组分解法难就难在分组，只要把分组的方法掌握了，分组分解就迎刃而解了。
下面我们就以项数分组探究分组分解法分解因式的分组规律。
二、典例精讲：（1）四项分组四项分组的方法有两种① 三项和一项△ △ △ △完全平方 平方② 两项和两项△ △ △ △能提公因式 或用两项的公式五项分组法① 三项和二项△ △ △ △ △二次三项式 公因式或两项公因式② 两项和两项和一项△ △ △ △ △平方差 一次项 常数 例4、 2256a b a b -+--22212a ab b c ++-例、222a b a b ---例、2232a ab b ac bc ++++例、（3） 六项分组（三种分法） ① 三项和三项 △ △ △ △ △ △二次三项式 二次三项式② 三项、两项和一项 例6、22276x xy y x y +--+-△ △ △ △ △ △二次三项式 一次项 常数项以上方法即“双”十字相乘法③ 两项 两项 两项△ △ △ △ △ △两项中有公因式或能有两项的公式即学即练：（1） 分解因式① 2222x x y y z ++-② 222944x y z y z --+③ 22m m n n --+④2436a b ma mb +--(2)分解因式① 222x y xy ax ay +-+-② 223224x xy x y y ++++2222522a b ax by x y-+-+-例、227ax ay x y x y -+-+-例、③ 22920m n m n ---- ④ 2222122a b ab ax x a +-+--⑤ 22a b ax bx a b -++++ ⑥ 222221x xy y x y -+-++例8、分解因式：（1） xy y x 4)1)(1(22+-- （2） 22224x y xy z z ++-变式：分解因式： 432655x x x x ++++四、能力与创新（1）分解下列各式的因式① ()22414x xy y -++ ②2222424a b c ax bc x --+++【家庭作业】 第一部分：1、若()22212a b a b ++=+，则ab = ， 2、若22a ab m ++是一个完全平方式，则m = 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例2.分解因式 3ax 4by 4ay 3bx
解：3ax 4by 4ay 3bx
(3ax 3bx) (4by 4ay) 3x(a b) 4y(a b) (a b)(3x 4y)
运用拓展 分解因式：
a2 ab ac bc 4xy3xz 8y 6z 5m(a b) a b
y(x y)(x y)(x y) y(x y)2(x y)
运用拓展
分解因式：
①4a2 b2 6a 3b ②m3 m2n n3 mn2 ③4x2 4xy y2 a2 ④x4 y 2x3 y x2 y 2xy
提高练习
① 1 m2 n2 2mn ② (z2 x2 y2)2 4x2 y2 ③ ab(x2 - y 2) + xy(a2 - b2)
(m 2)(a b)
合作探究
活动：探究分组分解法分解因式
例1.分解因式 2ax 10ay 5by bx 2ax 10ay 5by bx
(2ax 10ay) (5by bx) 2a(x 5y) b(5y x) 2a(x 5y) b(x 5y) (x 5y)(2a b)
还有公因式可以提； （2）分组添括号时要注意符号的变化； （3）要将分解到底，不同分组的结果应该一样的．
强化反思：多项式分解因式的一般步骤:
1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; 2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来
分解; 3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组
来分解; 4. 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分
解为止.
口诀：一提 二套 三分 四检
如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值．
m2 5n mn 5m
例3.分解因式 x2 y2 ax ay x2 y2 ax ay
(x2 y2) (ax ay) (x y)(x y) a(x y) (x y)(x y a)
分组后再用公式法
例4.分解因式 a2 2ab b2 c2
原式= a3 +a2b- (2b3 &2 (a +b ) = (a +b) ( a2 - 2b2 ) =0
课堂小结
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间 有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可 以用分组的方法分解因式.
注意： （1）分组时小组内能提公因式要保证组与组之间
解： a2 2ab b2 c2 (a2 2ab b2 ) c2 (a b)2 c2 [(a b) c][(a b) c] (a b c)(a b c)
例5.分解因式 x3 y x2 y2 xy3 y4
解： x3 y x2 y2 xy3 y4 y(x3 x2 y xy2 y3) y[(x3 x2 y) (xy2 y3)] y[x2(x y) y2(x y)] y(x y)(x2 y2)
8.4 因式分解
芦村中心校：温志华
情境引入
ma mb m(a b)
m(a b) 2(a b) (a b)(m 2)
因式分解：1.提取公因式法 2.运用公式法：两项——平方差 三项——完全平方公式
思考： ma mb 2a 2b 四项又如何分解？
ma mb 2a 2b
(ma mb) (2a 2b)
m(a b) 2(a b) (a b)(m 2)
思考：还有没有其他方法？
ma mb 2a 2b
这个多项式共有四项， 可以把其中的两项分为 一组，再提取公因式.
(ma 2a) (mb 2b)
a(m 2) b(m 2)