常用的参数曲线讲解
参数方程知识点整理
参数方程知识点整理参数方程是数学中一种常用的表示曲线形状的方法。
参数方程的形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y分别是曲线上的点的横纵坐标，t为参数。
参数方程通常用于描述一些复杂的曲线，如圆、椭圆、双曲线等，它可以方便地描述出曲线上每一个点的位置。
下面结合一些具体的例子来整理参数方程的相关知识点。
1.直线的参数方程：当直线的斜率为k，截距为b时，可以通过参数方程表示为：x=ty=kt+b其中t为参数，t可以取任意实数。
2.圆的参数方程：一个圆可以通过参数方程表示为：x=R*cos(t)y=R*sin(t)其中R为圆的半径，t为参数，t的取值范围可以是[0,2π]。
3.椭圆的参数方程：一个椭圆可以通过参数方程表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴长度和短轴长度，t为参数，t的取值范围可以是[0,2π]。
4.双曲线的参数方程：一个双曲线可以通过参数方程表示为：x=a*cosh(t)y=b*sinh(t)其中a和b分别是双曲线的参数，cosh(t)和sinh(t)分别表示双曲函数的余弦和正弦函数。
5.抛物线的参数方程：一个抛物线可以通过参数方程表示为：x=ty=at^2+bt+c其中a、b和c为抛物线的参数，t为参数，t可以取任意实数。
6.参数方程与命题方程的转化：有时候我们已经知道了一条曲线的命题方程，想要求出其参数方程。
这时可以通过代入一些特定的参数值，利用参数方程的定义解出x和y的值，从而得到参数方程。
例如，已知一条直线的命题方程为y=2x+3，我们可以任选一个参数值t，假设t=1，那么根据直线的参数方程可以得到：x=1y=2*1+3=5所以参数方程可以表示为：x=ty=2t+3参数方程在几何图形的研究中有着广泛的应用。
通过参数方程，我们可以方便地描述出复杂曲线的形状和特性，比如曲线的弧长、曲率、切线等。
参数方程能够将复杂的问题转化为简单的曲线方程的解析表达式，进而进行更深入的研究和分析。
常用的参数曲线
B0,2 (t )
2! t 0 0!2!
(1 t)20
(1 t)2
B1,2 (t )
2! t1 1!1!
（10）拟局部性（见程序） 当t=i移/n 动的控曲制线顶上点的P点i 时变，动对最应大参，数远离 i/n 的曲线上的点变动越来越小
Bezier曲线的形状由其控制多边形的形 状作较好的刻划，在设计时，一般以 控制多边形的设计与修改为基本手段
２.二次和三次Bezier曲线
(1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
（6）凸包性：
n
BEZ i,n (t) 1, BEZ i,n (t) 0,1 t 0
i0
对于某个t值P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子是 BEZi,n(t) 。 在几 何图形上，P(t)是各控制点的凸线性组合， 并且曲线各点均落在Bezier特征多边形构 成的凸包之中。
（7）直线再生性：
讨论：
Bi1,n1 (t )
(i
(n 1)! t i1 1)!(n i)!
(1 t ) n1i
Bi,n1 (t )
(n 1)! t i i!(n 1 i)!
(1 t ) n1i
t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。
i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。
·
（均出现 0 的非 0 次幂）
t=0
P' (0) P' (t 0) n(P1 P0 )
同理可得，当 t=1 时
P ' (1) n(Pn Pn1 )
这两个式子说明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。且末端切矢 的模长分别等于首末边长的n倍，n为贝塞 尔曲线的阶次
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
胆机常用电子管主要参数特征曲线及脚位
一）、一般电子管的编号（包括接收放大管、小功率整流管、小型振荡管）第一部分：表示灯丝电压伏特数的整数部分：0表示冷阴极1表示灯丝电压为0.7~1.2V2表示灯丝电压为2.2~2.5V3表示灯丝电压为2.8V4表示灯丝电压为4.2V或4.4V5表示灯丝电压为5V6表示灯丝电压为6.3V12表示灯丝电压为12.6V灯丝电压在20V以上时，用实际电压数值表示，例如35则表示35V。
第二部分：表示电子管类型的字母：D表示“二极管”H表示“双二极管”G表示“双二极三极管”B表示“双二极五极管”C表示“三极管”N表示“双三极管”F表示“三极五极管”S表示“四极管”J表示“锐截止五极管和锐截止束射四极管”K表示“遥截止五极管”T表示“双四极管和输出束射四极管”V表示“二次放射管”P表示“输出五极管和输出束射四极管”A表示“变频管”U表示“三极六极管、三极七极管、三极八极管”L表示“横向偏转射线管”E表示“调谐指示管”Z表示“小功率整流二极管”第三部分：表示同类型管序号的数字，无特殊意义。
第四部分：表示电子管的外形结构形式的字母P表示普通玻璃管K表示陶瓷管J表示“橡实”管G表示外径大于11毫米的超小型管B表示外径为8~11毫米的超小型管A表示外径大于4，小于8毫米的超小型管R表示外径为4毫米和4毫米以下的超小型管S表示销式管D表示盘封管（灯塔管）无代号的，外径为19毫米和22.5毫米的小型管，俗称拇指管，例如6N1、6N2、6N3、6N4、6N6、6N10、6N11（二）高压、大功率整流二极管和充气整流管以及闸流管的编号第一部分：表示电子管类型的字母：E表示真空高压整流二极管EM表示真空脉冲整流二极管EQ表示充气整流二极管EG表示充汞整流二极管Z表示冷阴极闸流管ZQ表示充气闸流管ZG表示汞气闸流管ZQM表示脉冲充气闸流管H表示汞整流管（液体汞阴极）Y表示引燃管第二部分：表示同类型管序号的数字。
第三部分：没有代号（用破折号“—”表示）。
ug等参数曲线
ug等参数曲线UG等参数曲线概述在工程设计中，参数曲线是一种重要的工具，用于描述不同参数之间的关系。
其中，UG等参数曲线是指由UG软件绘制的参数曲线，可用于描述零件尺寸、形状、位置等与其他参数之间的关系。
UG软件是一款常用的三维CAD软件，可用于实现从设计到制造的全流程数字化。
在进行零件设计时，UG等参数曲线可以帮助设计师更好地理解和控制零件的形状和尺寸。
本文将详细介绍UG等参数曲线的概念、分类以及应用。
概念UG等参数曲线是指在UG软件中通过数学计算得到的一组数据点，并通过插值算法生成平滑连续的曲线。
这些数据点通常表示不同尺寸、形状或位置之间的关系，如直径与长度之间的关系、角度与半径之间的关系等。
在实际应用中，通过调整其中一个或多个变量（如直径或角度），可以改变其他变量（如长度或半径）并保持整体形状不变。
这使得设计师能够更好地控制零件尺寸和形状，并在需要时进行灵活调整。
分类UG等参数曲线可以按照不同的分类方式进行分类，如下所示：1. 按照参数类型分类根据参数类型的不同，UG等参数曲线可以分为以下几类：（1）直线型参数曲线：表示两个或多个变量之间的线性关系，如直径与长度之间的关系。
（2）二次型参数曲线：表示两个或多个变量之间的二次函数关系，如半径与角度之间的关系。
（3）三次型参数曲线：表示两个或多个变量之间的三次函数关系，如长度与角度之间的关系。
2. 按照数据点数量分类根据数据点数量的不同，UG等参数曲线可以分为以下几类：（1）低阶参数曲线：包含较少的数据点，通常用于描述简单形状或尺寸。
（2）高阶参数曲线：包含更多的数据点，通常用于描述复杂形状或尺寸，并能够提供更高精度和更好控制。
应用UG等参数曲线在工程设计中有着广泛应用。
下面将介绍其中一些典型应用：1. 零件设计在零件设计中，UG等参数曲线可以帮助设计师更好地控制零件尺寸和形状。
通过调整其中一个或多个变量，可以改变其他变量并保持整体形状不变。
这使得设计师能够更好地理解和控制零件的形状和尺寸，并在需要时进行灵活调整。
水泵基本参数及特性曲线讲解
4.射流泵 5.轴流泵装置模型 6.离心泵装置 7.离心泵的起动过程 （抽真空启动、闸阀的 操作） 8.离心泵主要性能参数 的测量与计算
3.水环真空泵
第二章 25
复习
叶片泵工作原理 离心泵泵体结构及基本零件
叶轮(叶片、流道)、泵壳、泵轴、轴承、填料盒 （填料、水封管、水封水）、减漏环、连轴器、 轴向力平衡措施、泵座
2
一、泵的定义
定义：
将其它形式的能量转化为机械能并传递给被输送介质的 动能和压能的一种机械
背景知识：
泵是我国三大耗能机械产品（汽车、机床、水泵）之一， 水泵效率提高1%即相当于我国新建了一座300MW发电 厂。 我国风机、泵的总用电占全国用电量的31%，占工业用 电的约50%，各工业部门机泵用电量均占60%以上。 例如：电力72.43%；化肥76%；炼油58.15%；油田 63.3%
T 2
M Q (C
cos 2 R2 C1 cos1 R1 )
式中： QT 、HT ——通过叶轮的理论流量、扬程
第二章 40
2.3 理想流体假定下的理论功率： 2.4 功率的另一表达式→基本方程：(2-14)
NT gQT H T
HT M
NT M
u 2 C2u u1C1u HT g
gQT
第二章
41
三、基本方程式的讨论
3.1 减小进水角获得正值扬程 基本方程为第一项， 说明水流垂直流入叶轮可以 u1 90 提高扬程 3.2 理论扬程与出口圆周速 度有关，提高转速、增加叶 轮直径均可增加扬程
1
胆机常用电子管主要参数特征曲线及脚位要点
一）、一般电子管的编号（包括接收放大管、小功率整流管、小型振荡管）第一部分：表示灯丝电压伏特数的整数部分：0表示冷阴极1表示灯丝电压为0.7~1.2V2表示灯丝电压为2.2~2.5V3表示灯丝电压为2.8V4表示灯丝电压为4.2V或4.4V5表示灯丝电压为5V6表示灯丝电压为6.3V12表示灯丝电压为12.6V灯丝电压在20V以上时，用实际电压数值表示，例如35则表示35V。
第二部分：表示电子管类型的字母：D表示“二极管”H表示“双二极管”G表示“双二极三极管”B表示“双二极五极管”C表示“三极管”N表示“双三极管”F表示“三极五极管”S表示“四极管”J表示“锐截止五极管和锐截止束射四极管”K表示“遥截止五极管”T表示“双四极管和输出束射四极管”V表示“二次放射管”P表示“输出五极管和输出束射四极管”A表示“变频管”U表示“三极六极管、三极七极管、三极八极管”L表示“横向偏转射线管”E表示“调谐指示管”Z表示“小功率整流二极管”第三部分：表示同类型管序号的数字，无特殊意义。
第四部分：表示电子管的外形结构形式的字母P表示普通玻璃管K表示陶瓷管J表示“橡实”管G表示外径大于11毫米的超小型管B表示外径为8~11毫米的超小型管A表示外径大于4，小于8毫米的超小型管R表示外径为4毫米和4毫米以下的超小型管S表示销式管D表示盘封管（灯塔管）无代号的，外径为19毫米和22.5毫米的小型管，俗称拇指管，例如6N1、6N2、6N3、6N4、6N6、6N10、6N11（二）高压、大功率整流二极管和充气整流管以及闸流管的编号第一部分：表示电子管类型的字母：E表示真空高压整流二极管EM表示真空脉冲整流二极管EQ表示充气整流二极管EG表示充汞整流二极管Z表示冷阴极闸流管ZQ表示充气闸流管ZG表示汞气闸流管ZQM表示脉冲充气闸流管H表示汞整流管（液体汞阴极）Y表示引燃管第二部分：表示同类型管序号的数字。
第三部分：没有代号（用破折号“—”表示）。
胆机常用电子管主要参数特征曲线及脚位
一）、一般电子管的编号（包括接收放大管、小功率整流管、小型振荡管）第一部分：表示灯丝电压伏特数的整数部分：0表示冷阴极1表示灯丝电压为0.7~1.2V2表示灯丝电压为2.2~2.5V3表示灯丝电压为2.8V4表示灯丝电压为4.2V或4.4V5表示灯丝电压为5V6表示灯丝电压为6.3V12表示灯丝电压为12.6V灯丝电压在20V以上时，用实际电压数值表示，例如35则表示35V。
第二部分：表示电子管类型的字母：D表示“二极管”H表示“双二极管”G表示“双二极三极管”B表示“双二极五极管”C表示“三极管”N表示“双三极管”F表示“三极五极管”S表示“四极管”J表示“锐截止五极管和锐截止束射四极管”K表示“遥截止五极管”T表示“双四极管和输出束射四极管”V表示“二次放射管”P表示“输出五极管和输出束射四极管”A表示“变频管”U表示“三极六极管、三极七极管、三极八极管”L表示“横向偏转射线管”E表示“调谐指示管”Z表示“小功率整流二极管”第三部分：表示同类型管序号的数字，无特殊意义。
第四部分：表示电子管的外形结构形式的字母P表示普通玻璃管K表示陶瓷管J表示“橡实”管G表示外径大于11毫米的超小型管B表示外径为8~11毫米的超小型管A表示外径大于4，小于8毫米的超小型管R表示外径为4毫米和4毫米以下的超小型管S表示销式管D表示盘封管（灯塔管）无代号的，外径为19毫米和22.5毫米的小型管，俗称拇指管，例如6N1、6N2、6N3、6N4、6N6、6N10、6N11（二）高压、大功率整流二极管和充气整流管以及闸流管的编号第一部分：表示电子管类型的字母：E表示真空高压整流二极管EM表示真空脉冲整流二极管EQ表示充气整流二极管EG表示充汞整流二极管Z表示冷阴极闸流管ZQ表示充气闸流管ZG表示汞气闸流管ZQM表示脉冲充气闸流管H表示汞整流管（液体汞阴极）Y表示引燃管第二部分：表示同类型管序号的数字。
第三部分：没有代号（用破折号“—”表示）。
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(1
t ) n1i
t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。
i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。
·
（均出现 0 的非 0 次幂）
t=0
P' (0) P' (t 0) n(P1 P0 )
同理可得，当 t=1 时
P1
二次贝塞尔曲线的图形
P(t)=(1-t)2P0+2t(P(11/2-) t)PP'1(1+/2)t2 P2
P’(tP)0 =2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2
Pm
P2
P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
Pik Fk ,n (t )
k 0
在上式中，0 ≤ t ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：
F k,n ( t ) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
i0
对于某个t值P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子是 BEZi,n(t) 。 在几 何图形上，P(t)是各控制点的凸线性组合， 并且曲线各点均落在Bezier特征多边形构 成的凸包之中。
（7）直线再生性：
若控制顶点P0 ,P1 ,···,Pn在同一直线上，该
Bezier曲线必为一条直线段
伯恩斯坦基函数的表达式为：
Bi,n (t )
n! i!(n
ti i)!
(1
t) ni
假如规定：０＝１，０！＝１，则 t=0: i=0 ,Bi,n(t)=1
i0 ,Bi,n(t)=0
P(0)
n! 00 1 n!
(1 0)n
P0
P0
P(0)=P0
t=1: i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0
3 3
1
0
0 0
0 0
PP32
***
贝塞尔曲线在运用中的不足之处
缺乏灵活性 一旦确定了特征多 边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改；
控制性差 当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱；
不易修改 由曲线的混合函数可以看出， 其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为零。因此， 所定义之曲线在 ( 0 < t < 1)的区间内的任 何一点均要受到全部顶点的影响，这使 得对曲线进行局部修改成为不可能。
(2) 四个顶点 P0、P1、P2、P3 可 定义一条三次 Bezier 曲线：
P(t) (1 t)3 P0 3t(1 t 2 )P1 3t 2 (1 t)P2 t 3P3
1 3 3 1 P0
t3
t2
t
1
3
6
3
0
P1
Ｂ样条基函数
B
i ,1
(t)
1,当t [ti 0, 其它
,
ti1
),
B B B
(t) t ti
i,k
tik1 ti
(t) tik ti
i,k 1
tik ti1
(t),i 0,1,, n
i1,k 1
Bi，k（t）的双下标中第二个下标k表示次数，第 一个下标i表示序号。欲确定第i个k次样条Bi，k（t）， 需要用到ti、ti+1、，---，ti+k+1共k+2个点
B样条曲线的方程可表示为
n
P B P(t)
i
i,k (t ), t [tk 1,tn1 ]
i0
B样条曲线的性质
(1)局部性
由定义可知,样条基函数Bi,k只在[ti,ti+1]区间不为 0，该段曲线只与控制顶点Pi-K+1,pi-k+2, ……Pi 有关
(2)递推性
可根据递推公式由低次的B样条得出高次的B样
P ' (1) n(Pn Pn1 )
这两个式子说明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。且末端切矢 的模长分别等于首末边长的n倍，n为贝塞 尔曲线的阶次
Bezier曲线的性质：
（1）端点位置： P(0) P0 , P(1) Pn
（2）端点的切线：曲线与P0P1， Pn-1Pn相切，
（而在外形设计中，局部修改是随时要 进行的）
二、B样条曲线
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要： 易于进行局部修改；
更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
Bezier曲线的形状由其控制多边形的形 状作较好的刻划，在设计时，一般以 控制多边形的设计与修改为基本手段
２.二次和三次Bezier曲线
(1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B0,2 (t )
2! t 0 0!2!
(1 t)20
P P P P P'(0) n( )，P '(1) n( )
1
0
n
n1
（3）端点的曲率：
P(t) P(t)
k(t) P(t) 3
k (t ) t 0
n 1 n
(P1
P0 ) (P2 P1 P0 3
P1 )
k (t ) t 1
n 1 n
( Pn 1
1 2
(2t 2
2t
1)
F2,2 (t)
1 t2 2
有了基函数，因此可写出二次Ｂ样条 曲线的分段表达式为：
Pi (t) F0,2 (t) Pi F1,2 (t) Pi1 F2,2 (t) Pi2
( i= 0,1,2,…,m ) m+1段
写成一般的矩阵形式为：
（4）直线再生性
若控制顶点落在一条直线上，则该段曲线为直 线
（5）连续性 （6）几何不变性。 曲线形状由控制点决定，与坐标系的选取无关
（7）磨光性 由同一组控制点定义的B样条曲线，随着k的增
加，越来越光滑。
2.Ｂ样条曲线的数学表达式
Ｂ样条曲线的数学表达式为：
n
Pi,n (t)
P(1)=Pn
P(1)
n! 1n n!1
(1 1)0
Pn
Pn
所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”。即Bezier曲线只通过 多边折线的起点和终点。
下面我们通过对伯恩斯坦基函数求导， 来分析两端切矢的情况。
B' i,n
(t)
n[Bi1,n1 (t)
Bi,n1 (t )]
得：
n 1
P ' (t ) n Pi [Bi1,n1 (t ) Bi,n1 (t )] i0
讨论：
Bi1,n1 (t )
(i
(n 1)! t i1 1)!(n i)!
(1 t ) n1i
Bi,n1 (t )
(n 1)! t i i!(n 1 i)!
Bezier曲线 和 B样条曲线
如何表示象飞机、汽车、 轮船等具有复杂外形产品 的表面是工程中必须解
决的问题。
1、1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森 （Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表 示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点 的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲 面片。 2、1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯Coons ）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，斯恩 伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形 式。
（8）平面Bezier曲线的保凸性： 如控制顶点为凸，则相应的Bezier曲 线也为凸
（9）变差缩减性：
平面内任一条直线与Bezier曲线的交点数，不多 于此直线与控制多边形的交点个数
该性质说明：Bezier曲线 比控制多边形波动得少， 比控制多边形光顺。
（10）拟局部性（见程序） 当移动控制顶点Pi 时，对应参数 t=i/n 的曲线上的点变动最大，远离 i/n 的曲线上的点变动越来越小
３.二次Ｂ样条曲线 在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2 故其基函数形式为：
F0,2 (t)
1 2!
2
(1) j
j0
C3j
(t
2
j)2
1 [3! (t 2) 2 3! (t 1) 2 3! t 2 ] 1 (t 1) 2
2 3!
2!
2!
2
F1,2 (t)
条。
B
i ,1
(t)
1,当t [ti 0, 其它
,
ti1
),
B B B
(t) t ti
i,k
tik1 ti
(t) tik ti