正交分解法求解合力和物体平衡问题
处理平衡问题的八种方法
处理平衡问题的八种方法一、力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；力的合成法是解决三力平衡问题的基本方法。
二、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x合＝0，F y合＝0。
为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则。
三、整体法与隔离法整体法是把两个或两个以上物体组成的系统作为一个整体来研究的分析方法；当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可采用整体法。
隔离法是将所确定的研究对象从周围物体(或连接体)系统中隔离出来实行分析的方法。
研究系统(或连接体)内某个物体的受力和运动情况时，通常可采用隔离法。
【典例1】如下图，有一直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略，不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1所示，现将P环向左移一小段距离，两环将再达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F N和细绳拉力F T的变化情况是( )A．F N不变，F T变大 B．F N不变，F T变小C．F N变大，F T变大 D．F N变大，F T变小【解析】采取先整体后隔离的方法。
以P、Q、绳为整体研究对象，受重力、AO给的向上的弹力、OB给的水平向左的弹力、AO给的向右的静摩擦力，由整体处于平衡状态知AO对P的向右的静摩擦力与OB对Q的水平向左弹力大小相等；AO给P的竖直向上的弹力与整体重力大小相等，当P环左移一段距离后，整体重力不变；AO对P竖直向上的弹力也不变；再以Q环为隔离研究对象，受力如下图，Q环所受重力G、OB对Q的弹力F、绳的拉力F T处于平衡，P环向左移动一小段距离的同时F T移至F′T位置，仍能平衡，即F T竖直分量与G大小相等，F T应变小，B准确。
物体的平衡与正交分解
物体的平衡与正交分解一、物体的平衡1、平衡态：2.平衡条件：二力平衡：三力平衡：多力平衡：二、力的正交分解（1）力的正交分解法：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫力的正交分解法。
（2）正交分解的原理：一条直线上的两个或两个以上的力,其合力可由代数运算求得.但是，当物体受到多个力作用,并且这几个力只共面不共线时,其合力用平行四边形定则求解很不方便,为此建立一个直角坐标系,先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上, 分别求出两个不同方向的合力F x 和F y,然后可以由（ ）求合力。
例1：如图所示，一半径为r 的球重为G ，它被长为r 的细绳挂在光滑的竖直墙壁上.求：（1）细绳拉力的大小；（2）墙壁受的压力的大小.例2：重量为10N 的物体放在水平地面上，在斜向上的力F=4N 的作用下，恰好静止，若力F 与水平方向的夹角为300，求地面对物体的支持力和摩擦力。
例3、如图所示,质量为m 的小球用挡板固定在斜面上，处于静止状态，试求小球对挡板的压力F 1和对斜面的压力F 2.F例4、如图所示，电灯的重力G N =10，AO 绳与顶板间的夹角为45︒，BO 绳水平，则AO 绳所受的拉力F 1是多少？BO 绳所受的拉力F 2是多少？（提示：以结点0为研究对象）例5、如图所示，用绳子AC 和BC 悬一重力为100N 的物体，绳子AC 和BC 与天花板的夹角分别为30 和60，求每条绳子的拉力分别是多少?例6、重量为10N 的物体放在水平地面上，在斜向上的力F=4N 的作用下，恰好做匀速直线运动，若力F 与水平方向的夹角为300，求物体跟水平地面的动摩擦因数。
例7、质量为30kg 的小孩坐在10kg 的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为100N 的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速运动，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：（1）雪橇对地面的压力大小；（2）雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小．例8、质量为m 的物体A 静止在倾角为300斜面上，求物体对斜面的压力与摩擦力例9、质量为m 的物体A 在倾角为370斜面上恰好匀速下滑，求物体与斜面的动摩擦因数F。
求解共点力作用下物体平衡的方法
求解共点力作用下物体平衡的方法（1）解三角形法：这种方法主要用来解决三力平衡问题，是根据平衡条件并结合力的合成或分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，然后通过解这个三角形求解平衡问题，解三角形多数情况是解直角三角形，如果力的三角形并不是直角三角形，能转化为直角三角形的尽量转化为直角三角形，如利用菱形的对角线相互垂直的特点就得到了直角三角形，确实不能转化为直角三角形时，可利用力的三角形与空间几何三角形的相似等规律求解。
（2）正交分解法：正交分解法在处理四力或四力以上的平衡问题时非常方便，将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列方程。
此时平衡条件可表示为说明：应用正交分解法解题的优点：①将矢量运算转变为代数运算，使难度降低；②将求合力的复杂的解三角形问题，转化为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行；③当所求问题有两个未知条件时，这种表达形式可列出两个方程，通过对方程组求解，使得求解更方便。
4. 解共点力平衡问题的一般步骤（1）选取研究对象。
（2）对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力图。
（3）对研究对象所受的力进行处理。
一般情况下需要建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行正交分解。
（4）建立平衡方程。
若各力作用在同一直线上，可直接用的代数式列出方程；若几个力不在同一直线上，可用与联立列出方程组。
（5）对方程求解，必要时需对解进行讨论。
注意：建立直角坐标系时，一般尽量使更多的力落在坐标轴上，以减少分解力的个数，从而达到简化计算的目的。
5. 整体法与隔离法整体法的含义：所谓整体法就是对物理问题的整个系统或整个过程进行分析、研究的方法。
整体法的思维特点：整体法是从局部到全局的思维过程；是系统论中的整体原理在物理学中的运用。
整体法的优点：通过整体法分析物理问题，可以弄清系统的整体受力情况和全过程的受力情况，从整体上揭示事物的本质和变化规律，从而避开了中间环节的繁琐推算，能够灵活地解决问题。
正交分解法解共点力平衡
正交分解法解共点力平衡
共点力平衡，是物理学中比较常见的问题之一，解决这个问题需
要用到正交分解法。
正交分解法，顾名思义就是将问题拆解成正交方向上的分量，然
后再分别计算解决。
在共点力平衡问题中，我们需要寻找一个共点力的平衡点。
首先，需要用向量表示每个力的作用方向和大小。
然后，将这些向量按照一
个参考方向分解成正交方向的分量，得到每个力在横向和纵向的分量值。
接下来，我们需要利用正交性的特点，即每个方向上的分量彼此
独立，通过分别计算各自的合力，来找到平衡点。
在计算过程中，很可能遇到一些重叠或者冲突的力，这时候需要
利用向量的几何加法和减法来得到新的合力向量。
然后再将新的合力
向量重新分解成正交方向上的分量，得到新的合力大小和方向。
通过这样的分解、计算、重组的过程，我们可以准确、高效地解
决共点力平衡问题。
需要注意的是，正交分解法虽然具有很强的应用性，但也需要一
定的数学基础和实践经验，才能更好地理解和应用。
因此，我们建议
学习者在学习过程中，注重理论知识的掌握，同时也需要多尝试一些
具体的实例，以便更好地掌握分解和计算的技巧。
总之，正交分解法是解决共点力平衡问题的重要方法，也是学习物理学的重要内容之一。
通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握这个方法，解决更多的物理问题。
解共点力的平衡问题的“万能钥匙”——“正交分解法”
的大 小 。 （ ２ ）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运 动的水平推力与此时地板对拖把 的正压力 的比值为
Ａ。 已知存在一临界角 ， 若０ ＜０ ￣ ｏ ， 则不管沿拖杆方 向 的推力 多大 ， 都 不可 能使拖把从静止开始运动 。 求这 临界角 的正切ｔ ａ ｎ Ｏ ｏ 。
一
解析 ： （ １ ）以拖 把 为 研 究对 象 ， 受力分析 ， 水平为 轴， 竖直为Ｙ 轴建立坐标 系 ， 对力进行 正交分解 ， 如图６ ， 由平衡 条 件有 ： Ｆ ｃ ｏ ｓ Ｏ ＋ ｍ ｇ ＝
（ 作 者单 位 ： 河 南省 郑 州四 十 七 中）
挡板间的距离稍许增大后0减小以结点0为研究对象受力分析建立坐标系对力进行正交t0mg图2分解在y轴可得2tsinomg知0减小大轻杆对木块m弹力tcos曾大对木块受力分析得木块与挡板间正压力增大选项c错误d正确
０
技 法点 拨
解 共 点 力 的 平 衡 题 Ｂ 的 “ 万 ＝ Ｆ ｃ ｏ ｓ ０ Ｄ ｆ ． － ＝ Ｆ ｓ ｉ ｎ Ｏ
现考查使上式 成立 的０ 角 的取值范 围， 注意到上 式右 边总是 大于零 ， 且 当厩 限大 时极 限为零 ， 有： ｓ ｉ ｎ ０ 一 Ａ ｃ ｏ ｓ ０ ＜０ ￣ ⑦ 使上式成立 的角满足 ≤０ ｏ ， 这里是题 中所 定义 的临界 角 ， 即 当０ ≤ 时 ， 不管沿拖 杆方 向用多 大的 力都推不动拖把的临界角的正切值 。
“ 正 交分 解 法 ＂
■ 陈旭辉
物体静止或匀速直线运动时 ， 就是平衡状态 ， 此 时物体受到 的合外力为零。三力平衡可用合成 的方
解析 ： 把两个物体看作 个 整体 ，分析受力知 ， 该 整体 受 到重 力 ｍ￣ ｇ ＋ ｍ ２ ｇ ， 受 ， 支持力Ⅳ， 摩擦力 力 整 体匀速直线运 动 ， 故受力平 ｒ ｍｌ ｇ＋ ｍ２ ｇ 衡， 对硪生 行正交分解 ， 列方 图 ４ 程∑ ＝ ０ ， ∑ ＝ Ｏ 得： 在 水 平方 ￣ ｆ ＝ Ｆ ｃ ｏ ｓ ０ ， 竖直方向＾ ｍ。 ｇ ＋ ｍ矿 风ｉ ｎ ， 选Ａ ｃ 。 例３ 拖把 是 由拖杆 和拖把 头构成的擦地工具 ， 如 图５ 。设拖 把头 的质量为ｍ，拖杆 质量 可以 忽略 ；拖把头与地板之 间的动摩 糯 擦 因数 为常数 ， 重力加速度 为ｇ ， 某 同学用该拖把在水平地板上拖 图 ５ 地 时， 沿拖杆方 向推拖把 ， 拖杆与 竖直方 向的夹角为０ 。 （ １ ） 若 拖把头在地板上匀速移动 ， 求推拖把的力
物体平衡问题的求解方法
物体平衡问题的求解方法物体处于静止或匀速运动状态，称之为平衡状态。
平衡状态下的物体是是物理中重要的模型，解平衡问题的基础是对物体进行受力分析。
物体的平衡在物理学中有着广泛的应用，在高考中，直接出现或间接出现的概率非常大。
本文结合近年来的高考试题探讨物体平衡问题的求解策略。
1．整体法和隔离法对于连接体的平衡问题，在不涉及物体间相互作用的内力时，应道德考虑整体法，其次再考虑隔离法。
有时一道题目的求解要整体法、隔离法交叉运用。
[例1] （1998年上海高考题）有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环P ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1。
现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是（ ）A ．N 不变，T 变大B ．N 不变，T 变小C ．N 变大，T 变大D ．N 变大，T 变小解析 用整体法分析，支持力mg N 2=不变。
再隔离Q 环，设PQ 与OB 夹角为θ，则不mg T =θcos ，θ角变小，cos θ变大，从上式看出T 将变小。
故本题正确选项为B 。
2．正交分解法物体受到3个或3个以上的力作用时，常用正交分解法列平衡方程，形式为0=合x F ，0=合y F 。
为简化解题步骤，坐标系的建立应达到尽量少分解力的要求。
[例2] （1997年全国高考题）如图2所示，重物的质量为m ，轻细绳AO 与BO 的A 端、B 端是固定的，平衡时AO 是水平的，BO 与水平面夹角为θ，AO 的拉力F 1和BO 的拉力F 2的大小是（）A ．θcos 1mg F =B ．θcot 1mg F =C ．θsin 2mg F =D ．θsin /2mg F =解析 选O 点为研究对象，O 点受3个力的作用。
正交分解法解共点力平衡
正交分解法解共点力平衡引言在物理学中，力学是一个重要的领域，它研究物体在受力下的运动和平衡。
平衡是物体所受力的总和为零时的状态。
在某些情况下，多个力作用在一个点上，这就是共点力的问题。
为了解决这个问题，正交分解法是一种常用的方法。
本文将介绍正交分解法的原理及其在解共点力平衡问题中的应用。
正交分解法正交分解法是一种将一个力分解为多个互相垂直的分力的方法。
它基于向量分解的原理，通过将力分解为水平和垂直两个方向上的分力，简化了问题的求解过程。
原理正交分解法的原理基于三角函数的性质。
我们可以将一个力F分解为水平方向的分力Fx和垂直方向的分力Fy。
通过三角函数的定义，我们可以得到以下关系：Fx = F * cosθ Fy = F * sinθ其中，θ是力F与水平方向之间的夹角。
应用步骤正交分解法的应用步骤如下：1.画出力的示意图，并标注力的方向和大小。
2.根据示意图确定力与水平方向之间的夹角θ。
3.使用三角函数计算水平方向和垂直方向上的分力Fx和Fy。
4.根据得到的分力，进行进一步的计算，如求和或比较大小。
优点和局限性正交分解法的优点在于它简化了问题的求解过程，并且能够将复杂的共点力问题转化为简单的分力问题。
它使得物理问题的解决更加直观和易于理解。
然而，正交分解法也有一些局限性。
首先，它只适用于共点力的问题，对于其他类型的力的平衡问题并不适用。
其次，它只能解决平衡问题，对于动力学问题并不适用。
解共点力平衡问题在解共点力平衡问题时，我们可以通过正交分解法将复杂的共点力问题转化为简单的分力问题。
下面通过一个例子来说明如何使用正交分解法解共点力平衡问题。
问题描述有一个物体在平面上受到三个力的作用，这三个力分别是F1=10N，F2=15N和F3=20N。
角度a1=30°，a2=45°和a3=60°。
我们需要求解物体是否处于平衡状态，如果不平衡，计算物体沿哪个方向运动。
解决步骤1.画出力的示意图。
第5节 力的分解——力的正交分解法教案
3.5力的分解——正交分解法求合力教案一、学习目标：1.知道力的正交分解法2.会运用正交分解法解决多个力作用下的共点力的合力问题3.用力的正交分解求解物体平衡问题二、学习重点：运用正交分解法解决多个力作用下共点力的合力问题三、学习难点：力的正交分解法求解物体平衡问题四、学习过程：提问：复习引入1.什么是力的分解？2.合力与分力的关系是什么？3.力的分解遵循什么原则？4.如何将一个力进行分解？新课教学：★目标一：了解正交分解法，并思考其好处【问题1】如何求这几个共点力的合力呢？这样求解好吗？说明：利用平行四边形求解多个共点力的合力时不管是采用作图法还是计算法(解三角形)，都必须进行多次合成，一次接一次地求部分合力的大小和方向，十分麻烦。
【问题2】那么有没有简单一点的方法来求合力呢？进入新课主题：力的正交分解法定义：把一个力分解成两个相互垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
【问题3】把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫做正交分解。
这样分解力有什么好处呢？不垂直会怎样？例1.某人用力F=20 N 斜向上θ =30°的力拉物体，请利用正交分解法求水平和竖直两个方向上的分力.★目标二、熟悉运用正交分解法解决多个力作用下共点力的合力问题的步骤。
正交分解法求合力的一般步骤：❶恰当地建立xOy直角坐标系.一般地选共点力作用线的交点为坐标系原点，坐标轴的选择应根据具体问题来确定．原则上是尽可能使较多的力落在坐标轴上，这样需要分解的力也就少一些．❷沿x、y轴将各力分解.将各个力逐一分解到x轴和y轴上，并找出各个力沿两个坐标轴方向的分量．注意：与坐标轴正方向同向的力取正值，与坐标轴负方向同向的力取负值．❸利用三角函数求x、y轴上各分力的合力F x和F y．F x=F1x+F2x+F3x+⋯+F nxF y=F1y+F2y+F3y+⋯+F ny ❹求出合力的大小和方向.即：F 合=√F x2+F y2,φ=arctan(F yF x)(φ为F合与x轴之间的夹角)例2. 三个共点力F1=20 N、F2=30 N、F3＝40 N，它们相互间的夹角为120°，求它们的合力大小.例3. 一个物体受到四个力的作用，已知F1=1N，方向正东；F2=2N，方向东偏北60°，F3＝3√3 N方向西偏北30°；F4＝4 N方向东偏南60°，求物体所受的合力。
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G
m g 解得： F cos sin
Fy N F sin mg 0
例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙 斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。
θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
练习一：如图所示，质量为m的光滑小球放在倾角为 θ的斜面上被挡板挡住，求斜面对小球的弹力及挡板 对小球的弹力。
θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
练习二：如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成 θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物 体与墙壁间的动摩擦因数。
Fx F1x F 2 x F3x 0
Fy F1y F 2 y F3 y 0
5、根据方程求解。
例题3：如图所示，质量为m的物体在倾角为θ的粗糙 斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。
y
∵物体匀速运动，合外力为零 由x方向合外力为零，有：
f
N
Fx mg sin N 0
由y方向合外力为零，有：
x
θ
mg
Fy N mgcos 0
解得：
sin tan cos
F合 F x Fy
2 2
y
F1y F2y
F2
F2X
F1
F3x
F1x
O
F3y
x
F3 y
F合
Fy
tan
Fy Fx
O
Fx
x
1、目的： 把复杂的矢量运算化为普通的代数运算，将 力的合成化简为同向或反向或垂直方向。便于运 用普通代数运算公式来解决矢量的运算。
2、基本思想： 正交分解法求合力，运用了“欲合先分”的策略， 即为了合成而分解，降低了运算的难度，是一种重 要思想方法。
正交分解法
y
Fy
o
F α Fx
x
Fx F cos F F sin y
一、用力的正交分解求合力
三个力F1、F2与F3共同作 用在O点。如图, 该如何用 正交分解法求其合力？
Fx F1x F2 x F3 x ...
Fy F1y F2 y F3 y ...
F θ
ห้องสมุดไป่ตู้
例题2：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上， 它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ 角的斜向上的拉力F作用下匀速向右运动。求拉力F的 大小。 y
N f θ F ∵物体匀速运动，合外力为零 由x方向合外力为零，有：
x
由y方向合外力为零，有：
Fx F cos N 0
4、将坐标轴上的力分别合成，按坐标轴规定的方向求代数和
即：Fx合=F1x+F2x+F3x+...... Fy合=F1y+F2y+F3y+......
5、最后求再求合力F的大小和方向 F合
2 Fx2 F 合 y合
二、用力的正交分解求解物体平衡问题
1、画出物体的受力图。 2、建立直角坐标系。 3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上） 4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。
Fx F1x F 2 x F3x 0
Fy F1y F 2 y F3 y 0
5、根据方程求解。
例题2：如图所示，质量为m的物体放在粗糙水平面上， 它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ 角的斜向上的拉力F作用下匀速向右运动。求拉力F的 大小。 解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、分别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
F θ
解题步骤 1、画出物体的受力图 2、建立直角坐标系 3、正交分解各力 4、别写出x、y方向的方程 5、根据方程求解
练习三：如图，物体A的质量为m，斜面倾角α，A与斜 面间的动摩擦因数为μ，斜面固定，现有一个水平力F 作用在A上，当F多大时，物体A恰能沿斜面匀速向上运 动？
F α y FN
A
Ff Gsinα
Fcosα F Fsinα G Gcosα
x
例题4：如图，物体重力为10N，AO绳与顶板间的夹角为 45º，BO绳水平，试用计算法求出AO绳和BO绳所受拉力的 大小。
FAO cos45 G 0
FBO FAO sin 45 0
FBO G 10N
A FAO FAOX O
y FAOY B FBO
例1：一个物体受到四个力的作用，已知
F1=1N，方向正东；F2=2N，方向东偏北 600，F3= 3 3 N，方向西偏北300；F4=4N， 方向东偏南600，求物体所受的合力。
y
F3 F2y
300
F3y F2
600
2x
F4x
F3x
600 F F 1
x
F4y
F4
F Fx2 Fy2 ( 3 / 2) 2 (1 / 2) 2 1N
x
FAO 2G 10 2N
C G
练习四： 如图，氢气球被水平吹来的风吹成图示的情形， 若测得绳子与水平面的夹角为37˚，已知气球受到空气的 浮力为15N，忽略氢气球的重力，求： ①氢气球受到的水平风力多大？ ②绳子对氢气球的拉力多大？
风
37˚
用力的正交分解求解物体平衡问题
1、画出物体的受力图。 2、建立直角坐标系。 3、正交分解各力。（将各力分解到两个坐标轴上） 4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。
F =1N
y
Fy= 3 / 2 N
Fx = -1/2 N
3/2 tan 3 Fx 1/ 2
Fy
x
600
例2 有五个力作用于一点Ｏ，这五个力构成一个正六边形的 两邻边和三条对角线，如图所示，设Ｆ３＝１０Ｎ，则五个 力的合力大小为多少？ Ｙ
正交分解 Ｘ
X轴： Ｙ轴：
F1X=F5X=2.5Ｎ F1Y+F5Y=0
F2X=F4X=7.5N F2Y+F4Y=0
F3X=10N F3Y=0
F
X
F1X+F2X+F3X+F4X+F5X=30N
F
Y
F1Y+F2Y+F3Y+F4Y+F5Y=0
F=30N
3、步骤
1、先对物体进行受力分析，画出受力示意图。 2、以力的作用点为坐标原点，恰当地建立直角坐 标系，标出x轴和y轴。 注意：坐标轴方向的选择虽具有任意性， 但原则是：使坐标轴与尽量多的力重合， 使需要分解的力尽量少和容易分解。 3、将不在坐标轴上的各力分解为沿两坐标轴方向 的分力，并在图上标明。