第八章 单因素方差分析

0 1 2 4 12 6 5 2 0 32
7 12 13 32
0.0039 0.0313 0.1094 0.2188 0.2734 0.2188 0.1094 0.0313 0.0039 1
0.125 1.000 3.500 7.000 8.750 7.000 3.500 1.000 0.125 32
SAS程序
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
data a; input a $ b $ count @@; cards; A1 B1 8 A1 B2 3 A1 B3 0 A2 B1 13 A2 B2 8 A2 B3 3 run; proc freq data=a; weight count; table a*b/exact; run;
– 其中εij是随机变量，且服从正态分布 – 固定效应（fixed effect）是由固定因素（fixed factor） 所引起的效应 – 随机效应（random effect）是由随机因素（random factor）所引起的效应 – 固定因素和随机因素区别：固定因素的水平可以严格 地人为控制，在水平确定之后，它的效应也是固定的， 是可以重复的 ；固定效应通常会被估计
• 对平均数的检验
– 检验2个平均数的差是否可以用于随机误差解释 – 检验几个样本平均数的方差是否足够大
• 组间方差和组内方差
– 组间方差：样本平均数产的方差
1 a 2 (xi . − x.. ) ∑ a − 1 i =1
a n 1 2 x − x ( ) – 组内方差：样本内的方差 ∑∑ ij i. a (n − 1) i =1 j =1
SAS 运行结果
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Fisher's Exact Test ----------------------------------------Table Probability (P) 0.0805 Pr <= P 0.6413 Sample Size = 35
个体号 1 2 3 4
窝号 I 34.7 33.3 26.2 31.6 31.450a 3.7225 II 33.2 26.0 28.6 32.3 30.025ab 3.3410 III 27.1 23.3 27.8 26.7 26.225b 2.0023 IV 32.9 31.4 25.7 28.0 29.500ab 3.2588
x
S
单因素方差分析 （one-factor analysis of variance）
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• 一种方式分组的方差分析（one-way classification analysis of variance）
两样本平均数差异性检验
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t
多样本平均数差异t检验
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• 可以在平均数的所有对之间做t检验
SAS程序
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data a; input a $ b $ count @@; cards; A1 B1 8 A1 B2 3 A1 B3 0 A2 B1 13 A2 B2 8 A2 B3 3 run; proc freq data=a; weight count; table a*b/chisq; run;
品系 III 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 67.3b 0.8631
IV 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 70.8c 1.2510
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 68.6d 0.9028
四窝动物的出生重(g)
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痊愈 8 13Байду номын сангаас
无效 0 3
作业讲解
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药物 观察值 拉菲 舒巴酮 合计 拉菲 舒巴酮 合计 拉菲 舒巴酮 合计
理论值
χ2
人数 痊愈 显效 无效 合计 8 3 0 11 13 8 3 24 21 11 3 35 6.60 3.46 0.94 11 14.40 7.54 2.06 24 21 11 3 35 0.2970 0.0604 0.9429 1.3003 0.1361 0.0277 0.4321 0.5960 0.4331 0.0882 1.3750 1.8962
不同处理效应与不同模型
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• 线性统计模型（linear statistical model）
–
x ij = µ + α i + ε ij
i = 1, 2, , a j = 1, 2, , n
i =1 k =1
a
n
1 yij . = yij . n
a b
1 yi.. = yi.. bn
n
y... = ∑∑∑ yijk
i =1 j =1 k =1
1 y. j . = y. j . an 1 y... = y... abn
方差分析的直观理解
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作业讲解
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• 7.16 用杂合基因型Wvwv的小 鼠为父本，与纯合基因型wvwv 的小鼠为母本杂交（wv：波浪 毛，Wv：正常直毛）。其后代 得到wvwv的数量与Wvwv的数 量应该各占一半（φ = 1 – φ = 0.5）。实验只选择每窝8只的 ，多于8只的和少于8只的都被 淘汰。实验结果是否符合二项 分布？
– 每个实验都只有一个因素（factor），该因素有a个处理 （treatment）或水平（level）
简略的表示方法
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yi. = ∑ yij
j =1 a
n
y.. = ∑∑ yij
i =1 j =1
– n组平均数需要做 Cn 比较
2
C =6
2 4
2
3
4
1 2 3
t1-2
t1-3 t2-3
t1-4 t2-4 t3-4
• 增加犯I型错误的风险
– 1 − 0.956 = 0.2649
公式推导
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作业讲解
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• 7.11 拉菲和舒巴酮是两种治疗呼吸系统和泌 尿系统感染的药物,下表给出了这两种药物治 疗淋菌性尿道炎的结果。推断这两种药物治 疗淋菌性尿道炎的疗效差异是否显著？ 药物 拉菲 舒巴酮 人数 显效 3 8
n
1 yi . = yi . n 1 y.. y.. = an
简略的表示方法
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yij . = ∑ yijk
k =1
n
yi.. = ∑∑ yijk
j =1 k =1
b
n
y. j . = ∑∑ yijk
固定效应模型
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• 线性统计模型
– 在固定效应模型中，处理平均数与总体平均数 n 的离差，是一个常量，因而 ∑ α i = 0
i =1
– 假设： H 0 : α 1 = α 2 = = α a = 0 ，H A : α i ≠ 0
正常直毛 观察值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 4 12 6 5 2 0
作业讲解
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正常 直毛
合并 观察值 观察值
理论 频率
理论值
合并 理论值
χ2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 总计
2 i =1 j =1 a n
a
n
= ∑∑ ( xij − xi . ) + 2∑∑ ( xij − xi . )( xi . − x⋅⋅ ) + ∑∑ ( xi . − x.. ) 2
5个小麦品系株高(cm)调查结果
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株号 1 2 3 4 5
x
S
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 65.3a 0.6083
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 64.4a 0.6325
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• 同时判断多样本平均数的差异显著性 • 原理
– 若各样本平均数相等，则平均数的方差等于0 – 若各样本平均数存在差异，则平均数的方差大 于0；平均数的方差越大，各样本平均数存在 的差异也就越大 – 当这种差异大于随机性时，则认为样本平均数 之间存在差异
11.625 1.840 8.750 1.207
11.625 0.163 32 3.210
第八章 单因素方差分析
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郭源梅 Tel: 15879098500 E-mail: gyuanmei@hotmail.com
固定效应模型
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SST = SSA + SSe • 离均差平方和的分解：
∑∑ ( x
i =1 j =1
a
n
ij
− x⋅⋅ ) = ∑∑ [( xij − xi . ) + ( xi . − x⋅⋅ )]2
0 n n −1 (0.95 + 0.05) n = Cn 0.95n + Cn 0.95n −10.05 + + Cn 0.05n
不犯I型错误
最少犯1次I型错误
n n −1 0 1 − Cn 0.95n = Cn 0.95n −10.05 + + Cn 0.05n
多样本平均数差异的方差分析
SAS 运行结果
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Statistics for Table of a by b Statistic DF Value Prob -----------------------------------------------------------Chi-Square 2 1.8962 0.3875 Likelihood Ratio Chi-Square 2 2.7729 0.2500 Mantel-Haenszel Chi-Square 1 1.6782 0.1952 Phi Coefficient 0.2328 Contingency Coefficient 0.2267 Cramer's V 0.2328 WARNING: 50% of the cells have expected counts less than 5. Chi-Square may not be a valid test. Sample Size = 35