第八章 单因素方差分析
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医学统计学 -第08章 方差分析
第一节 方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给 予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高 脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其 喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠 体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异 称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计 算过程省略)
变异来源 总变异 组间 组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素方差分析课件
将原始数据减去1000，列表给出计算过程 表8.1.2 例2的计算表
水平
数据（原始数据-1000）
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
Xij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a. 线性统计模型
j 1
xi
41 33 38 37 31 39 37 35 39 34 40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
40 35 36 38 33
53
xij 546
i1 j 1
53
xij 15 36.4
i1 j 1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造 成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。
集装箱类 型
最大抗压强度
平均抗压强 度
1
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4 713.08
2
789.2 772.5 786.9 686.1 732.1 774.8 756.93
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
第八章 单因素方差分析
V 4.2 3.2 4.8
4
5
1.0
0.8 1.5
-1.3
-1.1 -0.3
1.8
3.5 11.5
4.1
6.0 29.0
3.3
2.5 18.0 总和 57.0
xi
n
xi2
j 1 2 ij
2.25
1.93
9.00
3.4
132.25
29.43
841.00 324.00
174.46 68.06
1308.50
sx MS e n
品系号
Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
平均数
70.8
68.6
67.3
65.3
64.4
顺序号
1
2
3
4
5
df
k
R0.05
Rk
R0.01
Rk
2
2.95
1.165
4.02
1.588
3 20 4
3.10
1.225
4.22
1.667
3.18
1.256
4.33
1.710
5
3.25
1.284
4.40
1.738
5
单因素固定效应模型方差分析表
变异来源
处理间
平方和
自由度
均方
F
F MS A MS e
SSA
a-1
MSA
误差或处理内
总和
SSe
SST
na-a
na-1
MSe
4、平方和的简易计算方法
株号 1 2 3 I -0.4 0.3 -0.2
品 II
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⼀）单因素⽅差分析概念是⽤来研究⼀个控制变量的不同⽔平是否对观测变量产⽣了显著影响。
这⾥，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⼥的⽣育率，研究学历对⼯资收⼊的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⼆）单因素⽅差分析步骤第⼀步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⼥⽣育率、⼯资收⼊；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⼆步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⾯的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽤数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽐较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽐例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽐例较⼤，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽐例⼩，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽔平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽆差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽤的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽬的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽔平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⼀步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⼏个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽐较检验。
最新11-第8章 单因素方差分析汇总
11-第8章单因素方差分析仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢140+第八章 单因素方差分析第一节 方差分析的基本问题一、方差分析要解决的问题t 检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验；而多个平均数间的差异显著性检验，必须用方差分析法。
1、检验过程繁琐一试验包含5个处理，采用t 检验法要进行25C 10＝次两两平均数的差异显著性检验；若有k 个处理，则要作k (k-1)/2次类似的检验。
2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 12X -X s如表8-1，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。
进行t 检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。
可见在用t检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。
3、推断的可靠性低，检验的I型错误率大用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。
假设每一对检验接受零假设的概率都是1-α＝0.95，而且这些检验都是相互独立的，那么10对检验都接受概率是(0.95)10＝0.60，犯错误的概率α׳=1-0.60=0.40犯I型错误的概率明显增加。
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验，须采用方差分析法。
二、方差分析的几个概念方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。
这种方法是将a个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。
第八讲-1 单因素方差分析
1~30 甲 31~60 乙 61~90 丙 91~120 丁
4个处理组低密度脂蛋白测量值
分 组 低密度脂蛋白测量值(mmol/L) n Xi X X2
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 … 2.59 30 3.43 102.91 367.85
降血脂新 药2.4g组 2.42 3.36 4.32 2.34 … 2.31 30 2.72 81.46 233.00
≥１
组间变异=组内变异，F=１，就没有理由拒绝H0；
组间变异＞组内变异，F＞1，F值越大，拒绝H0的理由越充分
。H0成立时，F统计量服从F分布。
F值具有组间的自由度ν1和组内的自由度 ν2。如果在给定的ν1和ν2下从正态总体中进行 一系列抽样，就可得到一系列的F值，这一
系列的F值呈F分布。
F分布曲线特征：
图 F分布曲线 （随v1和v2的不同而不同）
v1 v2
有的，将组间自由度v1称为分子的自由度 将组内自由度v2称为分母的自由度
方差分析是单侧F检验，查F临界值表，给出结论
1 组间 2 组内 F F ，P 0.05,1 , 2 0.05。
P≤0.05,拒绝H0,接受H1，样本均数不全相等; P≥0.05,不拒绝H0,不能下各样本的总体均数不全相等的结论。
3）因素的单独效应
单独效应：其他因素固定在某一水平时，因变 量在同一因素不同水平间的差别。
如性别因素固定为男，10、11岁两个年龄的差 异就是年龄因素的单独效应，得到年龄的单独 效应。
主效应：因变量在一个因素各水平间的平 均差异。
上面性别分别固定为男或女时的年龄单独效应的算 术平均值为年龄因素的主效应。
• 附表5系各种v1和v2下右尾概率α=0.05和α=0.01时的 临界F值。如查附表5，v1=3，v2=12时，F0.05 =3.49， F0.01=5.95，即表示如以v1=3（n1 =4）、v2=12（n2 =13）在一正态总体中进行连续抽样，则所得F值大 于3.49的仅有5%，而大于5.95的仅有1%。
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– 其中εij是随机变量，且服从正态分布 – 固定效应（fixed effect）是由固定因素（fixed factor） 所引起的效应 – 随机效应（random effect）是由随机因素（random factor）所引起的效应 – 固定因素和随机因素区别：固定因素的水平可以严格 地人为控制，在水平确定之后，它的效应也是固定的， 是可以重复的 ；固定效应通常会被估计
作业讲解
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 7.16 用杂合基因型Wvwv的小 鼠为父本，与纯合基因型wvwv 的小鼠为母本杂交（wv：波浪 毛，Wv：正常直毛）。其后代 得到wvwv的数量与Wvwv的数 量应该各占一半（φ = 1 – φ = 0.5）。实验只选择每窝8只的 ，多于8只的和少于8只的都被 淘汰。实验结果是否符合二项 分布？
个体号 1 2 3 4
窝号 I 34.7 33.3 26.2 31.6 31.450a 3.7225 II 33.2 26.0 28.6 32.3 30.025ab 3.3410 III 27.1 23.3 27.8 26.7 26.225b 2.0023 IV 32.9 31.4 25.7 28.0 29.500ab 3.2588
不同处理效应与不同模型
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 线性统计模型（linear statistical model）
–
x ij = µ + α i + ε ij
i = 1, 2, , a j = 1, 2, , n
i =1 k =1
a
n
1 yij . = yij . n
a b
1 yi.. = yi.. bn
n
y... = ∑∑∑ yijk
i =1 j =1 k =1
1 y. j . = y. j . an 1 y... = y... abn
方差分析的直观理解
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 对平均数的检验
– 检验2个平均数的差是否可以用于随机误差解释 – 检验几个样本平均数的方差是否足够大
• 组间方差和组内方差
– 组间方差：样本平均数产的方差
1 a 2 (xi . − x.. ) ∑ a − 1 i =1
a n 1 2 x − x ( ) – 组内方差：样本内的方差 ∑∑ ij i. a (n − 1) i =1 j =1
正常直毛 观察值 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 4 12 6 5 2 0
作业讲解
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
正常 直毛
合并 观察值 观察值
理论 频率
理论值
合并 理论值
χ2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 总计
0 1 2 4 12 6 5 2 0 32
7 12 13 32
0.0039 0.0313 0.1094 0.2188 0.2734 0.2188 0.1094 0.0313 0.0039 1
0.125 1.000 3.500 7.000 8.750 7.000 3.500 1.000 0.125 32
固定效应模型
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 线性统计模型
– 在固定效应模型中，处理平均数与总体平均数 n 的离差，是一个常量，因而 ∑ α i = 0
i =1
– 假设： H 0 : α 1 = α 2 = = α a = 0 ，H A : α i ≠ 0
两样本平均数差异性检验
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
t
多样本平均数差异t检验
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 可以在平均数的所有对之间做t检验
品系 III 67.8 66.3 67.1 66.8 68.5 67.3b 0.8631
IV 71.8 72.1 70.0 69.1 71.0 70.8c 1.2510
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 68.6d 0.9028
四窝动物的出生重(g)
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
– 每个实验都只有一个因素（factor），该因素有a个处理 （treatment）或水平（level）
简略的表示方法
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
yi. = ∑ yij
j =1 a
n
பைடு நூலகம்
y.. = ∑∑ yij
i =1 j =1
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 同时判断多样本平均数的差异显著性 • 原理
– 若各样本平均数相等，则平均数的方差等于0 – 若各样本平均数存在差异，则平均数的方差大 于0；平均数的方差越大，各样本平均数存在 的差异也就越大 – 当这种差异大于随机性时，则认为样本平均数 之间存在差异
SAS程序
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
data a; input a $ b $ count @@; cards; A1 B1 8 A1 B2 3 A1 B3 0 A2 B1 13 A2 B2 8 A2 B3 3 run; proc freq data=a; weight count; table a*b/exact; run;
SAS 运行结果
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Statistics for Table of a by b Statistic DF Value Prob -----------------------------------------------------------Chi-Square 2 1.8962 0.3875 Likelihood Ratio Chi-Square 2 2.7729 0.2500 Mantel-Haenszel Chi-Square 1 1.6782 0.1952 Phi Coefficient 0.2328 Contingency Coefficient 0.2267 Cramer's V 0.2328 WARNING: 50% of the cells have expected counts less than 5. Chi-Square may not be a valid test. Sample Size = 35
5个小麦品系株高(cm)调查结果
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
株号 1 2 3 4 5
x
S
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 65.3a 0.6083
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 64.4a 0.6325
作业讲解
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
• 7.11 拉菲和舒巴酮是两种治疗呼吸系统和泌 尿系统感染的药物,下表给出了这两种药物治 疗淋菌性尿道炎的结果。推断这两种药物治 疗淋菌性尿道炎的疗效差异是否显著？ 药物 拉菲 舒巴酮 人数 显效 3 8
2 i =1 j =1 a n
a
n
= ∑∑ ( xij − xi . ) + 2∑∑ ( xij − xi . )( xi . − x⋅⋅ ) + ∑∑ ( xi . − x.. ) 2
n
1 yi . = yi . n 1 y.. y.. = an
简略的表示方法
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
yij . = ∑ yijk
k =1
n
yi.. = ∑∑ yijk
j =1 k =1
b
n
y. j . = ∑∑ yijk
SAS 运行结果
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
Fisher's Exact Test ----------------------------------------Table Probability (P) 0.0805 Pr <= P 0.6413 Sample Size = 35
SAS程序
Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo Yuanmei Guo
data a; input a $ b $ count @@; cards; A1 B1 8 A1 B2 3 A1 B3 0 A2 B1 13 A2 B2 8 A2 B3 3 run; proc freq data=a; weight count; table a*b/chisq; run;