2020.9.28等差与等比综合
等差数列与等比数列的综合问题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】等差数列与等比数列的综合问题【知识要点】（一）等差、等比数列的性质 1.等差数列{a n }的性质（1）a m =a k +（m －k ）d ，d =km a a k m --.（2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列.（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S =nn a a 1+，S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、a n +1为中间两项）；若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *），则S 奇－S 偶=a n ，奇偶S S =nn 1-，S 2n －1=（2n －1）a n （a n 为中间项）. 2.等比数列{a n }的性质 （1）a m =a k ·q m －k .（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q ·q 2.（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m .（4）若m 、n 、l 、k ∈N *，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立. （5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a +d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a +d ，a +3d .三个数成等比数列，可设为qa ，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为3q a ，qa ，aq ，aq 3.（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：a n =a 1q n －1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. ●点击双基1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意自然数n ，都有a n +1＞a n ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知数列{a n }满足a n +2=－a n （n ∈N *），且a 1=1，a 2=2，则该数列前2002项的和为A.0B.－3C.3D.13.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a +b 的值是A.83B.2411C.2413D.72314.在等差数列{a n }中，当a r =a s （r ≠s ）时，数列{a n }必定是常数列，然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s （r ≠s ），当a r =a s 时，非常数列{a n }的一个例子是___________________.5.等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________. 【典型例题】例1 已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 3=18；{b n }是等差数列，b 1=2，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3＞20.（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式； （3）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n +8， 其中n =1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论.例2 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b m c +…+nn n b m c 1 =（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .例3 在等比数列{a n }（n ∈N *）中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n =log 2a n ，且b 1+b 3+b 5=6，b 1b 3b 5=0.（1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；（3）试比较a n 与S n 的大小.【经典练习】1.在等比数列{a n }中，a 5+a 6=a （a ≠0），a 15+a 16=b ，则a 25+a 26的值是A.abB.22abC.ab 2 D.2a b2.公差不为零的等差数列{a n }的第二、三及第六项构成等比数列，则642531a a a a a a ++++=_____.3.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是___________________.4.已知数列{a n }中，a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n +1=31a n +（21）n +1.数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n +1－21a n .（1）求证:数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.5.设{a n }为等差{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 2+a 4=b 3，b 2b 4=a 3，分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.6.已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n x n （x ∈R ），求数列{b n }前n 项和的公式.7.数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2－2a n +1+a n =0（n ∈N *）. （1）求数列{a n }的通项公式.（2）设b n =)12(1n a n （n ∈N *），S n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有S n ＞32m 总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.8.已知数列{a n }的各项均为正整数，且满足a n +1=a n 2－2na n +2（n ∈N *），又a 5=11.（1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测出{a n }的通项公式（不要求证明）；（2）设b n =11－a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，S n ′=|b 1|+|b 2|+…+|b n |，求∞→n lim'nn S S 的值.9.设f （k ）是满足不等式log 2x +log 2（3·2k －1－x ）≥2k －1（k ∈N *）的自然数x 的个数.（1）求f （k ）的表达式；（2）记S n =f （1）+f （2）+…+f （n ），P n =n 2+n －1，当n ≤5时试比较S n 与P n 的大小.10. 已知数列{a n }，构造一个新数列a 1，（a 2－a 1），（a 3－a 2），…，（a n －a n －1），…，此数列是首项为1，公比为31的等比数列.（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .。
等差数列等比数列的综合应用PPT资料(正式版)
等差、等比数列的综合应用
函数 y＝f(x)的图象上 等差数列等比数列的综合应用
等差、等比数列的综合应用
等差、等比数列的综合应用
(1)求数列{a }的通项公式； 等差、等比数列的综合应用
等差、等比数列的综合应用 等差数列等比数列的综合应用
n
等差、等比数列的综合应用
等差数列等比数列的综合应用
(2)设 b ＝ 3 ，T 等等差差、 、等等比比数数列列的的综综合合n 应应用用 a a 等差、等比数列的综合应用
(2)由(1)得 bn＝ana3n＋1＝6n－5[63n＋1－5]＝12(6n1－5－6n1＋1)
故
Tn
n
＝ bi
i＝1
＝12
×[(1－17
)＋
1 (7
－
1 13)
＋…＋
1 (6n－5
－6n1＋1
)]
＝
1 2
(1－6n1＋1) 因此使得12 (1－6n1－1)<2m0(n∈N*)成立的 m 必须且仅须满足12 ≤2m0 即 m≥10.故满足要求的最小正整数 m 为 10.
n
n＋1
n
是数列{bn}的前
n
项和，求使得
Tn<2m0对所
等差数列等比数列的综合应用
等等差差、 、等等有比比数数n列列∈的的综综N合合应应*都用用 成立的最小正整数 m.
【思路分析】 应用点(n，Sn)(n∈N*)在函数 y＝f(x)的图象上可
以求出 Sn 关于 n 的函数表达式，接下去就顺理成章了．
2．(2010 山东省)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(n∈N*)
等差数列在等比函数列数的综合f(应x用)＝3x2－2x 的图象上．
等差数列与等比数列的综合问题
求和公式
对于混合数列，求和需要分别对等差数列部分和等比数列部分进行求和，然后合并结果。 等差数列部分的求和公式为$frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比数列部分的求和公式为 $frac{lambda(1-r^n)}{1-r}$。
实际应用举例
金融领域
混合数列可以用于描述金融产品 的价格波动，如股票价格既有长 期增长的趋势，又有短期波动的
特点。
物理学领域
在物理学中，混合数列可以用于描 述具有周期性和指数增长或衰减的 物理量，如放射性衰变。
计算机科学领域
在计算机科学中，混合数列可以用 于实现高效的算法和数据结构，如 二分搜索树。
PART 05
解题技巧与策略
第n项=首项×公比^(n-1)，代
入数值计算即可。
06
进阶练习题
题目：一个等差数列的首项是5，公 差是-8，求这个数列的前10项和。
答案：155
解析：根据等差数列的求和公式，前n项和=(首 项+末项)×n/2，代入数值计算即可。
题目：一个等比数列的首项是4，公 比是0.5，求这个数列的前5项和。
答案：10.5
等差数列与等比数列 的综合问
https://
REPORTING
• 引言 • 等差数列基础 • 等比数列基础 • 等差数列与等比数列的综合问题 • 解题技巧与策略 • 练习题与答案解析
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
主题简介
等差数列与等比数列是数学中两种重要的数列类型，它们在日常生活和科学研究中 有着广泛的应用。
性质
等比数列中，任意项的平方等于它前后两项的乘积。
高考数学热点问题专题解析——等差等比数列综合问题
等差等比数列综合问题一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：2、等差数列与等比数列的互化：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}n a c 成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n n a a a d a c c c c++-==为一个常数所以{}n a c 成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++-==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1-或2 C. 2 D. 1-思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =-，经检验均符合条件答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <> 思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d =-，所以135d a =-，则211305a d a =-<，且()2141646025a dS d a d =+=-<，所以B 符合要求 答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅== 答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q--，所以有：()816282q q ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，即22252520q q q q +=⇒-+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。
2020年高考数学(理)总复习：等差数列与等比数列(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【解析】 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2(1－q 5)1－q＝31，故选B.【答案】 B【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【解析】 由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，即－3d ()a 4＋a 7＝d ()a 6＋a 5，又因为d ≠0，所以a 4＋a 7＝a 6＋a 5＝0，则该数列的前10项和S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5()a 6＋a 5＝0.故选C.【答案】 C【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1 C.3n ＋1－3n 2D.3n ＋1－32【解析】 因为aa n ＝3n ，所以a 1≤3，若a 1＝1，那么a 1＝aa 1＝3×1＝3≠1矛盾，若a 1＝2，那么a 2＝aa 1＝3×1＝3成立，若a 1＝3，那么a 3＝aa 1＝3×1＝3＝a 1矛盾，所以a 2＝b 1＝2，当aa an ＝3a n ＝a 3n ，所以b n ＝a 2·3n －1＝a 3·2·3n －2＝3a 2·3n －2＝3b n －1，即b n b n －1＝3，数列{b n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n 项和为b 1(1－q n )1－q ＝3(1－33)1－3＝3n ＋1－32，故选D.【答案】 D题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．12 【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∈a 3＋a 5＝4，S 15＝60，∈⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝415a 1＋15×142d ＝60， 解得a 1＝12，d ＝12，∈a 20＝a 1＋19d ＝12＋19×12＝10.故选C.【答案】 C2．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3【解析】 由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∈a 6＝3.故选D.【答案】 D3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q 2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n ＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×(2＋16)2＝135，故选B. 【答案】 B题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 008【解析】 ∈数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∈数列{a n }是等比数列，由a 8·a 2 008＝14，可得a 21 008＝14，即a 1 008＝12，∈a 1·a 2 015＝a 2·a 2 014＝…＝a 1 007·a 1009＝a 21 008＝14，∈b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 015)＝log 2201521⎪⎭⎫ ⎝⎛＝－2 015.【答案】C2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－50【解析】 ∈数列{a n }为等比数列且数列{a n }的前n 项和为S n ，∈S 4，S 8－S 4，S 12－S 8也构成等比数列．∈(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，∈S 4＝10，S 12＝130，各项均为正数的等比数列{a n }， ∈(S 8－10)2＝10·(130－S 8)，∈S 8＝40.故选B. 【答案】 B3．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56【解析】 依题意得，S n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21121123n＝1－n⎪⎭⎫⎝⎛-21.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n－1S n 随着S n 的增大而增大，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n ＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C.【答案】 C题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4【解析】 ∈a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∈a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∈{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∈a 9＞0，∈a 9＝a 3a 15＝23，∈a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.【答案】 A2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．【解析】 因为等差数列{a n }的公差d 为负值，所以{a n }是递减数列．又a 1＝1，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d >0得n <d －a 1d ，即n <1－1d ，因为－217<d <－19，所以192<1－1d <10，所以n ≤9，即当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0.所以当S n 取得最大值时n 的值为9.【答案】 93．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033【解析】 因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2 016＞0，a 2 017＜0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.【答案】 C题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∈a 1＝4， ∈a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∈T m ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＝8⎪⎭⎫ ⎝⎛-m )21(1， ∈m⎪⎭⎫⎝⎛21随m 增加而递减， ∈{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-481292n ，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)． 题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .【解析】 (1)∈a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，∈a n ＋1·a n ＋2＝121+⎪⎭⎫⎝⎛n ，∈a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∈b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∈b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12所以{b n }是公比为12的等比数列．∈a 1＝1，a 1·a 2＝12，∈a 2＝12∈b 1＝a 1＋a 2＝32.∈b n ＝32×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列． ∈T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝[]21121121211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛-nn ＝3－32n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016 【解析】 ∈A 、B 、C 三点共线∈AB →＝λAC →∈OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，OB →＝(1－λ)OA →＋λOC → 又∈OB →＝a 1·OA →＋a 2 016OC →，∈a 1＝1－λ，a 2 016＝λ ∈a 1＋a 2 016＝1∈S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝1 008，∈选B.【答案】 B题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32【解析】 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 【答案】 B2．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43【解析】 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n－2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎪⎭⎫⎝⎛+n m 41＝16⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++5426154m n n m m n n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.【答案】 A3．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【解析】 ∈ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a . ∈f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∈x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n－3－2x 2n －22x n －3－1＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝212⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n x x ， 则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∈a 1＝2 ，∈ 数列{}a n 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n＝2·2n－1＝2n.【答案】2n【专题训练】一、选择题1．等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg a n}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．5【解析】∈等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，∈a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝10，∈数列{lg a n}的前10项和S＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5，故选D【答案】D2．在正项等比数列{a n}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．8【解析】在正项等比数列{a n}中，∈a3a5＝64，∈a3a5＝a1a7＝64，∈a1＋a7≥2a1a7＝264＝2×8＝16，当且仅当a1＝a7＝8时取等号，∈a1＋a7的最小值为16，故选C.【答案】C3．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．10【解析】设等比数列为{a n}，其前n项积为T n，由已知得a1a2a3＝2，a n a n－1a n－2＝4，可得(a1a n)3＝2×4，a1a n＝2，∈T n＝a1a2…a n，∈T2n＝(a1a2…a n)2＝(a1a n)(a2a n－1)…(a n a1)＝(a1a n)n ＝2n＝642＝212，∈n＝12.【答案】 B4．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【解析】 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.【答案】 C5．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.75【解析】 ∈{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∈S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∈q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2(负值舍去)．又a 1a m a 2n ＝2a 35，∈a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∈m ＋2n ＝15，∈1m ＋8n ＝115⎪⎭⎫⎝⎛+n m 81(m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8m n 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∈1m ＋8n 的最小值是53，故选C. 【答案】 C6．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5D ．6【解析】 由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b ，得c n ＝2＋nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11－a 1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋abn ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.【答案】 B 二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 【解析】 由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π3，若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎪⎭⎫⎝⎛-21＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)，∈a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∈S 30＝9－52＋90－522×10＝470.【答案】 4708．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111n a n (n ≥2，n ∈N *)． 又1a 1－1＝－12，∈数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1nan 是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n －1＝－12n ，∈a n ＝n ·2n2n －1(n ∈N *)．【答案】 n ·2n2n －19．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日【解析】由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，b n ＝97－0.5(n －1)＝97.5－0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∈数列{a n }的前n 项和为n 2×(103＋13n ＋90)，数列{b n }的前n 项和为n 2×(97＋97.5－0.5n )，n 2(103＋3n ＋90)＋n2(97＋97.5－0.5n )＝2250，整理得：25n 2＋775n －9 000＝0，即n 2＋31n －360＝0，解得：n ＝9或n ＝－40(舍)，即九日相逢．故选B.【答案】B10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．【解析】 由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k2n ＋2，∈a n ＋1a n ＝k 2(n ＋1)＋2k2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立；当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛++21n n min .∈n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∈当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎪⎭⎫⎝⎛++21n n min ＝23，∈k 2＜23，且0<k <1，∈0<k <63.综上，k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∈(1，＋∞)．【答案】 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,0∈(1，＋∞) 三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ∈a n＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝123-⎪⎭⎫⎝⎛n .(2)由a n ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23a n ·b n ，得b n ＝1a n log 32a n ＋1＝(23)n －1log 32(32)n ＝n ·123-⎪⎭⎫⎝⎛n ，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32－n ·132-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝2n －13n (2－n )，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.。
等差、等比数列综合问题
等差、等比数列综合问题教学目标1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题．2.突出方程思想的应用，引导学生选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和运算能力．教学重点与难点1.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式．2.解决应用问题时，分清是等差数列问题，还是等比数列问题；分清an和Sn，数清项数n．教学过程设计（一）复习师：这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、数比数列的综合问题．（请学生叙述公式的内容并写在黑板上）生甲：等差、等比数的通项公式分别是an＝a1+（n－1）d，an＝a1qn－1．生乙：等差数列的前n项和公式有两种形式，分别是Sn＝na1+生丙：等比数列的前n项和公式要分成q＝1和q≠1两种情况来表示，即由于a1qn＝（a1qn－1）·q＝anq，所以当q≠1时，Sn＝生丁：如果m，n，p，q都是自然数，当m+n＝p+q时，那么在等差数列中有：am+an＝ap+aq，在等比数列中有：am·an＝ap·aq．师：在上述公式中，涉及到a1，n，d（q），an，Sn五个量，运用方程思想，已知其中三个量，就可以求另外两个量．（二）等差、等比数列中方程思想的应用例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．师：这是一道等差、等比数列的综合问题，同学们应认真审题，然后做出分析．生甲：题目中给出了四个条件，可设这四个数分别为x，y，m，n，然后列出四个方程．解此四元二次方程组即可求得四个数．生乙：设四个未知数太麻烦，可以由前三个数成等差数列，设前三个数分别为a－d，a，a+d ，第四个数为16…（a－d），列出两个方程：解此方程组即可求出四个数．师：看来解决这个问题的最好方法就是列方程组了，要使列出的方程组简单易解，关键在于如何设未知数．生：由已知条件可以设后三个数为aq，a，aq，则第一个数为16－aq，这样列出的方程组为师：方程组②和③都是二元二次方程组，运算量差不多，设未知数的思路也是异曲同工的，都是直接应用已知条件．如果大家换个角度想问题，设未知数还会有什么方法?教师可将学生说的方法列在黑板上，以便学生进行比较．生：如果设这四个数为x，y，12－y，16－x，那么列出的方程组为学生积极性已经调动了起来，大家纷纷表示第四种设、列方法是最理想的．解法如下：解：设四个数分别为x，y，12－y，16－x，则由（1）得：x＝3y－12（3）代入（2）得：y2－13y+36＝0．解得y＝4或y＝9，分别代入（3）得：x＝0或x＝15．所以所求四个数分别为：0，4，8，16或15，9，3，1．师：运用方程思想解决等差、等比数列问题，可以分成三个步骤：①设未知数；②列方程；③解方程．此题通过已知条件和未知数x，y之间的关系，间接设第三个数为12－y，第四个数为16－x，由于未知数设的巧妙，从而减少了运算量．（三）抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键例2 已知公差不为零的等差数列｛an｝和等比数例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3 ，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．师：这道题涉及到两个数列｛an｝和｛bn｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究an，bn的性质，应该先抓住数列中的什么量?生：由于｛an｝是等差数列，｛bn｝是等比数列，所以应该先抓住基本量a1，d，q，由已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，可以列出方程组解出d，q，则an，bn就确定了．师：如果an和bn确定了，那么an＝logabn+b就可以转化成含有a，b，n的方程，如何判断a，b是否存在呢?生：如果通过含有n，a，b的方程解出a和b，那么就可以说明a，b存在；如果解不出a 和b，那么解不来的原因也就是a和b不存的理由．师：分析得很好．让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结到底是什么?解：设等差数列｛an｝的公差为d（d≠0），等比数列｛bn｝的公比为q，则解得：d＝5，q ＝6，所以an＝5n－4．而bn＝6n－1，若存在常数a，b，使得对一切自然数n，都有an＝logabn+b成立，即5n－4＝loga6n－1+b，即5n－4＝（n－1）loga6+b，即（loga6－5）n+（b－loga6+4）＝0．对任意n∈N+都成立．解得a＝，b＝1．所以存在常数a，b，使对于一切n∈N+，都有an＝logabn+b成立．师：本题的关键是抓住基本量：首项a1和公差d，公比q，因为这样就可以求出an和bn的表达式．an和bn确定了，其它的问题就可以迎刃而解．（四）运用等差数列和等比数列的相关知识解决应用问题例3 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，第一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为3000万元，如果第一年，第二年，第三年分别比原计划产值多10万元，10万元，11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值．师：对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解请学生读题，前逐句分析已知条件．生甲：由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S3＝300，即如果设原计划三年的产值分别为：x －d+10，x+10，x+d+11．则（x+10）2＝（x+d+10）（x+d+11）．师：甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x，d．（板书如下）解：设原计划三年的产值为x－d，x，x+d，则实际三年产值为x－d+10，x+10，x－d+11．由①得，x＝100．代入②得d＝10．x－d＝90，x+d＝110．答：原计划三年的产值分别为90万元，100万元，110万元．师：等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清an和Sn，抓住基本量a1，d（q），再调用有关的概念和公式求解．（五）准确辨别数学符号，提高分析问题和解决问题的能力例4 已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．师：题目中数列｛akn｝与｛an｝有什么关系?生：数列｛akn｝中的项是以数列｛an｝中抽出的部分项．师：由已知条件k1＝1，k2＝5，k3＝17可以知道等差数列｛an｝中的哪些项成等比数列? 生：a1，a5，a17成等比数列．师：要求的k1+k2+k3+…+kn的值，实质上求的是什么?生：实质上就是求数列｛kn｝的前n项和．师：要求｛kn｝的前n项和，就要确定数列｛kn｝的通项公式．应该从哪儿入手?生：应该从求等比数列｛akn｝的公比入手．其公式为：a5a1．师：a5，a1要由等差数列｛an｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d 和a1了．生：如果设等差数列｛an｝的公差为d，那么a5＝a1+4d，a17＝a1+16d，由于a1，a5，a17成等比数列，则有（a1+4d）2＝a1（a1+16d），从而an应该可以求出了．师：请同学们把刚才的分析整理出来．（教师板书如下）解：设数列｛an｝的公差为d，d≠0，则a5＝a1+4d，a17＝a1+16d．因a1，a5，a17成等比数列，则（a1+4d）2＝a1（a1+16d），即2d2＝a1d．又d≠0，则a1＝2d．所以an＝a1+（n－1）d＝2d+（n－1）d＝（n+1）d．因数列｛akn｝的公比为q，则q＝．所以akn＝ak1·3n－1＝a1·3n－1＝2d·3n－1．又akn＝（kn+1）d，则2d·3n－1＝（kn+1）d．由d≠0，知kn＝2·3n－1－1（n∈N+）．因此k1+k2+k3+…+kn＝2·30－1+2·31－1+2·32－1+…+2·3n－1－1．＝2（30+31+32+…+3n－1）－n＝3n－n－1．师：此题的已知条件下，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的．（小结）等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d（q），充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒．（七）补充作业1 公差不为零的等差数列的第2，第3，第6项依次成等比数列，则公比是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）42 若等差数列｛an｝的首项为a1＝1，等比数列｛bn｝，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛an+bn｝的前三项为3，12，33，则｛an｝的公差为｛bn｝的公比之和为（）．（A）－5 （B）7 （C）9 （D）143 已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则q的值是．4 在等差数列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比数列，且a1+a4+a25＝114，求成等比数列的这三个数．5 设数列｛an｝是首项为1的等差数列，数列｛bn｝是首项为1的等比数列，又Cn＝an－bn（n∈N+），已知C2＝，C3＝，C4＝，试求数列｛Cn｝的通项公式与前n项和公式．6 某工厂四年来的产量，第一年到第三年每年增长的数量相同，这三年总产量为1 500吨，第二年到第四年每年增长的百分数相同，这三年总产量为1 820吨，求这四年每年的产量各是多少吨?课堂教学设计说明数学教学不仅要使学生获得数学知识，更重要的是通过知识的获得过程来发展学生的思维能力．这节课是与前面所学知识密切联系的，侧重于等差、等比数列有关知识的综合运用，这就要求教师准确把各个知识点，因为知识点是获取知识的量的基本保证，在此基础上帮助学生建立良好的知识结构．这是学生进行创造性思维的源泉，只有系统的掌握知识，才能培养学生提高理解和运用知识理解问题的能力．数学思想是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁，数学思想蕴含在数学概念，数学规律和数学方法之中．因此，本课从方程思想的运用入手，意在充分调动学生的学习积极性、使学生学会观察、分析、比较、联想等思维方法，加深对等差、等比数列更有关知识的领会，掌握解决问题的基本方法．在此基础上进行新探索，使学生的思维向深层次发展．学会把应用问题抽象成数学问题；把复杂问题转化成简单问题，充分体会到数学思想方法在解决问题中威力．。
等差与等比综合
等差数列与等比数列综合应用知识点一． 等差、等比数列综合问题：只要把条件转化基本量d a ,1或q a ,1的关系，再通过解方程找出关系求解。
1..数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系:⑴n n a a a S +++= 21; ⑵ ()⎩⎨⎧≥-==-2)1(11n S S n S a n nn .2..两个重要变形:()2≥n⑴ ()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ; ⑵123121-⨯⨯⨯⨯=n n n a a a a a a a a . 3数列求和问题：⑴ 分组求和：问题分为等差数列和等比数列两组，(或两组等差数列) ，(或两组等比数列) 利用公式求和。
⑵ 裂项相消求和：求和式是分式的一般先把通项裂项分开，再把求和式的每一项都裂项，于是中间的项都互相抵消，剩下头尾的“对称”的项，即前面剩几项，后面也剩几项。
如：()11111+-=+=n n n n a n ，()11321211+++⨯+⨯=n n S n 1111113121211+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n ⑶ 错位相减求和：求和式是等差数列与等比数列的乘积的，求和方法是求和式两边乘公比后再两式相减，转化为等比数列求和化简可得。
如：12-⋅=n n n a ，12102232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n S ，…① 两边同乘公比2=q 得： ()n n n n n S 22123222121321⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=- …② 于是①-②得：n nnn n n n S 221212222112⋅---=⋅-++++=-- ，∴()121122+-=+-⋅=n n n n n n S4.数列的应用问题：对于数列的应用题，一是要分清是等差数列还是等比数列，即它们的首项，公差或公比是什么；二是求某一项还是求和。
例1： (1)数列{}n a 的通项是()()12121+-=n n a n ，则其前n 项和为nS ___=析：∵()()12121+-=n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=12112121n n ，裂项求和：∴12121121121121513131121+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=n n n n n S n(2)求和:nn n S 21813412211++++= . .析：（3）()()211211212121412121-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=n n nn n n S nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=21122（4） nn n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=析：n n n S 2121321221132⨯++⨯+⨯+⨯= ，132212122112+⨯++⨯+⨯=n n n S 两式相减得：111322211221121121221212121+++-⎪⎭⎫⎝⎛-=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-++++=-n nn nn n n n n nS∴12211+++-=n n n n S （5）错误！未找到引用源。
等差与等比数列综合PPT教学课件
• 诗词中的“象”一般有四指：人、事、 物、景；“意”则有四涵：情、志、理、 趣。于是便可以组合成16种基本意象， 就全篇而言，即为16种基本意境。 如 下表
❖ 昔人已乘黄鹤去， ❖ 此地空余黄鹤楼。 ❖ 黄鹤一去不复返， ❖ 白云千载空悠悠。 ❖ 晴川历历汉阳树， ❖ 芳草凄凄鹦鹉洲。 ❖ 日暮乡关何处是？ ❖ 烟波江上使人愁。 ❖ —崔颢《黄鹤楼》
❖ 东临碣石，以观沧海。 ❖ 水何澹澹，山岛竦峙。 ❖ 树木丛生，百草丰茂。 ❖ 秋风萧瑟，洪波涌起。 ❖ 日月之行，若出其中， ❖ 星汉灿烂，若出其里。 ❖ 幸甚至哉，歌以咏志。 ❖ —曹操《观沧海》
叙事含理： 叙事谐趣：
❖ 昨日入城市， ❖ 归来泪满巾。 ❖ 遍身罗绮者， ❖ 不是养蚕人 。
❖ 常记溪亭日暮， ❖ 沉醉不知归路。 ❖ 兴尽晚回舟， ❖ 误入藕花深处。 ❖ 争渡，争渡 ❖ 惊起一滩鸥鹭。
托物寄情 ： 托物言志：
❖ 驿外断桥边， ❖ 寂寞开无主。 ❖ 已是黄昏独自愁， ❖ 更著风和雨。 ❖ —陆游《咏梅》
第三环节 揣摩意象，领略意境
—理解作品
• 克服了文字障碍，理顺了句子关系，明白了 诗句的大意，再读起作品，注意力就不会受到 疑难字句的羁绊，想象力也不会因句意不通而 阻隔，思维便可以摆脱字面而进入画面了，就 有能力形成整体印象，或分解出一个个意象， 进而再联系起来，统合起来，对作品作出一个 客观的完整的认识。这就是解释作品。其基本 原则是忠于原作，追求本意。如叶老所说： “就是明白作者的意思情感，不误会，不缺漏， 作者表达些什么，就完全领会他那些什么。”
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.在等比数列 an 中,若 a2a5
5
3 4
, a2
a3
a4
a5
5 4
,
则
1 a2
1 a3
1 a4
1 a5
____3__.
4.设等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，且 a1 0, a3 a10 0,
a6a7 0, 则满足 Sn 0 的最大自然数 n 的值为__1_2___.
5．设数列 an , bn 都是等差数列,若 a1 b1 7, a3 b3 21,
4.设数列 an 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 a, an1 Sn 3n , n N*.
(Ⅰ) 设 bn Sn 3n ，求数列 bn 的通项公式;(a 3)2n1(n N* )
(Ⅱ) 若 an1 ≥ an , n N* ,求 a 的取值范围. 9，
成等比数列.
⑤Sn Sm qm Snm (n > m)
设 三数等差： a d , a, a d
元 四数等差：
技 巧
a 3d,a d,a d,a 3d
三数等比： a , a, aq或a, aq, aq2 q
四数等比： a, aq, aq2 , aq3
联
系
① 如果 an 是正项等比数列,则数列 log3 an 是等差数列.
n
项 和
①Sn
na1
n(n 2
1)
d
n(n
1)
注:1 2 (n 1) __2__
②Sn _n_(_a_12__a_n )
(Ⅰ) 当 q 1 时, Sn na1
(Ⅱ)①Sn
a1
1 qn 1q
(q 1)
注:(1 q)(1 q q2 qn1) 1____qn
(倒写相加法推导)
a1 anq
要 性 质 (会 推 导 就
(m, n, p, q N * , m n p q)
(m, n, p, q N * , m n p q)
② an am (n m)d
② an am qnm
③从等差数列中抽取等距离的项组 ③从等比数列中抽取等距离的项组
成的数列是一个等差数列。
成的数列是一个等比数列。
③Sn
d 2
n
2
a
1
d 2
n
(二次函数的特点)
② Sn ___1___q_____(q 1)
(错位相减法推导)③SnFra biblioteka1 1q
qn
a1 1 q
(q
1)
( q 0 时,指数函数规律)
等差数列
等比数列
重 ①等和性:am an a p aq
① 等积性 : am an a p aq
证明等差数列的方法
an1 q an
( q 为常数, n≥ 2)
证明等比数列的方法
通项 an a1 (n 1)d
公式
累加法推导
an a1qn1
累乘法推导
中项
若 则
aA、A_、_a_b_成_b_等__差_,.
若 a、G、b 成等比,
则 G ____a_b____ .
2
等差数列
等比数列
前
② 如果 an 是等差数列,则数列 3an 是等比数列.
例 1.已知成等差数列三个正数的和等于 15，并且这三个 实数依次加上 1,1,4 后又成等比数列，求这三个数．
解：设这三个数为 a d,a,a d ,
由题意，得
a d a
a d 1
a d 15
a d 4
a
1 12 2
等差与等比综合
温习等差与等比定义、通项、中项
前几项和公式
等差与等比的性质
例1 课堂练习1，2，3，4，5
例2、例3 课堂练习6，7，8
补充练习
阳江市第一中学
周如钢
等差与等比综合
等差数列和等比数列是数列的两个重要模型,
应深刻领会其概念及有关性质.
等差数列
等比数列
定义 an1 an d
( d 为常数, n≥ 2)
若 3a8 5a13 ,则当 Sn 取最大值时， n 的值为_2__0___.
2.已知方程 x2 mx 2 x2 nx 2 0 的四个根组
成一个首项为 1 的等比数列，则 m n __3__
2
2
3.设数列 an 的各项都为正数,若 an 与 2 的等差中项等于
其前 n 项和 Sn 与 2 的等比中项 (n N ) ,则 an =4__n___2.
判断正确的是 ①②④⑤ （写出全部正确的序号）
8.在数列
an
中,
a1
1 , an1
(1
1 n )an
n1
2nn (n
N
)
.
(1) 求数列an 的通项公式; (2) 求数列an 的前 n 项和 Sn
.
an Sn
2n n2
2n1 n4
n2 2n1
补充练习：
1.已知等差数列 an 的首项 a1 0 ,前 n 项和为 Sn ,
bn
是等差数列;
用定义证
(Ⅱ) 求数列
an
的前 n 项和 Sn . Sn (n－1) 2n 1
课堂练习：
1.已知 an 则 cos a2
2.等比数列
为等差数列，若 a11 a5 a8 的值为_____2_. an 的前 n 项和为 Sn
a9
32n1 r
，
,则
r
1 的值为___3_.
则 a5 b5 __3_5___.
课堂练习：
6.设等比数列 an 满足 a1 a3 10 ， a2 a4 5 ，
则 a1a2 …an 的最大值为__6_4___.
7.已知 a1、a2、a3、a4 成等差数列，且 0 a1 2 ,
a3 4 ，定义 bn 2an ( n 1, 2, 3, 4 )， 则 ① b1、b2、b3、b4 成等比数列; ② b1 b2 ; ③ b2 < 4 ; ④ b4 > 32 ; ⑤ b2b4 256 .
如：a1 , a4 , a7 , a10 , （下标成等差数列） 如： a1 , a4 , a7 , a10 , （下标成等差数列）
④ Sk , S2k Sk , S3k S2k 成等差数列. ④ Sk 0时，Sk , S2k Sk , S3k S2k
行) ⑤S2n1 (2n 1)an
1
(Ⅰ) 求数列 an 的通项公式; an 3n
(Ⅱ) 设 bn log3 a1 log3 a2 ...... log3 an ,
求数列
1 bn
的前
n
项和.
2n n1
例 3.在数列 an 中， a1 1 ， an1 2an 2n ．
(Ⅰ) 设 bn
an 2n1
,证明:数列
由（1）（2）两式，解得 a 5
将 a 5代入（2），
整理得 d 2 3d 18 0解得d 3或d 6(舍),
∴这三个数为 2, 5, 8 .
【解题回顾】本题巧妙利用等差数列、等比数列的条件设 未知数，充分利用条件列方程是解这类问题的关键所在.
例 2.等比数列an 的各项均为正数，
且 2a1 3a2 1, a32 9a2a6 .