第6章--弹性体的一维振动题解
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程简谐振动是指物体在沿着直线方向上进行往复运动的一种振动形式。
简谐振动方程是描述简谐振动过程中物体位移与时间的关系的方程。
它可以用数学方式表示为：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)表示振动物体在时间t时刻的位移；A表示振幅，即位移的最大值；ω表示角频率，它与周期T的关系是ω=2π/T；φ表示初相位，它决定了位移曲线的起始位置。
简谐振动的特点是周期性和对称性。
周期性是指振动物体以一定的时间间隔重复相同的位移值。
对称性是指振动物体出现正向位移和反向位移的时间是对称的。
根据简谐振动方程，我们可以推导出一些重要的物理量和特性。
首先是振动周期T，它表示振动物体完成一个完整振动往复运动所需要的时间。
根据角频率与周期的关系，可以得到T=2π/ω。
其次是振动频率f，它表示振动物体每秒钟振动的次数。
振动频率与角频率的关系是f=ω/2π。
再次是振动速度v和加速度a，它们分别表示振动物体在给定时刻的速度和加速度。
根据位移x关于时间的一阶和二阶导数，可以得到振动速度和加速度的表达式：v(t) = dx(t)/dt = -Aωsin(ωt + φ)a(t) = dv(t)/dt = -Aω²cos(ωt + φ)振动速度和加速度的正负号与振动物体的位置有关。
当x(t)为正时，振动速度为负，即物体向负方向运动；当x(t)为负时，振动速度为正，即物体向正方向运动。
同样地，当x(t)为正时，振动加速度为正；当x(t)为负时，振动加速度为负。
简谐振动还有一个重要的特性是能量守恒。
振动物体由于受到弹力恢复力的作用而具有动能和势能。
动能由振动物体的速度决定，势能由振动物体的位移决定。
在一个振动周期内，动能和势能之间不断转化，但总能量保持不变。
具体地说，简谐振动的总能量等于振动物体的最大势能或动能，可以表示为：E=1/2kA²其中，k表示振动系统的弹性系数，它与物体的质量m和振动频率f之间的关系是k = 4π²mf²。
弹性体的一维振动_图文
就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
振动力学(高教版)部分课后习题答案
3c 1 2a mk 1 c 2m n l 3
l mgl k 0 a a ， 0 2 2ka2 1.12 面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 E1.12 所示。作用于 mg
薄板的阻尼力为 Fd 2Sv ，2S 为薄板总面积，v 为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 T0 ， 在粘性流体中自由振动的周期为 Td 。求系数 。
k2 m x1 k1 c1 m c2 k2 x2 k1
c2
k2 x
m x
m
c2 x
c1 x1
x 1 k1 x x1 c1 x
图 E2.1 解：
答案图 E2.1(a)
答案图 E2.1(b)
等价于分别为 x1 和 x2 的响应之和。先考虑 x1 ，此时右端固结，系统等价为图（a） ，受力为图（b） ， 故：
考虑到 x2 t 的影响，则叠加后的 xt 为：
xt
i 1
2
k
Ai ki2 ci2i2 k2 m
2 2 i
1
c c c sin it tg 1 1 2 2i tg 1 i i 2 k1 k2 i m ki c1 c2 i2
ax2 x1 a 2 k1 b 2 k2 mg ab a b2 k1k2
a 2 k1 b 2 k2 1 1 x x0 x3 mg mg 2 k0 a b k1k2 k3
则等效弹簧刚度为：
ke
则固有频率为：
a b2 k1k2k3 2 a 2 k1k3 b 2 k2 k3 a b k1k2
振动习题答案
振动习题答案振动习题答案振动是物体在固定轴线附近做往复运动的现象。
它在我们的日常生活中随处可见，比如钟摆的摆动、弹簧的振动等等。
振动习题是学习振动理论的重要一环，通过解答习题可以加深对振动原理的理解和应用。
下面是一些常见的振动习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 一个质点沿直线做简谐振动，振幅为2cm，周期为4s，求该质点的速度和加速度。
解答：简谐振动的速度和加速度与位置的关系可以通过振动的位移方程得到。
位移方程为：x = A * sin(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
根据周期和角频率的关系，可知ω = 2π / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，振幅A = 2cm，周期T = 4s。
代入上述公式可得ω = 2π /4 = π / 2。
因此，位移方程可写为：x = 2 * sin(π/2 * t + φ)。
速度v = dx / dt，加速度a = dv / dt。
对位移方程求一次导数得到速度和加速度的表达式：v = d(2 * sin(π/2 * t + φ)) / dt = 2 * (π/2) * cos(π/2 * t + φ) = π * cos(π/2 * t + φ)，a = d(π * cos(π/2 * t + φ)) / dt = - (π/2)^2 * sin(π/2 * t + φ) = - (π^2 / 4) *sin(π/2 * t + φ)。
2. 一个弹簧的振动周期为2s，振幅为5cm，求该弹簧的角频率和振动频率。
解答：角频率ω = 2π / T，振动频率f = 1 / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，周期T = 2s。
代入上述公式可得角频率ω = 2π / 2 = π，振动频率f = 1 / 2 = 0.5Hz。
3. 一个质点的振动方程为x = 3sin(2πt + π/4)，求该质点的振幅、周期、角频率、初相位、速度和加速度。
周 一维谐振子问题
[bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)] k 0
k
即： bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)=0
该式对任意ξ都 成立，故ξ同次
从而导出系数 bk 的递推公式：
幂前的系数均应 为零，
bk 2
2k 1
(k 1)(k 2) bk
由上式可以看出：
a
x
0
V0
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
V ( x) 1 kx2 2
a
x
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基
本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。
(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数的收敛性
b k2 k2 bk k
2k 1 2 (k 1)(k 2)
k
22 k
为此考察相邻 两项之比：
考察幂级数exp[
exp[ 2 ] 1 2
4
k
k2
展开式的收敛性
1! 2!
(
k 2
)!
(
k 2
1)!
比较二级数可知：
相继两项之比：
k2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
V 1 m2x2
2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动，
分子振动 晶格振动 原子核表面振动 辐射场的振动
第六章弹性体的一维振动
T (t) at b
主振动为 :
u(x,t) U (x)T (t) c(at b)
杆的一般形式为: u(x ,t) U (x)b sin( t )
确定简单边界条件下杆的固有频率和主振型
(a) 两端固定
将边界条件代入,得到 :
B2
0,
B1
sin
a
l
0
即: sin l 0,
a
为频率方程
斜拉索就如同一根拉紧的弦，它的自振频率与拉索索力间有着确定的函数关 系，可用动力平衡微分方程表示。当忽略弯曲刚度时，可表示为
W • 2y 2y 0 g t 2 x2 式中 y----垂直于索长度方向的横向坐标； x----纵向坐标； W----索单位长度的重量； g----重力加速度； T----索的拉力； t----时间。
索的边界条件为两端固定时，上述微分方程的解为
4WL 2 n2g
•
fn2
由上式可知，只要测知f1 或 f 2 ，便可计算出索力。 在本文中，索力的计算采用公式
K 4WL2 f n 2 n2g
把重量W mg 代入上式，得
式中
K 4mL2 n2
fn2
T----索的拉力
m---线密度（索单位长度的质量）
U '' x U x
得:
U
'' x
a2
U
x
Байду номын сангаас
0
Tt T t 0
右端固定,有 : ux, t U lT t 0 xl
右端自由,有 : EA u EAU 'lT t 0
x xl
两端固定 :U 0 0,U (l) 0
等直杆的简单边界条件 : 一段固定 :U (0) 0,U ' (0) 0 两端自由:U ' (0) 0,U ' (l) 0
振动理论课后题部分汇总
第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有"m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ 2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θαα h l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθθF sin α2θαFhmgθFg h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版,全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
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第6章--弹性体的一维振动题解126 习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶(1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==(),0u x V =&由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52ii ap i lπ==,… ,...3,2,1i ,x 2li sin D x)U ~ii ==π（由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得2iD Alρ=即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i==πρ（由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00sin 2liii AVD xdx l πηρ=⎰&2ilAVD i ρπ= ()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i ii ip tp ηη=&，进而有：t 2l ai sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~)t ,x (u ,...3,1i 22i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞=∞====πππππρπη(2)杆的右端突然固定；127杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==(),0u x V =&由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52ii ap i lπ==,… ...5,3,1i ,x 2li cos C x)U ~ii ==π（ 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlCiρ2=即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i==πρ（由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为⎰--==li i i i i lAV C dx l x i AVC 021)1(22cos )0(πρπρη&()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i ii ip tp ηη=&，进而有：t2l ai sin 2l x i cos i 1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~)t ,x (u ,...3,1i 2212i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=-∞=∞=-===πππππρπηi6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；128 (3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变/2PEAε= 杆的初始条件为()()()0000/2,0{/2xx l u x u x l x l x lεε≤≤==-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i li U x D x i lEa ππρ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=将主振型代入归一化条件，得题6-2图12920sin 12li i i A D x dx l D Alπρρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰得到正则振型 ()()~21,2,ii U x x i Al lπρ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()20022020sin sin21,2,li i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππηρρεπη•====⋅⋅⋅⎰得到以正则坐标表示的对初始条件的响应()0cos iiip t ηη=于是杆的自由振动(),u x t =()2~0221,2,1,2,2sin sin cos 2i i i i i i i i l i U t D x A D p tl i ππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∑∑=0221,2,sin42sin cos ii i li x p ti lπεππ∞=⋅⋅⋅∑()12221,3,12sincos i i pli i a x t EA i l lπππ-∞=⋅⋅⋅-=∑（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变122/3/3P P PEA EA EAεεε===设 杆的初始条件为130()()()1020/3,0{/3xx l u x u x l x l x lεε≤≤==-≤≤()0020/33{1/33x x l l x l x l εε≤≤=-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin1,2,i i i ia P i li U x D x i lππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅将主振型代入归一化条件，得20sin 12li i i A D x dx l D Alπρρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰得到正则振型 ()()~21,2,ii U x x i Al lπρ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()2002200sin sin31,2,li i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππηρρεπη•====⋅⋅⋅⎰得到以正则坐标表示的对初始条件的响应()0cos iiip t ηη=于是杆的自由振动131(),u x t =()2~0221,2,1,2,sin sin cos 3i i i i i i i i l i U t D x A D p tl i ππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∑∑=0221,2,sin23sin cos ii i li x p ti lπεππ∞=⋅⋅⋅∑22121sin cos i pl i i ax t EA i l lπππ∞==∑（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变PEA ε=杆的初始条件为()()()()00000/4,0{/2/43/43/4xx l u x u x l x l x l l x l x lεεε≤≤==-≤≤-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i li U x D xi lππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅将主振型代入归一化条件，得20sin 12li i i A D x dx l D Alπρρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰132 得到正则振型 ()()~2sin 1,2,ii U x x i Al lπρ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()20022030sin sin sin 4401,2,li i i i i l i i Au x D xdx A D l i x i πππηρρεπη•⎛⎫==- ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅⎰得到以正则坐标表示的对初始条件的响应()0cos iiip t ηη=于是杆的自由振动(),u x t =()2~0221,2,1,2,3sin sin sincos 44i i i i i i i i l i i U t D x A D p t l i πππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑=0221,2,3sin sin244sin cos ii i i l i x p ti lππεππ∞=⋅⋅⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭∑()24222,6,1014sincos i i pli i a x t EA i l lπππ-∞=⋅⋅⋅-=∑6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 0=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
解：杆左端固定端，右端为自由端题6-3图133())sin cos )((,pt B pt A x U t x u +=apx D a px C x U sin cos)(+= 边界条件)0(=U==lx dxdU得固有频率，主振型a li p i 2)12(π-=x li D x U ii2)12(sin )(π-= i=1,2,…… )2sin 2cos (2sin),(,3,1t lai B t l a i A l x i t x u i i i πππ+=∑∞⋯⋯=杆在x 处的应变⎰=x dx EAx l F 00εEAl xF 220=初始条件⎪⎩⎪⎨⎧=====••0)()0,(2)()0,(03000x u x u EAl x F x x u x u ε由0)()0,(0==••x u x u ，得=i Bt lai A l x i t x u i i 2cos 2sin),(,3,1ππ∑∞⋯⋯==再利用三角函数正交性⎰⎰==l li dx lx i x dx l x i A 00022sin )2(sin πεπ⎰=l dx l x i EAl x F 032sin 2π得EAi lF Ai33016π=t l a i A l x i t x u i i 2cos 2sin ),(,3,1ππ∑∞⋯⋯==t l ai l x i i EA i l F i 2cos 2sin 116,3,13330πππ∑∞⋯⋯==134解二：用直接法。
因为ε=x p dx p x000=⎰ 其中，lF p 00=杆的初始条件为 ()()⎰==xx u x u 000,EAεdx =EAl x F 220 ()()00,0==x u x u &&由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出杆的固有频率及主振型(1,3,5......)2()sin (1,3,5......)2i i i i ap i li U x D x i l ππ====将主振型代入归一化条件得得2(sin)122li i i A D x dx lD Alπρρ==⎰得到正则振型为()x li Al x U i 2sin 2~πρ=i=1,3,5… 则得到正则坐标表示的初始条件为()()xdx l i Al EAl x F A dx U x Au l i li 2sin 22~002000πρρρη⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛-ππρπρi i Al Ei l F 22sin 242220 i η&()00= i=1,3,5…以正则坐标表示对初始条件的响应为(0)cos i i i p t ηη=得到杆对初始条件的总响应()()()t lai i i Al Ei l F x l i Al x U t x u i i i i 2cos22sin 242sin 2~,2220...5,3,1...3,2,1πππρπρπρη⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑∞=∞= 即 t l ai l x i i EA l F t x u i 2πcos 2πsin 1π16),(,3,1330∑∞=⋅=Λ1356-4 假定一轴向常力F 突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。