振动力学第六章弹性体的一维振动资料
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弹性体的振动
2 j
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
弹性体的一维振动_图文
就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
一维振动方程ppt课件
第四章、球函数
§4.1、Legendre方程及Legendre多项式 §4.2、Legendre多项式的母函数 §4.3、按Legendre多项式展开 §4.4、连带Legendre多项式 §4.5、球形区域的Dirichlet问题的解
第五章、柱函数，Bessel函数
§5.1、Bessel函数 §5.2、Bessel函数的母函数 §5.3、半奇数Bessel函数 §5.4、按Bessel函数展开 §5.5、第二、三类Bessel函数 §5.6、球Bessel函数 §5.7、虚宗量Bessel函数 §5.8、Bessel函数的渐近式
t2
x2
说明：
由于：sx x2u2x
x
x
1
u x
2
1
1 2
u x
2
L
L
所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：T(x,t)T(t)
2、均匀杆的纵向振动
考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。
II 数学物理方法
第一章 数理方程的导出
§1.1、一维振动方程 §1.2、扩散方程 §1.3、二维薄膜振动方程 §1.4、电报方程
第二章偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件 §2.2、定解问题的适定性 §2.3、偏微分方程的分类
第三章 分离变量法求解偏微分方程
§3.1、奇次方程的分离变量法 §3.2、高元偏微分方程的分离变量法 §3.3、非奇次边界条件问题 §3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 §3.5、正交曲面坐标系 §3.6、区域稳定性问题
5、微观系统所满足的shro&&dinger方程以及相对论量子力
§4.1、Legendre方程及Legendre多项式 §4.2、Legendre多项式的母函数 §4.3、按Legendre多项式展开 §4.4、连带Legendre多项式 §4.5、球形区域的Dirichlet问题的解
第五章、柱函数，Bessel函数
§5.1、Bessel函数 §5.2、Bessel函数的母函数 §5.3、半奇数Bessel函数 §5.4、按Bessel函数展开 §5.5、第二、三类Bessel函数 §5.6、球Bessel函数 §5.7、虚宗量Bessel函数 §5.8、Bessel函数的渐近式
t2
x2
说明：
由于：sx x2u2x
x
x
1
u x
2
1
1 2
u x
2
L
L
所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：T(x,t)T(t)
2、均匀杆的纵向振动
考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。
II 数学物理方法
第一章 数理方程的导出
§1.1、一维振动方程 §1.2、扩散方程 §1.3、二维薄膜振动方程 §1.4、电报方程
第二章偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件 §2.2、定解问题的适定性 §2.3、偏微分方程的分类
第三章 分离变量法求解偏微分方程
§3.1、奇次方程的分离变量法 §3.2、高元偏微分方程的分离变量法 §3.3、非奇次边界条件问题 §3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 §3.5、正交曲面坐标系 §3.6、区域稳定性问题
5、微观系统所满足的shro&&dinger方程以及相对论量子力
振动力学第六章弹性体的一维振动
U (0) 0,
EAdU dx
xl kU(l)
C 0, U (x) Dsin p x a
U (x) C cos px D sin px
a
a
EA p cos p l k sin p l
aa
a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
EA p cos p l k sin p l
0 dx
dU j dx
d x pi2
l
0 AU iU j d x
( pi2
p
2 j
)
l
0 AU iU
j
d
x
0
pi p j
i j
l
U
0
j
d dx
(EA dU i dx
)d x
0
l EA dU i dU j d x 0
0 dx dx
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
a
则频率方程为
iπ pi l a
i 1,2,
相应的主振型为
iπ
Ui (x) Di sin l a
i 1,2,
若 k 0，相当于自由端，即
cos p l 0 a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
u
p
p
x
xl
D cos l( Acos pt B sin pt)
a
a
2u t 2
《振动力学结构力学》课件
静力学基础
静力学基本概念：力的平衡、力矩平衡、力系平衡等 静力学基本原理：牛顿三大定律、胡克定律等 静力学基本方法：力法、位移法、能量法等 静力学基本应用：结构分析、结构设计等
弹性力学基础
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：胡克定律、泊松比定律、弹性模量定律 弹性力学的应用：结构设计、地震工程、航空航天等领域
相位：振动 的起始位置
振型：振动 的形态和形 状
阻尼：振动 的衰减程度
共振：振动 的放大效应
振动系统的基本组成
阻尼：阻碍振动的力，影响 振动的衰减和能量损失
弹簧：连接物体和支撑物的 弹性元件，影响振动的频率 和振幅
质量：物体本身的质量，影 响振动的频率和振幅
支撑物：支撑物体的物体， 影响振动的频率和振幅
振添加动副力标学题 结构力学 PPT课件
汇报人：
目录
PART One
振动力学概述
PART Two
结构力学基本概念
PART Three
振动力学中的基本 理论
PART Five
振动力学与结构力 学的应用
PART Four
结构力学中的基本 理论
PART Six
案例分析
振动力学概述
振动的定义和分类
振动：物体 在平衡位置 附近做往复 运动
振动分类： 自由振动物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用
受迫振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 受到外力作 用
自激振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用，但受到 自身振动的 影响
振动的物理量描述
振动力学第六章弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。
同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。
由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在 物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度 是相似的。
解：此系统仍属于复杂边界条件问题。
当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力
M
2u t 2
xl
因此杆的边界条件为
U (0) 0,
EA u x
xl
M
2u t2
xl
U (x) C cos px D sin px
a
a
得到C = 0
U (x) Dsin p x a
a
a
cos p l 0 a
即为一端固定，一端自由杆的频率方程。
解出固有频率为
pi
2i 1π
2l
a
i 1,2,
相应的主振型为
U
i
(x)
Di
sin
2i
1 π
2l
x
i 1,2,
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
U (x) C cos px D sin px
d2 U (x) d x2
p2 a2
U (x)
0
取特征值问题的两个解 pi2,Ui; p2j ,U j 代入
6天津大学机械振动课件弹性体的一维振动
第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动 6.1.2固有频率和主振型 6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
2 2u u 2 a 2 t x2
振型函数
代入
振动规律
u ( x , t ) U ( x ) ( A c o s p tB s i n p t )
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
ia π p i l
( i 1 , 2 , )
2 2 d U ( x ) p 2U ( x ) 0 2 d x a
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下， 求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。 p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频 率。
2 u u A 2 ( EA) q ( x ,t ) t x x
2 2 u E u 1 ( ) q ( x ,t ) EA是常数，可写成 2 2 A t x
这是杆作纵向受迫振动方程， 常称为波动方程。
Mechanical and Structural Vibration
第6章 弹性体的一维振动
机械与结构振动