弹性体的一维振动题解
弹性体的振动
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
弹性体的一维振动_图文
就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
一维波动方程的推导
一维波动方程的推导波动方程是研究波动现象的基本方程，可以用于描述电磁波、声波、水波等物理现象。
本文重点介绍一维波动方程的推导，该方程用于描述一条细长的弹性介质中的波动。
一、假设考虑一根无限长细弹性介质（如一根线），其质量和长度均匀分布在整个介质中。
为简化情况，我们假设该介质在垂直于其初始方向的方向上运动（如在横向振动）。
为进一步简化情况，我们也假设振动幅度很小且初始速度为零。
这些假设可以使我们向更简单的物理模型过渡。
二、波动方程的推导根据牛顿第二定律可得，在 x 处截面内的物质元素受到 x+dx 处截面内的物质元素产生的力的作用。
因此，其受力可以表示为：F = ma = ρdx · A(x+dx) - ρdx · A(x) (1)其中，ρ表示介质的密度，A(x)表示在 x 处截面内的介质的横截面积，dx表示两截面之间的距离。
根据胡克定律可得，介质受到的合力可以表示为：F = -k[dA(x+dx) - dA(x)] (2)其中，k表示介质的弹性系数。
将公式（1）和公式（2）代入牛顿第二定律可得：ρA(x) ∂^2u/∂t^2 · dt = k[dA(x+dx) - dA(x)] (3)这里，u(x, t)表示在 x 处的位移，t表示时间。
我们可以化简后的上面公式为：∂^2u/∂t^2 = (k/ρA(x)) [A(x+dx) - A(x)]/dx (4)引入波速 c 来替换k/ρ，c 的定义为：c = sqrt(k/ρ) (5)则公式（4）可以简化为：∂^2u/∂t^2 = (c^2/dx^2) [A(x+dx) - A(x)] (6)通过对这一细弹性介质的初始状态和运动方式的假设，我们推导出一维波动方程。
这个方程描述了弹性介质中的波动，具有广泛的应用价值。
它可以应用于物理、地质学和工程学中等多领域。
《振动力学》习题集(含问题详解)
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
物理振动试题及答案解析
物理振动试题及答案解析1. 简谐运动的振动周期与哪些因素有关？答案：简谐运动的振动周期与振子的质量以及弹簧的劲度系数有关，与振幅无关。
2. 什么是阻尼振动？其振动周期与自由振动相比有何不同？答案：阻尼振动是指在振动过程中受到阻力作用的振动。
与自由振动相比，阻尼振动的振动周期会变长。
3. 简述单摆的周期公式。
答案：单摆的周期公式为 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \)，其中 \( T \) 是周期，\( L \) 是摆长，\( g \) 是重力加速度。
4. 什么是共振现象？请举例说明。
答案：共振现象是指当驱动力的频率接近或等于系统的固有频率时，系统振幅急剧增大的现象。
例如，当行人在桥上行走时，如果步频与桥的固有频率接近，可能会引起桥梁的共振，导致桥梁剧烈振动甚至断裂。
5. 请解释为什么在声波传播中，频率越高的声波传播距离越短？答案：频率越高的声波波长越短，波长越短的声波在传播过程中更容易受到空气分子的散射作用，因此传播距离较短。
6. 什么是多普勒效应？请用物理公式表达。
答案：多普勒效应是指当波源和观察者相对运动时，观察者接收到的波频率与波源发出的频率不同的现象。
多普勒效应的公式为 \( f'= \frac{f(u + v)}{u + v \cos \theta} \)，其中 \( f' \) 是观察者接收到的频率，\( f \) 是波源发出的频率，\( u \) 是波源的速度，\( v \) 是观察者的速度，\( \theta \) 是波源和观察者之间的夹角。
7. 请解释为什么在弹簧振子的振动过程中，振幅会逐渐减小？答案：在弹簧振子的振动过程中，振幅逐渐减小是因为存在阻力作用，如空气阻力或摩擦阻力，这些阻力会消耗振子的机械能，导致振幅减小。
8. 什么是机械波？请列举三种常见的机械波。
答案：机械波是指需要介质传播的波，其传播过程中介质的质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做振动。
振动理论习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a＝h 2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
振动习题答案
振动习题答案振动习题答案振动是物体在固定轴线附近做往复运动的现象。
它在我们的日常生活中随处可见，比如钟摆的摆动、弹簧的振动等等。
振动习题是学习振动理论的重要一环，通过解答习题可以加深对振动原理的理解和应用。
下面是一些常见的振动习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 一个质点沿直线做简谐振动，振幅为2cm，周期为4s，求该质点的速度和加速度。
解答：简谐振动的速度和加速度与位置的关系可以通过振动的位移方程得到。
位移方程为：x = A * sin(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
根据周期和角频率的关系，可知ω = 2π / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，振幅A = 2cm，周期T = 4s。
代入上述公式可得ω = 2π /4 = π / 2。
因此，位移方程可写为：x = 2 * sin(π/2 * t + φ)。
速度v = dx / dt，加速度a = dv / dt。
对位移方程求一次导数得到速度和加速度的表达式：v = d(2 * sin(π/2 * t + φ)) / dt = 2 * (π/2) * cos(π/2 * t + φ) = π * cos(π/2 * t + φ)，a = d(π * cos(π/2 * t + φ)) / dt = - (π/2)^2 * sin(π/2 * t + φ) = - (π^2 / 4) *sin(π/2 * t + φ)。
2. 一个弹簧的振动周期为2s，振幅为5cm，求该弹簧的角频率和振动频率。
解答：角频率ω = 2π / T，振动频率f = 1 / T，其中T为周期。
根据题目中的数据，周期T = 2s。
代入上述公式可得角频率ω = 2π / 2 = π，振动频率f = 1 / 2 = 0.5Hz。
3. 一个质点的振动方程为x = 3sin(2πt + π/4)，求该质点的振幅、周期、角频率、初相位、速度和加速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==(),0u x V =由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… ,...3,2,1i ,x 2li sin D x)U ~ii ==π（ 由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00sin2li i i AVD xdx l πηρ=⎰2i l AVD i ρπ= ()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~)t ,x (u ,...3,1i 22i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞=∞====πππππρπη(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==(),0u x V =由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… ...5,3,1i ,x 2li cos C x)U ~ii ==π（ 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlC i ρ2=即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为⎰--==li i i i i lAV C dx l x i AVC 021)1(22cos )0(πρπρη()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：t 2l ai sin 2l x i cos i1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~)t ,x (u ,...3,1i 2212i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=-∞=∞=-===πππππρπηi6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0/2P EAε=杆的初始条件为()()()0000/2,0{/2xx l u x u x l x l x lεε≤≤==-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin1,2,i i i ia P i li U x D x i la ππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=题6-2图将主振型代入归一化条件，得2sin1liiiA D x dxlDπρ⎛⎫=⎪⎝⎭=⎰得到正则振型()()~1,2,iiU x x ilπ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()2002220sin sin201,2,li i iii l iAu x D xdx A Dl ix iππηρρεπη∙====⋅⋅⋅⎰得到以正则坐标表示的对初始条件的响应()0cosi i ip tηη=于是杆的自由振动(),u x t=()2~0221,2,1,2,2sin sin cos2i i i i ii ii l iU t D x A D p tl iππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∑∑=0221,2,sin42sin cosiiil ix p ti lπεππ∞=⋅⋅⋅∑()12221,3,12sin cosiipl i i ax tEA i l lπππ-∞=⋅⋅⋅-=∑（2）根据题意，0t=时杆内的应变1202/3/3P P PEA EA EAεεε===设杆的初始条件为()()()120/3,0{/3x x lu x u xl x l x lεε≤≤==-≤≤()20/33{1/33x x ll x l x lεε≤≤=-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i li U x D xi lππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅将主振型代入归一化条件，得20sin 1li i i A D x dx l D πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰得到正则振型()()~1,2,i i U x x i lπ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()2002200sin sin301,2,li i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππηρρεπη∙====⋅⋅⋅⎰ 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0cos i i i p t ηη= 于是杆的自由振动(),u x t =()2~0221,2,1,2,sin sin cos 3i i i i i i i i l i U t D x A D p t l i ππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=∑∑=0221,2,sin23sin cos ii i li x p t i lπεππ∞=⋅⋅⋅∑22121sin cos i pl i i a x t EA i l lπππ∞==∑（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0P EAε= 杆的初始条件为()()()()00000/4,0{/2/43/43/4xx l u x u x l x l x l l x l x lεεε≤≤==-≤≤-≤≤因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为()()()1,2,sin 1,2,i i i ia P i li U x D xi lππ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅将主振型代入归一化条件，得20sin 1li i i A D x dx l D πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎰得到正则振型()()~1,2,i i U x x i lπ==⋅⋅⋅得到以正则坐标表示的初始条件为()()()()20022030sin sin sin 4401,2,li i i i i l i i Au x D xdx A D l i x i πππηρρεπη∙⎛⎫==- ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅⎰ 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0cos i i i p t ηη= 于是杆的自由振动(),u x t =()2~0221,2,1,2,3sin sin sincos 44i i i i i i i i l i i U t D x A D p t l i πππηρεπ∞∞=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑ =0221,2,3sin sin244sin cos ii i i l i x p t i lππεππ∞=⋅⋅⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭∑()24222,6,1014sincos i i pli i a x t EA i l lπππ-∞=⋅⋅⋅-=∑6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 00=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
解：杆左端固定端，右端为自由端())sin cos )((,pt B pt A x U t x u +=题6-3图a pxD a px C x U sincos)(+= 边界条件0)0(=U0==lx dxdU得固有频率，主振型a l i p i 2)12(π-=x li D x U i i 2)12(s i n )(π-= i=1,2,…… )2sin 2cos (2sin),(,3,1t lai B t l a i A l x i t x u i i i πππ+=∑∞⋯⋯= 杆在x 处的应变⎰=xdx EAx l F 00εEAl x F 220=初始条件⎪⎩⎪⎨⎧=====∙∙0)()0,(2)()0,(03000x u x u EAl x F x x u x u ε 由0)()0,(0==∙∙x u x u ，得 0=i Bt lai A l x i t x u i i 2cos 2sin),(,3,1ππ∑∞⋯⋯==再利用三角函数正交性⎰⎰==l li dx lxi x dx l x i A 00022sin )2(sin πεπ⎰=l dx l x i EAl x F 0302sin2π 得EAi lF A i 33016π=t l a i A l x i t x u i i 2cos 2sin ),(,3,1ππ∑∞⋯⋯==t l ai l x i i EA i l F i 2cos 2sin 116,3,13330πππ∑∞⋯⋯==解二：用直接法。
因为ε=x p dx p x000=⎰ 其中，lF p 00=杆的初始条件为 ()()⎰==xx u x u 000,EAεdx =EAl x F 220()()00,0==x u x u由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出杆的固有频率及主振型(1,3,5......)2()sin (1,3,5......)2i i i i ap i li U x D x i l ππ====将主振型代入归一化条件得得2(sin)12li i i A D x dx lD πρ==⎰得到正则振型为()x li Al x U i 2sin 2~πρ=i=1,3,5… 则得到正则坐标表示的初始条件为()()xdx l i Al EAl x F A dx U x Au l i li 2sin 22~002000πρρρη⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛-ππρπρi i Al Ei l F 22sin 242220 i η()00= i=1,3,5… 以正则坐标表示对初始条件的响应为(0)cos i i i p t ηη=得到杆对初始条件的总响应()()()t lai i i Al Ei l F x l i Al x U t x u i i i i 2cos22sin 242sin 2~,2220...5,3,1...3,2,1πππρπρπρη⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑∞=∞= 即 t l ai l x i iEA l F t x u i 2πcos 2πsin 1π16),(,3,1330∑∞=⋅=6-4 假定一轴向常力F 突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。