数列7
2.1数列的概念与简单表示法
第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。
3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。
（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。
2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。
3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。
4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。
高考数学专题复习 第7单元 数列课件 新人教A版
第七单元 │ 使用建议
(2)突出数学思想方法在解题中的指导作用．数列问题 中蕴含着极为丰富的数学思想方法，如由前 n 项和求数列 通项、等比数列求和的分类整合思想，数列问题可以通过 函数方法求解的函数思想，等差数列和等比数列问题中求 解基本量的方程思想，把一般的数列转化为等差数列或者 等比数列的等价转化思想等，要引导学生通过具体题目的 解答体会数列问题中的数学思想方法，并逐步会用数学思 想指导解题．
第31讲 │ 要点探究
[点评] 在数列中根据数列前 n 项和的定义得到的关系式 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 占有重要位置，很多数列试题就是以此为 出发点设计的．在使用这个关系式时，一定要注意分 n＝1，n≥2 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．在 根据数列的通项 an 与前 n 项和的关系求解数列的通项公式时， 要考虑两个方面，一个是根据 Sn＋1－Sn＝an＋1 把数列中的和转 化为数列的通项之间的关系；一个是根据 an＋1＝Sn＋1－Sn 把数 列中的通项转化为和的关系，先求 Sn 再求 an.如下面的变式．
第七单元 │ 使用建议
(3)强化数列求和：数列求和在高考的数列的解答题中占 有突出位置，除了等差数列、等比数列的求和外，还会涉及 裂项求和、错位相减求和等求和方法，在本单元的编写中专 门设置一讲强化数列求和．
(4)适度考虑数列和函数、不等式等知识的综合和数列的 实际应用：考虑到高考对数列的考查具有交汇性的特点，编 写中适度加入了数列和函数、数列和不等式的交汇等题目； 等差数列和等比数列的实际应用是考试大纲明确要求的，在 第 35 讲设置了探究点数列的实际应用．
第七单元 │ 命题趋势
第三个方向是以简单的数列递推式给出数列，通过转化把 数列转化为等差数列或者等比数列，求出这个数列的通项，然 后再涉及数列求和、不等式等综合问题；第四个方向是数列以 实际应用题的方式进行呈现，通过对实际问题的分析列出数列 模型，得出实际问题的答案．从考试大纲要求和近几年课标区 高考的实际情况看，数列解答题以前两个方向为主．
《数列的概念》课件7
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数列第三章 Nhomakorabea数
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数列训练(7) 数列实际应用
数列训练（7） 数列实际应用数列实际应用4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）. 解 设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a 1=52，经过n 年后绿洲面积为a n+1，设2006年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n+1，则a 1+b 1=1，a n +b n =1.依题意a n+1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，所以 a n+1=92%·a n +12%(1-a n )=54a n +253, 即a n+1-53=54(a n -53),∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n a 是以-51为首项，54为公比的等比数列， 则a n+1=53-51⎪⎭⎫ ⎝⎛54n, ∵a n+1＞50%,∴53-51⎪⎭⎫ ⎝⎛54n ＞21, ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛54n﹤21,n ＞log 5421=2lg 312lg -=3.则当n ≥4时，不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛54n﹤21恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.例3 假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47, 1.086≈1.59)解 （1）设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列， 其中a 1=250,d=50,则a n =250+(n-1)·50=50n+200 S n =250n+2)1(-n n ×50=25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4 750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1.由题意可知a n ＞0.85b n ,即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85. 当n=5时，a 5﹤0.85b 5, 当n=6时，a 6＞0.85b 6,∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ ⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a 美元． 问a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？解：⑴ 设工作年数为n （n ∈N *），第一种方案总共加的工资为S 1，第二种方案总共加的工资为S 2．则：S 1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n ＝500(n ＋1)nS 2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n ＝300(2n ＋1)n由S 2>S 1，即：300(2n ＋1)n>500(n ＋1)n 解得：n>2∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多． ⑵ 当n ＝10时，由⑴得：S 1＝500×10×11＝55000 S 2＝300×10×21＝63000 ∴ S 2－S 1＝8000∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元． ⑶ 若第二种方案中的300美元改成a 美元． 则12S ＝an(2n ＋1) n ∈N *∴ a ＞12)1(500++n n ＝250＋12250+n ≥250＋3250＝31000变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解：(1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.3.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d ＞0),因此，历年所交纳的储备金数目a 1,a 2,…是一个公差为d 的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r(r ＞0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a 2(1+r)n-2,…….以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额. （1）写出T n 与T n-1(n ≥2)的递推关系式；（2）求证：T n =A n +B n ,其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列. （1）解 我们有T n =T n-1(1+r)+a n (n ≥2).（2）证明 T 1=a 1,对n ≥2反复使用上述关系式，得 T n =T n-1(1+r)+a n=T n-2(1+r)2+a n-1(1+r)+a n =…=a 1(1+r)n-1+a 2(1+r)n-2+…+a n-1(1+r)+a n . ①在①式两端同乘1+r ，得(1+r)T n =a 1(1+r)n +a 2（1+r ）n-1+…+a n-1(1+r)2+a n (1+r). ②②-①,得rT n =a 1(1+r)n +d ［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)］-a n =rd ［(1+r)n -1-r ］+a 1(1+r)n-a n , 即T n =21r d r a +(1+r)n-r dn-21rd r a +. 如果记 A n =21r d r a +(1+r)n,B n =-21r d r a +-rdn, 则 T n =A n +B n ,其中{A n }是以21r d r a +(1+r)为首项，以1+r （r ＞0）为公比的等比数列；{B n }是以-21r d r a +-rd为首项，-rd为公差的等差 数列.（2010·江门调研）⒛（本小题满分14分）某地在保民生促增长中拟投资某项目，据测算，第一个投资季度投入1000万元，将带动GDP 增长400万元。
7数列通项和求和
数列通项公式和求和（7）命题人：贾海霞一、选择题1.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ）A ．16B ．24C ．36D ．482.已知等差数列{}n a中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．1863 .在等差数列|,|,0,0,}{910109a a a a a n >><且中则在前n 项和S n 中最大的负数为 （ ）A ．S 16B ．S 17C ．S 18D ．S 19 4．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 (A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n-5.在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a = A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m 等于 （ ）A ．38B ．20C ．10D ．97．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且132+=n nT S n n ，则55b a （ ）A ．32B ．97C ．3120D ．1498．若正项等差数列{an}和正项等比数列{bn}，且a1=b1,a2=b2,公差d ＞0,则an 与bn （n ≥3）的大小关系是 （ ） A ．an ＞bn B ．an ≥bn C ．an ＜bn D ．an ≤bn二、填空题9.设{a n }是首项是1的正项数列, 且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+= (n ＝1.2,3) 则它的通项公式n a ＝ ______________.10.已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.11．数列 ,43211,3211,211++++++的前n 项之和为 ．三、解答题12.已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.13.设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．14．已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anx n(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：1)31(f．数列通项与求和答案1.D2.C3.B4.B5.A6.C7.D8.C9.n 1, 10.978, 11．2+n n 12. (Ⅰ）解：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n = （Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x 时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n nn nx xx x nxx x x S x所以.12)1()1(212xnx x x x S n n n ----=+当1=x 时, )1(242+=+++=n n n S n综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n ；当1≠x 时，.12)1()1(212xnx x x x S n nn ----=+13. 解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q++=， 即22520q q -+=， 解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． （2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，， 由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=． 14．（1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n ∈N *)n =1时，a 1=1n ≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n -1)=n 2-(n -1)2=2n -1 ∴对n ∈N *总有a n =2n -1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.(2)n n f 31)12(313311)31(2-+++⋅= =)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n 1311)31(,3223231)12(311311923131)12()313131(2311)31(32111132<+-=∴+-=----⋅+=--+++⋅=∴++-+n n n n n n n f n n n f.。
数列求和的七种方法是什么
数列求和的七种方法是什么
1、数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
2、倒序相加法。
倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。
3、分组求和法。
分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。
4、错位相减法。
错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
5、裂项相消法。
裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
6、乘公比错项相减（等差×等比）。
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。
7、公式法。
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
8、迭加法。
主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
等差数列首尾项求和公式
等差数列首尾项求和公式等差数列，这可是数学世界里一个挺有趣的家伙！咱们今天就来好好聊聊等差数列首尾项求和公式。
先来说说啥是等差数列。
比如说，1，3，5，7，9 这样的一组数，每相邻两个数的差值都一样，这就是等差数列啦。
那这个等差数列首尾项求和公式到底是啥呢？它就是“和 = （首项 + 末项）×项数÷ 2”。
就拿个简单的例子来说吧，有个等差数列 2，4，6，8，10。
首项是2，末项是 10，项数是 5。
那按照公式来算，和就是（2 + 10）× 5 ÷ 2 = 30 。
是不是挺简单？我记得之前有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这咋这么复杂呀？”我笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢来。
” 我就带着他一步一步地分析，从最基础的等差数列概念，到这个求和公式的推导。
最后这小家伙恍然大悟，眼睛里闪着光，兴奋地说：“老师，我懂啦！” 那一刻，我心里别提多有成就感了。
再比如说，有这么一道题：一个等差数列，首项是 5，公差是 2，一共有 8 项，求它的和。
咱们先用通项公式算出末项，末项 = 首项 + （项数 - 1）×公差，也就是 5 + （8 - 1）× 2 = 19 。
然后再用求和公式，和 = （5 + 19）× 8 ÷ 2 = 88 。
其实啊，这个求和公式在生活中也能派上用场呢。
比如说，你要在书架上摆一排书，从第一本的1 厘米厚，每本依次增加1 厘米的厚度，一直到第 10 本，那这 10 本书的总厚度就可以用这个公式来算。
在学习等差数列首尾项求和公式的过程中，大家可别被它一开始的样子吓到。
多做几道题，多琢磨琢磨，你就会发现它其实就像一个乖巧的小宠物，只要你摸清了它的脾气，就能轻松驾驭。
而且，这个公式还能和其他数学知识结合起来，变得更有趣、更有挑战性。
比如和图形结合，计算一些有规律排列的图形的数量；和实际问题结合，计算一些物品的总价或者总量。
7 等比数列的前n项和公式及应用
7 等比数列的前n项和公式及应用7-等比数列的前n项和公式及应用等比级数的前n项、公式及其应用讲义我今天说课的内容（或题目）是等比数列的前n项和公式及应用。
我将从教材分析、学情分析、教学方法、教学过程、教学反思五个方面来陈述我对本节课的设计方案。
一、教科书分析1。
教科书的地位与作用本章在学习集合、函数知识基础上研究数列，知识结构是：数列的基本概念――特殊数列―实际应用。
首先在理解了数列的基本概念及通项公式后，进一步认识两个特殊数列：等差、等比数列，通过对两个特殊数列的研究使学生对数列的认识得到深化，进而解决一些实际应用问题。
同时，教材注重了通过实例分析引入新知识，这符合从感性认识到理性认识的认知规律，因此说，教材的这种设计符合学生的认知结构。
本课程的内容是在掌握等比数列的概念和通项公式的基础上，进一步研究等比数列的前n项、公式和应用，从而进一步了解等比数列的定义及其在现实生活中的应用。
2．教学目标知识目标：通过学习，了解等比数列前n项和公式的推导过程和思路，掌握等比数列前n项和公式及其应用，能够计算等比数列前n项和公式；能力目标：灵活运用公式解决问题，通过解决实际问题提高学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力；情感目标：在数学活动中获得成功的体验，建立自信，初步了解数学与人类生活的密切关系，体验充满探索和创造的数学活动，感受数学的严谨性，培养学生的数学思维。
激发学生学习和学习的积极性。
3．教学重难点：要点：1.等比序列的前n项和公式；2.等比级数前n项和公式的应用；难点：应用等比数列的前n项和公式解决实际问题二、学情分析职业学校中专生的特点：① 数学基础薄弱，对数学学习不感兴趣，学习自信心差；② 主动学习能力弱，学习习惯差；③ 一定的实践能力；④ 有一定的现实生活探索意识。
因此数学教育中培养人才所需的共性的东西，既不是数学知识，也不是解题能力，最重要的是数学的精神，思想和方法，而数学知识是第二位的。
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提示：由双项关系式：3a ＋7a ＝25a ， 4a ＋6a ＝25a 及3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450, 得55a ＝450, 易得2a ＋8a ＝25a ＝180.
9S ＝(1a ＋9a )＋(2a ＋8a )＋(3a ＋7a )＋(4a ＋6a )＋5a ＝95a ＝810.
例7已知a 、b 、c 的倒数成等差数列，那么，a 2(b+c), b 2(c+a), c 2(a+b) 是否成等差数列。
分析：将a 、b 、c 的成等差数列转化为a+c=2b ，再探索a 2(b+c)+b 2(c+a)=c 2(a+b)， 即a 2(b+c)+b 2(c+a) - c 2(a+b) = 0 是否成立.
例8已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少公共项. 分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）
课堂小结：
课后作业：
1.根据前几项写出数列的通项：
（1）3，5，9，17，33，… （4）0，1，0，1，0，1，…
（2）2，4，6，8，10，… （5）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…
（3）3，15，35，63，99，… （6）2，-6，12，-20，30，-42，…
2根据{a n }的首项和递推公式，写出数列的前5项及通项公式：a 1=0, a n+1=a n +2n-1
.
3．已知下列数列的前n 项和S n 求通项公式a n .
(1) S n =2n 2-3n (2) S n =2n
+3
4．已知数列的通项公式a n = kn-3，且a 8=-7，则a 14=__________.。