2020届高考数学大二轮复习 第1部分 专题7 概率与统计 第2讲 概率及其应用练习

第一部分 专题七 第二讲 概率及其应用A 组1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( C )A ．815 B ．18 C ．115D ．130[解析] 根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是115.故选C ．2．在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( D )A ．310B ．58C ．710D ．25[解析] 由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为410＝25.故选D ．3．(2018·江西宜春中学3月模拟)已知在数轴上0和3之间任取一个实数x ，则使“log 2x <1”的概率为( C )A ．14B ．18C ．23D ．112[解析] 由log 2x <1，得0<x <2，区间长度为2，区间[0,3]长度为3，所以所求概率为23.故选C ．4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( A )A ．56 B ．25 C ．16D ．13[解析] 令A ＝“甲、乙下成和棋”，B ＝“甲获胜”，C ＝“甲输”，则C ＝“甲不输”． ∵P (A )＝12，P (B )＝13，∴P (C )＝1－12，P (B )＝13，∴P (C )＝1－12－13＝16.∴P (C )＝1－16＝56.故甲不输的概率为56.5．在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率为( D )A ．12 B ．13 C ．23D ．34[解析] sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由1≤2sin(x ＋π4)≤2，得22≤sin(x ＋π4)≤1，结合x ∈[－π6，π2]得0≤x ≤π2，所以所求概率为π2π2＋π6＝34.故选D ． 6．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( C )A ．14B ．12C ．34D ．78[解析] 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，且x ，y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.7．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝23.[解析] 将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1,2”与事件D “朝上一面的数为3,5”，则C ，D 互斥，且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.8．已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为23.[解析] 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0.又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.9.(2018·郑州模拟)折纸已经成为开发少年儿童智力的一大重要工具和手段．已知在折叠“爱心”的过程中会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ，CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为13.[解析] 设正方形ABCD 的边长为2，则由题意，多边形AEFGHID 的面积为S AGFE ＋S DGHI ＋S △ADG＝(5)2＋(5)2＋12×2×2＝12，阴影部分的面积为2×12×2×2＝4，所以向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为412＝13.10．(2018·永州三模)我国为确保贫困人口到2020年如期脱贫，把2017年列为“精准扶贫”攻坚年，2017年1月1日某贫困县随机抽取100户贫困家庭的每户人均收入数据做为样本，以考核该县2016年的“精准扶贫”成效(2016年贫困家庭脱贫的标准为人均收入不小于3000元)．根据所得数据将人均收入(单位：千元)分成五个组：[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值．(2)如果被抽取的100户贫困家庭有80%脱贫，则认为该县“精准扶贫”的成效是理想的．请从统计学的角度说明该县的“精准扶贫”效果是理想还是不理想？(3)从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，求至少有1户人均收入在区间[1,2)上的概率． [解析] (1)由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，得：0.02＋0.03＋0.45＋a ＋0.2＝1，解得a ＝0.3. (2)由频率分布直方图得人均收入超过3000元的频率为： 1－0.02－0.03＝0.95＝95%>80%，所以从统计学的角度来说该县的“精准扶贫”效果理想．(3)户人均收入小于3千元的贫困家庭中有(0.02＋0.03)×100＝5(户)，其中人均收入在区间[1,2)上有0.02×100＝2(户)，人均收入在区间[2,3)上有0.03×100＝3(户)，从户人均收入小于3千元的贫困家庭中随机抽取2户，基本事件总数n ＝10，至少有1户人均收入在区间[1,2)上的对立事件是两户人均收入都在区间[2,3)上，所以至少有1户人均收入在区间[1,2)上的概率：P ＝1－310＝710.B 组1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( C )A ．14B ．13C ．12D ．23[解析] 如图所示，取边BC 上的中点D ，由PB →＋PC →＋2PA →＝0，得PB →＋PC →＝2AP →.又PB →＋PC →＝2PD →，故AP →＝PD →，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C ． 2．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝13ax 3－12bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f ′(x )在x ＝1处取得最值的概率是( C )A ．136 B ．118 C ．112D ．16[解析] 由题意得f ′(x )＝ax 2－bx ＋1，因为f ′(x )在x ＝1处取得最值，所以b2a ＝1，符合的点数(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a ，b )共有36种情况，所以所求概率为336＝112，故选C ． 3．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( B )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1[解析] 满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.4．从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为( C )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n[解析] 由题意得：(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，所以π＝4mn.5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )A ．13B ．12C ．23D ．56[解析] 总的基本事件是：红黄，白紫；红白，黄紫；红紫，黄白，共3种．满足条件的基本事件是：红黄，白紫；红白，黄紫，共2种．故所求事件的概率为P ＝23.6．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A 为“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝512.[解析] 试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x 轴上的椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.7．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是56.[解析] 将骰子先后抛掷2次的点数记为(x ，y )，则共有36个等可能基本事件，其中点数之和大于或等于10的基本事件有6种：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以所求概率为3036＝56.8．(2018·湖北武汉二月调考)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数.(2)分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，求这两名工人制造的零件总数不超过20的概率．[解析] (1)甲组工人制造零件数为9,9,10,10,12，故甲组工人制造零件的平均数x ＝15(9＋9＋10＋10＋12)＝10，方差为s 2＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2]＝65.(2)由题意，得甲、乙两组工人制造零件的个数分别是： 甲：9,9,10,10,12；乙：8,9,9,10,11，甲组中5名工人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，乙组中5名工人分别记为A ，B ，C ，D ，E ， 分别从甲、乙两组中随机选取1名工人，共有25种方法， 制造零件总数超过20的有：eB ，eC ，eD ，eE ，dE ，cE ，共6种，故这两名工人制造的零件总数不超过20的概率P ＝1－625＝1925.9．(2018·天津卷，15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．[解析] (Ⅰ)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(Ⅱ)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．(ii)由(Ⅰ)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．所以，事件M 发生的概率为P (M )＝521.。