第三节 任意项级数的绝对收敛敛与条件收敛2012-2-8
级数3
数列 s2n是单调增加的,
又 s2 n = u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 n− 2 − u2 n−1 ) − u2 n
≤ u1
n→ ∞
数列s2n是有界的,
Q lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
∴ lim s2 n = s ≤ u1 .
∴ lim s2 n+1 = lim ( s2 n + u2 n+1 ) = s ,
∞
n2 (2) ∑(−1)n n e n=1
∞
∞ n2 n n2 ∴ ∑ (−1) n 收敛, 因此 ∑(−1)n 收敛, 绝对收敛. n 绝对收敛. e e n=1 n=1
级数的乘积的 定义 设级数 ∑ un和
n =1 ∞
∑ v，
n =1 n
∞
它们逐项相乘， 它们逐项相乘， 则按如下顺序
u1v1 u1v2 u1v3 u1v4 ...
n→∞
;(ⅱ (ⅰ ) un ≥ un +1 ( n = 1,2,3,L) ;( ⅱ ) lim un = 0, 则级数收敛 , 且其和 s ≤ u1 , 其余项 rn 的绝对值
rn ≤ un + 1 .
证明
Q un−1 − un ≥ 0,
Q s2 n = ( u1 − u2 ) + ( u3 − u4 ) + L + ( u2 n−1 − u2 n )
四、小结
正 项 级 数
1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛
任意项级数
审 敛 法
2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.充要条件 充要条件 5.比较法 比较法 6.比值法 比值法 7.根值法 根值法 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 交错级数 (莱布尼茨定理 莱布尼茨定理) 莱布尼茨定理
任意项级数绝对收敛与条件收敛
lim u n 0
n 1 ( 1 ) un 收敛 则交错级数 n 1
15
思考题
设正项级数
un 收敛 , 能否推得
n 1
n 1
2 un
收敛 ?
反之是否成立 ? 若是任意项级数呢 ?
16
un lim un 0 ， 解答 设 un 是正项级数， lim n u n n n1
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0， 级数发散；
13
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
满足
不满足
发 散
un 1 比值判别法 lim u r n n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
5
定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义 若
| u
n 1
n
| 收敛,则称 un 绝对收敛；
n1
n
若
un 收敛,但 | u
u1 .
1
(1)
n 1
n 1
un (其中un 0)
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
（1） un un1 ,即 {un } 单调递减；
（ 2 ） lim un 0 ,
n
则交错级数
高等数学 上下册10_3 绝对收敛和条件收敛
定理 3 设 un 为任意项级数，如果 n1
lim un1
u n n
则当
1时，级数 un n1
绝对收敛，当
1
或lim un1 u n
n
时，级数un 发散.
n1
例 3 判 定 级 数 n 1 ( 1 ) n 1 n 1 3 n 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 .
解 由例2知， 交错级数n 1(1)n1n13n 是收敛的. 现利用定理3判定它是否绝对收敛.
u1u2u3u4(1)n1un,其中un(n1,2,) 都是正数.现给出交错级数的一个重要的审敛法.
定 理 1 （ 莱 布 尼 茨 （ L e i b n i z） 准 则 ） 若 交 错 级 数
( 1 )n 1 un满 足 条 件 ：
n 1
（1）un un1(n 1, 2,)
（2）lim n
第三节 绝对收敛与条件收敛
这一节讨论 n1
通常称为任意项级数.若级数 un 的项是正负相间的，这种 n1
级数称为交错级数.首先研究交错级数的审敛法，然后再讨 论任意项级数的审敛法，并给出绝对收敛与条件收敛的概 念.
一、交错级数及其审敛法
各项是正负相间的级数称为交错级数， 可以写成以下 形式：
un
0;
则 级 数 收 敛 ， 且 其 和 su 1,其 余 项 rn 的 绝 对 值 不 超 过 u n 1，
即 rnu n 1
证 明 从 略 .
例 1 判 断 交 错 级 数 1 1 1 1 ( 1 ) n 1 1 的 收 敛 性
2 3 4
n
解 un 1n,满足un un1，且lni munlni m1n 0, 所以级数
2n1 所以级数是发散的.
第三节绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
绝对收敛与条件收敛
于是 从而
lim
n→∞
un
≠ 0,
lim
n→∞
un
≠
0,
∞
故 ∑ un发散 .
n=1
说明:
∞
∑
un 发散（用比值法或
⇒
∞
∑ un发散
n=1
根值法判） n=1
例4 级数
∞
∑
(−
n)n
是绝对收敛、条件收敛还是发 散？
n=1 n !
解
Q
∞
∑
(−
n )n
=
∞
∑
n
n=1 n !
*3. 绝对收敛级数性质
*性质1 (交换律) 绝对收敛级数不因改变项的位置
而改变其和.
∞
∞
*性质2 (分配律) 设 ∑ un与 ∑ vn 都绝对收敛, 其和
n=1 n=1
分别为S,σ, 则逐项相乘 uiv j ，并按任意顺序排列
∞
得到的级数 ∑ wn 也绝对收敛, 其和为 Sσ .
n=1
∞
∑
(− 1)n sin
x
(x
>
0) 的敛散性
.
n=1
n
解
因
un
=
(− 1)n sin x
n
= sin x n
~ x (n → ∞) n
而
∞
∑
x 发散，由比较法知
n=1 n
∞
∑ un
n=1
发散，
故原级数非绝对收敛 .
又 sin x > sin x
n
n+1
⎜⎛ n > 2 x ⎟⎞ ⎝ π⎠
绝对收敛与条件收敛
小结
1、交错级数 (莱布(1)-(8)
故 f (x) [2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判 别法，该级数收敛.
例 3 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1) n1
1
发散.
n1
ln(n 1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
二、 任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对收敛和条件收敛
定义：若级数 | un | 收敛， 则称原级数 | un | 是绝
n1
n1
对收敛的；若级数 un 收敛，但级数 | un | 发散，
n 1
n1
则称原级数 un 是条件收敛的 . n1
定理：若 |
un
|
收敛，则
u
必
n
收敛.
n1
n1
(即绝对收敛的级数必定收敛)
x n
例6. 判别 n1 1 x n 的敛散性，其中，x1为常数.
第二节 正项级数及其审敛法、第三节 绝对收敛与条件收敛
un+1 a ( n + 1 )! n = lim ⋅ n ρ = lim n+1 n→ ∞ u n → ∞ ( n + 1) a n! n
a a = lim = , n→ ∞ 1 n e (1 + ) n 故 ( 1 ) 当 a < e 时 , 即 ρ < 1 时 , 级数收敛
(2) 当 a > e 时 , 即 ρ > 1 时 ,
1 又 ∑ 2 收敛 , n =1 n
∞
故原级数收敛. 故原级数收敛
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 比值审敛法( Alembert 判别法)
un +1 = ρ (ρ数或 + ∞ ) 是正项级数, 设 ∑ un 是正项级数,如果 lim n→ ∞ u n =1 n
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛;ρ > 1时级数发散; ρ = 1 时失效.
n =1
∞
∞
1 n+1 ) ∑ ( − ln ; (3) n =1 n n
∞
n
1 1 ~ n ( 2) ∵ n → ∞ 时, n 3 −n 3
1 故原级数收敛. 又 ∑ n 收敛 , 故原级数收敛 n =1 3
∞
n+1 1 ) ∑ ( − ln (3) n =1 n n
∞
1 n+1 − ln n n = lim x − ln(1 + x ) lim n→ ∞ x→0 1 x2 2 n 1 1− x 1 1 + x = lim = lim = , x→0 x → 0 2 x (1 + x ) 2x 2
04-绝对收敛与条件收敛PPT
绝对收敛与条件收敛
一、绝对收敛
定义1：若 an 收敛，称级数 an 绝对收敛 .
n1
n1
定理1：绝对收敛的级数必收敛。
证明：令
an
1 2 (an
an
)
(n 1,2,),
显然 an 0,
且 an an ,
an收敛,
n1
又
an
(2an
an ),
an 收敛.
1. 绝对收敛级数的判定: 利用正项级数收敛判别法.
绝对收敛的级数一定收敛.
2. 级数不绝对收敛时,看是否条件收敛.
n1
n1
n1
二、条件收敛
定理1 的主要用途：
任意项级数
正项级数
注：反之，收敛的级数未必绝对收敛.
如：
(1)n1 1 .
n1
n
定义2：若级数 an 收敛, 但 an 发散, 称 an
n1
n1
n1
条件收敛.
三、典型例题
例1
判别级数
sin n
n1 n2
的敛散性.
解：
sin n n2
1 n2
,
而
1 n1 n2
收敛,
n1
sin n n2
收敛,
故由定理知原级数绝对收敛.
例2
判别级数
(1)n
n1
kn n2
(k
0)
的敛散性.
解： (1) n1 n2
收敛,
1 n1 n
发散,
(1)n
n1
kn n2
发散.
又由交错级数判别法，原级数收敛.
故级数条件收敛.
四、小结
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预习幂级数注意：通项极限不是零⇒级数发散。
即1lim 0n n n n u u ∞→∞=≠⇒∑发散.lim 0n n u →∞=不能推出1nn u ∞=∑收敛。
例11n n∞=∑发散，但 1lim lim0n n n u n→∞→∞==.§11.3任意项级数的绝对收敛与条件收敛教学目的：弄清交错级数的概念，掌握莱布尼茨判别法；掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，能灵活正确运用各种判别法判断所给级数的敛散性.重点：掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，并能灵活正确判断所给级数的敛散性. 难点：灵活正确判断所给级数的敛散性. 教学方法：讲练结合 教学过程：本节将讨论不限制项的正负的级数------任意项级数. 一、交错级数及其敛散性 1.【定义11.3】形如11(1)n n n u ∞-=-=∑11234(1)n n u u u u u --+-++-+或1(1)nnn u∞=-∑123(1)n n u u u u =-+-++-+ 的级数称为交错级数.其中 0n u >, （1,2,n = ）. 2.【定理11.6】(莱布尼茨定理)设11(1)n n n u ∞-=-∑为交错级数, 若满足(1) 1n n u u +≥,（1,2,n = ）； (2) lim 0n n u →∞=, 则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛, 且级数和1S u ≤,其余项n R 的绝对值1||n n R u +≤.证明: (1) 记n S 为级数11(1)n n n u ∞-=-∑的部分和.考察级数111()n n n n n v uu ∞∞-===-∑∑. 由于10,n n u u --≥有21234212()()()0n n n S u u u u u u -=-+-++-≥ 2123222121()()n n n n S u u u u u u u --=------≤ 可见2{}n S 单调上升且有上界,由极限存在准则知 ∴ 21lim n n S S u →∞=≤.(2) 21lim 0,n n u +→∞=21221lim lim()n n n n n S S u S ++→∞→∞∴=+=即不论n 是奇数还是偶数,当n →∞时, 总有n S S →,∴1lim ,n n S S u →∞=≤ 故11(1)n n n u ∞-=-∑收敛.(3) 注意到级数12n n n R u u ++=-+ 也满足本定理的两个条件,∴ 1.n n R u +≤例1 (1)证明级数111(1)n n n∞-=-∑是收敛的,并估计误差||n R .证明 令 1n u n=由于1lim lim0n n n u n→∞→∞==且1n n u u +≥,1,2,n = , 故 原级数收敛. （ 由莱布尼茨定理知 ）且其和 11S u <=,其误差为111n n R u n +≤=+. （2）判断级数 2341357-+-+ 的敛散性. 解 因为11,2121n n n n u u n n ++==-+, 112121n n n n u u n n ++-=-++2(21)(21)(1)10(21)(21)41n n n n n n n +--+==>-+-,由于1lim lim0212n n n n u n →∞→∞==≠-, 由莱不尼兹定理知原级数发散. 练习：判断下列级数的敛散性（1）11(1)ln nn n ∞=-∑ （收敛，可以证明1x >时，ln ln(1x x <＋） ）（2）111(1)n n n ∞=-∑－（收敛）（3）11(1)ln n n n n ∞=+-∑（收敛）二、绝对收敛与条件收敛 1.【定理11.7】对于任意项级数1nn u∞=∑, 若1||nn u∞=∑收敛 ，则1nn u∞=∑收敛. （ 反之不然.）证明 因 10(||)||2n nn n v u u u ≤=+≤, 又因为1||nn u∞=∑收敛，所以由正项级数的比较判别法知1nn v∞=∑收敛.由2||n n n u v u =-,且1nn v∞=∑、1||nn u∞=∑均收敛故1nn u∞=∑收敛.反之不然. 例如111(1)n n n ∞-=-∑收敛, 但 11n n∞=∑ 发散. 2.【定义11.4】(1)若 1||nn u∞=∑收敛；则 级数1nn u∞=∑收敛且绝对收敛.(2)级数1nn u∞=∑收敛，但1||nn u∞=∑发散,则1nn u∞=∑收敛且条件收敛.例如: 而级数111(1)n n n∞-=-∑条件收敛; 级数1211(1)n n n ∞-=-∑绝对收敛,级数111(1)(01)n n n q q ∞--=-<<∑绝对收敛.3．【定理11.8】如果任意项级数121nn n uu u u ∞==++++∑ 满足条件 1limn n nu l u +→∞= 或 lim ||n n n l u →∞= ,则(1) 若1l <,级数1nn u ∞=∑收敛，且绝对收敛. (2) 若1l >,级数1nn u∞=∑发散.证明 1l <时，正项级数1||nn u∞=∑收敛⇒1n n u ∞=∑收敛.当1l >时,11lim1lim 0n n n n n n nu l u u u u ++→∞→∞=>⇒>⇒≠lim 0n n u →∞⇒≠ ⇒1l >时，1n n u ∞=∑发散.例2 判断下列级数的敛散性： （1）220!2!3!!(1)1(1)23nn n nn n n n n ∞=-=-+-++-+∑ ； （2）201!2!!n nn x x x x n n ∞==+++++∑ ；（3）212n nn x x x x nn ∞==++++∑ ；（4）11n n nx∞-=∑；解（1）112(1)!1(1)limlim lim 1!1nn n n n n nn u n n n u n e n++→∞→∞→∞++⎛⎫===< ⎪+⎝⎭故 原级数收敛且绝对收敛. （2）因为11!lim lim lim 0(1)!1n n n n n n nx x u n u n n x ++→∞→∞→∞=⋅==++ 所以对x R ∀∈，原级数收敛且绝对收敛.由上两题得重要结论：!lim 0,lim0!nn n n n x n n →∞→∞==. （3）111limlim lim 1n n n n n n nxx nu n x u n xn++→∞→∞→∞⋅+===+，当1x <时，原级数收敛且绝对收敛； 当1x >时，原级数发散.当1x =时，级数成为调和级数，它是发散的； 当1x =-时，级数成为11(1)nn n∞=-∑， 它是条件收敛的级数. （4）11(1)1lim lim lim(1)nn n n n n nx n u x x u n x n +-→∞→∞→∞⋅+==+=⋅， 当1x <时，原级数收敛且绝对收敛； 当1x ≥时，原级数发散.其中 1x =时，级数通项的极限不为零. 例3 判断下列级数的敛散性 （1）21sin (1)n nan ∞=+∑ 解 因为222sin 11(1)(1)na n n n ≤<++且级数211n n∞=∑收敛, 由正项级数的比较判别法知级数21sin (1)n nan ∞=+∑收敛, 故 原级数收敛且绝对收敛. （2）111(1)s 13n n n inn π-∞+=-+∑解 1sin13n n n u π++=，1121(1)s 32lim lim 3(1)s 1n n n n n n n ninun u inn ππ+++→∞→∞--+=⋅-+112lim 1331n n n ππ→∞+=⋅=<+,(sin~)11n n n ππ→∞++时 所以1nn u∞=∑收敛，故原级数绝对收敛.另解: 11sin1133n n n n n u v π+++=≤=,1113n n ∞+=∑收敛 ⇒原级数绝对收敛.练习: (1) 判断1s (1)n co nan n ∞=+∑敛散性. 提示： 因为2cos 11(1)(1)na n n n n n≤<++,级数211n n ∞=∑收敛⇒原级数收敛且绝对收敛. （2）11(1)(1cos )nn n ∞=--∑：2111,1cos ~()2n n n→∞-时原级数绝对收敛.（3）2211(1)ln nn n n ∞=+-∑：2211,ln(1)~n n n →∞+时 原级数绝对收敛.(4)211(1)(21)nn n ∞=--∑：222111(21)[(1)]n u n n n n ==≤-+-，且211n n∞=∑为收敛的P －级数， 所以原级数收敛且绝对收敛.（5）1ln (1)nn nn∞=-∑：ln 1lim limln n n n n n n u n u v n n n v →∞→∞====∞令则且nv∞∑n＝1发散，所以1nn u∞=∑发散.又令ln (1xy x x =≥）， 0x x'≥21-l n 则y = 0x e y '><当时， 即在 [,)e +∞上 ln (1xy x x=≥）单调递减， 即3n ≥时级数满足1n n u u +≥,（1,2,n = ），lim 0n n u →∞=故原级数条件收敛.（ln ln 1lim limlim lim 0n n n x x n x u n x x→∞→∞→+∞→+∞====）例4 (88.3) 设级数 21nn a∞=∑与21nn b∞=∑ 均收敛,求证（1）1n nn a b ∞=∑绝对收敛.（2）21()nn n ab ∞=+∑收敛.（3）1n n a n∞=∑收敛.证 （1） 因为221()2n n n n a b a b ≤+, 且21nn a∞=∑与21nn b∞=∑均收敛,所以2211()2n n n a b ∞=+∑收敛,由正项级数的比较判别法知1n nn a b∞=∑收敛故1n nn a b∞=∑收敛且绝对收敛.（2）因为级数21nn a∞=∑与21nn b∞=∑均收敛,又由（1）知1n nn a b∞=∑收敛，又由2220()2n n nn n n a b ab a b ≤+=++ 得2221111()2nn n n n n n n n n ab a b a b ∞∞∞∞====+=++∑∑∑∑收敛.（3）由于 221110()2n n n a a a nn n<=⋅≤+， 级数21nn a ∞=∑与211n n ∞=∑均收敛 ⇒ 22111()2n n a n ∞=+∑收敛.再由正项级数的比较法得 级数1n n a n∞=∑收敛 .提问: （1）下列级数条件收敛的有( ). (A )11(1)n n n-∞=-∑； (B )112(1)()3n nn ∞-=-∑ (C )121(1)21n n n n ∞-=-+∑ ；(D )1311(1)24n n n ∞-=-+∑ 分析 121lim (1)0221n n n n -→∞-=≠+⇒121(1)21n n n n ∞-=-+∑发散.323311122424n n n =<++⇒1311(1)24n n n ∞-=-+∑绝对收敛.答案 （A ） .（2）下列级数绝对收敛的有( ).(A )11(1)n n n -∞=-∑ ； (B )11(1)21n n n n ∞-=--∑(C )11(1)3n n n -∞=-∑ ； (D )121(1)n n n -∞=-∑ 答案（ C,D ）.（3）下列级数发散的有( )(A )111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑ (B )131n nn ∞=-∑(C )111(1)3n nn ∞-=-∑ (D )123n n n ∞=∑ 答 由莱不尼兹定理可知∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n 收敛由1lim 0313n n n →∞=≠-知131n nn ∞=-∑发散⇒选(B ),由11()3nn ∞=∑收敛知11(1)3n nn -∞=-∑绝对收敛, 由11lim13n n nu u +→∞=<知123n n n ∞=∑收敛. （4）(94.3) 设常数0λ>,而级数21nn a∞=∑收敛,则级数21(1)n nn a n λ∞=-+∑ （ ）.(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性与λ有关.答 (C).因为2222211(1)[()]2nnnn a a a n n n λλλ-=≤++++2211[]2n a n<+, 由题设知∑∞=12n na收敛,又211n n∞=∑收敛, 故原级数收敛且绝对收敛. (5) 级数1(1)2nnn n a ∞=-∑收敛，则级数 1n n a ∞=∑（ B ）（A ） 条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D) 敛散性不定. 解1(1)2nn n n a ∞=-∑收敛1lim 20212n n n n n n n a a a →∞⇒=⇒≤⇒≤， 112nn ∞=∑收敛1n n a ∞=⇒∑，所以1n n a ∞=∑收敛，且绝对收敛. （6）(06.4) 若级数1nn a∞=∑收敛,则级数( )(A)1nn a∞=∑收敛； (B)1(1)nnn a∞=-∑收敛；(C)11n n n a a ∞+=∑收敛； (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. 答(D).由1nn a∞=∑收敛可知11n n a∞+=∑收敛,所以112n n n a a ∞+=+∑收敛. 例5 判断下列级数的敛散性 （1）讨论级数11n n n ∞=∑的敛散性.提示：111111,22n n n n n n u v n ∞--==≤=∑收敛⇒正项级数11n n n∞=∑收敛.（2）判别级数22211(2)(3)n n n n ∞=+++∑的敛散性. 2222222111(2)(3)(1)n n n n u v n n n n n ++=<==+++且2111n n n v n ∞∞===∑∑收敛⇒22211(2)(3)n n n n ∞=+++∑收敛. （3）13(1)(2)n n n n n ∞=+++∑解：令 3233313(1)(2)n n n u n n n n n n ++=<=+++又级数 231113,n n n n∞∞==∑∑收敛，所以正项级数13(1)(2)n n n n n ∞=+++∑收敛.(4)1111357++++解 该级数为1121n n ∞=-∑,由11212n n >-,且112n n∞=∑发散知原级发散.(5)12342345++++ 解 1n n u n =+,而lim lim101n n n nu n →∞→∞==≠+, 该级数发散. (6)234234222213335373++++⋅⋅⋅⋅ 解 由于122()()2133n n n u n =≤-,12()3n n ∞=∑是一个公比为32的收敛 几何级数，所以由正项级数的比较判别法可知原级数收敛.（7）112nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑. 解 令1(),122n n n n n u v n ==+， ()212lim lim lim()1122n n n n n n nnn u n n l v n →∞→∞→∞+===+121221lim 1[(1)]2n n e n-→∞==+ 因为级数 112nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故级数 112nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛. 另解：令()lim ()1212n nn n n n n u n n→∞=⇒++1lim 1122n n n →∞==<+ ⇒ 原级数收敛.（8）21sin 2n n n n π∞=∑.解：2sin 22n n n n n n u n v π=≤=，11121lim lim 122n n n n n nv n v n ρ++→∞→∞+==⋅=<，所以正项级数 12n n n∞=∑收敛，故 原级数21sin 2nn nn π∞=∑收敛. 练习：判定下列级数哪些是绝对收敛,哪些是条件收敛:(1)11(1)ln(1)n n n +∞=-+∑解 因为111(1)1ln(1)ln(1)n n n n n +∞∞==-=++∑∑,又ln(1)n n +<,有11ln(1)n n >+,而调和级数11n n∞=∑发散, 由比较判别法可知级数11(1)ln(1)n n n +∞=-+∑发散,但由于1(1,2,)n n u u n +>= ,且lim 0n n u →∞=,由莱不尼兹定理知级数11(1)ln(1)n n n +∞=-+∑收敛,故原级数条件收敛.(2) 2233131313210210210-+-+- 解 1n n u ∞==∑ 2233131313210210210+++++ 1111210n n n n ∞∞===+∑∑, 由于112n n ∞=∑和1110n n ∞=∑都收敛,则1n n u ∞=∑收敛,所以原级数绝对收敛.(3)6 1925498112124813264+--++- =(1)22111(21)122n n n n n -∞+=++-∑（） 解 设(1)221(21)12n n n n n u -++=-（）,原级数可看作112n n u ∞=+∑,因为 21122(22)21lim lim 12(21)2n n n n n nu n u n +++→∞→∞+=⋅=<+， 则1nn u∞=∑收敛,所以(1)2211(21)12n n n n n -∞+=+-∑（）绝对收敛, 故原级数绝对收敛.小结：1.弄清绝对收敛与条件收敛概念，根据所给级数特点选择合适的方法.2.在判断级数敛散时注意运用等价无穷小、常用的 不等式的放缩，绝对收敛等知识进行转化.课后记：存在错误：对各个判别法条件掌握不到位，乱用判别法进行证明.。