高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛
n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
பைடு நூலகம்
正项级数
定 义 : 若 u n收 敛 ,则 称 u n为 绝 对 收 敛 ;
n 1
n 1
若 un发 散 ,而 un收 敛 , 则 称 un为 条 件 收 敛 .
n1
n1
n1
例4
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sinn n2
1 n2
,
而
1 收敛,
n1
ln(n1)
解： (1)n1 1 1 1 lnn (1) lnn (1) n1
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1)n1
1
发散.
n1
ln(n1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
小结
1、交错级数 (莱布尼茨定理) 2、绝对收敛与条件收敛
作业：P127：2(1)-(8)
由极限存在准则：m l i m S2mS存在S， u1且 .
2) 取交错级数的前2m+1项之和
S 2 m 1 u 1 u 2 u 3 u 4 u 2 m 1 u 2 m u 2 m 1 S 2 m u 2 m 1
由条件1): ln imun 0,故
m l i S 2 m m 1 m l ( i S 2 m m u 2 m 1 ) m l i S 2 m m m l i u 2 m m 1 S 综上所述，有 ln im SnS，S且 u1.
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。
n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。
(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。
解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛是数列、级数和函数级数中重要的概念，常常用于求解实际问题。
判别一个数列、级数或函数级数是否绝对收敛，可以通过以下方法：
1. 比较判别法：将该数列、级数或函数级数与某个比较级数进行比较，若比较级数收敛，则原数列、级数或函数级数绝对收敛；若比较级数发散，则原数列、级数或函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
2. 比值判别法和根值判别法：对于正项数列、级数和函数级数，可以分别用比值判别法和根值判别法进行判定。
若极限值小于1，则绝对收敛；若极限值大于1，则发散；若等于1，则无法判断，需要采用其他方法。
3. 绝对收敛的充分性：若一个数列、级数或函数级数绝对收敛，则它必定收敛，即条件收敛。
因此，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
4. 瑕积分判别法：对于函数级数，可以用瑕积分判别法进行判定。
若瑕积分收敛，则函数级数绝对收敛；若瑕积分发散，则函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
通过以上方法，可以判别数列、级数和函数级数的绝对收敛和条件收敛性质，为进一步求解实际问题提供有力的数学工具。
- 1 -。
数学分析课件：9_5绝对收敛与条件收敛
例：讨论下列级数的条件收敛还是绝对收敛
1n
1)
n1
np
解:
1n
an n p
1）p 1,绝对收敛；
2）0 p 1条件收敛；
3）p 0发散
1n
2) n1
n
1 n
p
解：由于
an
1n n 1n
p
1n
np
1
1n
n
p
1n
np
1
p 1n
n
o
1 n
1n
np
p n p1
法 5.比较法
6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
作业：习题7﹒5
1 除（6）外； 2 （2）（4）（6）（7）； 3； 4
n1
bn收敛,且其和B S.
同样，将 an看成是 bn更序所得，知S B.
S B
⑵ 对任意级数 an
①
记a
n
an
2
an
an 0
an 0 ,
an 0
正部
an 显然：0
an
2
an
an 0
an an ，0 an
an 0 负部
an an
0 ，且 an
an
an an an an
1 21
1 101
1 22
1 102
k 1
(
1 2k
1 10k
)
更序为：
1 21
1 101
1 102
1 22
1 103
1 104
k 1
(
1 2k
1 102 k 1
1 102k
)
原级数部分和：
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
（ u u u ）（ v v v ） 1 2 1 2
U* V*，
* 即 S 有界，这证明了级数 绝对收敛 . n n n 1
2019/2/12
17
再 应 用 定 理 2 , 也 的 更 序 级 数 绝 对 收 敛 , 且 它 们 和 相 同 ,
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
2019/2/12
1
一.绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1
定理1: 若对级数 un， 将 它 所 有 正 项 保 留 而 负 项 换 为 0 ， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
由 定 理知 1 ，
这 两 个 级 数 都 收 敛 .
设 它 们 的 和 分 别 为 V 和 W , 则 有
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8
u V W. 由 ( 1 ) 知 u 的更序级数 u 有 u V W , 绝对收敛 即更序级数 u .
n 1 n
u
V W ,
18
以下再证明这个和数恰 为UV.
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a u v （ u v u v u v ）
n 1 n 11 12 22 21
（ u v u v u v u v u v ） ， 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
* V v v v ， 即的 v 分 和 . 1 2 n 部 n 1
条件收敛与绝对收敛定义
条件收敛与绝对收敛定义
对于数列来说，如果一个数列在满足某些条件时收敛，但在不满足这些条件时不一定收敛，那么这个数列就是条件收敛的。
而如果一个数列无论在何种情况下都一定收敛，那么这个数列就是绝对收敛的。
对于级数来说，如果一个级数的各项在满足某些条件时相加收敛，但在不满足这些条件时不一定相加收敛，那么这个级数就是条件收敛的。
而如果一个级数的各项的绝对值相加无论在何种情况下都一定收敛，那么这个级数就是绝对收敛的。
条件收敛和绝对收敛是两个非常重要的概念，在数学分析中应用广泛。
其中，绝对收敛有着更强的收敛性质，因此在求和或积分等运算中更为方便和可靠，而条件收敛则更为常见，因为很多数列或级数只有在满足某些条件时才有意义或者存在。
- 1 -。
条件收敛和绝对收敛的判别方法
条件收敛和绝对收敛的判别方法
条件收敛和绝对收敛的判别方法如下：
1. 条件收敛：如果一个无穷级数或积分收敛但不绝对收敛，那么它被称为条件收敛。
条件收敛的级数或积分可以重排，但收敛到不同的值。
2. 绝对收敛：一个数项级数或积分绝对收敛当且仅当级数的每一项或者积分的函数取绝对值后仍然收敛或可积。
绝对收敛的级数或积分具有性质，即无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值。
总的来说，判断条件收敛和绝对收敛的方法主要是通过判断级数或积分的收敛性和重排后的收敛性。
如需更多信息，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士。
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1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
lim
n
u
n
lim
n
1 n
0，
由莱布尼茨准则知，该级数是收敛的.
2、绝对收敛与条件收敛
各项为任意实数的级数称为任意项级数.
定理 2 若级数 un 收敛,则级数 un 收敛.
n1
n1
上述定理的作用：
任意项级数
正项级数
2、绝对收敛与条件收敛
定义:若 un 收敛, 则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 收敛，而 un 发散，则称 un 条件收敛.
n1
n1
n1
例如
(1)n n1 n
绝对收敛与 条件收敛
目录
01 交错级数及其审敛法 02 级数的绝对收敛与条件收敛 03 小 结
1. 交错级数及其敛散性
交错级数是一种各项正负相间的常数项无穷 级数，它的一般形式为u1Fra biblioteku2u3
u4
(1)
u n1 n
或
u1 u2 u3 u4 (1)n un
其中，un>0 (n=1, 2, …)