绝对收敛与条件收敛
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。
n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。
(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。
解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。
绝对收敛与条件收敛
sinn n 1 n ( 2 ). ( 1 ) (1). ( 3 ). n ! x n 1 2 3 n n 1 n 1 n 1 1 1 sin n 解 (1). | un | 2 因 2 收敛, 故原级数绝对收敛. 2 n n n 1 n n1 n un1 n1 1 3 ( 2). lim lim lim 1 故原级数绝对收敛. n u n n 3n n 3 n n 1 3 (3).当x 0时，级数显然收敛于 0；当x 0时 un1 ( n 1)!| x |n1 lim lim lim( n 1) | x | 原级数发散. n n u n n n!| x | n
例如,
( 1 )
n1
1 条件收敛. n
1 ( 1 ) 3 绝对收敛. n n 1
n
定理7
若级数
u
n 1
n
绝对收敛, 则级数
u
n 1
n
必定收敛.
1 证 设 | un | 收敛, 令 vn (un | un |) (n 1,2,) 2 n 1
un 2vn | un | 由性质知, un 收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
1、任意项级数：
u ,
n 1 n
un 为任意实数.
2、绝对收敛、条件收敛.
1).若 2).若
| u u
n 1 n 1 n
n
| 收敛, 则称 un 为绝对收敛.
n 1
n
收敛, 但
n1
| u
n 1
| 发散, 则称 un 为条件收敛.
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛是数列、级数和函数级数中重要的概念，常常用于求解实际问题。
判别一个数列、级数或函数级数是否绝对收敛，可以通过以下方法：
1. 比较判别法：将该数列、级数或函数级数与某个比较级数进行比较，若比较级数收敛，则原数列、级数或函数级数绝对收敛；若比较级数发散，则原数列、级数或函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
2. 比值判别法和根值判别法：对于正项数列、级数和函数级数，可以分别用比值判别法和根值判别法进行判定。
若极限值小于1，则绝对收敛；若极限值大于1，则发散；若等于1，则无法判断，需要采用其他方法。
3. 绝对收敛的充分性：若一个数列、级数或函数级数绝对收敛，则它必定收敛，即条件收敛。
因此，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
4. 瑕积分判别法：对于函数级数，可以用瑕积分判别法进行判定。
若瑕积分收敛，则函数级数绝对收敛；若瑕积分发散，则函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
通过以上方法，可以判别数列、级数和函数级数的绝对收敛和条件收敛性质，为进一步求解实际问题提供有力的数学工具。
- 1 -。
级数的条件收敛与绝对收敛
级数的条件收敛与绝对收敛级数是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题是判断级数的收敛性。
收敛性可以分为两种情况：条件收敛和绝对收敛。
本文将简要介绍这两种收敛性，并探讨它们的区别和应用。
我们来定义级数的概念。
对于一个给定的数列{an}，我们可以构造一个级数S，它的通项为an，表示为S = a1 + a2 + a3 + ...。
级数的收敛性描述了这个无穷级数的求和是否有一个有限的极限值。
条件收敛是指一个级数在某种条件下收敛。
具体来说，一个级数S 在条件收敛时，它的部分和序列Sn存在极限L，即lim(n→∞)Sn = L。
条件收敛是指级数的收敛性依赖于级数项的顺序。
如果我们改变级数项的顺序，可能会导致级数的收敛性发生变化。
绝对收敛是指一个级数在任何条件下都收敛。
具体来说，一个级数S在绝对收敛时，它的绝对值级数∑|an|收敛。
绝对收敛是指级数的收敛性与级数项的顺序无关。
无论我们如何改变级数项的顺序，只要级数的绝对值级数收敛，原级数就一定收敛。
条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项的正负性。
在绝对收敛中，我们只考虑级数项的绝对值，而不关心它们的正负性。
这使得我们可以通过级数项的绝对收敛性来研究级数的性质，而不受级数项正负的影响。
而在条件收敛中，级数项的正负性对级数的收敛性起着决定性的作用。
绝对收敛的一个重要性质是它保持级数的求和操作的可交换性。
也就是说，对于一个绝对收敛的级数S，无论我们如何改变级数项的顺序，级数的求和结果都是一样的。
这个性质在实际计算中非常有用，可以简化级数求和的过程。
条件收敛与绝对收敛的关系也是一个重要的研究方向。
一个经典的结果是，如果一个级数绝对收敛，那么它一定条件收敛。
也就是说，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
但反过来并不成立，也就是说，条件收敛不一定能推出绝对收敛。
这就意味着，对于一个条件收敛的级数，我们不能简单地改变级数项的顺序，而需要谨慎地处理级数的求和操作。
第三节 绝对收敛与条件收敛
0 vn un ,0 wn un ,
由正项级数的比较审敛法可知级数
v 与 w 均收敛.
n 1 n n 1 n
un vn wn ,
因此级数
u
n 1
n
收敛.
例4 判别下列级数的敛散性，如果收敛，则进一步判别是条件 敛，还是绝对收敛． sin n 1 2 n 1 n 1 n 1 (4) sin( n 1 ). (1) ; (3) ( 1) ; (2) ( 1) ; 3
a1 lim sn 1, 因此级数 n a
2
2 n 2 n (4) sin( n 1 ) (1) sin[( n 1 n) ] (1) sin
n 1 n
,
lim sin
n
n2 1 n
0,{sin
n2 1 n
}单减，级数 sin n 2 1 收敛，
n 1
又n 时， sin
2n 1 ln(1 n) n 1 n 1 sin n 1 1 sin n 绝对收敛； 解 (1)因为 , 3 3 3 收敛， 3 n n n 1 n n n 1
n 1
n
n 1
(2)根据莱布尼兹判别法可知该级数条件收敛；
(3)因为 lim
n 1 1 , 该级数发散； n 2n 1 2
ln 3 ln 4 ln n ln x 1 ln x , , , , (2)令f ( x) , f ( x) 0( x e), 因此数列 3 4 n x x
单减， 且lim n
ln n 0, 所以该级数收敛； n
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
（ u u u ）（ v v v ） 1 2 1 2
U* V*，
* 即 S 有界，这证明了级数 绝对收敛 . n n n 1
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再 应 用 定 理 2 , 也 的 更 序 级 数 绝 对 收 敛 , 且 它 们 和 相 同 ,
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
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1
一.绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1
定理1: 若对级数 un， 将 它 所 有 正 项 保 留 而 负 项 换 为 0 ， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
由 定 理知 1 ，
这 两 个 级 数 都 收 敛 .
设 它 们 的 和 分 别 为 V 和 W , 则 有
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u V W. 由 ( 1 ) 知 u 的更序级数 u 有 u V W , 绝对收敛 即更序级数 u .
n 1 n
u
V W ,
18
以下再证明这个和数恰 为UV.
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a u v （ u v u v u v ）
n 1 n 11 12 22 21
（ u v u v u v u v u v ） ， 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
* V v v v ， 即的 v 分 和 . 1 2 n 部 n 1
任意项级数_绝对收敛与条件收敛
n
n n1
n
0,
所以级数收敛.
5
用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:
1)2)13) ( 1) 收敛 n 1 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 1 ( 1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n ( 1) 收敛 n 10 102 103 104 10
n
n
u n l 上述结论仍然成立。 10
1 1 例4 判定 ( 1 ) n 1 3 n n1
n
n
2
的绝对收敛,条件
收敛或发散性.
解
n
un
1 3
(1
1 n
) n
n
1 3
e 1 ， 绝对收敛.
11
例5 解
设 p 0, 0 , 讨 论
而
S 2m 1 S 2m u2m 1 , 由 条 件 (2)可 知 ,
m
lim S 2 m 1 S ,
得
lim S n S ,
n
2
即 原 级 数 收 敛 , 且 其 和 S u1 .
( 1)
n1
n1
un
( 其中 u n 0 )
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
0,
4
所以级数收敛。
例2
判别级数
设 f (x)
( 1)
n
n
n2
n1
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小结
1、交错级数 (莱布(1)-(8)
故 f (x) [2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判 别法，该级数收敛.
例 3 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1) n1
1
发散.
n1
ln(n 1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
二、 任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对收敛和条件收敛
定义：若级数 | un | 收敛， 则称原级数 | un | 是绝
n1
n1
对收敛的；若级数 un 收敛，但级数 | un | 发散，
n 1
n1
则称原级数 un 是条件收敛的 . n1
定理：若 |
un
|
收敛，则
u
必
n
收敛.
n1
n1
(即绝对收敛的级数必定收敛)
x n
例6. 判别 n1 1 x n 的敛散性，其中，x1为常数.
解：记
un
xn 1 xn
lim | un1 | lim | xn1(1 xn ) | n | un | n | x n (1 x n1 ) |
lim x xn1 n 1 x n1
| x | ,
1,
| x | 1 | x|1
n | un | (1) <1时, 级数绝对收敛；
(2) >1 (包括= )时，级数发散；
(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.
例5. 判别级数
sin n
5
n2
n 1
的敛散性.
sin n
解： | un |
5 n2
1 n2
由P一级数的敛散性，
n 1
1 收敛，故 |
n2
n1
un
| 收敛，
即原级数绝对收敛.
由达朗贝尔判别法：
当|x|<1时，=|x|<1, 原级数绝对收敛.
当|x|>1时，=1, 此时不能判断其敛散性.
但|x|>1时， lim n
|
un
|
lim
n
xn 1 xn
1 0，
从而，原级数发散.
例6. 级数 (1)n1
1
是否绝对收敛?
n1
ln(n 1)
解： (1)n1 1
1 1
ln(n 1) ln(n 1) n 1
lim
n
u
n
0,故
lim
m
S
2m1
lim (S
m
2m
u2m1 )
lim
m
S
2m
lim
m
u2m1
S
综上所述，有
lim
n
S
n
S，且S
u1.
例1. 讨论级数 (1)n 1 的敛散性.
n 1
n
解：这是一个交错级数，un
1， n
又
lim
n
u
n
lim
n
1 n
0， un
1 n
1 n 1
u
n
，
1
由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.
S2m u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2m2 u2m1 ) u2m u1
由极限存在准则：lim m
S2m
S存在，且S
u1.
2) 取交错级数的前2m+1项之和
S2m1 u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m u2m1 S2m u2m1
由条件1):
(1)n
例2. 判别级数 n2 n ln p n 的敛散性.
解：这是一个交错级数，un
1 n ln p
， n
又
lim
n
u
n
lim 1 n n ln p
n
0，
令f (x) 1 ，x[2, +)，则
x ln p x
f
(x)
ln
p
x p ln p1 x 2 ln 2 p x
x
0，
x[2, +)，
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例4
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数 un . n 1
若 lim | un1 | 存在，则
证： un |un|
0 | un | un 2 | un |
已知 | un |收敛，故 (| un | un ) 收敛，
n1
n1
从而 un [ (| un | un ) | un |]收敛.
n 1
n 1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
一、 交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的
一般形式为 u1 u2 u3 u4 (1)n1un
或 u1 u2 u3 u4 (1)n un
其中，un0 (n=1, 2, …)
定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数 (1)n1un n1
满足条件
(1)
lim
n
u
n
0
(2) unun+1
(级数收敛的必要条件) (n=1, 2, …)
则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.
证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在. 1) 取交错级前2m项之和
S2m u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m
(u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) 由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及