河北省衡水中学2019届高三数学复习资料期末复习专题四 函数单调性的应用面面观

专题四函数单调性的应用面面观【方法综述】 函数单调性的应用,主要有比较函数值大小、解不等式、求参数的取值范围（值）、求函数的最值（值域）等,下面举例说明.一、比较函数值大小例1.设函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x),且f(x)是[1,+∞)上的增函数,则a =f(0.623),b =f(0.723),c =f(0.713)的大小关系是（ ）A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.a ＞c ＞bD.c ＞b ＞a解：根据f(1+x)=f(1−x),可得函数f(x)的图像关于直线x =1对称,结合f(x)是[1,+∞)上的增函数,可得函数f(x)是(−∞,1]的减函数,利用幂函数和指数函数的单调性,可以确定0.623＜0.723＜0.713,所以f(0.623)＞f(0.723)＞f(0.713),即a ＞b ＞c ,故选A.解题策略： (1)利用单调性可以比较函数值的大小,即增函数中自变量大函数值也大,减函数中自变量小函数值反而变大;(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间.二、解不等式例2.已知函数f (x )={9,x ≥3−x 2+6x,x ＜3,则不等式f (x 2−2x )＜f (3x −4)的解集是__________.解：当x ＜3时,f (x )=−x 2+6x =−(x −3)2+9≤9,f (x )在(−∞,3)上递增,由f (x 2−2x )＜f (3x −4),可得{x 2−2x ＜3x −43x −4≤3 或{x 2−2x ＜33x −4＞3 , 解得{1＜x ＜4x ≤73 或{−1＜x ＜3x ＞73,即为1＜x ≤73或73＜x ＜3, 即1＜x ＜3,即有解集为(1,3),故答案为(1,3).解题策略： (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,推出两个变量的大小关系,然后去解不等式.河北省衡水中学2019年高中数学期末复习(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域,即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围.(3)利用单调性解不等式时,一定要注意变量的限制条件,以防出错.三、求参数的取值范围（值）例3.已知a ＞0,函数f (x )＝x 3－ax 是区间[1,＋∞)上的单调函数,求实数a 的取值范围. 解：任取x 1,x 2∈[1,＋∞),且x 1＜x 2,则Δx ＝x 2－x 1＞0.Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 32－ax 2)－(x 31－ax 1)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a ).∵1≤x 1＜x 2,∴x 21＋x 1x 2＋x 22＞3.显然不存在常数a ,使(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )恒为负值.又f (x )在[1,＋∞)上是单调函数,∴必有一个常数a ,使x 21＋x 1x 2＋x 22－a 恒为正数,即x 21＋x 1x 2＋x 22＞a .当x 1,x 2∈[1,＋∞)时,x 21＋x 1x 2＋x 22＞3,∴a ≤3.此时,∵Δx ＝x 2－x 1＞0,∴Δy ＞0,即函数f (x )在[1,＋∞)上是增函数,∴a 的取值范围是(0,3].四、利用函数单调性求函数的最值（值域） 例4.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x,x ∈[1,＋∞). (1)当a ＝4时,求f (x )的最小值;(2)当a ＝12时,求f (x )的最小值; (3)若a 为正常数,求f (x )的最小值.解：(1)当a ＝4时,f (x )＝x ＋4x＋2,易知,f (x )在[1,2]上是减函数,在[2,＋∞)上是增函数, ∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时,f (x )＝x ＋12x＋2. 易知,f (x )在[1,＋∞)上为增函数.∴f (x )min ＝f (1)＝72. (3)函数f (x )＝x ＋a x＋2在(0,a ]上是减函数,在[a ,＋∞)上是增函数.若a ＞1,即a ＞1时,f (x )在区间[1,＋∞)上先减后增,∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2. 若a ≤1,即0＜a ≤1时,f (x )在区间[1,＋∞)上是增函数,∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.例5.函数y x =( )A.)1⎡+∞⎣B.)+∞C.)+∞ D.(1,)+∞ 解：由()222312x x x -+=-+， 得x R ∈ ,当1x ≥ 时,函数y x =,所以1y x ≥=当1x ≤ 时,由y x =+0y x =-≥ 两边平方整理得得2223y x y -=-（）， 从而1y ≠ 且2322y x y --＝ . 由22123y x y -≤-＝,得y R ∈ ,由2232330022232y y y y x y y y y --+--≥⇒≥⇒>--＝． 所以32y >. 综上,所求函数的值域为(1,)+∞.选D【针对训练】1.函数()()211f x mx m x =+-+在区间上为减函数,则的取值范围（ ） A.⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 B. C. D.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 【答案】C【解析】当0m =时,()1f x x =-,满足在区间(],1-∞上为减函数,当0m ≠时,由于()()211f x mx m x =+-+的图象对称轴为12m x m-=,且函数在区间(],1-∞上为减函数,0112m m m >⎧⎪∴-⎨≥⎪⎩,求得103m <≤,故选C. ]1,(-∞m ⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,010,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.已知函数()22,1{ 2,1a x f x xx x x +>=-+≤在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A .[)1,-+∞B .()1,-+∞C .[)1,0-D .()1,0-【答案】C 【解析】根据题意,函数()22,1{ 2,1a x x xx x x +>=-+≤在R 上单调递增,且f (1)=−(−1)2+2x =1, 则有0{ 21a a <+,解可得−1⩽a ＜0;故选：C .3.已知f(x)={(2a −1)x +4a,x ＜1−x +1,x ≥1是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围是（ ）. A.[16,12) B.[13,12) C.(16,12] D.[13,12]【答案】A【解析】因为f(x)为定义在R 上的减函数,∴{2a −1＜0(2a −1)⋅1+4a ≥−1+1, 解得16≤a ＜12 ∴a 的取值范围为[16,12). 故答案为：A .4.定义新运算⊕ ：当a b ≥时,a b a ⊕=;当a b <时,2a b b ⊕=,则函数()()()[]12,2,2f x x x x x =⊕-⊕∈-的最大值等于（ ） A.1- B.1 C.6 D.12【答案】C【解析】解：由题意知当-2≤x≤1时,f （x ）=x-2,当1＜x≤2时,32f x x =-（）, 又∵f （x ）=x-2,32f x x =-（）在定义域上都为增函数,∴f （x ）的最大值为f （2）=322-=6.故选C.5.定义一种运算,令t x x x x f -⊗-+=)23()(2(t 为常数) ,且[]3,3-∈x ,则使函数)(x f 的最大值为3的t 的集合是 ( )A.{}3,3-B.{}5,1-C.{}1,3-D.{}5,3,1,3--【答案】C【解析】函数[]232,3,3y x x x =+-∈-的图像开口向下,对称轴为1x =.当[]232,3,3y x x x =+-∈-最大值为3时,即2323x x +-=解得2x =或0x =. 根据定义可知,要使函数()f x 最大值为3,2x =时,223,1t t t -=-=∴=-;当0x =时,003t t t -=-==.所以1t =-或3t =.6.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (1+x )=f (1−x ),在[1,+∞)上为增函数;若x ∈[12,1]时,f (ax )＜f (x −1)成立,则实数a 的取值范围为__________. 【答案】(0,2).【解析】根据题意,可知函数f(x)的图像关于直线x =1对称,因为其在[1,+∞)上为增函数,则在(−∞,1)上是减函数,并且距离自变量离1越近,则函数值越小,由f (ax )＜f (x −1)可得,|ax −1|＜|x −1−1|,化简得|ax −1|＜|x −2|,因为x ∈[12,1],所以|x −2|=2−x , 所以该不等式可以化为x −2＜ax −1＜2−x ,即不等式组{(a −1)x ＞−1(a +1)x ＜3在x ∈[12,1]上恒成立, ⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ,,从而有{ (a −1)×12＞−1(a −1)×1＞−1(a +1)×12＜3(a +1)×1＜3,解得0＜a ＜2,故答案为(0,2). 7.定义：函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的差为f(x)在区间[a,b]上的极差,记作d(a,b).①若f(x)=x 2−2x +2,则d(1,2)=________;②若f(x)=x +m x ,且d(1,2)≠|f(2)−f(1)|,则实数m 的取值范围是________. 【答案】 1(1,4)【解析】①由题意知f(x)=(x −1)2+1,x ∈[1,2],所以f(x)∈[1,2],所以d(1,2)=1. ②当m ＞0时,函数f(x)在区间（0,√m ）单调递减,在区间(√m,+∞)上单调递增,要满足d(1,2)≠|f(2)−f(1)|,只需1＜√m ＜2,1＜m ＜4,所以1＜m ＜4当m ≤0时,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,不满足.综上所述,1＜m ＜4.填(1,4).8.已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数,且f (t －1)＜f (1－2t ),求实数t 的取值范围.【答案】0＜t ＜23【解析】依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t －1<1，－1<1－2t <1，t －1<1－2t ，解得0＜t ＜23. 9.函数f(x)=2x −a x 的定义域为(0,1]（a 为实数）.（1）若函数y =f(x)在定义域上是减函数,求a 的取值范围;（2）若f(x)＞5在定义域上恒成立,求a 的取值范围.【答案】（1）a ≤−2;（2）a ＜−3【解析】（1）任取x 1,x 2∈(0,1],且x 1＜x 2,则有f (x 1)−f (x 2)=(x 1−x 2)(2+a x1x 2)＞0, 即a ＜−2x 1x 2恒成立,所以a ≤−2（2）2x −a x ＞5(x ∈(0,1])⇔a ＜2x 2−5x (x ∈(0,1])恒成立∵2x 2−5x =2(x −54)2−258,∴函数y =2x 2−5x 在（0,1]上单调减,∴x =1时,函数取得最小值−3,即a ＜−3.10.已知函数f(x)=ax 2+2x +c(a,c ∈N ∗),满足①f(1)=5;②6＜f(2)＜11.（1）求a,c 的值.（2）设g(x)=f(x)−2x −3+|x −1|,求g(x)的最小值.【答案】（1）1,2;（2）−14. 【解析】（1）f(1)=a +2+c =5,f(2)=4a +4+c ∈(6,11),又c =5−2−a =3−a ,∴4a +4+3−a=3a +7∈(6,11),∴−13＜a ＜43,又a ∈N ∗,∴a =1,c =2.（2）f(x)=x 2+2x +2,∴g(x)=f(x)−2x −3+1x −11=x 2+2x +2−2x −3+1x −11=x 2+1x −11−1,x ≥1时,g(x)=x 2+x −2,此时g(x)在[1,+∞]上单调递增,∴g(x)min =g(1)=1+1−2=0,x ＜1时,g(x)=x 2−x ,g(x)在(−∞,12)上单调递减,在[12,1)上单调递增, ∴g(x)min =g (12)=14−12=−14,又−14＜0, ∴g(x)min =g (12)=−14.。