黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 文
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二(上)10月月考数学试卷(文科)
2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1. 下列语句不是命题的有（）①x2−3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1＝5；④5x−3>6．A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】命题①和命题④无法判断其真假，命题②为疑问句，所以只有③为命题．【解答】①x2−3＝0，无法判断真假，故①不是命题；②由命题的概念知，命题不能是疑问句，故②不是命题；③3+1＝5，这个语句不成立，因为这个语句能判断真假，故③是命题；④5x−3>6，无法判断真假，故④不是命题．2. 命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是（）A.若A∪B≠A，则A∩B≠BB.若A∩B＝B，则A∪B＝AC.若A∩B≠A，则A∪B≠BD.若A∪B＝B，则A∩B＝A【答案】A【考点】四种命题的定义【解析】对所给命题的条件和结论分别否定，即：A∪B≠A和A∩B≠B，作为否命题的条件和结论．【解答】“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题：“若A∪B≠A则A∩B≠B”3. 双曲线x2−3y2＝9的焦距为（）A.√6B.2√6C.2√3D.4√3【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】化双曲线的方程为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c．【解答】双曲线x2−3y2＝9的标准方程为x29−y23=1，可得a ＝3，b =√3，c =√9+3=2√3， 则双曲线的焦距为2c ＝4√3，4. 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】搞清楚甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，结合选项作答． 【解答】甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙，结合选项甲⇐丙，而且甲推不出丙，所以丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．5. 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 四种命题的真假关系 不等式的概念与应用 【解析】先看原命题，∵ 若ac 2>bc 2，则c ≠0，∴ a >b ，由于等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可． 【解答】 解：原命题：，∵ 若ac 2>bc 2，则c ≠0，∴ a >b ，成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为真；逆命题：若a >b ，则ac 2>bc 2，不正确，∵ a >b ，∴ 关键是c 是否为0，∴ 逆命题为假，由等价命题同真同假知否命题也为假，∴ 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中有1个真命题． 故选B6. 已知椭圆x 25+y 2m =1的离心率e =√105，则m 的值为（ ） A.3 B.253或 3C.√5D.5√153或√15【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】当m>5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m−5，e2=c2a⇒m当0<m<5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5−m，e2=c2a2⇒m；【解答】当m>5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m−5，e2=c2a =25⇒m=253；当0<m<5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5−m，e2=c2a2=25⇒m＝3；7. 下列命题中的假命题是()A.∀x∈R，2x−1>0B.∀x∈N∗，(x−1)2>0C.∃x∈R，lgx<1D.∃x∈R，tanx=2【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据指数函数的值域，得到A项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B项不正确；根据对数的定义与运算，得到C项正确；根据正弦函数y＝tanx的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为(0, +∞)，∴任意x∈R，均可得到2x−1>0成立，故A项正确；∵当x∈N∗时，x−1∈N，可得(x−1)2≥0，当且仅当x=1时取等号，∴任意x∈N∗，使(x−1)2>0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0<1，∴存在x∈R，使得lgx<1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R，∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确.综上所述，只有B项是假命题.故选B.8. 如果椭圆x236+y29=1的弦被点(2, 2)平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A.x+4y＝0B.x+4y−10＝0C.x+4y−6＝0D.x−4y−10＝0【答案】B【考点】直线与椭圆结合的最值问题设这条弦与椭圆x 236+y 29=1交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由中点坐标公式知x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝4，把A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)代入x 2+4y 2＝36，得{x 12+4y 12=36x 22+4y 22=36，4(x 1−x 2)+16(y 1−y 2)＝0，k =y 1−y 2x 1−x 2=−14，由此能求出这条弦所在的直线的方程． 【解答】 设这条弦与椭圆x 236+y 29=1交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由中点坐标公式知x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝4， 把A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)代入x 2+4y 2＝36， 得{x 12+4y 12=36x 22+4y 22=36， ①-②，得4(x 1−x 2)+16(y 1−y 2)＝0，∴ k =y 1−y 2x 1−x 2=−14，∴ 这条弦所在的直线的方程y −2=−14(x −2)，即x +4y −10＝0．9. 设f(x)＝x 2−4x(x ∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分的条件是（ ） A.x <0 B.x <0或x >4 C.|x −1|>1 D.|x −2|>3 【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】利用不等式的解法、充要条件的判定方法即可得出． 【解答】由f(x)＝x 2−4x >0，解得x >4，或x <0． 由|x −1|>1，解得x <0或x >2． 由|x −2|>3，解得x <−1或x >5．∴ f(x)>0的一个必要而不充分的条件是|x −1|>1，10. 下列命题中正确的是（ ）A.若命题p:∃x ∈R ，x 3−x 2+1<0，则命题￢p:∀x ∈R ，x 3−x 2+1>0B.“a ＝1”是“直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直”的充要条件C.若x ≠0，则x +1x ≥2D.函数f(x)=2sin(2x +π6)图象的一条对称轴是x =π6 【答案】 D【考点】命题的真假判断与应用直接写出特称命题的否定判断A ；由充分必要条件的判定方法判断B ；利用基本不等式求出x ≠0时，x +1x 的范围判断C ；把x =π6代入函数解析式求得f(π6)＝2说明D 正确． 【解答】若命题p:∃x ∈R ，x 3−x 2+1<0，则命题￢p:∀x ∈R ，x 3−x 2+1≥0，故A 错误； 由a ＝1，可得直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直，反之，直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直，得a ＝±1，∴ “a ＝1”是“直线x −ay ＝0与直线x +ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件，故B 错误； 若x ≠0，则x +1x ≥2或x +1x ≤−2，故C 错误；∵ f(π6)=2sin(2×π6+π6)=2，∴ 函数f(x)=2sin(2x +π6)图象的一条对称轴是x =π6，故D 正确．11. 存在实数x ，使不等式sinx +cosx >m 成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−√2,+∞) B.(√2,+∞) C.(−∞,−√2) D.(−∞,√2) 【答案】 D【考点】三角函数的最值 【解析】将左边看成关于x 的函数，然后求其最大值，要使原不等式有解，只需m 小于左边的最大值即可． 【解答】令t ＝sinx +cosx ，x ∈R ， 则t =√2sin(x +π4)，易知−√2≤√2sin(t +π4)≤√2；要使sinx +cosx >m 有解，只需m <√2即可； 所以m 的取值范围是(−∞, √2)．12. 已知椭圆x 28+y 22=1上一点A(2, 1)和该椭圆上两动点B 、C ，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，则直线BC 的斜率k( ) A.k >12或k <−12 B.k =−12C.k =12 D.k 的值不确定【答案】 C【考点】 椭圆的离心率 【解析】 由点A(2, 1)在椭圆x 28+y 22=1上，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，联立方程，求出B ，C 点的坐标，代入斜率公式，可得答案． 【解答】∵ 点A(2, 1)在椭圆x 28+y 22=1上，直线AB 、AC 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2＝0，∴ 设直线AB 的方程为：y −1＝k 1(x −2)，直线AC 的方程为：y −1＝k 2(x −2)＝−k 1(x −2)，即直线AB 的方程为：y ＝k 1(x −2)+1，直线AC 的方程为：y ＝−k 1(x −2)+1， 将y ＝k 1(x −2)+1，代入x 28+y 22=1得：(4k 12+1)x 2−(16k 12−8k 1)x +16k 12−8k 1+4=0，由A 的横坐标为2，结合韦达定理可得B 点的横坐标为：16k 12−8k 14k 12+1−2=8k 12−8k 1−24k 12+1，则B 点的纵坐标为−4k 12−4k 1+14k 12+1，即B 点坐标为：(8k 12−8k 1−24k 12+1, −4k 12−4k 1+14k 12+1)，同理可得：C 点的坐标为：(8k 12+8k 1−24k 12+1, −4k 12+4k 1+14k 12+1)故BC 的斜率k =−4k 12+4k 1+14k 12+1−−4k 12−4k 1+14k 12+18k 12+8k 1−24k 12+1−8k 12−8k 1−24k 12+1=12，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知p:3<m <5，q ：方程x 2m−2+y 2m−5=1表示双曲线，则p 是q 的________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】 充分不必要 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】结合双曲线的方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】 若方程x 2m−2+y 2m−5=1表示双曲线， 则(m −2)(m −5)<0，解得2<m <5， 即q:2<m <5， ∵ p:3<m <5，∴ p 是q 的充分不必要，已知双曲线过点(2√3,2)，且渐近线方程为y =±√22x ，则该双曲线的标准方程为________． 【答案】 x 24−y 22=1 【考点】双曲线的离心率 【解析】由题意可设双曲线的方程为y 2−12x 2＝m(m ≠0)，代入点(2√3, 2)，解方程可得所求双曲线的标准方程． 【解答】渐近线方程为y =±√22x ，可设双曲线的方程为y 2−12x 2＝m(m ≠0)，代入点(2√3, 2)，可得m ＝4−12×12＝−2， 则双曲线的方程为y 2−12x 2＝−2，即x 24−y 22=1，在平面直角坐标系中，点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限的充要条件是________<3或−1<m <32 ．【答案】 2<m 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据题意，分析可得{2m +3−m 2>02m−32−m <0 ，解可得m 的取值范围，反之验证即可得答案． 【解答】根据题意，若点(2m +3−m 2,2m−32−m )在第四象限，则有{2m +3−m 2>02m−32−m<0 ，解可得：2<m <3或−1<m <32，反之，当2<m <3或−1<m <32时，有{2m +3−m 2>02m−32−m<0 成立，则点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限，故点(2m +3−m 2,2m−32−m)在第四象限的充要条件是2<m <3或−1<m <32，设F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|，若cos∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为________√22．【答案】√22．【考点】椭圆的离心率【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k．∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．【答案】“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）【考点】命题的真假判断与应用【解析】按照四种命题的形式，写出命题，然后判断真假即可．【解答】“若p，则q”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2√13．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．【答案】①焦点在x轴上，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，c=√13设双曲线为x2m2−y2n2=1，m＝a−4，∵ee =73，易得a＝7，m＝3∵椭圆和双曲线的焦距为2 √13，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29−y24=1②焦点在y轴上，椭圆方程为y249+x236=1，双曲线方程为y29−x24=1【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．【解答】①焦点在x轴上，椭圆方程为x2a2+y2b2=1，c=√13设双曲线为x2m2−y2n2=1，m＝a−4，∵ee =73，易得a＝7，m＝3∵椭圆和双曲线的焦距为2 √13，∴b2＝36，n2＝4．∴椭圆方程为x249+y236=1，双曲线方程为x29−y24=1②焦点在y轴上，椭圆方程为y249+x236=1，双曲线方程为y29−x24=1已知p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a>0；q：实数x满足x−3x−2≤0．（1）若a＝1，且p，q均正确，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】当a＝1，(x−1)(x−3)<0，解得1<x<3，由x−3x−2≤0解得2<x≤3，∵p，q均正确，∴2<x<3，故实数x的取值范围为(2, 3)，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a<x<3a，∴{a≤23a>3，解得1<a≤2，故实数a的取值范围(1, 2]．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化简命题p，q，命题p与q都为真命题，即可得出．（2）求出￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，即可解出．【解答】当a＝1，(x−1)(x−3)<0，解得1<x<3，由x−3x−2≤0解得2<x≤3，∵p，q均正确，∴2<x<3，故实数x的取值范围为(2, 3)，∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∵p为a<x<3a，∴{a≤23a>3，解得1<a≤2，故实数a的取值范围(1, 2]．已知椭圆E的焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为√32．（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线l:y=12x+m与椭圆E相交于A，B两点，且弦AB中点横坐标为1，求m值．【答案】椭圆E的焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴长为2，离心率为√32，可得{2b =2ca =√32a 2=b 2+c2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；由{y =12x +mx 24+y 2=1 ，得x 2+2mx +2(m 2−1)＝0， △＝(2m)2−8(m 2−1)>0，得m 2<2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝−2m ，∴ −2m ＝2，得m ＝−1，符合题意． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由b ＝1，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，b ，可得椭圆方程；（2）联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得m 的值． 【解答】椭圆E 的焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a+y 2b =1(a >b >0)，短轴长为2，离心率为√32，可得{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；由{y =12x +mx 24+y 2=1 ，得x 2+2mx +2(m 2−1)＝0， △＝(2m)2−8(m 2−1)>0，得m 2<2， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝−2m ，∴ −2m ＝2，得m ＝−1，符合题意．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c, 0)，(0, b)的直线的距离为12c ．(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x +2)2+(y −1)2=52的一条直径，若椭圆E 经过A 、B 两点，求椭圆E 的方程． 【答案】解：(1)经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程为bx +cy −bc =0， 则原点到直线的距离为： d =√b 2+c 2=12c ，即为a =2b .e =ca =√1−b 2a 2=√32； (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2， 由题意可得圆心M(−2, 1)是线段AB 的中点， 则|AB|=√10，易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y =k(x +2)+1，代入可得(1+4k 2)x 2+8k(1+2k)x +4(1+2k)2−4b 2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2，x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 曲线与方程 【解析】（1）求出经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（2）由（1）知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b 2=3，即可得到椭圆方程． 【解答】解：(1)经过点(0, b)和(c, 0)的直线方程为bx +cy −bc =0， 则原点到直线的距离为： d =√b 2+c 2=12c ，即为a =2b .e =ca =√1−b 2a =√32； (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2， 由题意可得圆心M(−2, 1)是线段AB 的中点， 则|AB|=√10，易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y =k(x +2)+1，代入可得(1+4k 2)x 2+8k(1+2k)x +4(1+2k)2−4b 2=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−8k(1+2k)1+4k 2，x 1x 2=4(1+2k)2−4b 21+4k 2，由x 1+x 2=−4，得−8k(1+2k)1+4k 2=−4，解得k =12，从而x 1x 2=8−2b 2，于是|AB|=√1+(12)2⋅|x 1−x 2|=√52⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2)=√10，解得b 2=3， 则有椭圆E 的方程为x 212+y 23=1．设椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，左顶点到直线x +2y −2＝0的距离为4√55． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由； (Ⅲ)在（2）的条件下，试求△AOB 面积S 的最小值． 【答案】（本小题满分1 （1）由已知，√5=√5⇒a ＝2因为e =c a=√32⇒c =√3⇒b 2=a 2−c 2=1故所求椭圆的方程为x 24+y 2=1（2）法一：设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1＝x 2，y 1＝−y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 12−y 12＝0又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l:y ＝kx +m ． 联立{y =kx +mx 2+4y 2=4 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0 所以x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0， 且y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 故(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2＝0⇒(1+k 2)4m 2−41+4k 2+mk −8km1+4k 2+m 2=0化简得5m 2＝4(1+k 2)， 故点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯法二：（若设直线方程为l:x ＝my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论） 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1＝−x 2，y 1＝y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即−x 12+y 12＝0 又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x ＝my +c ．联立{x =my +cx 2+4y 2=4 得：(m 2+4)y 2+2cmy +c 2−4＝0 所以y 1+y 2=−2cmm 2+4,y 1y 2=c 2−4m 2+4，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝y 1y 2+(my 1+c)(my 2+c) ＝(1+m 2)y 1y 2+mc(y 1+y 2)+c 2＝0⇒(1+m 2)c 2−4m 2+4−2c 2m 2m 2+4+c 2=0化简得5c 2＝4(1+m 2)，故点O 到直线AB 的距离为d =√1+m2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯(Ⅲ)法一：当直线OA 、直线OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S ＝1； 当直线OA 、直线OB 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为−1k ，由{y =kx x 2+4y 2=4 得{x 12=41+4k 2y 12=4k 21+4k 2 ，同理{x 22=4k 2k +4y 22=4k 2+4⋯⋯ 故S △AOB =12|OA|⋅OB|=12√1+k 2|x 1|⋅√1+1k 2|x 2|=2√(1+k 2)2(1+4k 2)(k 2+4) 令1+k 2＝t(t >1)，则S ＝2√t 24t 2+9t−9=2√1−9t 2+9t+4=2√1−9(1t −12)2+254故45≤S <1综上，△AOB 面积S 的最小值为45．法二：由(Ⅱ)，①当直线l 的斜率不存在时，S =12⋅4√55⋅2√55=45，②当直线l 的斜率存在时，5m 2＝4(1+k 2)，且点O 到直线AB 的距离为d =2√55，|AB|=√1+k2⋅√(x12212=√1+k2⋅√(−8km1+4k2)2−4(4m2−4)1+4k2＝2⋅√4k2+1−m2(1+4k2)2＝4√1+k2⋅√16k2+15(1+4k2)2故S=12|AB|⋅d=45√(k2+1)(16k2+1)(1+4k)，令1+4k2＝t(t≥1)，则S=25√4t2+9t−9t2=25√−9t2+9t+4=25√−9(1t−12)2+254，因为0<1t ≤1，故45≤S≤1．综上，△AOB面积S的最小值为45．【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率圆锥曲线的综合问题椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)利用距离公式求出a，离心率求出c，得到b后即可求出椭圆方程．(Ⅱ)法一：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l的斜率不存在时，求解点O到直线AB的距离．②当直线l的斜率存在时，设其方程为l:y＝kx+m．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合数量积，求出m，k关系式，然后求解距离即可．法二：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l的斜率为0时，求解点O到直线AB的距离，②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x＝my+c．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及数量积，求解距离即可．(Ⅲ)法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S＝1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为−1k，利用平方差法以及弦长公式表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值．法二：由(Ⅱ)，①当直线l的斜率不存在时，求出面积；②当直线l的斜率存在时，求出写出以及点到直线的距离，得到面积的表达式，利用二次函数的性质求解面积的最值．【解答】（本小题满分1（1）由已知，√5=√5⇒a＝2因为e=ca =√32⇒c=√3⇒b2=a2−c2=1故所求椭圆的方程为x24+y2=1（2）法一：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1＝x 2，y 1＝−y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 12−y 12＝0又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯ ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l:y ＝kx +m ． 联立{y =kx +mx 2+4y 2=4 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0 所以x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝0， 且y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2 故(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2＝0⇒(1+k 2)4m 2−41+4k 2+mk−8km 1+4k 2+m 2=0化简得5m 2＝4(1+k 2)， 故点O 到直线AB 的距离为d =√1+k 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯法二：（若设直线方程为l:x ＝my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论） 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1＝−x 2，y 1＝y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即−x 12+y 12＝0 又因为点A(x 1, y 1)在椭圆上，故x 124+y 12＝1，解得|x 1|＝|y 1|=2√55， 此时点O 到直线AB 的距离为d =2√55⋯②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l:x ＝my +c ．联立{x =my +cx 2+4y 2=4 得：(m 2+4)y 2+2cmy +c 2−4＝0 所以y 1+y 2=−2cm m 2+4,y 1y 2=c 2−4m 2+4，故OA →⋅OB →=0⇒x 1x 2+y 1y 2＝y 1y 2+(my 1+c)(my 2+c) ＝(1+m 2)y 1y 2+mc(y 1+y 2)+c 2＝0⇒(1+m 2)c 2−4m 2+4−2c 2m 2m 2+4+c 2=0化简得5c 2＝4(1+m 2)，故点O 到直线AB 的距离为d =√1+m 2=2√55综上，点O 到直线AB 的距离为定值2√55⋯(Ⅲ)法一：当直线OA 、直线OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S ＝1； 当直线OA 、直线OB 斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为−1k， 由{y =kxx 2+4y 2=4 得{x 12=41+4k 2y 12=4k 21+4k2，同理{x 22=4k2k 2+4y 22=4k 2+4⋯⋯ 故S △AOB =12|OA|⋅OB|=12√1+k 2|x 1|⋅√1+1k 2|x 2|=2√(1+k 2)2(1+4k 2)(k 2+4) 令1+k 2＝t(t >1)，则S ＝2√t 24t 2+9t−9=2√1−9t 2+9t+4=2√1−9(1t −12)2+254故45≤S <1综上，△AOB 面积S 的最小值为45．法二：由(Ⅱ)，①当直线l 的斜率不存在时，S =12⋅4√55⋅2√55=45，②当直线l 的斜率存在时，5m 2＝4(1+k 2)， 且点O 到直线AB 的距离为d =2√55，|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅√(−8km 1+4k 2)2−4(4m 2−4)1+4k 2＝4√1+k 2⋅√4k 2+1−m 2(1+4k 2)2＝4√1+k 2⋅√16k +15(1+4k 2)2故S =12|AB|⋅d =45√(k 2+1)(16k 2+1)(1+4k 2)2，令1+4k 2＝t(t ≥1)，则S =25√4t2+9t−9t 2=25√−9t2+9t+4=25√−9(1t−12)2+254，因为0<1t ≤1，故45≤S ≤1． 综上，△AOB 面积S 的最小值为45．。
黑龙江省大庆铁人中学2020学年高二数学上学期开学考试试题(最新整理)
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黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1.方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的条件是（ ）A.141<<mB.1>m C 。
41<m D.41<m 或1>m2。
在单调递减的等比数列｛a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝错误!，则a 1＝（ ) A ．2 B ．4 C ． 2 D ．2错误! 3．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．lg lg ,(0)a x b x x >>B ．22ax bx >C ．22a b >D ．22x x a b > 4。
已知实数x ，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+60002y y x y x ,则z ＝x ＋y 的最小值为（ ）A ．－3B ．－6C ．3D ．65.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后,又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）海里/小时A ．20(62)B ．62)C ．20(63)D ．20(63) 6。
黑龙江省大庆市让胡路区铁人中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
铁人中学2018级高二学年上学期期末考试数学理科试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）1.若98与63的最大公约数为a ，二进制数(2)110011化为十进制数为b ，则a b +=（ ） A. 53 B. 54 C. 58 D. 60【答案】C 【解析】由题意知，9863135÷=⋯，6335128÷=⋯，352817÷=⋯，2874÷=， ∴98与63的最大公约数为7，∴7a =．又()234521100111120202121251=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴51b =，51758a b ∴+=+=．选C ．点睛：求两个正整数的最大公约数时，可用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当出现整除时，就得到要求的最大公约数．2.与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是（ ）． A. 若a M ∉，则b M ∉ B. 若b M ∉，则a M ∈ C. 若b M ∈，则a M ∉ D. 若a M ∉，则b M ∈【答案】C 【解析】分析：根据四种命题等价性关系判断.详解：原命题与其逆否命题等价，C 项是原命题的逆否命题，符合要求． 故选C ．点睛： p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 具有等价关系3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换42x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线C 变为曲线221x y -=，则曲线C 的方程为（ ）A. 224161x y -= B. 221641x y -=C. 221164x y -=D. 221416x y -=【答案】B 【解析】 【分析】将42x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线221x y -=化简可得到式子. 【详解】将42x x y y''=⎧⎨=⎩代入曲线221x y -=方程得到221641x y -=．故答案为B.【点睛】本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题.4.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域概率是（ ）A.23B.12C.34D.58【答案】D 【解析】 【分析】设直角三角形的三条边长分别为a b c 、、,用α表示出a b c 、、的关系,即可分别求出两个阴影部分的面积,即可根据几何概型概率的求法求得飞镖落在阴影区域概率. 【详解】直角三角形的三条边长分别为a b c 、、 则cos cos12b c c πα==,sin sin12a c c πα==则两个阴影部分的面积和为21cos sin cos sin 212121212S c c c c ππππ⎛⎫=⋅⋅⋅+-⋅ ⎪⎝⎭所以飞镖落在阴影区域概率为221cos sin cos sin 212121212c c c c P c ππππ⎛⎫⋅⋅⋅+⋅-⋅ ⎪⎝⎭=15sin 1sin 4668ππ=+-= 故选:D【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,三角函数的化简求值,属于中档题.5.袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ） A. “至少有一个黑球”和“没有黑球”B. “至少有一个白球”和“至少有一个红球”C. “至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D. “恰有一个白球”和“恰有一个黑球” 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义即可判断.【详解】对于A, “至少有一个黑球”和“没有黑球”不能同时发生,且必有一个发生,因而为对立事件;对于B, “至少有一个白球”和“至少有一个红球”可以同时发生,所以不是互斥事件; 对于C, “至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”两个事件不能同时发生,且除这两个事件还有其他事件(如两个黑球)发生,所以两个事件为互斥事件,但为不对立事件 对于D, “恰有一个白球”和“恰有一个黑球”可以同时发生,所以不是互斥事件. 综上可知,C 为正确选项 故选:C【点睛】本题考查了互斥与对立事件的概念和判断,属于基础题.6.“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，方程22175x ym m +=--表示一个椭圆，则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得57m <<且6m ≠， 所以“57m <<”是“方程22175x y m m +=--”的必要不充分条件，故选C.点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件75m m -≠-导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.7.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A. 73.3，75，72B. 72，75，73.3C. 75，72，73.3D. 75，73.3，72【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中位数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中位数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A. -10B. 6C. 14D. 18【答案】B 【解析】模拟法：输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立；224,18414,45i S =⨯==-=>不成立；248,1486,85i S =⨯==-=>成立输出6,故选B.考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.9.已知椭圆22142x y +=上有一点P ，12,F F 是椭圆的左右焦点，若12F PF ∆为直角三角形，则这样的点P 有（ ）个 A. 3 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】试题分析：当1F ∠为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P 有2个；同理当当2F ∠为直角时，这样的点P 有2个；当P ∠为直角时，由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，本题张角恰好为直角，这时这样的点P 也有2个，故符合条件的点P 有6个，选项C 为正确答案．考点：1、椭圆的对称性；2、分类讨论的数学思想．10.已知双曲线221:143x yC-=与双曲线222:143x yC-=-，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由两双曲线的方程可得12,C C的半焦距c相等，它们的渐近线方程相同，12,C C的焦点均在以原点为圆心，c为半径的圆上，离心率不相等，故选D.11.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以,,,A B C D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A. 90°B. 60C. 45°D. 30°【答案】C【解析】【分析】先记正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，根据折起后的图形，得到当DO⊥平面ABC时，三棱锥D ABC-的体积最大，从而推出DBO∠为直线BD和平面ABC所成的角，根据题中条件，即可求出线面角.【详解】记正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线AC折起后，如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D ABC-的体积最大.DBO∴∠为直线BD和平面ABC所成的角，∵因为正方体对角线相互垂直且平分，所以在Rt DOB 中，OD OB =，∴直线BD 和平面ABC 所成的角大小为45°. 故选：C.【点睛】本题主要考查求线面角，以及三棱锥体积最大的问题，熟记线面角的概念，以及三棱锥的结构特征即可，属于常考题型. 12.已知抛物线：24y x =-，直线:3l x及l 上一点()3,3M ，抛物线上有一动点P 到l 的距离为1d ，P 到M 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义,将P 到l 的距离为1d 转化为P 到1x =的距离32d +,即可由三点共线时取得距离最小值,解得12d d +的最小值. 【详解】抛物线24y x =-,则其焦点坐标()1,0F -,准线方程为1x =.设动点P 到准线的距离为3d , P 到焦点的距离为4d ，由抛物线定义可知则34d d = 由题意可知抛物线上的动点P 到:3l x的距离为1d ，则312d d =+因为P 到M 的距离为2d ，则13222d d d d +=++422d d =++当F P M 、、在同一条直线上时取得最小值此时FM ，即425d d += 所以()12min 52=7d d +=+ 故选:C【点睛】本题考查了抛物线定义的简单应用,抛物线中线段的最小值求法,属于基础题.第ⅠⅠ卷非选择题部分二、填空题（每小题5分，共20分.）13.某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是__________． 【答案】40【分析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从56名学生中抽取4名，组距为56414÷=，由于抽取到第二个编号为26号，故第三个样本的编号为261440+=号.【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 【答案】23【解析】【详解】连接DE ，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角， 在△RtADE 中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．15.下列说法中正确的个数是_________.（1）命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实数根，则0m ≤”.（2）命题“x R ∃∈，20x x ->”的否定“x R ∀∈，20x x ->”. （3）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题.（4）“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件. 【答案】1 【解析】根据命题与逆否命题的定义可判断（1）;根据特称命题的否定即可判断（2）;由复合命题真假的关系可判断（3）;根据两条直线平行时的斜率关系可判断（4）.【详解】对于（1）,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实数根,则0m ≤”,所以（1）正确;对于（2）,命题“x R ∃∈,20x x ->”的否定“x R ∀∈,20x x -≤”,所以（2）错误; 对于（3）,若p q ∧为假命题,则p 、q 中至少有一个为假命题,所以（3）错误;对于（4）,当1a =时, 直线1l ：210x y +-=与直线2l ：240x y ++=,则12,k k =且12b b ≠,所以是“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充分条件;当“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”时,则121a a -=-+,解得1a =或2a =-,所以“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充分不必要条件.所以（4）错误. 综上可知,正确的为（1） 故答案为:1【点睛】本题考查了命题与逆否命题的关系,特称命题的否定形式,复合命题真假的判断及充分必要条件的判断,属于基础题.16.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线C ：28y ax =的焦点为.F 若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则双曲线E 的离心率的取值范围是______．【答案】⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．【详解】双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为(),0A a ，抛物线C ：28y ax =的焦点为()2,0F a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 可设,b P m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即有,b AP m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,b FP m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得0AP FP ⋅=， 即为()()22220b m a m a m a --+=，化为22221320b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意可得222294120b a a a ⎛⎫=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，即有()222288a b c a ≥=-，即2289c a ≤，则4c e a =≤．由1e >，可得14e <≤．故答案为.⎛ ⎝⎦【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).三、解答题（第17题10分，其它每题12分，共70分.）17.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2221243sin cos ρθθ=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB ．【答案】（1）直线l 的方程为y ＝x +1，曲线C 的方程为2243x y +=1；（2）247. 【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数，即可求得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线l的参数方程为12x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数，可得直线l 的方程为1y x =+，由曲线C 的极坐标方程2221243sin cos ρθθ=+，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，曲线C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）将122x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），代入2243x y +=1，得27180t --=，设AB 所对应的参数分别为12,t t，则1212187t t t t +=⋅=-，则12247AB t t =-==． 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18.如表是某位同学连续5次周考的数学、物理的成绩，结果如下：参考公式：()()()11122211nnii ii i nniii i x x yyx y nx yb x x xnx==-=---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-，,x y 表示样本均值．（1）求该生5次月考数学成绩的平均分和物理成绩的方差；（2）一般来说，学生的数学成绩与物理成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量,x y 的线性回归方程．【答案】（1）数学成绩的平均分83；物理成绩的方差2 4.8s =（2）0.7517.75y x =+ 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义及求法,代入即可求得该生5次月考数学成绩的平均分x ;先求得物理平均分y ,根据方差公式即可求得物理成绩的方差. （2）根据所给回归直线的方程公式,先求得()()51i i i x x y y =--∑及()521i i x x =-∑,即可求得b ,再代入公式a y bx =-求得a ,即可得线性回归方程. 【详解】（1）()17981838587835x =++++= ()17779798283805y =++++= ()()()()()222222177807980798082808380 4.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦（2）根据（1）中所得,及结合表中数据 计算可得()()5130i i i x x y y =--=∑,()52140i i x x=-=∑所以回归系数为()()()1121300.7540nii ni i x x yyb x x=---===-∑∑ 800.758317.75a y bx =-=-⨯=故所求的线性回归方程为0.7517.75y x =+【点睛】本题考查了平均数及方差的求法,线性回归方程的求法,属于基础题.19.把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩解答下列各题：（1）求方程组只有一个解的概率； （2）求方程组只有正数解的概率．【答案】（1）1112（2）1336【解析】 【分析】（1）先求得投掷骰子出现的所有情况总数.将方程组求解,根据方程组只有一个解时,未知数系数不为0,先求得系数为0的情况,根据对立事件的概率求法即可求得方程组只有一个解的概率.（2）根据正数解的要求解不等式组,即可求得a b 、的取值范围,结合总数情况即可得解. 【详解】事件(),a b 的基本事件有36个．由方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩可得(2)62(2)23a b x ba b y a -=-⎧⎨-=-⎩（1）方程组只有一个解,需满足20a b -≠即2b a ≠ ,而2b a = 的事件有()()()1,2,2,4,3,6共3个 所以方程组只有一个解的概率为131113612P -== （2）方程组只有正数解,需20a b -≠且620,2230,2ba b a a b -⎧>⎪⎪-⎨-⎪>⎪-⎩即23 23a b a b >⎧⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩或2,3,23.a b a b <⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩ 其包含的事件有13个：()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,2,2,3,2,4,2,5,2,6,2,1,4,1,5,1,6因此所求的概率为1336. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,方程组的解法及方程组解的要求,属于基础题. 20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，C 上一点(3,)m 到焦点的距离为5． （1）求C 的方程；（2）过F 作直线l ，交C 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为-1，求直线l 的方程．【答案】（1）28y x =（2）480x y +-=【解析】 【分析】()1法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可()2法一：由()1可得抛物线焦点F 的坐标，设出A B ，两点的坐标，利用点差法，求出线段AB 中点的纵坐标为1-，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线l 的方程为2x my =+，联立直线与抛物线方程，设出A B ，两点的坐标，通过线段AB 中点的纵坐标为1-，求出m 即可【详解】（1）法一:抛物线C : 22(0)y px p =>的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,由已知2235m p ⎧=⨯=，解得4p =或16p =-.∵0p >,∴4p =∴C 的方程为28y x =. 法二:抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为,2p x =-由抛物线的定义可知352p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭解得4p =.∴C 的方程为28y x =.（2）法一:由(1)得抛物线C 的方程为28y x =,焦点()2,0F .设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则21122288y x y x ⎧=⎨=⎩ 两式相减,整理得2121218y y x x y y -=-+.∵线段AB 中点的纵坐标为1-，∴直线l 的斜率()2188412AB k y y ===-+-⨯直线l 的方程为()042y x -=--即480x y +-= 分法二:由(1)得抛物线C 的方程为28y x =,焦点()2,0F设直线l方程为2x my =+由282y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ,得28160y my --=设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,∵线段AB 中点的纵坐标为1-∴()128122m y y --+==-解得14m =- 直线l 的方程为124x y =-+即480x y +-= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线l 的方程为2x my =+，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数．21.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别为1C B 和1D D 的中点,侧棱1A A ⊥底面,,1ABCD AB AC AB ⊥=12,5ACAA AD CD.（1）求证：MN //平面ABCD ； （2）求二面角11D -ACB 的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）310【解析】 【分析】（1）根据题意,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,可通过证明MN 与平面ABCD 的法向量垂直,来证明MN //平面ABCD .（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系,分别求得平面1ACD 的法向量1n 与平面1ACB 的法向量2n ,即可求得两个平面夹角的余弦值,结合同角三角函数关系式即可求得二面角11D AC B 的正弦值.【详解】（1）证明：根据题意,以A 为坐标原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,1AA 为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系:点M 和N 分别为1C B 和1D D 的中点, 1AB =,12,5AC AA AD CD则()()12,0,0,0,1,2C B ==,则11,,12M ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()11,2,0,1,2,2D D =-=-,则()1,2,1N =-所以50,,02MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭依题意可知(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量 而0000MN n ⋅=++= 所以MN n ⊥又因为直线MN ⊄平面ABCD 所以//MN 平面ABCD （2）1(1,2,2),(2,0,0)AD AC设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量,则11100n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩不妨设1z =,可得1(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量,则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,又1(0,1,2)AB =,得2020y z x +=⎧⎨=⎩不妨设1z =,可得2(0,2,1)n =-因此有121212cos,n n n n n n ⋅==-⋅, 于是123sin ,10n n =所以二面角11D AC B -- 【点睛】本题考查了利用空间直角坐标系,证明直线与平面的平行,利用法向量求平面与平面的夹角,属于基础题.22.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，椭圆C 上一点P 到左右两个焦点12,F F 的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）6 【解析】分析：（1）根据题意，结合椭圆的定义可得a 的值，由离心率公式可得c 的值，计算可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）以及AB 的方程，将AB 的方程与椭圆联立，分析可得3（my+1）2+4y 2=12，借助根与系数的关系可以将四边形AMBF 1面积用k 表示出来，由基本不等式的性质分析可得答案．详解：（1）依题意，24,2a a ==，因为12e =，所以2221,3c b a c ==-=，所以椭圆C 方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,,:1A x y B x y AB x my =+ ，则由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2231412my y ++=，即，()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>， 又因为111F M F A F B =+，所以四边形1AMBF 是平行四边形， 设平面四边形1AMBF 的面积为S，则112122212222423434ABF S S F F y y m m ∆==⨯⨯⨯-=⨯=⨯++设t =()2211m t t =-≥，所以2124241313t S t t t=⨯=⨯++，因为1t ≥， 所以134t t+≥，所以(]0,6S ∈，所以四边形1AMBF 面积的最大值为6.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.。
黑龙江省大庆铁人中学高二数学上学期第一次月考试题文
2 2 2222黑龙江省大庆铁人中学高二数学上学期第一次月考试题文数学（文）试题8、若点 P 在椭圆 x 2+ y 2= 1 上， F 1 、 F 2 分别是椭圆的两焦点，且∠F 1 PF 2 = 90 ，试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
则∆F 1 PF 2 的面积是（ ）2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分） A 1 B3 2 2x 2 C 1D 2y 21、设 x ∈ R ，则“ x ≥ 0 ”是“ x - 1 ≤ 1 ”的（ ）9、F 是椭圆 E ： + 4 3 = 1的一个焦点，M 是椭圆 E 上的一个动点，则 F 和 M 两点间的距离的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件2、已知命题 p ： ∃x ∈ R ， x 2 + 1 ≥ x ；命题 q ：若 a 2 < b 2 ，则 a < b .下列命题为真命题的是最大值和最小值分别是（ ）A 2 和 1B 4 和 2C 6 和 2D 3 和 1（ ）A p ∧qB p ∧⌝qC (⌝p ) ∧qD (⌝p )∧ (⌝q ) 10、平面上动点 M (x , y )与定点 F (0,1)的距离和 M 到直线l ： y = 2 的距离的比为2 ，则动点 M23、命题“若 x > 0 ，则 x 2 ≥ 0 ”的否命题是（ ） 的轨迹的标准方程为（ ）A 若 x < 0 ，则 x 2 < 0 C 若 x > 0 ，则 x 2 < 0B 若 x ≤ 0 ，则 x 2 < 0D 若 x 2 < 0，则 x ≥ 0 A x+ 4 y= 1 2x 2y 2 B y+x= 1 42Cx+ y 2 =1 2Dy+ x 2 = 1 24、“ p ∨ q 为真”是“ p 为真”的（ ）11、已知椭圆 +1过点 P (2,1) 作弦且弦被点 P 平分，则此弦所在的直线方程为（ ）16 4A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5、在三角形 ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，则“ a = b ”是“ sin A = sin B ”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件A x+2y-4=0B 2x-y-1=0C 2x-y-3=0D x+2y-1=012、关于曲线 C ：=1，给出下列四个结论：①曲线 C 是椭圆；②关于坐标原点中心对称；③ 关于直线 y=x 轴对称；④所围成封闭图形面积小于 8．则其中正确结论的序号是（ ）A ②④B ②③④C ①②③④D ①②④x 2 y 26、已知焦点在 y 轴上的椭圆 + 4 a = 1(a > 0) 的焦距为4 3 a = （ ）A 8B 12C 16D 527、已知椭圆的长半轴长、焦距、短半轴长成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ）24 5 8 17A B C D5 4 17 822 0 第Ⅱ卷 非选择题部分二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 19、（本题满分 14 分）如图，已知四边形 ABCD 为矩形，四边形 ABEF 为直角梯形，FA ⊥AB ，AD =AF =FE =1，AB =2，13、如果平面上动点 M (x , y )满足： 准方程为= 10 -，则动点 M 的轨迹的标AD ⊥BE .（Ⅰ）求证：BE ⊥DE ；14、周长为 18 的三角形 ABC 中，A (- 4,0) ，B (4,0) ，O 为坐标原点，D 为 AC 中点，当 AC=4 时， OD 的长为15、点 M (x , y )是椭圆2x 2 + 3y 2 = 12 上的一个动点，则 m = x + 2 y 的最大值为（Ⅱ）求点 F 到平面 CBE 的距离.16、以下给出五个命题，其中真命题的序号为① 函数 f (x ) = 3ax +1- 2a 在区间(-1, 1) 上存在一个零点, 则 a 的取值范围是 a < -1 或 a > 1 ；5 ② “任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”；③ ∀x ∈(0, ), 2x < tan x ；④ 若0 < a < b < 1，则ln a < ln b < a b < b a；⑤ “ b 2= ac ”是“ a , b , c 成等比数列”的充分不必要条件.三、解答题：（共 70 分） 17、（本题满分 14 分）20、（本题满分 14 分）已知点 A （1，a ），圆 C ：x 2+y 2=4。
大庆铁人中学高二数学上学期10月月考试题 理.doc
14922=+y x []02,3,02≤---∈∀a x x x 一、选择题（每小题5分, 共60分）1. 设x ∈R ，则“1<x<2”是“|x|<2”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，则逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 43. 已知椭圆22:1641C x y +=，则下列结论正确的是（ ）A.长轴长为12B.焦距为34C.短轴长为14D.离心率为324.命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( )A ．∃x ∈(－∞，0)，x 3＋x<0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥05. 已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A ，B两点，则2ABF △的周长为（ ）． A ．10B ．16C ．20D ．256.方程22440x y y x --+--=对应的曲线是（ ）ABCD7. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B. 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C. 若α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β D. 若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β则α⊥β8. 若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，x x >.则下列命题中是真命题的是（ ）A. q ∧pB. ()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝∧⌝9. 若过椭圆12422=+y x 内一点P （1,1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）． A ．x-2y+1=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y-3=0 D ．x+2y+3=0 10.设椭圆的左，右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P ，则直线PF 1的斜率为（ ） A.13 B. 12 C. 3 D.311. 如图，已知点P 在焦点为F 1、F 2的椭圆上运动，则与△PF 1F 2的边PF 2相切，且与边F 1F 2，F 1P 的延长线相切的圆的圆心M 的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 一个半圆12. 已知过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点且斜率为a b 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点.若椭圆上存在一点P ，使四边形OAPB 是平行四边形（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．33 C. 23 D ．21二、填空题（每题5分，共20分）13.设椭圆12222=+bx a y (a >b >0)的上、下焦点分别为F 2，F 1，右顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的标准方程为 ．14.已知命题p: 是真命题，则实数a 的取值范围是 ．)0(12222>>=+b a b y a x ca x 2=15.过椭圆x 225＋y 216＝1的中心作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是__________．16.已知F 1，F 2，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点P ，使21F PF ∆为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是 ．三、解答题 (共70分)17.已知0107:2<+-x x p ，034:22<+-m mx x q ，其中0>m . （1）若4=m ，且q p ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知焦点在x 轴上的椭圆经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛332M ，焦距为22. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆C 上的任意点，求点P 到直线l ：x+y-4=0距离的最大值。
黑龙江省大庆市铁人中学19年_20年学年高二数学上学期期中试题(文)
高二学年上学期期中考试文科数学试题第Ⅰ卷 选择题部分一、单项选择题（每小题6分，共60分）1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1 2．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④3．命题“∃x ∈R ，x 3>0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 3≤0 B ．∀x ∈R ，x 3≤0 C ．∃x ∈R ，x 3<0 D ．∀x ∈R ，x 3>0 4.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知某椭圆的一个焦点为)0,1(F ，离心率21=e ，则该椭圆的标准方程为（ ） A.1222=+y x B. 1222=+x y C. 13422=+y x D. 13422=+x y6.已知经过椭圆1162522=+y x 的右焦点2F 作直线AB 交椭圆于A 、B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则B AF 1∆的周长为（ ）A .10 B.8 C.16 D.207.已知双曲线的一个焦点F 1 (5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为( ) A .x 29－y 216＝1 B.y 216－x 29＝1 C.x 29－y 225＝1 D.y 225－x 29＝18. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>则其渐近线方程为（ ）.A y =.B y =.2C y x =±.2D y x =±9.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A . y 2＝－16x B. y 2＝12x C. y 2＝16x D. y 2＝－12x10.已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若21PF PF ⊥，且01260=∠F PF ，则C 的离心率为( ) A. 221-B. 错误!未找到引用源。
大庆铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考试题语文
铁人中学2018级高二学年上学期月考语文试题命题人：。
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间150分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。
谈传世雷达常常有人问我：为什么我们的古典名著一直流传不衰，而现在的一些比较优秀的长篇小说，作者花了好大气力，流传却很困难，多则一两年，少则一两个月，就再也不大为人提起了？还有人进一步追问：从小说艺术发展的眼光来看，今天小说的技术手段，比起中世纪来不知丰富了多少，高明了多少，可为什么在赢得读者和流传程度上，现今的作品反而赶不上古典名著呢？初看这问题，似乎问得有点傻，不值一提，但真要把它说清楚，还不那么容易。
我想了想，觉得这问题与今天的写作并非毫无关系，一些名著的传世其实是能够给我们很多启发的。
若从漫长的历史时空来看，文学发展的总趋势是从低级向高级、从简单向复杂，但文学的历史终究不是进化的历史，而是变化的历史。
从古及今，文章变化万万千，各擅其妙，难分高下。
故而，一时代有一时代的文学，硬要互相攀比是不明智的。
古典名著再传世，也取代不了当代小说的需要和位置。
当代正在发展中，谁能说当代小说中的杰出之作就一定不传世呢？不过，现今的学者一般认为，小说经历了三个发展阶段，即生活故事化阶段、人物性格化阶段和人物内心审美化阶段。
这大致是不错的。
可这并不意味着，后一阶段是对前一阶段的扬弃，后者一定高于前者。
故事化也好，性格化也好，心灵审美化也好，完全可以并行不悖，或发挥各自优势，或三管齐下，或一管独胜，没有必要过分地抑此扬彼。
读者的层面甚复杂，需要也极多样，几乎任何一种审美形态的东西，都能在今天的中国找到它的对应。
就说《水浒传》吧，它传世的一个重要秘密，是其深厚的群众基础和强烈的民间性，那些英雄的传奇故事早就在老百姓口头上传递着，连呼保义、玉麒麟之类的诨号，也早已有之。
铁人中学2019级高二学年月考数学试题
铁人中学2019级高二上学期第一次月考数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆2241x y +=的离心率为 （ ）B.34C.2D.232.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,点()2,0A -在C 上,则椭圆的短轴长为（ ）A.1C.2D.3.已知椭圆的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交椭圆于, A B 两点,交y 轴于点M ,若1F M 、是线段AB 的三等分点,则椭圆的离心率为 （ ） A.12B.2D.54.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为1(F ,点P 在双曲线上,且线段1PF 的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 （ ）A.2214x y -=B.2214y x -= C.22123x y -= D.22132x y -=5.已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,2160PF F ∠=︒,则C 的离心率为（ ）A.1B.21 6.设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(6,4),则1||||PM PF +的最大值为 （ ）A.13B.14C.15D.167.设12F F 、是椭圆221164x y +=的两焦点，P 为椭圆上的点，若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为（ ） A.8B. C.4D.8.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（ ）A.(1,3)-B.(-C.(0,3)D.9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过点5(0,)8的直线交椭圆C 所得的弦的中点坐标为11(,)22，则该椭圆的离心率为 （ ）D.10.椭圆2212x y +=上的点到直线27x y -=距离最近的点的坐标为 （ ）A.41,33⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为12,,B F F 分别是C 的左、右焦点，且1F ABP 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为 （ ）A.[]1,2B.C. 4⎤⎦D. []1,412.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右顶点分别为,A B ,点F 为双曲线C 的左焦点,过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于,P Q 两点,连接PB 交y 轴于点E ,连接AE 交QF 于点M ,若2FM MQ →→=,则双曲线C 的离心率为 （ ）A.3B. 4C. 5D. 6第II 卷 非选择题部分（选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为12,F F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A B ，两点，则2ABF △的周长为_________.14.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ,点M 是椭圆上一点,1290F MF ∠=,直线1MF 交椭圆于另一点N ,且2245NF MF =,则椭圆的离心率是_________.15.若点O 和点F 分别为椭圆22198x y +=的中心点和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→的最小值为_________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上一点，且在第一象限，点Q 是点P 关于原点对称的点.当11||2,3PQ c PF QF =时，椭圆C 的离心率的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．)17.(本题10分)已知椭圆的中心在坐标原点O ,长轴长为,离心率2e =,过右焦点F 的直线l 交椭圆于,P Q 两点:（1）求椭圆的方程;（2）当直线l 的斜率为1时,求POQ 的面积. 18.(本题12分)已知两定点())12,F F ,点P 是曲线E 上任意一点,且满足条件212PF PF →→-=.（1）求曲线E 的轨迹方程;（2）若直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点,求k 的范围.19.(本题12分)已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=，且双曲线过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为4π的直线交双曲线于,A B 两点，求AB ． 20.(本题12分) 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点, O 为坐标原点.（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-,求椭圆的离心率;（2）若AP OA=,证明直线OP 的斜率k 满足k >21.(本题12分)椭圆()2222:10x y E a b ab +=>>经过点()0,1,2A B ⎛-- ⎝⎭（1）求椭圆E 的方程;（2）经过点()1,1的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q (均异于点A ),则直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由.22.(本题12分)椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点.记GFD 的面积为1S ，OED 的面积为2S ，求12S S 的取值范围.。
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黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题 文试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1.下列语句中不是命题的有（ ）①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->． A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④2. 命题“若A B A =U ，则A B B =I ”的否命题是（ ） A ．若A B A ≠U ，则A B B ≠I B ．若A B B =I ，则A B A =U C ．若A B B ≠I ，则A B A ≠U D ．若A B A ≠U ，则A B B =I3.双曲线2239x y -=的焦距为（ ） A ．6B ．26C ．23D ．434. 设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么 ( ) A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件5.命题“设a ，b ，c ∈R ，若22ac bc >，则a b >”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6.已知椭圆221(0)5x y m m+=>的离心率105e =，则m 的值为（ ）A ．3B ．253或3 C ．5 D ．515或15 7.下列命题中的假命题是（ ） A ．x ∀∈R ，120x -> B ．x ∀∈*N ，2(1)0x ->C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =8. 如果椭圆193622=+y x 的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ） A.B. C. D.9.设2()4()f x x x x =-∈R ，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x <B ．0x <或4x >C ．|1|1x ->D ．|2|3x ->10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题p ：，，则命题：，B. “1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件C. 若0≠x ，则21≥+xx D. 函数)62sin(2)(π+=x x f 图象的一条对称轴是6π=x11.存在实数x ，使不等式m x x >+cos sin 成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．),2(+∞-B ．),2(+∞C ．)2,(--∞D ．)2,(-∞12.已知椭圆22182x y +=上一点(2,1)A 和该椭圆上两动点B 、C ，直线AB 、AC 的斜率分别为1k 、2k ，且120k k +=，则直线BC 的斜率k （ ）A ． 2121-<>k k 或 B ． 21-=k C ． 21=k D ．k 的值不确定第II 卷 非选择题部分二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知:35<<p m ，:q 方程22125x ym m +=--表示双曲线，则p 是q 的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 14.已知双曲线过点(23,2)，且渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的标准方程为__________． 15．在平面直角坐标系中，点223(23,)2m m m m -+--在第四象限的充要条件是 ．16.设F 1，F 2分别是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos∠AF 2B=53，则椭圆E 的离心率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．18.（本小题满分12分）椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为213．一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7:3，求椭圆和双曲线的方程．19.（本小题满分12分） 已知p ：实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p ，q 均正确，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为32． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）直线1:2l y x m =+与椭圆E 相交于,A B 两点，且弦AB 中点横坐标为1， 求m 值．21.（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．22.（本小题满分12分）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，左顶点到直线x +2y -2=0的距离为554． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 面积S 的最小值．铁人中学2018级高二学年上学期月考考试数学答案【答案】 12345678910111213.充分不必要； 14.22142xy -=15. 32<<m 或231<<-m 16.2217.解：“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题) 逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18.解：焦点在x 轴上，设椭圆方程为22221(0)x y a ba b +=>>，且c =． 设双曲线为22221(0,0)x y m n m n -=>>，4m a =-．因为73e e =双椭，所以73a m =，解得7a =，3m =． 236b =，24n =．所以椭圆方程为2214936x y +=，双曲线方程为22194x y -=．19.解（1）由()(3)0x a x a --<，0a >，得3a x a <<．当1a =时，13x <<，即p 正确时，实数x 的取值范围是13x <<．由32x x -≤-，得23x <≤，即q 正确时，实数x 的取值范围是23x <≤．所以实数x 的取值范围是23x <<．（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝不能推出p ⌝． 所以{|x x a ≤或3}{|2x a x x ≥≤Ü或3}x >，则02a <≤，且33a >，即12a <≤． 所以实数a 的取值范围是12a <≤．20.解（1）椭圆E 的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为，可得222222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a =，1b =，所以椭圆方程为2214xy +=． （2）由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222(1)0x mx m ++-=， 22(2)8(1)0Δm m =-->，得22m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x m+=-，∴22m -=，得1m =-，符合题意．21.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）221123x y +=．试题解析：（Ⅰ）过点()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O 到直线的距离22bcd a b c ==+，由12d c =，得2222a b a c ==-，解得离心率3c e a ==. （Ⅱ）由（1）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. 依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且10AB =. 易知，AB 不与x 轴垂直.设其直线方程为()21y k x =++，代入（1）得()()()22221482142140k xk k x k b +++++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则()12282114k k x x k++=-+，()22122421414k b x x k+-=-+.由124x x +=-，得()2821=414k k k +--+，解得12k =. 从而21282x x b =-.于是()()222121212151410222AB x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭.由10AB =，得()210210b -=，解得23b =. 故椭圆E方程为221123x y +=.22.解：（Ⅰ）由已知，⇒a =2…（1分） 因为e ==1…（2分）故所求椭圆的方程为=1…（3分）（Ⅱ）法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知x 1=x 2，y 1=-y 2， 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即x 12-y 12=0 又因为点A （x 1，y 1）在椭圆上，故2=1，解得|x 1|=|y 1|=，此时点O 到直线AB 的距离为d =…（4分）②当直线l 的斜率存在时，设其方程为l ：y =kx +m ． 联立得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-4=0…（5分） 所以x 1+x 2=-，，…（6分）由已知，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则=0⇒x 1x 2+y 1y 2=0，且y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+mk （x 1+x 2）+m 2…（7分）故（1+k 2）x 1x 2+mk （x 1+x 2）+m 2=0⇒（1+k 2）=0化简得5m 2=4（1+k 2），…（8分） 故点O 到直线AB 的距离为d = 综上，点O 到直线AB 的距离为定值…（9分）法二：（若设直线方程为l ：x =my +c ，也要对直线斜率为0进行讨论）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），①当直线l 的斜率为0时，由椭圆对称性知x 1=-x 2，y 1=y 2，因为以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，故=0，即-x 12+y 12=0又因为点A （x 1，y 1）在椭圆上，故2=1，解得|x 1|=|y 1|=，此时点O 到直线AB 的距离为d =…（4分）②当直线l 的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l ：x =my +c ． 联立得：（m 2+4）y 2+2cmy +c 2-4=0…（5分）所以y 1+y 2=-，…（6分）故=0⇒x1x2+y1y2=y1y2+（my1+c）（my2+c）=（1+m2）y1y2+mc（y1+y2）+c2=0⇒（1+m2）=0…（8分）化简得5c2=4（1+m2），故点O到直线AB的距离为d =综上，点O到直线AB的距离为定值…（9分）（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1；当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA 的斜率为k，则直线OB的斜率为-，由得，同理…（10分）故S△AOB=令1+k2=t （t＞1），则S=2故≤S＜1…（11分）综上，△AOB面积S的最小值为．…（12分）法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，S=，②当直线l的斜率存在时，5m2=4（1+k2），且点O到直线AB的距离为d =，|AB |===4=4故S=，…（10分）令1+4k2=t（t≥1），则S =，因为0＜≤1，故≤S≤1．…（11分）综上，△AOB面积S的最小值为．…（12分）。