高二数学月考试卷上海市光明中学 (3)
2023-2024学年度第一学期高二10月考试卷
2023-2024学年度第一学期高二10月考试卷数学考试范围：选择性必修一；考试时间：100分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）1．已知平面α的法向量为()1,2,2a =- ，平面β的法向量为()2,4,b k =--，若αβ⊥，则k＝（）A ．4B ．4-C ．5D ．5-2．如果0,0AB BC <<，那么直线0Ax By C --=不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列选项中，也可以作为空间基底的是（）A ．a b + ，a b - ，cB ．a，a b + ，a b- C ．b c + ，b ，--b cD ．a b +，a b c ++r r r，c4．若θ∈R ，则直线cos 1y x θ=-的倾斜角α的取值范围为（）A ．π3π[,]44B ．]πππ(3[0,),224 C ．π3π[0,][,π)44⋃D ．]πππ(3[0,],4245．已知圆1C ：()()()222120x y r r -++=>与圆2C ：()()224216x y -+-=有公共点，则r 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,5C ．[]5,9D ．[]1,96．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，且112PF F F ⊥，直线2PF 与C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，若222MF F Q =，则C 的离心率为（）A ．337B ．217C ．73D ．47二、多选题7．已知空间四点()()()()0,0,0,4,3,0,3,0,4,5,6,4O A B C -，则下列说法正确的是（）A ．12OA OB ⋅= B ．12cos ,25OA OB =- C ．点O 到直线BC 的距离为5D ．,,,O A B C 四点共面8．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,3,AA AB AD ===E 是侧面11AA D D 的中心，F 是底面ABCD 的中心，点M 在线段AD 上运动．以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则（）A ．()1,0,3n = 是平面1A BC 的一个法向量B ．直线EF ∥平面11CD DC C ．异面直线EF 与1AC 垂直D ．存在点M ，使得直线1A M 与平面1A BC 所成的角为π49．已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）A ．直线l 与圆O 可能相切B ．直线l 与圆O 一定相交C ．当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1D ．直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为210．已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，P 为C 上一动点，()0,3M ，则下列结论中正确的是（）A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．PM PF +的最小值为4D ．PM 的最小值为3第II 卷（非选择题）三、填空题11．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是11A B 和11A C 的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于．2023-2024学年度第一学期高二10月考试卷数学参考答案：1．D【详解】∵αβ⊥，∴a b ⊥ ，∴2820⋅=---=a b k ，解得5k =-.故选：D2．C【详解】由0Ax By C --=可得，A C y x B B =-,所以直线的斜率0,A B <纵截距0CB->，所以直线经过一、二、四象限，故选:C.3．A【详解】对于A 选项，假设()()c a b a b λμ=++- ，即()()c a b λμλμ=++-，这与题设矛盾，假设不成立，故a b + ，a b - ，c可以构成基底，A 选项正确.对于B 选项，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，因此a，a b + ，a b - 共面，故不能构成基底，B 选项错误.对于C 选项，()--=-+ b c b c ，则b c + ，b ，-- b c 共面，所以b c + ，b ，-- b c 不能构成基底，故C 选项错误.对于D 选项，()++=++ a b c a b c ，因此向量a b + ，a b c ++r r r ，c共面，故不能构成基底，D 选项错误.故选：C.4．C【详解】直线cos 1y x θ=-的斜率cos [1,1]k θ=∈-，显然此直线倾斜角π2α≠，因此0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，解得π04≤≤α或3ππ4α≤<，所以直线cos 1y x θ=-的倾斜角α的取值范围为π3π[0,][,π)44⋃.故选：C5．D【详解】由题知：()11,2C -，1r r =，()24,2C ，24r =，()()221214225C C =-+--=.因为1C 和2C 有公共点，所以1244r C C r -≤≤+，解得19r ≤≤.故选：D 6．B【详解】如图，因为1//OM PF ，所以点M 是2PF 的中点，连接1FQ ，由222MF F Q =，得224PF F Q =，2201(1)8224x -+≥，故选：BC设点(),0Q m ，则11QA QB y k k x m +=-()()(122112y x m y x m y ty ∴-+-=+()226314022t m t t t -=-=++，。
上海市民星中学高二数学文月考试题含解析
上海市民星中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 当时，下面的程序段输出的结果是（）A． B． C． D ．参考答案：D2. 下列求导正确的是（）A.，则；B. ，则；C.，则；D.，则参考答案：B略3. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A. B. C. D.参考答案：C4. 实数满足，则四个数的大小关系为A． B．C． D．参考答案：C5. 为定义在R上的函数的导函数，而的图象如图所示，则的单调递增区间是（）A．(－∞,+∞) B．(－∞, －1)C．(－1,1) D．(－∞,3)参考答案：D由函数的解析式可得：当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上可得：的单调递增区间是.本题选择D选项.6. 用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除参考答案：B【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．7. 函数的导数是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】利用导数的运算法则求出函数的导数即可．【解答】解：y′==，故选：B．8. 如图所示,F1 ,F2是双曲线(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A,B,且ΔF2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为( )A． B.C．D．参考答案：B9. 命题“?∈R，x2≥0”的否定是（）A．?x?R，x2≥0B．?x?R，x2＜0 C．?x∈R，x2≥0D．?x∈R，x2＜0参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“?∈R，x2≥0”的否定是?x∈R，x2＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．10. 在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+…+a9，则m的值为（）A．37 B．36 C．20 D．19参考答案：A【考点】8E：数列的求和；83：等差数列．【分析】利用等差数列的通项公式可得a m=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，首项a1=0，a m=a1+a2+…+a9，∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线与所围成的封闭图形的面积为．参考答案：12. 若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为．参考答案：32【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差的性质直接求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为：22×8=32．故答案为：32．13. 的二项展开式中常数项是．（用数字作答）参考答案：﹣42【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】利用的通项公式为T r+1=，即可得出结论．【解答】解：的通项公式为T r+1=，∴的二项展开式中常数项是1×﹣2=﹣42．故答案为﹣42．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 设P是曲线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到的距离之和的最小值为____________ ．参考答案：2略15. 由“以点为圆心，为半径的圆的方程为”. 可以类比推出球的类似属性是参考答案：16. 已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等”，则= .参考答案：317. 如图所示，输出的值为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高二数学月考试卷上海市光明中学
高二数学月考试卷班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿一、填空题：（4×10）1、若l =βα ，α∈A ，β∈A ，则A 与l 的位置关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿（βα,为平面，l 为直线，A 为点）2、第1题用文字叙述则为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，即为公理23、两两相交的三条直线可以确定＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿个平面4、异面直线b a ,所成角为θ，则θ的大小范围是＿＿＿＿＿＿＿5、一条直线与两条异面直线相交，可以确定＿＿＿＿＿＿＿个平面6、若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则直线b a ,的位置关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿7、空间5个点，有且仅有其中3个点在一直线上，则它们能确定的平面个数最多为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿8、b a ,为夹在两个平行平面间的线段，若b a =，则b a ,线段所在直线的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿9、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，直线AM 与CN 所成角的余弦是＿＿＿＿＿＿＿10、若异面直线b a ,所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是65°的直线有且仅有＿＿＿＿＿条二、选择题：（4×4）1、两条异面直线是指（ ）A 、不在一个平面内的两条直线B 、没有公共点的两条直线C 、分别在两个平面内又不平行的直线D 、既不平行，又不相交的两条直线2、下列条件中，能且只能确定一个平面的条件是（ ）A 、空间三个点B 、三条直线中的一条与其余两条分别相交C 、一个点与一直线D 、三条平行线与第四条直线都相交3、βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（ ）A 、直线l ∥α，l ∥βB 、α内不共线的三点到β的距离都相等C 、l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD 、l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β4、如图所示是一个正方体的展开图，在原正方体中，有命题：①AB 与EF 所在直线平行，②AB 与CD 所在直线异面，③MN 与BF 所在直线成60°角，④MN 与CD 所在直线互相垂直。
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 点关于轴的对称点的坐标为（ ）A.B.C.D.2. 直线在两坐标轴上的截距之和为( )A.B.C.D.3. 已知双曲线：的右焦点为，以双曲线的实轴为直径的圆与其渐近线在第一象限交于点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为 A.B.C.D.4. 已知和为圆的两条互相垂直的弦，垂足为求四边形的面积最大值 A.B.C.D.A(1,2,3)x (−1,2,3)(1,−2,3)(1,−2,−3)(1,2,−3)3x −5y −15=08−32−2C −=1x 2a 2y 2b 2(a >0，b >0)F C P PF −b aC ()y =±xy =±2xy =±3xy =±4xAC BD O :+=4x 2y 2M (1,)2–√ABCD ()34565. 设数列前项和为，已知，则 A.B.C.D.6. 如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角是( )A.B.C.D. 7. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是A.B.C.D.8. 过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且在抛物线上，则的焦点坐标为 A.B.{}a n n S n S n =3−n a n =a 3()98158198278ABCD −A 1B 1C 1D 1A =AB =2A 1AD =1E F G DD 1AB CC 1E A 1GF π6π4π3π2{}a n =a a 1n S n +=4(n ≥2,n ∈)S n S n−1n 2N +n ∈N +<a n a n+1a ()(3,5)(4,6)[3,5)[4,6)P C :=2y x 2l 1l 2M N △PMN (1,1)P D :=mx y 2D ()(,0)14(,0)12,0)–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 对于直线：和圆：，下列结论中正确的是（ ）A.当时，与相交B.，与相交C.存在，使得与相切D.如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值10. 在平行四边形中， ， 则下列选项正确的是（ ）A.的最小值是B.的最小值是—C.的最大值是D.的最大值是11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，点是圆关于直线对称的曲线上任意一点，若的最小值为，则下列说法正确的是( )A.椭圆的焦距为B.曲线过点的切线斜率为C.若，为椭圆上关于原点对称的异于顶点和点的两点，则直线与斜率之积为D.的最小值为12. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：，，，，，，，…，把这列数记作数列，其前项和记作，则（ ）(,0)2–√4(,0)2–√2l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0C +=9(x −1)2(y +1)2t =−2l C ∀t ∈R l C t ∈R l C l C ABCD AB =2,AD =2,⋅=−6,=λ3–√AB −→−AD −→−AM −→−AD−→−λ∈[0,1]⋅MB −→−MC −→−−3⋅MB −→−MC −→−2⋅MB −→−MC −→−10⋅MB −→−MC −→−25C :+=1(0<b <)x 25y 2b 25–√F 1F 2P Q +=1x 2(y −4)2x −y =0E |PQ|−|P |F 25−25–√C 2E F 2±3–√3A B C P PA PB −15|PQ|+|P |F 2211235813{}a n n S nA.在第条斜线上，各数之和为B.在第条斜线上，最大的数是C.…D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. ，，如果与为共线向量，则________．14. 设圆，定点，若圆上存在两点到的距离为，则的取值范围________．15. 若数列是等差数列，首项，，．，则使前项和最大时，自然数是_______.16. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结论：①曲线与直线交于不同于原点的两点，则；②存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）；③存在一个以原点为中心、半径为的圆，使得曲线在此圆面内（含边界）；④曲线上至少有一个点，使得点到两坐标轴的距离之积大于.其中，正确结论的序号是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知直线过点和两点．（1）求出该直线的直线方程（用点斜式表示）；105510C 27(−)(−)(−)a 1a 3a 22a 2a 4a 23a 3a 5a 24(−)=1a 2019a 2021a 22020=−1S 2019a 2021=(2x,1,3)a →=(1,−2y,9)b →a →b →x +y =O :+=(r >0)x 2y 2r 2A(3,4)O A 2r {}a n >0a 1+>0a 2003a 2004a 2003<0a 2004n S n n C :=4(+)x 2y 23x 2y 2C y =ax (a ≠0)O A (,),B (,)x 1y 1x 2y 2+++=0x 1x 2y 1y 21C 1C C M M 12A(2,1)B(6,−2)（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在轴和轴上的截距．18. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前项和．19. 在直角梯形中，，，（如图）．把沿翻折，使得二面角的平面角为（如图）（1）若，求证：；（2）是否存在适当的值，使得，若存在，求出的值，若不存在说明理由；（3）取中点，中点，、分别为线段与上一点，使得．令与和所成的角分别为和．求证：对任意．，总存在实数，使得均存在一个不变的最大值．并求出此最大值和取得最大值时与的关系．20. （湖南雅礼中学月考八）已知点到点的距离与它到直线的距离之和等于．求点的轨迹的方程；设过点的直线与轨迹相交于，两点，求线段长度的最大值．21. 在等比数列中，，且），且，，成等差数列．求数列的通项公式；若，求数列的前项和.22. 求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．x y {}a n d ≠0=10a 4a 3a 6a 10(1){}a n (2)=(−1b n )n a n {}b n n T n ABCD AD //BC BC =2AD =2AB =22–√∠ABC =90∘1△ABD BD A −BD −C θ2θ=π2CD ⊥AB θAC ⊥BD θBD M BC N P Q AB DN ==λ(λ∈R)AP PB NQQD PQ BD AN θ1θ2θ∈(0π)λsin +sin θ1θ2θλP F (0,1)y =34P C F l C M N MN {}a n =8(n ≥4a n a n−3n ∈N ∗4a 1a 22a 3(1){}a n (2)=(n ∈)b n ()log 2a n+12N ∗{}(−1)n b n n S n 9−16=144y 2x 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】空间直角坐标系空间中的点的坐标【解析】在空间直角坐标系中，一个点关于坐标轴对称，则这个点的坐标只有这个对称轴对应的坐标不变，其他的要变化成相反数【解答】解：∵在空间直角坐标系中，一个点关于坐标轴对称，则这个点的坐标只有这个对称轴对应的坐标不变，其他的要变化成相反数，∴点关于轴的对称点的坐标为故选．2.【答案】C【考点】直线的截距式方程【解析】将直线转化为直线截距方程，求出截距即可得到答案.【解答】解：由题意得直线方程转化为，所以直线方程在坐标轴上的截距依次为，所以截距之和为.故选.3.【答案】AA(1,2,3)x (1,−2,−3)C −=1x 5y 35，−32C【考点】双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：得或据题设知，点，故，解得，所以所求渐近线方程为.故选.4.【答案】C【考点】圆的综合应用【解析】设圆心到、的距离分别为、，则，代入面积公式，使用基本不等式求出四边形的面积的最大值．【解答】解：如图，连接，作垂足分别为，，∵，∴四边形为矩形，已知，，设圆心到，的距离分别为，，+=，x 2y 2a 2y =x ，b ax =，a2c y =，ab cx =−，a 2c y =−.ab c P (,)a 2c ab c =−−0ab c−c a 2c b a =1b 2a 2y =±x A AC BD d 1d 2+=3d 21d 22S =|AC ||BD |12ABCD OA OD OE ⊥AC ，OF ⊥BD E F AC ⊥BD OEMF OA =OC =2OM =3–√O AC BD d 1d 2+=O =3d 2d 2M 2则，四边形的面积为：，从而：，当且仅当时取等号，故选.5.【答案】C【考点】数列递推式【解析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：当时，，整理得，.又，得，∴，得,∴，得.故选.6.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，+=O =3d 21d 22M 2ABCD S =⋅|AC |(|BM |+|MD |)12S =|AC ||BD |12=2≤8−(+)=5(4−)(4−)d 21d 22−−−−−−−−−−−−−√d 21d 22=d 21d 22C n ≥2=−a n S n S n−1=3−n −[3−(n −1)]a n a n−12=3+1a n a n−1==3−1S 1a 1a 1=a 1122=3+1=+1a 2a 132=a 2542=3+1=+1a 3a 2154=a 3198C D DA x DC y DD 1z E A 1GF D DA x DC y DD 1z则，，，，，.设异面直线与所成角为，则，∴异面直线与所成角为．故选.7.【答案】A【考点】数列与函数的综合数列递推式【解析】由化简可得，从而可得，由知，，，从而解得．【解答】解：∵，，∴，即，即，故，，且，∴，，；若对任意，恒成立，只需使，即，解得，，故选．8.【答案】(1,0,2)A 1E(0,0,1)G(0,2,1)F(1,1,0)=(−1,0,−1)E A 1−→−=(1,−1,−1)GF −→−E A 1GF θcos θ=|cos <，>|E A 1−→−GF −→−=|⋅E A 1−→−GF −→−||⋅||E A 1−→−GF −→−|=|=0−1×1+(−1)×(−1)||⋅||E A 1−→−GF −→−|E A 1GF π2D +=4S n S n−1n 2−=8n +4S n+1S n−1−=8a n+2a n =a a 1=16−2=16−2a a 2a 1=4+2a a 3=24−2a a 4+=4S n S n−1n 2+=4(n +1S n+1S n )2−=8n +4S n+1S n−1+=8n +4a n+1a n +=8n +12a n+2a n+1−=8a n+2a n +=+2=16S n+1S n a 2a 1=a a 1=16−2=16−2a a 2a 1=8×2+4−(16−2a)=4+2a a 3=24−2a a 4n ∈N +<a n a n+1<<<a 1a 2a 3a 4a <16−2a <4+2a <24−2a 3<a <5AA【考点】抛物线的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，由，得，所以，故直线的方程为，即，同理直线的方程为，联立，的方程可得，．设的重心坐标为（），则，，即则的坐标为，从而，即，故的焦点坐标为．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.M (,)x 1x 212N (,)x 2x 222=2y x 2y =x 22=x y ′l 1y −=(x −)x 212x 1x 1y =x −x 1x 212l 2y =x −x 2x 222l 1l 2x =+x 1x 22y =x 1x 22△PMN ,x 0y 0==1x 0++x 1x 2+x 1x 223==1y 0++x 212x 222x 1x 223{⇒{+=2,x 1x 2++=6,x 21x 22x 1x 2+=2,x 1x 2=−2,x 1x 2P (1,−1)=m ×1(−1)2m =1D (,0)14A ABC l C CP D解：对于直线：，可化为，由可得∴直线恒经过定点，∵在圆：内部，∴直线与圆相交，故正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.故选.10.【答案】B,C【考点】向量在几何中的应用数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：，则最大值为，最小值为.故选.11.【答案】B,C【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义和性质【解析】由题意得，的最小值为，结合椭圆的性质可判断，根据直线与圆的位置关系可判断；设出点，，坐标，代入椭圆的方程可判断；结合图像判断．l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0(x +2y −5)t +(2x −3y −3)=0{x +2y −5=0，2x −3y −3=0，{x =3，y =1，P (3,1)P (3,1)C +=9(x −1)2(y +1)2l C AB C l C CP D ABD ⋅=(+)(+)MB −→−MC −→−MA −→−AB −→−MD −→−DC −→−=(−λ+)((1−λ)+)AD −→−AB −→−AD −→−AB −→−=12−2λ210−2BC |PQ|⋅|P |F 25−25–√A B P A B C D由题意得，，即，则，由曲线和圆关于直线对称，得曲线的方程为.，由的最小值为，得，即，当且仅当点位于椭圆的右顶点，且点位于圆与轴的左交点时，等号成立，此时，即 ，所以，所以椭圆的方程为，故椭圆的焦距为，故错误；，由，得点坐标为，由题意知，曲线过点的切线的斜率必然存在，设直线方程为，则点到直线距离为，即 ，解得 ，故正确；，设点，，坐标分别为，， ，得，故正确；，当且仅当点位于椭圆的右顶点，且点位于圆与轴的左交点时，取得最小值，易知，故错误．故选．12.【答案】A,B,D【考点】数列的求和数列的应用【解析】由上往下每条线上各数之和为，由此可得规律为，然后再对选项一一进行分析判断即可得.2a =25–√|P |+|P |=2F 1F 25–√|P |=2−|P |F 25–√F 1E +=1x 2(y −4)2x −y =0E +=1(x −4)2y 2A |PQ|−|P |F 25−25–√|PQ|−|P |=F 2|PQ|+|P |−2≥5−2F 15–√5–√|PQ|+|P|≥5F 1P Q E x c +3=5c =2b =1+=1x 25y 2C 2c =4A B c =2F 2(2,0)E F 2y =k (x −2)E 1=1|2k|1+k 2−−−−−√k =±3–√3B C P A B (,)x P y P (,)x 0y 0(−,)x 0y 0(≠0,≠0,≠)x 0y 0x 0x P ⋅=⋅k PA k PB −y P y 0−x P x 0+y P y 0+x P x 0==−y 2P y 20−x 2P x 20=−(1−)−(1−)x 2P 5x 205−x 2P x 2015CD P QE x |PQ|+|P |F 2[|PQ|+|P |=3−2=1F 2]min D BC1，1，2，3，4，8，13，21，34，55+=a n a n+1an+2ABCD解：由上往下每条线上各数之和为，，，，，，，…，由此可得规律为，所以可得在第条斜线上，各数之和为，故正确；在第条斜线上的数有：所以在第条斜线上的数有，所以最大的数为，故正确；对于每相邻三项，都有，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，故错误.因为，所以，所以正确 .故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】共线向量与共面向量【解析】利用向量共线的充要条件即可求出．【解答】解：∵与为共线向量，∴存在实数使得，∴解得∴．故答案为：．14.【答案】【考点】圆与圆的位置关系及其判定11235813+=a n a n+1a n+21055A n ，，，...,，，C 0n−1C 1n−2C 2n−3C k−1n−k C k n−(k+1)10，，，，...C 09C 18C 27C 36C 27B ⋅−=±1a n a n+2a 2n+1n ⋅−=−1a n a n+2a 2n+1n ⋅−=1a n a n+2a 2n+1(⋅−)(⋅−)...(⋅−)=−1a 1a 3a 22a 2a 4a 23a 2019a 2021a 22020C =+++⋯+S n a 1a 2a 3a n =(−)+(−)+(−)+⋯+(−)a 3a 2a 4a 3a 5a 4a n+2a n+1=−1a n+2=−1S 2019a 2021D ABD −43a →b →λ=λa →b →2x =λ，1=−2λy ，3=9λ， x =，16y =−，32λ=，13x +y =−=−163243−43(3,7)根据题意，设以为圆心，半径为的圆为圆，分析圆的圆心、半径，求出圆心距，分析可得圆与圆相交，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，设以为圆心，半径为的圆为圆，圆，其圆心为，半径为，则，若圆上存在两点到的距离为，则圆与圆相交，则有，解可得，即的取值范围为；15.【答案】【考点】等差数列的通项公式等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】对于首项大于零的递减的等差数列，第项与项的和大于零，积小于零，说明第项大于零且项小于零，且项的绝对值比项的要大，由等差数列前项和公式可判断结论．【解答】解：∵，，∴和两项中有一正数一负数.又，∴公差为负数，否则各项总为正数，∴，即，，∴前项和最大，即.故答案为：.16.【答案】①③【考点】两点间的距离公式基本不等式在最值问题中的应用曲线与方程【解析】A 2A O O A r −2<5<r +2r A 2A O :+=(r >0)x 2y 2r 2(0,0)r |OA |==59+16−−−−−√O :+=(r >0)x 2y 2r 2A 2O A r −2<5<r +23<r <7r (3,7)2003200320042003200420032004n +>0a 2003a 2004⋅<0a 2003a 2004a 2003a 2004>0a 1>a 2003a 2004>0a 2003<0a 20042003S n n =20032003解：曲线关于原点对称，所以，所以①正确；由，所以，即： ，当时取等号，此时，点在曲线上，而，所以②错误，③正确；因为，所以④错误；综上所述，①③正确．故答案为：①③．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】∵直线过点和，∴直线的斜率为，故直线的点斜式方程为：．把直线的方程化为斜截式：，一般式：＝，截距式：，故直线在轴上的截距为；在轴上的截距为．【考点】直线的点斜式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】解：等差数列的公差为，又，可得，，，由，，成等比数列，得，解得(舍去)或．当时，则，．故；∵，∴，O +=+=0x 1x 2y 1y 24≤4=x 2y 2()+x 2y 222(+)x 2y 22≤(+)x 2y 23(+)x 2y 22+≤1x 2y 2==x 2y 212P (,)2–√22–√2|PO|=1|x|⋅|y|≤≤+x 2y 2212A(2,1)B(7AB AB l 3x +6y −100l x y (1){}a n d =10a 4=10−d a 3=10+2d a 6=10+6d a 10a 3a 6a 10(10+2d =(10−d)(10+6d))2d =0d =1d =1=−3d =10−3×1=7a 1a 4=+(n −1)d =n +6a n a 1=n +6a n (2)=(−1b n )n a n =(−1⋅(n +6)b n )n当为偶数时：，当为奇数时：.【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设出等差数列的公差为，又，把，，用表示，结合，，成等比数列求得，则等差数列的通项公式可求；（2）把（1）中求得的代入，然后利用等比数列的前项和公式求得数列的前项和．【解答】解：等差数列的公差为，又，可得，，，由，，成等比数列，得，解得(舍去)或．当时，则，．故；∵，∴，，当为偶数时：，当为奇数时：.19.【答案】（1）证明：由已知条件可得，，．∵平面平面，平面平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）解：不存在．∵，，，∴平面，∵平面，∴，与矛盾，故不存在；（3）证明：在线段取点使得n =⋅1=T n n 2n 2n =1⋅+(−1⋅(n +6)T n n −12)n =−1⋅(n +6)n −12==−−n −132n +132{}a n d =10a 4a 3a 6a 10d a 3a 6a 10d a n =(n ∈)b n 2a n N ∗n {}b n n S n (1){}a n d =10a 4=10−d a 3=10+2d a 6=10+6d a 10a 3a 6a 10(10+2d =(10−d)(10+6d))2d =0d =1d =1=−3d =10−3×1=7a 1a 4=+(n −1)d =n +6a n a 1=n +6a n (2)=(−1b n )n a n =(−1⋅(n +6)b n )n =++⋯+T n b 1b 2b n =−1×7+(−1×8+⋯+(−1(n +6))2)n n =⋅1=T n n 2n 2n =1⋅+(−1⋅(n +6)T n n −12)n =−1⋅(n +6)n −12==−−n −132n +132BD =2CD =2CD ⊥BD ABD ⊥BCD ABD∩BCD =BD CD ⊥ABD AB ⊂ABD CD ⊥AB AC ⊥BD CD ⊥BD AC ∩CD =C BD ⊥ACD AD ⊂ACD BD ⊥AD ∠ABC =90∘BN R ===λ(λ∈R)AP PB NR RB NQ QD∵，，，∴，∵，，∴，从而有，∴当且仅当，即时取得最大值．此时有，又∵，，∴…【考点】与二面角有关的立体几何综合题【解析】（1）先证明，利用平面平面，可得平面，利用线面垂直的性质可得；（2）不存在．由，，，可得平面，，与矛盾；（3）线段取点使得，从而易得且，，，确定，利用基本不等式，即可求的最大值．此时有，利用比例关系，结合余弦定理，即可得出取得最大值时与的关系．【解答】（1）证明：由已知条件可得，，．∵平面平面，平面平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）解：不存在．∵，，，∴平面，∵平面，∴，与矛盾，故不存在；（3）证明：在线段取点使得从而易得且，，另一方面，，，从而．∵，，，∴，∵，，∴，从而有，AM ⊥BD MN ⊥BD AM ∩MN =M BD ⊥AN PR //AN RQ //BD ∠PRQ =π2+=⇒+=1θ1θ2π2sin 2θ1sin 2θ2sin +sin ≤=θ1θ22(+)sin 2θ1sin 2θ2−−−−−−−−−−−−−−−√2–√sin =sin θ1θ2=θ1θ2PR =QR ==⇒PR =AN ==PR AN BP BA 11+λ11+λ11+λA +M −2MN ⋅AN cos θM 2N 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√11+λ2−2cos θ−−−−−−−−√==⇒QR =BD =⋅2=QR BD NQ ND λ1+λλ1+λλ1+λ2λ1+λPR =QR ⇒=⇒=2λ⇒λ==sin 11+λ2−2cos θ−−−−−−−−√2λ1+λ2−2cos θ−−−−−−−−√1−cos θ2−−−−−−−−√θ2CD ⊥BD ABD ⊥BCD CD ⊥ABD CD ⊥AB AC ⊥BD CD ⊥BD AC ∩CD =C BD ⊥ACD BD ⊥AD ∠ABC =90∘BN R ===λ(λ∈R)AP PB NR RB NQ QD PR //AN RQ //BDA =∠PQR θ1=∠QPR θ2+θ1θ2sin +sin θ1θ2PR =QR θλBD =2CD =2CD ⊥BD ABD ⊥BCD ABD∩BCD =BD CD ⊥ABD AB ⊂ABD CD ⊥AB AC ⊥BD CD ⊥BD AC ∩CD =C BD ⊥ACD AD ⊂ACD BD ⊥AD ∠ABC =90∘BN R ===λ(λ∈R)AP PB NR RB NQ QDPR //AN RQ //BDA =∠PQR θ1=∠QPRθ2AM ⊥BD MN ⊥BD θ=∠AMN AM ⊥BD MN ⊥BD AM ∩MN =M BD ⊥AN PR //AN RQ //BD ∠PRQ =π2+=⇒+=1θ1θ2π2sin 2θ1sin 2θ2−−−−−−−−−−−−−−−又∵，，∴…20.【答案】故点的轨迹是抛物线在直线的下方部分（包括它与直线的交点）与抛物线在直线的上方部分所组成的曲线，如图所示．【考点】圆锥曲线的综合问题轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设点的坐标为，则，①当时，由①得，②化简得；当时，由①得，③化简得，故点的轨迹是抛物线在直线的下方部分（包括它与直线的交点）与抛物线在直线的上方部分所组成的曲线，如图所示．==⇒PR =AN ==PR AN BP BA 11+λ11+λ11+λA +M −2MN ⋅AN cos θM 2N 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√11+λ2−2cos θ−−−−−−−−√==⇒QR =BD =⋅2=QR BD NQ ND λ1+λλ1+λλ1+λ2λ1+λPR =QR ⇒=⇒=2λ⇒λ==sin 11+λ2−2cos θ−−−−−−−−√2λ1+λ2−2cos θ−−−−−−−−√1−cos θ2−−−−−−−−√θ2P C :=4y C 1x 2y =3y =3:y =−+4C 2112x 2y =31163P (x ，y)+|y −3|=4+x 2(y −1)2−−−−−−−−−−√y ≤3=1+y +x 2(y −1)2−−−−−−−−−−√=4y x 2y >3=7−y +x 2(y −1)2−−−−−−−−−−√y =−+4112x 2P C :=4y C 1x 2y =3y =3:y =−+4C 2112x 2y =31【名师指导】【名师指导】本题考查曲线与方程、抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系．利用两点间的距离公式，再分类讨论求解，注意对曲线方程化简；如图所示，易知直线与的交点是，，直线，的斜率分别为．当点在上时，由②知；④当点在上时，由③知，⑤若直线的斜率存在，则直线的方程为，（1）当，即时，直线与轨迹的两个交点都在上，此时由④知，，由得，则，所以，当且仅当时，等号成立．（2）当或，即或时，直线与轨迹的两个交点分别在上，不妨设点在上，点在上，则由④⑤知．设直线与的另一交点为，则，，，所以．而点，都在上，且，由（1）知，所以．若直线的斜率不存在，则，此时．综上所述，线段长度的最大值为．【名师指导】【名师指导】本题考查曲线与方程、抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系．分类讨论直线的斜率，再设出直线的方程，代入抛物线的方程，利用抛物线的定义、韦达定理和放缩法求解．21.2y =3C A (2,3)3–√B(−2，3)3–√AF BF =，=−k AF 3–√3k BF 3–√3P C 1|PF|=1+y P C 2|PF|=7−y l k l y =kx +1≤k ≤k BF k AF −≤k ≤3–√33–√3l C M (,)，N (,)x 1y 1x 2y 2C 1|MN|=|MF|+|NF|=(1+)+(1+)=2+(+)y 1y 2y 1y 2{y =kx +1，=4y x 2−4kx −4=0x 2+=4k x 1x 2|MN|=2+(+)=k (+)+4y 1y 2x 1x 2=4+4≤+4=k 243163k =±3–√3k <k BF k >k AF k <−3–√3k >3–√3l C M(,)，N(,)x 1y 1x 2y 2,C 1C 2M C 1N C 2|MF|=1+，|NF|=7−y 1y 2AF C 1E (，)x 0y 0>，>3y 0y 1y 2|MF|=1+<1+=|EF|y 1y 0|NF|=7−<7−3=|AF|y 2|MN|=|MF|+|NF|<|EF|+|AF|=|AE|A E C 1=k AE 3–√3|AE|=163|MN|<163l =0，=4y M y N |MN|=4<163MN 163l l解：设公比为，则，解得因为，，成等差数列，所以 ．所以，即，解得（舍去）或，所以.，所以当为偶数时，；当为奇数时，，所以【考点】数列递推式等差中项等比数列的通项公式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：设公比为，则，解得因为，，成等差数列，所以 ．所以，即，解得（舍去）或，所以.，所以当为偶数时，；当为奇数时，，所以(1){}a n q (q ≠0)==8a n a n−3q 3a n−3q =2.4a 1a 22a 32=4+a 22a 1a 32=4+×(×2)a 12a 1a 1228−8=0a 21a 1=0a 1=1a 1=a n 2n−1(2)===b n ()log 2a n+12()log 22n 2n 2=−+−++⋯+⋅S n 12223242(−1)n n 2n =(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+S n [n +(n −1)][n −(n −1)]=1+2+3+4+⋯+(n −1)+n =+n n 22n =(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+S n [(n −1)+(n −2)][(n −1)−(n −2)]−n 2=[1+2+3+4+⋯+(n −2)+(n −1)]−n 2=−+n n 22=S n −，n 为奇数，+n n 22，n 为偶数.+n n 22(1){}a n q (q ≠0)==8a n a n−3q 3a n−3q =2.4a 1a 22a 32=4+a 22a 1a 32=4+×(×2)a 12a 1a 1228−8=0a 21a 1=0a 1=1a 1=a n 2n−1(2)===b n ()log 2a n+12()log 22n 2n 2=−+−++⋯+⋅S n 12223242(−1)n n 2n =(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+S n [n +(n −1)][n −(n −1)]=1+2+3+4+⋯+(n −1)+n =+n n 22n =(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+S n [(n −1)+(n −2)][(n −1)−(n −2)]−n 2=[1+2+3+4+⋯+(n −2)+(n −1)]−n 2=−+n n 22=S n −，n 为奇数，+n n 22+n n 2【答案】解：把双曲线方程化为由此可知实半轴长，虚半轴长，，焦点坐标，，离心率，渐近线方程为．【考点】双曲线的标准方程【解析】把双曲线方程化为，由此利用双曲线的性质能求出结果．【解答】解：把双曲线方程化为由此可知实半轴长，虚半轴长，，焦点坐标，，离心率，渐近线方程为．9−16=144y 2x 2−=1y 216x 29a =4b =3c ==5+a 2b 2−−−−−−√(0,−5)(0,5)e ==c a 54y =±x 439−16=144y 2x 2−=1y 216x 299−16=144y 2x 2−=1y 216x 29a =4b =3c ==5+a 2b 2−−−−−−√(0,−5)(0,5)e ==c a 54y =±x 43。
上海 上海市实验学校附属光明学校数学高二下期中经典练习卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13601]若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．(0分)[ID ：13584]若4sin()65x π-=，则sin(2)6x π+的值为（ ） A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-4．(0分)[ID ：13574]如图，在ΔABC 中，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑ ，P 是BN 的中点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑ ，则实数m 的值是（ ）A ．14B ．1C ．12D ．325．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（ ）A ．12B ．3 C ．12-D ．3-6．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=7．(0分)[ID ：13618]已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移56π个单位 9．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心10．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3411．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ） A ．2B ．1C ．25D 512．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89 C ．79D ．79-13．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π414．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．515．(0分)[ID ：13532]若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．(0分)[ID ：13710]已知在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____．17．(0分)[ID ：13692]已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x =____________________． 18．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.19．(0分)[ID ：13686]已知(0,0)O ，(12,5)A ，(4,7)B ，若3OA OB AB λμ+=，则λμ+=_______.20．(0分)[ID ：13662]函数f (x )＝3 x +cos x 的最大值是___________.21．(0分)[ID ：13658]ABC ∆的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()3,1B -，()5,3C -，D 是BC 上一点，若14ABD ABC S S ∆∆=，则D 的坐标为________. 22．(0分)[ID ：13655]在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM --→⋅的取值范围为__________. 23．(0分)[ID ：13650]在△ABC 中，3AB =，2AC =，60A =︒，AG mAB AC =+，则AG 的最小值为________24．(0分)[ID ：13637]已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________.25．(0分)[ID ：13636]若tanα＝2，则sinα·cosα的值为 ．三、解答题26．(0分)[ID ：13820]在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.27．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 28．(0分)[ID ：13762]已知向量()()1,2,,1a b x ==，且2a b +与2a b -平行. （1）求向量b ；（2）已知点()3,1A -，向量AB 与2a b +垂直，求直线AB 的一般式方程.29．(0分)[ID ：13752]边长为1的正三角形ABC ，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，若AE mAB =，AF nAC =，其中,(0,1)m n ∈，设EF 的中点为M ，BC 中点为N .（1）若A 、M 、N 三点共线，求证：m n =； （2）若1m n +=，求||MN 的最小值.30．(0分)[ID ：13737]已知4a =，8,b a =与b 的夹角是120． （1）计算：a b +；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥-．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．B4．C5．A6．D7．D8．A9．A10．C11．D12．C13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应17．【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式18．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力19．【解析】【分析】根据得到；计算得到答案【详解】则即即；解得故故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示意在考查学生的计算能力20．【解析】由21．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐22．【解析】【分析】先作出曲线对应的图像再结合简单的线性规划问题观察图像即可得解【详解】解：曲线对应的图像为如图所示的菱形设则因为是曲线上的动点则又向量则由图可知：目标函数过点时函数取最小值过点时函数取23．【解析】【分析】先计算得到根据二次函数得到最小值【详解】则当时有最小值即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量模的计算意在考查学生的计算能力24．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件25．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．C解析：C 【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限，sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限． 3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简sin(2)6x π+，再根据二倍角余弦公式得结果.【详解】 ∵4sin()65x π-=，∴2327sin(2)cos 212sin 16362525x x x πππ-⎛⎫⎛⎫+=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力,属基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】以AB⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑ 作为基底表示出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用平面向量基本定理，即可求出． 【详解】∵P ，N 分别是BN ，AC 的中点，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BN ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AN ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ .又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，∴m =12.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．5．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.6．D解析：D【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】31sin sin cos 622x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，31cos cos sin 622x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3131sin cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2213sin cos cos sin 2x x x x =⋅+- 13sin 2cos 244x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由题知，．若，，选项C 满足；若，，，其中，，函数周期，选项A 满足；若，，，其中，，函数周期，选项B 满足；若,则，且周期为．而选项D 不满足以上四种情况，故图象不可能是D ．故本题正确答案为D ．8．A解析：A函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 9．A解析：A 【解析】 【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||ACAC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB ACOP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．10．C解析：C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=，∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则22sin x y α=+，22cos x y α=+，()tan 0yx xα=≠. 11．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案. 【详解】结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时， 则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离， 故222521d ==+故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.13．A解析：A 【解析】 把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.14．B解析：B 【解析】 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选B ． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.15．B解析：B 【解析】 【分析】根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案. 【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,而||||cos ||=||cos i i i i i OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影为||OA OB OB ⋅,故④正确.()00,i i i i OA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB ⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点i A A 、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应解析：2:3【解析】 【分析】根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求PBC ∆与ABC ∆的面积之比． 【详解】因为PA PB PC AB ++=，所以2PC AB PB PA AB BP AP AP =--=++=，所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点，所以PBC ∆和ABC ∆的面积之比为2:3．故答案为：2:3． 【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.17．【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式 解析：49【解析】 试题分析：12tan 1133tan 22tan tan 2141tan 3419x x x x x π⨯+⎛⎫+=∴=∴=∴== ⎪-⎝⎭-1tan 433tan 294x x ∴== 考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式18．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力 解析：1【解析】 【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案. 【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点则2211x x x -=∴= 故答案为：1 【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.19．【解析】【分析】根据得到；计算得到答案【详解】则即即；解得故故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示意在考查学生的计算能力 解析：0【解析】 【分析】根据3OA OB AB λμ+=得到12424λμ+=-；576λμ+=，计算得到答案. 【详解】(0,0)O ，(12,5)A ，(4,7)B 则3OA OB AB λμ+=即()()()12,54,738,2λμ+=-即12424λμ+=-；576λμ+=解得3,3λμ=-=故0λμ+=故答案为：0 【点睛】本题考查了向量的坐标表示，意在考查学生的计算能力.20．【解析】由 解析：2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.21．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐 解析：()1,0【解析】 【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得||1||3BD DC =,再得到13BD DC =,设出D 的坐标,代入13BD DC =可解得. 【详解】因为||||ABD ABCS BD SBC =,又因为14ABD ABC S S ∆∆=,所以14ABD ABCS S =, 所以||1||4BD BC =,所以||1||3BD DC =, 所以13BD DC =, 设(,)D a b ,所以(3,1)BD a b =-+,(5,3)DC a b =---, 所以1(3,1)(5,3)3a b a b -+=---, 所以13(5)3a a -=--且11(3)3b b +=-, 解得1a =,且0b =, 所以D 的坐标为(1,0). 故答案为:(1,0). 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.22．【解析】【分析】先作出曲线对应的图像再结合简单的线性规划问题观察图像即可得解【详解】解：曲线对应的图像为如图所示的菱形设则因为是曲线上的动点则又向量则由图可知：目标函数过点时函数取最小值过点时函数取 解析：[]4,4-【解析】 【分析】先作出曲线||2||2x y +=对应的图像，再结合简单的线性规划问题，观察图像即可得解. 【详解】解：曲线||2||2x y +=对应的图像为如图所示的菱形ABCD ，设00()M x y ，则()00,OM x y =，因为M 是曲线||2||2x y +=上的动点， 则00||2||2x y +=，又向量(2,1)a =，则002z a OM x y --→=⋅+=，由图可知：目标函数2z x y =+过点(2,0)A -时，函数取最小值2(2)104⨯-+⨯=-， 过点(2,0)C 时，函数取最大值22104⨯+⨯=， 即a OM --→⋅的取值范围为[]4,4-，故答案为：[]4,4-.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.23．【解析】【分析】先计算得到根据二次函数得到最小值【详解】则当时有最小值即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量模的计算意在考查学生的计算能力 3【解析】 【分析】先计算得到2219()33AG m +=+，根据二次函数得到最小值. 【详解】AG mAB AC =+则222222219649()33AG m AB AC mAB A m m C m ⋅=++=++=++当13m =-时，2AG 有最小值3，即||AG 的最小值为3故答案为：3 【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.24．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．25．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系 解析：【解析】 试题分析：，答案为．考点：同角三角函数的平方关系与商数关系三、解答题 26．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理，得42sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，2212sin 1cos 1()33B B =-=-= 由正弦定理，得22242sin sin 3c C B b ===a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.27．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54．【解析】 【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=， 解得34m =-．所以(BA =-=13,44BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，104BC =， 故ABC ∆的面积为15244=． 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．28．（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）x +2y +1=0【解析】 【分析】（1）将2a b +，2a b -分别用坐标表示，然后根据向量平行对应的坐标关系求解出x 的值，即可求解出b ；（2）根据向量AB 与2a b +垂直，可知2a b +为直线的法向量，即可求出直线AB 的点法向式方程，再将其转变为一般式方程即可. 【详解】（1）因为()221,4a b x +=+，()22,3a b x -=-，且2a b +与2a b -平行， 所以()()32142x x +=-，所以12x =，所以1,12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）因为()22,4a b +=且2a b +为直线AB 的法向量，又因为直线AB 过点()3,1A -，所以AB 的点法向式方程为：()()23410x y -++=， 则AB 的一般式方程为：210x y +-=. 【点睛】（1）已知()()1122,,,a x y b x y ==，若//a b ，则有：12210x y x y -=；（2）已知直线上一点()00,P x y 以及直线的法向量(),n a b =，可直接写出点法向式方程()()()220000a x x b y y a b -+-=+≠.29．（1）证明见解析；（2）最小值为3. 【解析】【分析】(1)利用共线向量基本定理得AM AN λ=,根据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应的向量的和的一半,将已知条件代入得到要证的结论;(2)利用向量的运算法则:三角形减法法则的逆运算将MN 用三角形的边对应的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,将2||MN 表示为m 的二次函数,求出二次函数的最小值.【详解】(1)由,,A M N 三点共线,得/,AM AN 共线,根据共线向量定理可得,存在R λ∈使得AM AN λ=,即11()()22AE AF AB AC λ+=+, 所以mAB nAC AB AC λλ+=+,根据平面向量基本定理可得m n λ==,所以m n =.(2)因为MN AN AM =-11()()22AB AC AE AF =+-+11(1)(1)22m AB n AC =-+-, 又1m n +=,所以11(1)22MN m AB mAC =-+, 因为三角形ABC 是边长为1的正三角形,所以||||1AB AC ==,1||||cos32AB AC AB AC π⋅==, 所以2||MN = 22222111(1)(1)442MN m AB m AC m mAB AC =-++-⋅ 22111(1)11(1)||||cos 4423m m m m AB AC π=-⨯+⨯+- 22111(1)(1)444m m m m =-++-2113()4216m =-+,所以12m =时,MN 【点睛】本题考查了共线向量定理,平面向量基本定理,平面向量的数量积,平面向量三角形的减法法则的逆运算,二次函数求最小值,属于中档题.30．（1）43a b +=（2）7k =-【解析】 试题分析：（1）由题意，可考虑先计算2a b +，根据向量数量积公式运算其结果，再求得a b +的值；（2）由两个向量垂直时，其数量积为0，从而可求得k 的值. 试题解析：（1）由已知得：148162a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭222248a b a a b b +=+⋅+= 43a b ∴+=（2）()()2a b ka b +⊥- ()()20a b ka b ∴+⋅-=()222120ka k a b b ∴+-⋅-=()1616212640k k ∴---⨯= 7k ∴=-。
高二数学上学期月考试卷(含解析)
高二上学期月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）点A（﹣1，5），B（3，﹣3）的中点坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（2，﹣4）D．（﹣2，1）2．（4分）点（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是（）A．B．C．D．3．（4分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．104．（4分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B． C． D．6．（4分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=3 B．（x+2）2+（y﹣1）2=3 C．（x﹣2）2+（y+1）2=9 D．（x+2）2+（y﹣1）2=37．（4分）圆x2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．随a值变化而变化8．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（）A．[﹣，0] B．C．[﹣] D．[﹣，0]二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．10．（4分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为．11．（4分）经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是．12．（4分）从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为．13．（4分）已知点A（1，﹣1），点B（3，5），点P是直线y=x上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标是．14．（4分）集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是．三、解答题，本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知两条直线l1：2x﹣y+1=0，l2：ax+y+2=0，点P（3，1）．（Ⅰ）直线l过点P，且与直线l1垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l1与直线l2平行，求a的值；（Ⅲ）点P到直线l2距离为3，求a的值．16．（10分）已知圆M的圆心为（5，0），且经过点（3，），过坐标原点作圆M的切线l．（1）求圆M的方程；（2）求直线l的方程．17．（10分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）点A （﹣1，5），B （3，﹣3）的中点坐标为（）A ． （1，﹣1）B ． （1，1）C ． （2，﹣4）D ． （﹣2，1）考点： 中点坐标公式．专题： 直线与圆．分析： 利用中点坐标公式即可得出．解答： 解：∵点A （﹣1，5），B （3，﹣3），∴线段AB 的中点坐标为，即为（1，1）．故选：B ．点评： 本题考查了中点坐标公式，属于基础题．2．（4分）点（1，﹣1）到直线x ﹣y+1=0的距离是（）A ．B ．C ．D ．考点： 点到直线的距离公式．专题： 计算题．分析： 应用到直线的距离公式直接求解即可．解答： 解：点（1，﹣1）到直线x ﹣y+1=0的距离是：= 故选D ．点评： 本题考查点到直线的距离公式，是基础题．3．（4分）已知过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y ﹣1=0平行，则m 的值为（）A ． 0B ． ﹣8C ． 2D ． 10考点： 斜率的计算公式．专题： 计算题．分析： 因为过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x+y ﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答： 解：∵直线2x+y ﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A （﹣2，m ）和B （m ，4）的直线的斜率K 也是﹣2，∴=﹣2，解得 ，故选 B ．点评： 本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．4．（4分）两直线3x+y ﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式解出m=2．再将两条直线化成x、y 的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．解答：解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d===．故选：D点评：本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B． C． D．考点：确定直线位置的几何要素．专题：数形结合．分析：本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．解答：解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．点评：本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．6．（4分）以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=3 B．（x+2）2+（y﹣1）2=3 C．（x﹣2）2+（y+1）2=9 D．（x+2）2+（y﹣1）2=3考点：直线与圆的位置关系．分析：求出半径即可求得圆的方程．解答：解：r==3，所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，求圆的方程，是基础题．7．（4分）圆x2+y2﹣2x=3与直线y=ax+1的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．随a值变化而变化考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；转化思想．分析：把圆的方程整理成标准方程，求得圆心和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离的表达式，利用不等式的性质可比较出＜2，进而推断出直线与圆相交，故可知交点为2个．解答：解：整理圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为（）2﹣4=，对于y=3a2﹣2a+3，△=4﹣36＜0∴3a2﹣2a+3＞0，∴（）2﹣4＜0∴（）2＜4即＜2∴直线与圆相交，即交点有2个．故选C点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质．判断直线与圆的位置关系时，一般是看圆心到直线的距离与半径的大小的比较．8．（4分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（）A．[﹣，0] B．C．[﹣] D．[﹣，0]考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．专题：压轴题．分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．解答：解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．点评：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．解答：解：由x+y+1=0，得，∴直线x+y+1=0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．10．（4分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为x﹣y+2=0．考点：圆的切线方程．专题：计算题．分析：求出圆的圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率，然后求出切线的斜率，解出切线方程．解答：解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标是（2，0），所以切点与圆心连线的斜率：=﹣，所以切线的斜率为：，切线方程为：y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．点评：本题是基础题，考查圆的切线方程的求法，求出切线的斜率解题的关键，考查计算能力．11．（4分）经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是2x﹣y﹣7=0．考点：直线的两点式方程；直线的点斜式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：联立两直线方程，求解交点坐标，然后代入直线方程的点斜式得答案．解答：解：联立，解得．∴两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点为（3，﹣1），∴经过两条直线3x+4y﹣5=0和3x﹣4y﹣13=0的交点，且斜率为2的直线方程是y+1=2（x ﹣3），即2x﹣y﹣7=0．故答案为：2x﹣y﹣7=0．点评：本题考查了直线方程的点斜式，考查了二元一次方程组的解法，是基础题．12．（4分）从原点向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：根据圆的标准方程求出圆心C的坐标和半径r，设这两条切线的夹角的大小为2θ，利用直线和圆相切的性质求得sinθ=的值，从而求得θ的值，由此可得结论．解答：解：圆x2+y2﹣12y+27=0，即 x2+（y﹣6）2=9，表示以C（0，6）为圆心，半径r=3的圆．设这两条切线的夹角的大小为2θ，其中θ为锐角，则由圆的切线性质可得sinθ==，所以θ=，故这两条切线的夹角的大小为2×=，故答案为：．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，根据三角函数的值求角，属于基础题．13．（4分）已知点A（1，﹣1），点B（3，5），点P是直线y=x上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标是（2，2）．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：根据图形可知，当P运动到直线y=x与直线AB的交点Q时，|PA|+|PB|的值最小时，所以利用A和B的坐标求出直线AB的方程，与y=x联立即可求出交点的坐标即为P的坐标．解答：解：连接AB与直线y=x交于点Q，则当P点移动到Q点位置时，|PA|+|PB|的值最小．直线AB的方程为y﹣5=（x﹣3），即3x﹣y﹣4=0．解方程组，得．于是当|PA|+|PB|的值最小时，点P的坐标为（2，2）．故答案为：（2，2）点评：此题考查学生会根据两点坐标写出直线的方程，会求两直线的交点坐标，是一道中档题．14．（4分）集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是3或7．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，而集合B 的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．解答：解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R﹣r；根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7故答案为3或7点评：考查学生运用两圆位置关系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含关系的判断即应用能力．三、解答题，本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知两条直线l1：2x﹣y+1=0，l2：ax+y+2=0，点P（3，1）．（Ⅰ）直线l过点P，且与直线l1垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l1与直线l2平行，求a的值；（Ⅲ）点P到直线l2距离为3，求a的值．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用直线与直线垂直的性质求解．（Ⅱ）利用直线与直线平行的性质求解．（Ⅲ）利用点到直线的距离公式求解．解答：解：（Ⅰ）∵直线l过点P，且与直线l1垂直，∴设直线l的方程为x+2y+c=0，把P（3，1）代入，得：3+2+c=0，解得c=﹣5，∴直线l的方程为：x+2y﹣5=0．（Ⅱ）∵直线l1与直线l2平行，∴，解得a=﹣2．（Ⅲ）∵点P到直线l2距离为3，∴=3，解得a=1．点评：本题考查直线方程和实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系和点到直线的距离公式的合理运用．16．（10分）已知圆M的圆心为（5，0），且经过点（3，），过坐标原点作圆M的切线l．（1）求圆M的方程；（2）求直线l的方程．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）求出半径，然后求出圆M的标准方程；（2）设出直线方程，利用直线与圆相切求出k即可求出直线方程．解答：解：（1）点（3，）到圆心（5，0）的距离为圆的半径R，所以R==3..（2分）所以圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9..（4分）（2）设切线方程为y=kx，与圆M方程联立方程组有唯一解，即：（1+k2）x2﹣10x+16=0有唯一解..（6分）所以：△=100﹣64（1+k2）=0，即：k=±所以所求切线方程为y=±x．点评：本题是基础题，考查直线的切线方程，圆的标准方程，考查计算能力，常考题型．17．（10分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．考点：直线和圆的方程的应用．分析：联立方程，设出交点，利用韦达定理，表示出P、Q的坐标关系，由于OP⊥OQ，所以k OP•k OQ=﹣1，问题可解．解答：解：将x=3﹣2y代入方程x2+y2+x﹣6y+m=0，得5y2﹣20y+12+m=0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=．∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0．而x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，∴x1x2=9﹣6（y1+y2）+4y1y2．∴m=3，此时△＞0，圆心坐标为（﹣，3），半径r=．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，解题方法是设而不求，简化运算，是常考点．18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．所以实数a 的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l 的斜率为，l 的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．11。
上海市徐汇区2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题含解析
若 CH 面 OAHB ， HA, HB 面 OAHB ，则 CH HA,CH HB ，
过
H
作
HA
a,
HB
b
，
OA
在
a
上，
OB
在
b
上，
OA,
OB
面
OAHB
，
则 CH
OA,CH
OB
，即 CH
a,CH
b ，
又 HA CH H , HA,CH 面 CHA ，则 a 面 CHA ，即 OA 面 CHA ，
由 CA 面 CHA ，故 OA CA ，同理证 OB CB ，
又 cos AOH OA OH
2 2
， cos COH
OH OC
， cos COB
OB OC
32 10
，
所以 cos COH
cos COB
3
，即 sin COH
4
，
cos AOH 5
5
而 ma
nb 表示面 OAHB
上的任意点，要使
a
6,1,
m
与向量
b
2,
n,1
平行，
所以
a
b
，则
6 2 1 n m
，解得
3
n
1 3
m 3
，所以
m
n
1，
故答案为：1.
9. 已知事件 A 与 B 互斥，它们都不发生的概率是 1 .且 P A 3P B ，则 P A ______. 5 【答案】 2 ## 0.4
5
【解析】
数是______.
241
【答案】120.5##
2
【解析】
上海高二高中数学月考试卷带答案解析
上海高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.双曲线的渐近线方程为．2.计算（为虚数单位）．3.过点且与直线垂直的直线方程为．4.若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是．5.设直角三角形的两直角边，，则它绕旋转一周得到的旋转体的体积为．6.已知球的半径为，是球面上两点，，则两点的球面距离为 .7.过点的抛物线的标准方程是．8.若一个球的体积为，则它的表面积等于．9.在空间四边形中，分别是的中点，当对角线满足时，四边形的形状是菱形．10.若双曲线与圆恰有三个不同的公共点，则．11.在下列命题中，所有正确命题的序号是．①三点确定一个平面；②两个不同的平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；③过高的中点且平行于底面的平面截一棱锥，把棱锥分成上下两部分的体积之比为；④平行圆锥轴的截面是一个等腰三角形．12.如图，设线段的长度为1，端点在边长为2的正方形的四边上滑动．当沿着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若围成的面积为，则．13.如图，设边长为1的正方形纸片，以为圆心，为半径画圆弧，裁剪的扇形围成一个圆锥的侧面，余下的部分裁剪出它的底面．当圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径．14.如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为．二、选择题1.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.若直线与圆相切，则的值为（）A．B．C．D．或3.在棱长为的正方体中，错误的是（）A．直线和直线所成角的大小为B．直线平面C．二面角的大小是D．直线到平面的距离为4.如图，设正方体的棱长为，是底面上的动点，是线段上的动点，且四面体的体积为，则的轨迹为（）三、解答题1.在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为．又直线的一个方向向量且过点，与交于两点，求的长．2.设是方程的一个根．（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求．3.设正四棱锥的侧面积为，若．（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小．4.定义：设分别为曲线和上的点，把两点距离的最小值称为曲线到的距离．（1）求曲线到直线的距离；（2）若曲线到直线的距离为，求实数的值；（3）求圆到曲线的距离．5.如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点．（1）当，时，设，求的值；（2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由；（3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．上海高二高中数学月考试卷答案及解析一、填空题1.双曲线的渐近线方程为．【答案】【解析】根据题意,由于双曲线中a=1,b=2,则可知渐近线方程为故答案为【考点】双曲线的渐近线点评：主要是考查了双曲线的渐近线的求解,属于基础题.2.计算（为虚数单位）．【答案】【解析】根据题意,由于,故可知答案为.【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算,属于基础题3.过点且与直线垂直的直线方程为．【答案】【解析】根据题意,由于过点且与直线垂直的直线的斜率为2,则由点斜式方程可知为,故答案为.【考点】直线方程点评：主要是考查了直线方程的求解,属于基础题.4.若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是．【答案】【解析】根据题意,由于圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的底面积为,故可知答案为.【考点】圆柱的全面积点评：主要是考查了圆柱的表面积的计算,属于基础题.5.设直角三角形的两直角边，，则它绕旋转一周得到的旋转体的体积为．【答案】【解析】根据题意,由于直角三角形的两直角边，，则它绕旋转一周得到的旋转体为圆锥,底面的半径为4,高为3,那么可知圆锥的体积为,故可知答案为【考点】圆锥的体积点评：主要是考查了圆锥的体积的运算,属于基础题.6.已知球的半径为，是球面上两点，，则两点的球面距离为 .【答案】【解析】根据题意,由于球的半径为，是球面上两点，，则AB两点的球面距离即为AB两点在大圆之间的弧长故为l=,故可知答案为球面距离【考点】主要是考查了两点之间的球面距离的求解,属于基础题.点评：7.过点的抛物线的标准方程是．【答案】或【解析】根据题意，由于过点过点，可知抛物线的开口向右或者向上，故可知方程为或,将点代入得到=1，故可知抛物线的方程为或【考点】抛物线的方程点评：主要是考查了抛物线的方程的求解，属于基础题。
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高二数学月考试卷
班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿
一、填空题：（4×10）
1、若l =βα ，α∈A ，β∈A ，则A 与l 的位置关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（βα,为平面，l 为直线，A 为点）
2、第1题用文字叙述则为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，即为公理2
3、两两相交的三条直线可以确定＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿个平面
4、异面直线b a ,所成角为θ，则θ的大小范围是＿＿＿＿＿＿＿
5、一条直线与两条异面直线相交，可以确定＿＿＿＿＿＿＿个平面
6、若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则直线b a ,的位置关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿
7、空间5个点，有且仅有其中3个点在一直线上，则它们能确定的平面个数最多为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8、b a ,为夹在两个平行平面间的线段，若b a =，则b a ,线段所在直线的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
9、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，直线AM 与CN 所成角的余弦是＿＿＿＿＿＿＿
10、若异面直线b a ,所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是65°的直线有且仅有＿＿＿＿＿条
二、选择题：（4×4）
1、两条异面直线是指（ ）
A 、不在一个平面内的两条直线
B 、没有公共点的两条直线
C 、分别在两个平面内又不平行的直线
D 、既不平行，又不相交的两条直线
2、下列条件中，能且只能确定一个平面的条件是（ ）
A 、空间三个点
B 、三条直线中的一条与其余两条分别相交
C 、一个点与一直线
D 、三条平行线与第四条直线都相交
3、βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（ ）
A 、直线l ∥α，l ∥β
B 、α内不共线的三点到β的距离都相等
C 、l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β
D 、l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β
4、如图所示是一个正方体的展开图，在原正方
体中，有命题：①AB 与EF 所在直线平行，②AB 与
CD 所在直线异面，③MN 与BF 所在直线成60°角，
④MN 与CD 所在直线互相垂直。
其中正确命题的序号
是（ ）
A 、①②
B 、①③
C 、②③
D 、②④
三、解答题：（6×2＋8×4）
1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中作出过P 、Q 、R
三点的截面（保留作图轨迹）
2、叙述直线与平面平行的判定定理，并用反证法加以证明。
3、已知空间四边形ABCD中，BC＝AD，M、N
分别为AB，CD的中点
求证：AD与MN所成角等于BC与MN所成角
4、ABCD－A1B1C1D1为一正方体，E、F分别为BB1，DC的中点，求AE与D1F所成角
5、ABCD－A1B1C1D1为正方体，B1E1＝D1F1＝
41
1B
A
，求BE1与DF1所成的角的余弦值
6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N为AA1和BB1 的三等分点，若θ为直线CM与D1N所成角，求θ
tg。