北京市高二下学期数学月考试卷A卷
北京市2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷含答案
故选：B
5. 若 x
3
n 的展开式中各项系数之和为 128 ，则展开式中 x2 的系数为（
）
3 x2
A. 2835
B. 945
C. 2835
D. 945
【答案】D
【解析】
【分析】根据赋值法求系数和得 n 7 ，即可根据展开式的通项公式求解.
【详解】令 x 1 ，得 2n 128 ，得 n 7 ，
由于
7 3
23 7
，故数列 an1
2an 不为等比数列，B
错误；
n 3 时， an 2an1 3an2 ，即 an an1 3 an1 an2 ，
又 a1 a2 1 1 2 ，
故an1 an 为等比数列，首项为 2，公比为 3，
故 an1 an 2 3n1 ，
故 a2 a1 2 ， a4 a3 2 32 ，……， a40 a39 2 338 ，
故选：C
4. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 3n 1，则 a5 （ ）
A. 81
B. 162
C. 243
【答案】B
【解析】
D. 486
【分析】根据给定条件，利用 an Sn Sn1(n 2) 列式计算即得.
【详解】数列 an 的前 n 项和为 Sn 3n 1 ，所以 a5 S5 S4 35 34 162 .
案.
【详解】若从 0，1，2，3，4 中选出 3 个数中没有 0，
则组成各位数字不重复
的三位偶数有
A12A
2 3
12
个；
若从 0，1，2，3，4 中选出 3 个数中有 0，且 0 排在个位，
则组成各位数字不重复的三位偶数有 A24 12 个；
2023-2024学年北京市高二下册统练3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市高二下册统练3月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2Z 9,2A x x B x x =∈≤=>-，则A B = （）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{1,0,1,2,3}-D ．{}23x x -<≤【正确答案】C【分析】先求出集合A 中的元素，再根据集合的交集运算，求得答案.【详解】集合{}{}{}2Z 9Z 333,2,1,0,1,2,3A x x x x =∈≤=∈-≤≤=---，而{}2B x x =>-，故{1,0,1,2,3}A B =- ，故选：C2．已知复数2i 1iz a =+-，其所对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(1,+)∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【正确答案】D【分析】先对复数z 化简，再由其对应的点在第四象限，列不等式可求出a 的取值范围【详解】解：因为22(1)11(1)1(1)(1)i z ai ai ai i a i i i i +=+=+=++=++--+，所以复数z 在复平面对应的点为(1,1)a +，因为复数z 在复平面对应的点在第四象限，所以10a +<，得1a <-，故选：D3．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度【正确答案】B【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.【详解】ππsin 2sin236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴只需将sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度即可.故选：B.4．对任意向量a ､b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．()22a ba b +=+ B ．()()22a b a b a b⋅=+-- C ．a b a b ⋅≤⋅ D ．a b a b -≤-【正确答案】D根据向量的平方即为模的平方．即可判断A ；运用平方差公式和向量数量积的性质，即可判断B ；运用向量数量积的定义，即可判断C ；运用向量模的性质，即可判断D.【详解】A ，由模的平方等于向量的平方知()22a ba b +=+恒成立，故正确；B ，由平方差公式知()()22a b a b a b ⋅=+-- 恒成立，故正确；C ，cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅≤⋅恒成立，故正确；D ，当,a b →→不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知，a b a b ->-，故a b a b -≤- 不恒成立，故D 错误.故选：D5．在ABC 中，2a =，6A π=，则“3B π=”是“b =的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：在ABC 中，2a =，6A π=，当3B π=时，由正弦定理可得2sinsin63b ππ=，22sin213sin62b ππ=⨯==当b =2πsin sin6B =，sin 2B =，因为5(0,)6B π∈，所以3B π=或23B π=，所以“3B π=”是“b =的充分而不必要条件，故选：A6．若直线2y x =与双曲线:C 22221x ya b-=无公共点，则双曲线C 的离心率可能是（）AB ．1C ．2D ．【正确答案】C【分析】由直线与双曲线的位置关系求得,a b 的不等关系，由此变形可得离心率范围，得到正确选项．【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，直线2y x =与双曲线无公共点，则2b a ≤，22224a b c a ≥=-，225c a≤，即c e a =≤，所以e ∈．故选：C ．7．“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A ．29B ．30C ．58D ．59【正确答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=．故选：B ．8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知18a =，41a =-，则数列{}n S （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【正确答案】A【分析】求出公比q ，求出n S ，然后分析{}n S 的性质．【详解】设公比为q ，则34118a q a ==-，12q =-，11812(1)1611113212n nnn a q S q ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===--⎢⎥ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为偶数时，161132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，是增函数，即246163S S S <<<< ，当n 为奇数时，161132n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是减函数，即135163S S S >>>> ，所以{}n S 有最大项为1S ，最小项为2S ．故选：A ．关键点点睛：本题考查等比数列的前n 项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得通项公式n S 后按奇偶数分类，得出奇数递减，偶数项递增，但所有奇数项比163大，所有偶数项比163小，这样易确定最值．9．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，(2,1)B ，(2,2)C ，P 是圆22:(4)2M x y +-=上一点，Q 是ABC 边上一点，则OP OQ ⋅的最大值是（）A．B ．12C．D ．16【正确答案】B【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1212OP OQ x x y y ⋅=+，因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，【详解】解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122(,),(,)OP x y OQ x y ==，所以1212OP OQ x x y y ⋅=+，因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，所以问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，因为点(,)P x y 在圆M 上，设点(,)P x y 所在的直线l 为x y t +=，因为直线l 与圆M 有公共点，≤所以42t -≤，解得26t ≤≤，即1126x y ≤+≤，所以1142()12x y ≤+≤，所以OP OQ ⋅的最大值是12，故选：B关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +-=上，求11x y +的最大值，然后利用直线与圆的位置关系求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是该正方体棱上一点.若满足()10PB PC m m +=>的点的个数为4，则m 的取值范围是（）A ．⎡⎤⎣⎦B ．4,2⎡+⎣C ．⎡⎣D ．2⎡+⎣【正确答案】B先求得正方体的8个顶点到1,B C 两点的距离之和，进而得到得到在棱上的运动时m 的取值范围，然后再根据点的个数为4取交集即可.【详解】如图所示：因为顶点1,C B 到1,B C两点的距离之和分别为111114,4,CB CC B B B C BC +=+==所以当点P 分别在棱1111,,,BB BC CC B C 上运动时，m的取值范围是4]；因为顶点1,A D ，到1,B C两点的距离之和分别为：1111122AB AC D B D C BC +=++=+=所以当点P 分别在棱11,C D AB 上运动时，m的取值范围是2+；因为顶点11,,,A B C D 到1,B C两点的距离之和分别为：111A B AC +=，1114B B B C +=，14CB CC +=，1DB DC +=，所以当点P 分别在棱11,A B CD 上运动时，m的取值范围是；因为顶点11,,,A A D D 到1,B C两点的距离之和分别为：111A B AC +=，1DB DC +=，111122AB AC D B D C +=++=+所以当点P 分别在棱1111,,,A D DD AD AA 上运动时，m的取值范围是[2+.由几何直观可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，所以当1||(0)PB PC m m +=>的点P 的个数为4时，则m的取值范围是[4,2+，故选：B二、填空题11．已知向量(,1)a m = ，(3,)b m = ，若a 与b方向相反，则m 等于___________.【正确答案】【分析】由题意可设(0)a b λλ=< ，从而可得31m m λλ=⎧⎨=⎩，进而可求出m 的值【详解】解：由于a 与b方向相反，所以设(0)a b λλ=< ，所以(,1)(3,)m m λ=，则31m m λλ=⎧⎨=⎩，解得3m λ⎧=⎪⎨⎪=⎩或3m λ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去），所以m =故12．过抛物线22y px =(0p >)的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A ､B 两点，且||4AB =，则p =___________.【正确答案】2根据抛物线的焦半径公式表示出AB ，再根据AB 4=可直接求解出p 的值.【详解】设抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由条件可知2A B F p x x x ===，所以222A B p pAB AF BF x x p =+=+++=，又AB 4=，所以2p =，故答案为.2结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.13．已知(0,)απ∈，且有12sin 2cos2αα-=，则cos α=___________.【正确答案】5运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 55αααα+=⇒=⇒=±，而π(0,)2α∈，因此cos 5α=.14．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是______________．【正确答案】【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夹角．设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR ，∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，∵πR=2πr ，∴R ：r=2：1，所以母线与底面夹角为60︒．圆锥的计算．15．对于定义域为R 的函数()y g x =，设关于x 的方程()g x t =，对任意的实数t 总有有限个根，记根的个数为()g f t ，给出下列命题：①存在函数()y g x =满足：()0>g f t ，且()y g x =有最小值；②设()()||=h x g x ，若()()=h g f t f t ，则()0g x ≥；③若()1=g f t ，则()y g x =为单调函数；④设()()()h x g x a a R =+∈，则()()=g h f t f t ．其中所有正确命题的序号为__________．【正确答案】②④【分析】根据方程()g x t =实数根的个数分析函数性质．①用反证法判断，②利用()h x t =和()g x t =的解的个数相同，可判断，③举一反例，设,0()1,0x x g x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，可判断，④利用图象平移可说明判断．【详解】①若()g x 有最小值，则存在实数m ，使得()g x m ≥，则当<t m 时，()g x t =无实数根，即()0g f t =与()0g f t >矛盾，①错；②()()0h x g x =≥，故当0t <时，()h x t =无实数根，()0h f t =，所以()0g f t =，所以()g x t =无实数根，则()0g x ≥．②正确；③设,0()1,0x x g x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，易知对任意的实数t ，()g x t =有且只有一个根，所以()1g f t =，但()g x 不是单调函数，③错误；④()()h x g x a =+，()h x 为()g x 向左平移a 个单位所得图象对应的函数（a<0时，表示向右平移a 个单位），因此()h x t =和()g x t =的解的个数相等，所以()()h g f t f t =，④正确．故②④.关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是理解新定义()g f t 的意义，根据新定义问题()g f t 转化为方程()g x t =解的个数．这样我们或兴例说明，或通过()g x t =的解的个数确定函数的性质，完成求解．三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，2PA AD CD ===，点E 为PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）求二面角E CD A --的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，则结合已知条件可证得四边形AFCD 是正方形，可得AB CF ⊥，AC BC ==BC AC ⊥，而由已知可得PA BC ⊥，从而得BC ⊥平面PAC ，从而由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）由已知可得,,PA AD AB 两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，然后利用空间向量求解二面角E CD A --的余弦值【详解】解：（1）.取AB 的中点F ，连接CF ，所以AF CD =，又因为//AF CD ，所以四边形AFCD 是平行四边形.因为AB AD ⊥，AD CD =，所以四边形AFCD 是正方形，则AB CF ⊥，2CF AD ==，所以AC BC ==，得到222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为PA AC A = ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⊥平面PAC .（2）.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，则,,PA AD AB 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,1)E ，所以(0,2,0)DC = ，(2,0,1)CE =-.设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =，所以0n DC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以20,20,y x z =⎧⎨-+=⎩即0,2,y z x =⎧⎨=⎩令1x =，则2z =，所以平面CDE 的法向量为(1,0,2)n =，又因为平面ACD 的法向量(0,0,1)m =，所以cos ,⋅==⋅m n m n m n，由已知，二面角E CD A --为锐角，所以二面角E CD A --.关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是建立正确的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题17．已知函数()4sincos((0)223xxf x m ωωωπ=-+>.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m 值的两个条件作为已知.(1)求(3f π的值；(2)若函数()f x 在区间[0,]a 上是增函数，求实数a 的最大值.条件①：()f x 最小正周期为π；条件②：()f x 最大值与最小值之和为0；条件③.(0)2f =注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】答案见解析【分析】利用三角函数恒等变换公式把函数()f x 化简成π()2sin()33f x x m ω=-+，选择①②，利用①、②分别求出ω和m ，进而求()3f π和()f x 的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择①③，利用①、③分别求出ω和m ，进而求()3f π和()f x 的递增区间即可问答问题(1)(2)；选择②③，利用②、③都只能求出m 不能求出ω.【详解】13()4sin(cos sin )2222xx xf x m ωωω=⋅++22sin cos 3sin 222x x x m ωωω=++sin 3(1cos )x x m ωω=-+sin 3cos 3x x m ωω=-+π2sin()33x m ω=-+.选择条件①②：(1)由条件①得，2||T ππω==，又因为0ω>，所以2ω=，由②知，(23)(23)0m m ++-=，所以3m =，则()f x π2sin(2)3x =-，所以π2πππ()2sin(2sin 33333f =-=(2)令222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，所以π5πππ ()1212k x k k Z ≤≤-++∈，所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈，因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =，所以512a π≤，故实数a 的最大值为512π.选择条件①③：(1)由条件①得，2||T ππω==，又因为0ω>，所以2=ω，由③知，π(0)2sin()23f m =-+=，所以2m =，则()f x π2sin(2)23x =-++，所以ππ()2sin 33f ==；(2)令222()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，所以π5πππ ()1212k x k k Z ≤≤-++∈，所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k ππππ-++∈Z ，因为函数()f x 在[0,]a 上单调递增，且π5π0[,]1212∈-，此时0k =，所以512a π≤，故实数a 的最大值为512π.说明：不可以选择条件②③：由②知，(2)(2)0m m ++-=，所以m =；由③知，π(0)2sin()23f m =-+=，所以2m =；矛盾.所以函数()f x 不能同时满足条件②和③.涉及正余弦型函数性质(单调性、周期性、对称性、最值等)的三角函数式问题，正确利用三角函数恒等变换公式化成()sin()f x A x b ωϕ=++的形式是解决问题的关键.18．某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区.经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠= ，120BCD ∠= .（1）若105ADC ∠=o ，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.【正确答案】（1）16米；（2）63米.【分析】（1）连接BD ，可知ABD △是等边三角形，可得出20BD =，求出BDC ∠的值，利用正弦定理可求得BC 的长；（2）设ADC θ∠=，利用正弦定理得出3BC πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而可得出围成该区域所需板材的长度关于θ的表达式，利用正弦函数的有界性可求得结果.【详解】（1）连接BD ，由题意ABD △是等边三角形，所以20BD =，又因为105ADC ∠=o ，所以45BDC ∠= ，在BCD △中，sin sin BC BDBDC C=∠∠，得20sin 45216sin1203BD BC ⨯==≈（米）；（2）设ADC θ∠=，则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-，在BCD △中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以sin 33BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，233DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所需板材的长度为()24033f ππθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1140sin cos cos sin 40sin 322223θθθθθ⎫=+-++=+⎪⎪⎝⎭.答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为4063≈（米）.方法点睛：在解决三角形中的最值问题时，常用两种思路：（1）转化为边，利用基本不等式求解；（2）转化为角，利用三角函数的有界性来求解.19．已知椭圆2222:1x y C a b +=()30A -,，()3,0B ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线4x =于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求BMO 与NMO △的面积之比．【正确答案】(1)22193x y +=；(2)4:7.【分析】(1)由已知可得a ，再由离心率求得c ，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)设0(P x ，00)(0)y y ≠，则2200193x y +=，写出PA 所在直线方程，求得E 点坐标，得到直线l的方程，再写出PB 方程求解N 点坐标，把三角形的面积比转化为B 与N 点的横坐标的绝对值之比得答案．【详解】（1）由题意，3a =，又3c e a ==，c ∴=，则b ==∴椭圆C 的方程为22193x y +=；（2）设0(P x ，00)(0)y y ≠，则2200193x y +=．∴直线AP 的方程为00(3)3yy x x =++，取4x =，可得点07(4,)3y E x +，直线BE 的斜率为0000737433y x y x +=-+，∴直线l 的方程为0037x y x y +=-，又直线PB 的方程为0(3)3y y x x =--，联立直线l 与PB 的方程，消去y 得00003(3)73x yx x y x +-=--，∴220000007937(3)3y x y x y x x +-⋅=--，①2200193x y +=，∴220093x y -=-，代入①解得点N 的横坐标214N x =，∴1||||||342121||7||||24B BMO B NMON N OM x S x S x OM x ⋅===⋅△△．故BMO 与NMO △的面积之比为4:7．20．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0,其中>0a .(1)求a 的值;(2)若对任意的[0,+)x ∈∞,有()2f x kx ≤成立,求实数k 的最小值;【正确答案】(1)1；(2)12.【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件即可求出结果；（2）先分析0k ≤时，取1x =，有()1120f ln =->，故0k ≤不合题意；再分析0k >时，构造函数()()()()22ln 10g x f x kx x x kx x =-=-+-≥，对函数求导，分类讨论102k <<和12k ≥，即可求出结果.【详解】(1)()f x 的定义域为(),a -+∞,由()()ln f x x x a =-+，得()111x a f x x a x a+--'==++；由()0f x '>得1x a >-，由()0f x '<得1a x a -<<-，故函数()f x 在()1a a --，上单调递减，在()1a -+∞，上单调递增；因此当1x a =-时，()()min 110f x f a a =-=-=，所有1a =.（2）当0k ≤时，取1x =，有()1120f ln =->，故0k ≤不合题意；当0k >时，设()()()()22ln 10g x f x kx x x kx x =-=-+-≥()()22111211x kx k g x kx x x -+-=--='++，令()0g x '=得0x =或1212k x k -=>-，①当102k <<时，1202k k ->，当12(0,)2k x k -∈时，()0g x '>，因此函数()g x 在12(0,)2kk -上单调递增，因此当012(0,)2k x k-∈时，()()000g x g ≥=，即有()200f x kx ≤不成立，故102k <<不满足题意；②当12k ≥时，1202kk-≤，()0g x '<在(0,+)∞上恒成立，因此()g x 在(0,+)∞上单调递减，从而对任意的[0,+)x ∈∞，有有()2f x kx ≤成立,故12k ≥符合题意；综上，实数k 的最小值为12.本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.21．已知数列012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅.设集合{}(),0,1,2,,0,1,2,,k i A i x k i n k n ===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，如果对任意的整数()0k k n ≤≤都有集合k A 的元素个数等于k x ，则称A 为“完美数列”(1)分别判断数列1:2,0,2,0A 和2:1,2,0,1A 是否为“完美数列”，直接写出结论：(2)若A 是“完美数列”，求证：()01223122n x x x n x n +++⋅⋅⋅++=+；(3)若A 是“完美数列”，且02023x =，求出所有满足条件的数列A .【正确答案】(1)1:2,0,2,0A 为“完美数列”；2:1,2,0,1A 不是“完美数列”(2)证明见解析(3):2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）【分析】（1）根据“完美数列”的定义进行判断即可；（2）根据A 共有1n +个元素，结合“完美数列”的定义可得0121n x x x x n +++⋅⋅⋅+=+；又A 中各元素之和为123231n x x x nx n +++⋅⋅⋅+=+，加和即可证得结论；（3）根据02023x =可确定2024n ≥，依次分析2024,2025,2026n =的情况，结合0121n x x x x n +++⋅⋅⋅+=+可确定2026n =时存在满足题意的数列；当2027n ≥时，在20231x =和20232x =的情况下，利用1A 的定义可说明不合题意，由此可得最终结论.【详解】（1）对于数列2,0,2,0，则02x =，10x =，22x =，30x =，当0k =时，{}0,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为02x =；当1k =时，{}1,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为10x =；当2k =时，{}2,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为22x =；当3k =时，{}3,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为30x =；1:2,0,2,0A ∴为“完美数列”；对于数列1,2,0,1，则01x =，12x =，20x =，31x =，当0k =时，{}0,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为01x =；当1k =时，{}1,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为12x =；当2k =时，{}2,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为21x ≠；当3k =时，{}3,0,1,2,3i i x i ==的元素个数为30x ≠；2:1,2,0,1A ∴不是“完美数列”.（2）若A 是“完美数列”，则{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为0x ，{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为1x ，{}22,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为2x ，……，{},0,1,2,,n i A i x n i n ===⋅⋅⋅的元素个数为n x ，012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅ 共有1n +个元素，0121n x x x x n ∴+++⋅⋅⋅+=+，又12323n x x x nx +++⋅⋅⋅+表示数列A 各项的和，123012231n n x x x nx x x x x n ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+，()()()01212301223123n n n x x x n x x x x nx x x x x ∴+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=()2122n n +=+.（3）若012:,,,,n A x x x x ⋅⋅⋅是“完美数列”，当2023n ≤时，{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为02023x =，此时A 中含有2023个等于0的项，则2023n >，与2023n ≤矛盾，不合题意；当2024n ≥时，{}00,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为02023x =，此时A 中含有2023个等于0的项，则{}20232023,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为20231x ≥，①当2024n =时，012202320242025x x x x x +++⋅⋅⋅++=，12202320242x x x x ∴++⋅⋅⋅++=，又20230x ≠，A 中含有2023个等于0的项，12202220240x x x x ∴==⋅⋅⋅===，20232x =，此时{}22,0,1,2,,2024i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为21x ≠，不合题意；②当2025n =时，0122023202420252026x x x x x x +++⋅⋅⋅+++=，122023202420253x x x x x ∴++⋅⋅⋅+++=，又A 中含有2023个等于0的项，则有20233p x x +=且0p x ≠，若20231x =，则2p x =，此时{}11,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为11x ≠，不合题意；若20232x =，则1p x =，若2p ≠，此时{}22,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数21x ≠，不合题意；若2p =，此时{}11,0,1,2,,2025i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数11x ≠，不合题意；③当2026n =时，01220232024202520262027x x x x x x x +++⋅⋅⋅++++=，1220232024202520264x x x x x x ∴++⋅⋅⋅++++=，又A 中含有2023个等于0的项，则有20234p q x x x ++=不为0，且0p x ≠，0q x ≠；若20231x =，则3p q x x +=，可令1p x =，2q x =，此时{}11,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为2，{}22,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为1，则12x =，21x =，即:2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）满足题意；若20232x =，则2p q x x +=，则1p q x x ==，此时{}11,0,1,2,,2026i A i x i ===⋅⋅⋅的元素个数为12x ≠，不合题意；④当2027n ≥时，012202320241n x x x x x x n +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=+，12202320242022n x x x x x n ∴++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=-，又A 中含有2023个等于0的项，则有20232022p q r x x x x n ++⋅⋅⋅++=-，且,,,p q r x x x ⋅⋅⋅均不为0，若20231x =，则存在2m x =，其余各项均为1，此时{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为12024n x -≠，不合题意；若20232x =，则p q r x x x ==⋅⋅⋅=，此时{}11,0,1,2,,i A i x i n ===⋅⋅⋅的元素个数为12024n x -≠，不合题意；综上所述：:2023,2,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,0A ⋅⋅⋅（共2023个0）.关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题的求解，本题解题关键是能够充分理解“完美数列”的定义，结合“完美数列”中各项之和来分析确定数列中的各项所有可能的结果，从而得到符合题意的“完美数列”.。
2023-2024学年全国高中高二下数学人教A版月考试卷(含解析)
2023-2024学年全国高二下数学月考试卷考试总分：45 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 若复数满足，则复数的实部与虚部之差为( )A.B.C.D.2. 如图，函数的图象在点处的切线是，则等于( )A.B.C.D.3. 下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )A.B.C.z (1+i)z =3−2i z 3−32−2y =f(x)P l f(2)+(2)f ′12−2−4y =x 2π4(0,0)(2,4)(，)1214，)11D.4. 设，则“”是“”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 函数的极值点是（ ）A.B.C.或或D.6. 某一次乒乓球赛的参赛队共有小组，每小组队．首先每小组中各队进行单循环比赛（即每两队比赛一次），然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）7. （5分） 若展开式的各项系数之和为，其展开式中的常数项为________（用数字作答）．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）8. 随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了名用户进行调查，得到如下数据：(，)14116x ∈R 1<x <2|x −2|<1()f(x)=(−1+2x 2)3x=2x=0x=1−10x=−15315202530(+x 21x3)n 32100如果认为每周使用超过次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下，认为是否喜欢骑行共享单车与性别有关？每周骑行共享单车次及次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取名用户，对抽出的女性“骑行达人”每人奖励元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望．附：下面的临界值表仅供参考．（参考公式，其中 9. 如图，在四棱锥中，，为等边三角形，且平面平面为中点.求证：平面；求二面角的正弦值.(1)32×20.05(2)664500X X =K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d)P −ABCD AB//CD ，∠BCD =90∘AB =2BC =2CD =4，△PABPAB ⊥ABCD ，Q PB (1)AQ ⊥PBC (2)B −PC −D参考答案与试题解析2023-2024学年全国高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：因为复数满足，所以，所以复数的实部与虚部之差为．故选．2.【答案】A【考点】导数的几何意义导数的运算【解析】本题根据导数的基本运算结合函数图象可计算出的式子，进而可求出的式子，即可求得结果．【解答】解：由图象可知，函数的图象在点处的切线是，且与轴交于，与轴交于，可知，z (1+i)z =3−2i z ==−i 3−2i 1+i 1252z −(−)=31252A f'(x)y =f(X)y =f(x)P l l x (4,0)y (0,4)l :x +y =4f(2)=2(2)=−1f ′∴，，∴代入则可得.故选．3.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线的倾斜角【解析】利用导数的几何意义，求切线导数，利用倾斜角和斜率之间的关系进行求解．【解答】解：函数的导数为．因为切线的倾斜角为，所以切线的斜率，即，所以，解得．当时，．即切点为．故选.4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，则，即.若，则成立，而，则不一定成立，f(2)=2(2)=−1f ′f(2)+f'(2)=1A f (x)=2x ′π4k =tan =1π4f (x)=1′2x =1x =12x =12y =(=12)214(,)1214C x ∈R ，|x −2|<1−1<x −2<11<x <31<x <21<x <31<x <31<x <2∴1<x <2|x −2|<1。
2023-2024学年北京市高二下学期3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年北京市高二下册3月月考数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，则它的公差为A ．2B ．3C ．2-D ．3-【正确答案】C【详解】试题分析：由32n a n =-可得12321,3221a a =-==-⨯=-，所以公差21112d a a =-=--=-．故C 正确．等差数列的定义．2．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若22n S n n =+，则5a =（）A ．-21B ．11C ．27D ．35【正确答案】B【分析】根据n S 与n a 的关系即可求解.【详解】由22n S n n =+得25525=35S =+⨯，24424=24S =+⨯，所以554352411a S S =-=-=,故选：B3．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若q =2，26S =，则3S =（）A ．8B ．12C ．13D ．14【正确答案】D【分析】由等比数列的基本量运算求得1a 后求得3a ，从而易得3S ．【详解】由题意21126S a a =+=，12a =，所以23228a =⨯=，3236814S S a =+=+=．故选：D ．4．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.3P ξ<<=，则()4P ξ>=（）A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【正确答案】D【分析】根据随机变量服从正态分布()22,N σ，求得其图象的对称轴2x =，再根据曲线的对称性，即可求解答案．【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布()22,N σ，所以2μ=，即图象的对称轴为2x =，又由()020.3P ξ<<=，则()240.3P ξ<<=，则()1(04)40.22P P ξξ-<<>==，故选：D ．5．用数学归纳法证明()*1111,12321n n n n ++++<∈>-N 时，第一步应验证不等式（）A ．1122+<B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<【正确答案】B【分析】取2n =即可得到第一步应验证不等式.【详解】由题意得，当2n =时，不等式为111223++<．故选：B ．6．小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）A ．11144B ．112C ．1172D ．16【正确答案】C【分析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出.【详解】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为112，所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为121111C 1121272⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭.故选：C.7．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（）A ．0.4B ．0.8C ．0.2D ．0.5【正确答案】B【分析】记事件:A 小智第一盘获胜，事件:B 小智第二盘获胜，根据题意可得出()P A 、()P AB ，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 小智第一盘获胜，事件:B 小智第二盘获胜，则()0.4=P AB ，()0.5P A =，因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是()()()0.40.80.5P AB P B A P A ===.故选：B.二、多选题8．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则下列命题正确的是（）A ．若10a >，则48S a >B ．若10a >，则84S a ≤C ．若10a <，则48S a >D ．若10a <，则84S a ≤【正确答案】AD【分析】根据题意结合等比中项可得12d a =，再根据等差数列前n 项和结合作差法逐项分析判断.【详解】设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，∵1a ，2a ，5a 成等比数列，则2215a a a =，可得()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =，由0d ≠，则12d a =，则()()11114181467332a d a d a d a a S a a =+-+=-=-=-.对A 、B ：若10a >，即1480S a a =>-，故48S a >，A 正确，B 错误；对C 、D ：若10a <，即1480S a a =<-，故48S a <，D 正确，C 错误；故选：AD.三、填空题9．在等差数列{}n a 中，已知45630a a a ++=，则19a a +=___．【正确答案】20【分析】根据等差数列的下标和性质运算求解.【详解】∵数列{}n a 为等差数列，则4565330a a a a ++==，可得510a =，∴195220a a a +==.故20.10．数列{}n a 中各项均为正数，且()*12102,16n n a a n a a +=∈=N ，则6a ＝___．【正确答案】4【分析】根据等比数列下标和性质运算求解.【详解】∵数列{}n a 中各项均为正数，且()*12n n a a n +=∈N ，则数列{}n a 为等比数列，∴2210616a a a ==，可得64a =或64a =-（舍去）.故4.11．数列{}n a 满足111,31n na a a +==-，则2023a =________．【正确答案】3【分析】根据递推关系求出前几项，可知数列具有周期性，利用周期求解.【详解】由题可知，111,31n na a a +==-，得234111121,,31213231()123a a a a ==-=====----，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，∴20231367413a a a +⨯===．故312．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆ10.5yx a =+，据此模型来预测当20x =时，y 的估计值为___________x24568y2050607080【正确答案】213.5由于回归直线过中心点，所以将中心点坐标代入回归直线方程中求出a ，再把20x =代入方程中可求得结果【详解】解：1(24568)55x =++++=，1(2050607080)565y =++++=，所以中心点为(5,56)，所以5610.55a =⨯+，解得 3.5a =，所以回归直线方程为10.5.5ˆ3yx =+，所以当20x =时，10.520 3.5213.5y =⨯+=，故213.5四、解答题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，29S =，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足32n a n b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．条件①：47a =；条件②.422S =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)*3()n a n n =+∈N ,(2)122n n T +=-【分析】（1）选择条件①：由等差通项公式列出方程，得出数列{}n a 的通项公式；选择条件②：由等差求和公式列出方程，得出得出数列{}n a 的通项公式；（2）由3=22-=n n a n b ，结合等比求和公式得出数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）选择条件①：设公差为d ，因为2=9S ，47a =，所以112937a d a d +=⎧⎨+=⎩解得141a d =⎧⎨=⎩，所以*3()n a n n =+∈N ,.选择条件②：设公差为d ，因为2=9S ，4=22S ，所以11294622a d a d +=⎧⎨+=⎩解得141a d =⎧⎨=⎩，所以*3()n a n n =+∈N ,.（2）因为32n a n b -=，所以3=22-=n na nb 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()()1122122122212n n n n n T b b b +-=++⋅⋅⋅+==-=--14．已知在等比数列{}n a 中,11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】(1)12n n a -=(2)n S 221n n =+-【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2)121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦ ()12112212n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+-.221n n =+-.数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．15．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望()E X.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【正确答案】（1）表格答案见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望.6 5（1）补全列联表，计算出2K后可得结论；（2）由分层抽样得抽取男生2人，女生3人，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.，计算出概率得分布列，由分布列计算期望．【详解】（1）性别科目男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800因为222800(300150250100)(450250)16010.8285502504004005525211K ⨯⨯-⨯-===>⨯⨯⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.所以0323351(0)10C C P X C ===，1233253(1)5C C P X C ===，5122333(2)10C C P X C ===.所以X 的分布列为X 012P11035310所以1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=.答：x 的数学期望为65.16．某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),[90,100] ，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在[80,90)为“良好”,[]90,100为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【正确答案】（1）180人（2）0.1（3）详见解析【分析】（1）根据样本总人数100人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数.（2）由表可用1减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）∵样本中男生有55人,则女生45人∴估计总体中女生人数45400180100⨯=人（2）设“不及格”为事件A ,则“及格”为事件A ∴()1()1(0.20.40.20.1)0.1P A P A =-=-+++=（3）设“样本中“良好”或“优秀””为事件B ,则()0.20.10.3B P =+=依题意可知：~(3,0.3)X B ()300.7P X ==,1123(1)0.30.7P X C ==22133(2)0.30.7,(3)0.3P X C P X ====所以,X 的分布列为X 0123P0.3430.4410.1890.027()30.30.9E X np ==⨯=本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差.。
北京市2019-2020年度高二下学期数学第一次月考试卷A卷
北京市2019-2020年度高二下学期数学第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2018高二下·中山月考) 若集合，，则“ ”的充要条件是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·吕梁月考) 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A . ①是棱台B . ②是圆台C . ③不是棱锥D . ④是棱柱3. （2分） (2016高二下·上海期中) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A .B .C .D .4. （2分）若函数,函数,则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高二上·北京期中) 与共线且满足的向量b=________。
6. （1分） (2018高二上·北京月考) 已知为直线，为平面，有下列三个命题：⑴ ，则；⑵ ，则；⑶ ，则；⑷ ，则；其中正确命题是________7. （1分） (2017高一下·长春期末) 设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是________．8. （1分）空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．9. （1分） (2019高一下·通榆月考) 底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为________cm2.10. （1分） (2018高二上·铜梁月考) 若圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形则圆柱的体积为________.11. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________12. （1分） (2018高一下·百色期末) 圆的圆心到直线的距离为，则 ________．13. （1分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图正方体的棱长为，、、，分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为 .其中正确命题的序号为________.14. （1分）(2018·延安模拟) 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为________．15. （1分）(2018高二下·沈阳期中) 如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为________．16. （1分） (2019高二下·上海月考) 如下图，将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，线长的最小值为________（线粗忽略不计）三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分）(2017·沈阳模拟) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC= AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．18. （5分）(2018·上海) 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2。
2023-2024学年北京师大二附中高二(下)第二次月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年北京师大二附中高二（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若数列−2，a ，b ，c ，−8是等比数列，则实数b 的值为( )A. 4或−4B. −4C. 4D. −52.已知首项为1的数列{a n }中，a n +1=1+1a n ，则a 5=( )A. 53B. 85C. 138D. 23.曲线f(x)=3x 2−e x 在(0,f(0))处的切线方程为( )A. x +y +1=0B. x−y +1=0C. x−y−1=0D. x +y−1=04.在数列{a n }中，a n =1−1a n−1(n ≥2)，若a 1=2，则a 2024=( )A. 2B. 12C. −12D. −15.函数f(x)=lnxx 的单调递增区间是( )A. (−∞,e)B. (0,e)C. (1e ,+∞)D. (e,+∞)6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3+a 4+a 14=6，则S 13=( )A. 14B. 26C. 28D. 327.李明同学进行立定投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为34；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为23，则他第2球投进的概率为( )A. 512B. 23C. 712D. 8128.已知函数f(x)=xsinx ，x ∈R ，则f(π5),f(1),f(π3)的大小关系为( )A. f(π3)>f(1)>f(π5) B. f(1)>f(π3)>f(π5)C. f(π5)>f(1)>f(π3)D. f(π3)>f(π5)>f(1)9.在某电路上有M 、N 两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M 元件的概率为0.3，需要更换N 元件的概率为0.2，则在某次通电后M 、N 有且只有一个需要更换的条件下，M 需要更换的概率是( )A. 1219B. 1519C. 35D. 2510.已知常数k∈(0,1)，数列{a n}满足a n=n⋅k n(n∈N∗).现给出下列四个命题：①当k=1时，数列{a n}为递减数列；2②当0<k<1时，数列{a n}为递减数列；2<k<1时，数列{a n}不一定有最大项；③当12④当k为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．1−k其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ③④C. ②③④D. ②④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市数学高二下学期理数第一次月考试卷A卷
北京市数学高二下学期理数第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·汕头模拟) 已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，则A∩B=（）A . {（1，2）}B . （1，2）C . {1，2}D . {（1，2），（﹣1，﹣2）}2. （2分）已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为（）A . 25B . 50C . 75D . 1003. （2分）设，函数的导函数为，且是奇函数，则a=（）A . -2B . 1C . 2D . -14. （2分）(2017·广西模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A .B .C .D .5. （2分）设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1 ， x2 ， x3 ，且x1＜x2＜x3 ，则（）A . x1＞－1B . x2＜0C . x2＞0D . x3＞26. （2分）(2018·邢台模拟) （）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·广州期中) 曲线y=x与y=x3围成的封闭区域的面积是（）A . 1B .C .D .8. （2分）已知为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为（）A .B .C .D .9. （2分）已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·莆田模拟) 函数f（x）=x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·陕西模拟) 已知函数在处有极值，设函数，且在区间内不单调，则a的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·平罗月考) 定义在上的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·南充模拟) 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点， .若，则的面积的最大值是________．14. （1分） (2017高二下·邢台期末) 曲线f（x）=sin（﹣x）与直线x=﹣，x= ，y=0所围成的平面图形的面积为________．15. （1分）(2020·武汉模拟) 函数f（x）＝xlnx+1在点（e ， e+l）处的切线方程为________．16. （1分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知函数 ,若，且，则的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·湖南模拟) 已知函数f（x）= ，曲线f（x）= 在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直．（注：e为自然对数的底数）（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）求证：当x＞1时，＞．18. （10分） (2017高一下·邢台期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA﹣cosB=2sinBcosC，且角B为钝角．（1）求角C的大小；（2）若a=2，b2+c2﹣a2= bc，求△ABC的面积．19. （10分）(2017·呼和浩特模拟) 已知数列{an}的各项都是正数，它的前n项和为Sn ，满足2Sn=an2+an ，记bn=（﹣1）n ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前2016项的和．20. （10分）(2018·石嘴山模拟) 如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且 .（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.21. （10分） (2019高二上·双流期中) 已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为．（1）求动点M轨迹C的方程；（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值．22. （15分） (2019高三上·宁德月考) 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）已知且，若函数没有零点，求证：．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
北京市数学高二下学期文数5月月考试卷A卷
北京市数学高二下学期文数5月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·深圳月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·哈尔滨月考) 设α ，β表示平面，m ， n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是（）A . α⊥β且m⊥βB . α∩β＝n且m∥nC . α∥β且m⊂βD . m∥n且n∥α3. （2分） (2019高一上·淮南月考) 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（）A . ，B . ,C . ，D . ，4. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 下列选项正确的个数为（）①已知数轴上且，则②已知 .③命题“ ” 的否定形式为“ ” .④已知多项式有一个因式为，则 .A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分）若函数满足,且时，，函数，则函数在区间[-5,5]内与轴交点的个数为（）A . 5B . 7C . 8D . 106. （2分）(2017·邯郸模拟) 函数y= 与y=ln（1﹣x）的定义域分别为M、N，则M∪N=（）A . （1，2]B . [1，2]C . （﹣∞，1]∪（2，+∞）D . （﹣∞，1）∪[2，+∞）7. （2分） (2017高二上·驻马店期末) 不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+bx ﹣2a＜0的解集为（）A . （﹣2，5）B . （﹣0.5，0.2）C . （﹣2，1）D . （﹣0.5，1）8. （2分） (2019高一上·山丹期中) 已知实数，满足，则下列关系式中恒成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·临川模拟) 设定义在R上的函数满足任意都有，且时，，则的大小关系（）A .B .C .D .10. （2分）若定义运算：，例如，则下列等式不能成立的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·吉林月考) 设函数的定义城为D，若满足条件：存在，使在上的值城为（且），则称为“k倍函数”，给出下列结论：① 是“1倍函数”；② 是“2倍函数”：③ 是“3倍函数”．其中正确的是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③12. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（）A . 2B . 4C . 6D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·平遥月考) 若函数为偶函数，则 ________14. （1分） (2017高一上·鸡西期末) 若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=________．15. （1分） (2018高一上·唐山月考) 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是________．(填序号)① ；② ；③ ；④ .16. （1分） (2017高二上·临沂期末) 已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x0∈R，使得 +（a﹣1）x0+1＜0．若“p或q”为真，“p且q”为假，则实数a的取值范围________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一上·赣州期中) 计算：（1） 2 + + ﹣；（2）log22•log3 •log5 ．18. （10分） (2016高一上·宝安期中) 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（，）．（1）求函数f（x）的解析式，并判断奇偶性；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用单调性定义证明．（3）作出函数f（x）在定义域内的大致图象（不必写出作图过程）．19. （10分） (2016高一上·泗阳期中) 已知函数f（x）=2x+m21﹣x ．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）的图象关于点A（a，0）对称，若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由．注：点M（x1，y1），N（x2，y2）的中点坐标为（，）．20. （10分） (2019高一上·思南期中) 已知函数且 , （1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．21. （10分）(2017·诸暨模拟) 已知函数f（x）=xex﹣a（x﹣1）（a∈R）（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求a的值及f（x）的单调区间（2）若存在实数x0∈（0，），使得f（x0）＜0，求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高一上·林口期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，求实数a的范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
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北京市高二下学期数学月考试卷A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=， BC=CC1=1，则异面直线AC1与BB1所成的角的大小为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
2. （2分） (2017高二下·湖北期中) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面ABC所成角的大小是（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
3. （2分）如图，在正三角形ABC中， D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，G，H，I分别为DE，FC，EF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥，则异面直线BG与IH所成的角为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）(2018·榆社模拟) 如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，
分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体
的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共10题；共10分)
5. （1分）若圆锥的全面积为底面积的3倍，则该圆锥母线与底面所成角大小为________
6. （1分） (2017高二上·张家口期末) 若命题“∃x0∈R，使得x02+（a﹣1）x0+1≤0”为真命题，则实数
a的范围为________．
7. （1分） (2018高一下·毕节期末) 在四面体中，，， .当四面体体积最大时，直线与平面所成的角是________．
8. （1分） (2015高二上·永昌期末) 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AA1的中点，则异面直线DE与BC所成的角的余弦值是________．
9. （1分） (2018高二下·上海月考) 如图，已知正方体的棱长为，点为线段
上一点，是平面上一点，则的最小值是________．
10. （1分） (2019高二上·南湖期中) 四面体的四个顶点都在球的球面上，平面
，是等边三角形．若侧面的面积为，则球的表面积的最小值为________．
11. （1分） (2019高一下·上海月考) 不等式的解为________
12. （1分）在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2 ，则二面角P－AB－C的大小为________.
13. （1分） (2016高三上·浦东期中) 若2arcsin（5x﹣2）= ，则x=________．
14. （1分）某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正
比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1 ， y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
三、解答题 (共4题；共50分)
15. （10分） (2019高一上·吉林月考) 如图，在直角梯形中，，，，
，将沿折起到的位置，使平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）求与所成的角．
16. （10分）(2017·红桥模拟) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．
17. （15分） (2019高一上·吉林月考) 一个圆锥底面半径为，高为，
（1）求圆锥的表面积.
（2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．
18. （15分）(2016·黄山模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（2）设点N是线段CD上一动点，且=λ ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共10题；共10分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共4题；共50分) 15-1、
15-2、
17、答案：略18-1、
18-2、。