八年级数学因式分解1
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北师大版八年级数学下册第四章 因式分解1 因式分解
求 mn 的值. 解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)， 则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”， 你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
人教版八年级上册数学第十四章因式分解第一课时省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
经过对例2旳解答，你有什么收获？
公因式能够是单项式，也能够是多项式.
初步应用提公因式法
练习2 把下列各式分解因式：
（1）ax+ay；
（2）3mx-6my； （3）8m2n+2mn； （4）12xyz-9x2 y2； （5）2（a y-z）-3（b z-y）； （6）（p a2+b2）-（q a2+b2）.
• 学习要点： 利用提公因式法分解因式．
了解因式分解旳概念
上一节我们已经学习了整式旳乘法，懂得能够将几 个整式旳乘积化为一种多项式旳形式．反过来，在式旳 变形中，有时需要将一种多项式写成几种整式旳乘积旳 形式．
请把下列多项式写成整式旳乘积旳形式：
x2+x= ______（_x_x_+_1_）____ ； x 2 - 1= ____（__x_+1_）_（_x_-_1_）___.
了解因式分解旳概念
在多项式旳变形中，有时需要将一种多项式化成几 个整式旳积旳形式，这种式子变形叫做这个多项式旳因 式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
你以为因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
了解因式分解旳概念
练习1 下列变形中，属于因式分解旳是： （1）（a b+c）=ab+ac； （2） x3 +2x2 -3=x（2 x+2）-3； （3） a2 -b2 =（a+b）（a-b）.
教科书习题14.3第1、4（1）题．
形式，其中一种因式是各项旳公因式，另一种因 式是由多项式除以公因式得到旳； （3）用提公因式分解因式后，应确保具有多项式旳因 式中再无公因式．
初步应用提公因式法
例2 把 2（a b+c）-（3 b+c）分解因式． 解： 2（a b+c）-（3 b+c）
公因式能够是单项式，也能够是多项式.
初步应用提公因式法
练习2 把下列各式分解因式：
（1）ax+ay；
（2）3mx-6my； （3）8m2n+2mn； （4）12xyz-9x2 y2； （5）2（a y-z）-3（b z-y）； （6）（p a2+b2）-（q a2+b2）.
• 学习要点： 利用提公因式法分解因式．
了解因式分解旳概念
上一节我们已经学习了整式旳乘法，懂得能够将几 个整式旳乘积化为一种多项式旳形式．反过来，在式旳 变形中，有时需要将一种多项式写成几种整式旳乘积旳 形式．
请把下列多项式写成整式旳乘积旳形式：
x2+x= ______（_x_x_+_1_）____ ； x 2 - 1= ____（__x_+1_）_（_x_-_1_）___.
了解因式分解旳概念
在多项式旳变形中，有时需要将一种多项式化成几 个整式旳积旳形式，这种式子变形叫做这个多项式旳因 式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
你以为因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
了解因式分解旳概念
练习1 下列变形中，属于因式分解旳是： （1）（a b+c）=ab+ac； （2） x3 +2x2 -3=x（2 x+2）-3； （3） a2 -b2 =（a+b）（a-b）.
教科书习题14.3第1、4（1）题．
形式，其中一种因式是各项旳公因式，另一种因 式是由多项式除以公因式得到旳； （3）用提公因式分解因式后，应确保具有多项式旳因 式中再无公因式．
初步应用提公因式法
例2 把 2（a b+c）-（3 b+c）分解因式． 解： 2（a b+c）-（3 b+c）
1八年级因式分解-人教版数学八年级第一课时课件
方法：逆用乘法分配律，先提出公因数,化成 两项积的形式。
动脑想一想
找出下列多项式的公因式
ma−mb
4kx+8ky 5xy2+20y2 a2b−2ab2+4ab
怎样才能又 快又准地找 出公因式？
提公因式法分解因式的关键是什么？
找出公因式 试找出下列式子的公因式：（并由此总结找公 因式的方法）
(1) x 2 xy (2)8m 2 n 2m n (3)12xyz 9 x 2 y 2 (4)2a( y z ) 3b( y z ) (5) p(a 2 b 2 ) q(a 2 b 2 )
3xy2(x2-4yz)
例1、把下列个式分解因式：
(1)8a 3b 2 12ab2 c (3)8m n 2m n
2
(2)2a(b c) 3(b c) (4) 3x3 6 x 2 3x
注：1 公因式可以是单项式也可以是多项式。
2 若多项式中其中一项与公因式相同，提取公因式 后余下的是1而不是0 。
动笔练一练
分解下列因式
12xyz−9x2y2=
2a(y−z)−3b(z−y)= −16x4+32x3−56x2= p(a2+b2)−q(a2+b2)
3xy(4z−3xy)
(2a+3b)(y−z)
−8x2(2x2−4x+7) (p−q)(a2+b2)
=
把下列各式分解因式
(1)am bm cm
1、判断哪些是因式分解？并说明理由。
(1)a( x y ) ax ay (2)3a bc 3 a a b c
2
(3) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 (4) x 2 2 xy y 2 1 x( x 2 y ) ( y 1)( y 1) (5)ax 9a a( x 3)(x 3)
鲁教版八年级数学上册第一章因式分解1因式分解课件
解析 根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形,3 个长为b、宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成的, ∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2, ∵大长方形的长为a+2b,宽为a+b, ∴大长方形的面积也可表示为(a+2b)(a+b), ∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b), 故选B.
A.20
B.30
C.35
D.40
解析 ∵259+517=518+517=517×(5+1)=517×6=516×30,∴n的值可 能是30.故选B.
6.(新考向·代数推理)将图中的一个正方形和三个长方形拼
成一个大长方形,根据此图写出一个多项式的因式分解: x2+3x+2=(x+2)(x+1) .
解析 拼成的大长方形如图所示:
方形,直接写出相应的等式:
;
(2)尝试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式,
并把所拼得的图形画在如图④所示的虚线方框内;
(3)分解因式:2b2-3ab+a2=
.
(直接写出结果,不需要画图)
图①
图②
图③
图④
解析 (1)3b2+4ab+a2=(a+b)(3b+a). (2)2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 如图所示:
12.(2024河北张家口宣化期末,6,★☆☆)小颖利用两种不同 的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的 等式,此等式是 ( B )
A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b) B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)
人教版数学八年级上册《因式分解公式法》(一)课件
（3）0.16x2-0.09y2z2 （4）16(x-1)2-9(x+2)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
(a+b)(a-b)=a2-b2 （整式乘法）
a2-b2 =(a+b)(a-b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因式分解）
想一想
（1）下列多项式中，他们有什么共同特征？
①x2-25 ②9x2-y2
□2 －△2
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
①x2-25=(x+5)(x-5)
②9x2-y2=(3x+y)(3x-y)
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
议一议
平方差公式有哪些特点？
a2−b2= (a+b)(a−b)
左边：有两项；每一项都是平方项；两项符号相反 右边：两数的和与差的积
关键：确定公式中的a和b
火眼金睛
下列多项式可不可以用平方差公式因式分解？
①x2+y2
②-x2+y2
③-x2-y2
④x2-(-y)2
例题讲解
公式法因式分解（1）
回顾与思考
1、把下列各式分解因式：
（1）3a3b2-12ab3 关键：确定公因式 =3ab2(a2-4b)
（2）a(m-2)+b(2-m) =(m-2)(a-b)
一 看系数 二 看字母 三 看指数
最大公约数 相同字母最低次幂
回顾与思考
2、填空： ①25x2＝(__5_x__)2
名言警句
严谨性之于数学 犹如道德之于人
自我检测
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) （2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) （3）x2–y2=（x+y）(x–y) （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)
人教版八年级数学上册1因式分解复习课件
例2：分解因式
(1) 8m2n+2mn= 2mn(4m 1) (2)-5a2+25a= 5a(a 5) (3)p(a+b)-q(a+b)= (a+b)(p-q) (4)2a(y-z)-3b(z-y)=( y z)(2a 3b)
例3：分解因式
(1) y2-1 = y2-12=(y+1)(y-1)
因式分解复习
一、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式
例1：以下从左到右的变形中，哪些是分解因式？
(1) a(a+1)=a2+a
√(3) a2-b2=(a+b)(a-b) √(5) a2-a-2=(a+1)(a-2)
√(2)ax–bx ＝x(a–b) √(4) x2+2xy+y2=(x+y)2
解：(1)原式＝(2a＋6b)－(3am＋9bm)＝2(a＋3b)－3m(a＋3b)＝(a＋ 3b)(2－3m)； 或原式＝(2a－3am)＋(6b－9bm)＝a(2－3m)＋3b(2－3m)＝(2－3m)(a ＋3b)； (2) ∵a2－ac－ab＋bc＝0， ∴(a2－ac)－(ab－bc)＝0， ∴a(a－c)－b(a－c)＝0， ∴(a－c)(a－b)＝0， ∴a－c＝0 或 a－b＝0， ∴a＝c 或 a＝b， ∴△ABC 是等腰三角形．
例6．分解因式：
(1)4x3-16x2+16x ＝4x(x2-4x+4) =4x(x－2)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2)2ab2-2a =2a(b2-1) =2a(b+1)(b-1)
(3)x4-2x2+1 =(x2-1)2 =[(x+1)(x-1)]2 =(x+1)2(x-1)2
八年级数学下册第四章因式分解1因式分解讲义(新版)北师大版
因式分解因式分解在整个初中学习中占有很重要的地位，它是解方程与不等式的基础，更是很多综合题目的重点，因此，今天和大家分享如何啃下因式分解这个骨头。
【基础知识查漏补缺】首先我们关于因式分解的基础知识一定要了然于胸，否则一切都是空谈。
基础知识有：1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式。
因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形；因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式。
2. 整式乘法的特点：单项式乘以多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc；多项式乘以多项式：（m+n）(a+b)=ma+mb+na+na，特殊情况（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab 【因式分解的基础方法】1.提取公因式法顾名思义，就是将多项式中各项相同的因式（公因式）提取出来，例如（x+1）a+（x+1）b-（x+1）c=（x+1）（a+b-c）；判据（多项式具备什么特征选取这个方法）：多项式的每一项有相同的因式；2.公式法说白了，就是套公式；平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,主要就是这两个公判据：多项式的项数为2或3项3.十字相乘法就是类似形式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b);判据：a）多项式的项数为3项；b）看常数项分解成两个数乘积后，这两个数相加是否等于x项前面的系数；举例如下图：4.分组分解法简而言之，就是将多项式分成二或三组，分别分解，在提取公因式，如xy-x-y+1=(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1);判据：多项式项数在4项或以上注意：一定要理解并记住每一种方法的判据，它是我们确定解题方法的关键！【解题思路】当我们拿到一道因式分解题目的时候，有这么多方法，我们到底选哪一种呢?注意，这里我们千万不能碰运气式的随机尝试方法，我们选取方法是有先后顺序的，如下图：切记，解题时一定要按照这个顺序选取方法，尤其是对初学者而言，形成这样的解题思路非常重要，平时家长或老师可以给予适当引导。
八年级数学因式分解1
一看系数 二看字母 三看指数
• 例1:分解因式- 8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3
1.选择 （1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（C ）
（A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ D ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16）
• (1)2101+299能被5整除吗,为什么 转化为有一因式为5的倍数 (2)224-1能被63和65整除吗?
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
.规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
因式分解与整式乘法是互逆过程
整式的乘法
计算下列各式: 3x2-3x (1) 3x(x-1)= _____ (2) m(a+b+c) = ma+mb+mc _____ 2-16 m (3) (m+4)(m-4)= ____ (4) (x-3)2= _______ x2-6x+9 (5) a(a+1)(a-1)= ____ a3-a
ma+mb+mc= m(a+b+c) • 把一个多项式化成几个整式积的形 式,这种变形叫做把这个多项式因式 分解（或分解因式）.
试一试
把下列个式写成乘积的形式（因式分解） (1). 1-x2 =(1+x)(1-x) (2). 4a2+4a+1 =(2a+1)2 (3). 4x2-8x =4x(x-2) (4). 2x2y-6xy2 =2xy(x-3y) (5). 1-4x2 =(1-2x)(1+2x) (6). x2-14x+49 2
• 例1:分解因式- 8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3
1.选择 （1）多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（C ）
（A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2C （2）分解-4x3+8x2+16x的结果是（ D ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16）
• (1)2101+299能被5整除吗,为什么 转化为有一因式为5的倍数 (2)224-1能被63和65整除吗?
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
.规律总结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程. • 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分接的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
因式分解与整式乘法是互逆过程
整式的乘法
计算下列各式: 3x2-3x (1) 3x(x-1)= _____ (2) m(a+b+c) = ma+mb+mc _____ 2-16 m (3) (m+4)(m-4)= ____ (4) (x-3)2= _______ x2-6x+9 (5) a(a+1)(a-1)= ____ a3-a
ma+mb+mc= m(a+b+c) • 把一个多项式化成几个整式积的形 式,这种变形叫做把这个多项式因式 分解（或分解因式）.
试一试
把下列个式写成乘积的形式（因式分解） (1). 1-x2 =(1+x)(1-x) (2). 4a2+4a+1 =(2a+1)2 (3). 4x2-8x =4x(x-2) (4). 2x2y-6xy2 =2xy(x-3y) (5). 1-4x2 =(1-2x)(1+2x) (6). x2-14x+49 2
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探索
思考
小结
拓展
2
)
2
思考
观察“回忆”与“探 索”，你能发现它们之间的 联系与区别吗？
小结
我们“回忆”的是已熟 悉的整式乘法公式，而要 “探索”的内容，其过程正 好与“回忆”相反，它是把 一个多项式化为几个整式的 乘积形式，这就是因式分 解.
拓展
还记得小学学过的因数 分解与乘法之间的关系吗？ 回忆前面的过程，你能 根据因数分解与乘法之间的 关系总结出因式分解与整式 乘法之间的关系吗？
第一节提公因式法
代数第八章因式分解
流量联盟 / 流量联盟 wrg41xua
观察与回忆
举制度的接班人，非物质文化遗产的传承者啊……等等！这是在吐槽他还是在吐槽我自己啊……“白姑娘怎么了？”张祁渊温柔的一笑，很是理 所当然。“没什么。”慕容凌娢回答的也很利索。明明就是不同时代的人，相差了几百年，代沟宽的简直是遥相呼应的南北极，不……应该是遥 相呼应的太阳和冥王星。思维不同，不相为谋。这个年代的人思维都是这样，根深蒂固，要真得纠结，那被当作奇葩的只能是自己。“其实我这 次是来告别的。以后……可能就不会来了。”“哦……恩？”慕容凌娢再次懵逼。刚才还在谈你的辉煌后宫史，怎么突然要搞离别梗？莫非 是……天哪，我再想什么，一定是良心发现，感觉这样虚度光阴没有意义，所以要金盆洗手……对，一定是这样。“我在去年的秋试(乡试)里中 了举人，马上就要参加会试了。”“明白了。”慕容凌娢点点头，此时此刻她终于理解了张祁渊的用意。寒窗苦读数十年，(虽然不知道是不是边 撩妹边学习)马上就要逆袭了，自然要把之前可能被当作把柄的污点给抹去。“这样很好啊，朝廷需要你这样的人才，(虽然不知道你除了弹琴好 听，还有什么特长)晴朝等着你去找茬(比如说那个没事儿就乱嗑 药的皇帝)，历史等着你去改写(清军入关，圆明园的建成及毁灭，WW2……要是 这些都消失，那我们的历史书要少好多页啊！保护树木，从你开始。)”第070章 番外 (光明正大的前情提要)小茉莉被独自放到了一个金光闪闪 的箱子里之后……“听起来好神奇啊！”慕容凌娢继续感叹，她现在听到的东西已完全经超出了她的接受范围，一切都是那么的玄幻，就好像神 话故事一样，“他们给你戴的项链和耳环还在吗？”“我早就扔了。”茉莉说着，幻化出了自己的猫耳朵，拨开上面的黑色绒毛，隐隐还能看出 被利器划伤的痕迹，“但是这些痕迹，还在。百蝶说这些痕迹是自身经历的验证，消除不了。” “等等，百蝶……为什么会客串的你的故事里 去？”“这就说来话长了……”“放心，我可是很有耐心的。”原来百蝶和茉莉那么早就认识了。“我被放到箱子里之后，感觉到一阵颠簸，好 像是漂浮在水面上。那种摇晃的感觉让我头晕恶心，我紧紧抓着箱子底，头脑昏昏沉沉的。不知过了多久，箱子被狠狠扔在地面上，我也从朦胧 中醒来，接下来是一片嘈杂的声音。等到箱子外所有的声音都停止了，我才敢用法术打开箱子，跳了出来。这时我才发现，我被困在了一个封闭 的室内，房间的内壁都是金色的，刻有绚丽的壁画和文字。我向四处看去，房间里还放有许多镶有宝石的箱子，和囚禁我的箱子极其相似。我一 一把它们打开，装的都是金银首饰宝石之类的东西。这是，我才不得不相信，我和这些饰品一起，成为了陪葬品。我用
回忆
运用前面所学知识填空： (1)
m (a b c)
(2)
()
(a b)(a b)
(a b)
2
上次更新: 2018年1月19日星期五
探索
你会做下面的填空吗？ (1) m a mb mc (
)(
)
(2)
(3)
a b (
2 2
)(
2
)
a 2ab b (