大一(上)高数课件—2.5 函数的微分
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2.5 函数的微分
第五节
第五节 函数的微分
函数的微分
第二章 导数与积分
例1 求函数 = 3 当 = 2, Δ = 0.02时的微分.
解
∵ d = ( 3 )′ Δ = 3 2 Δ.
∴ d ቤ
=2
=2
= 3 2 Δ ቤ
= 0.24.
Δ = 0.02
Δ = 0.02
通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分,记作d,即d=Δ.
= −e1−3 (3 cos + sin )d.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
3. 复合函数的微分法则
设函数 = ()有导数 ′ (),
(1)当是自变量时, d = ′ ()d;
(2)当是中间变量, 即另一变量的可微函数 = ()时,
d = ′ () ′ ()d
证
必要性.
充分性.
∵ ()在点0 可微,
′ (0 )
∴ Δ = ⋅ Δ + (Δ),
Δ
= ′ (0 ) + ( lim = 0 )
Δ→0
Δ
Δ
(Δ)
=
∴ lim
= + lim
Δ→0 Δ
Δ→0 Δ
∴ ()在0 可导, 且 = ′ (0 ).
∵ ′ ()d = d, ∴ d = ′ ()d.
结论：无论是自变量还是中间变量, 函数 = ()的微分形式
总是 d = ′ ()d
第五节 函数的微分
微分形式的不变性
第二章 导数与积分
例4 设 = sin( 2 + 1), 求d.
解
方法1.
方法2.
按微分形式不变性求.
2
第五节 函数的微分
函数的微分
第二章 导数与积分
例1 求函数 = 3 当 = 2, Δ = 0.02时的微分.
解
∵ d = ( 3 )′ Δ = 3 2 Δ.
∴ d ቤ
=2
=2
= 3 2 Δ ቤ
= 0.24.
Δ = 0.02
Δ = 0.02
通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分,记作d,即d=Δ.
= −e1−3 (3 cos + sin )d.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
3. 复合函数的微分法则
设函数 = ()有导数 ′ (),
(1)当是自变量时, d = ′ ()d;
(2)当是中间变量, 即另一变量的可微函数 = ()时,
d = ′ () ′ ()d
证
必要性.
充分性.
∵ ()在点0 可微,
′ (0 )
∴ Δ = ⋅ Δ + (Δ),
Δ
= ′ (0 ) + ( lim = 0 )
Δ→0
Δ
Δ
(Δ)
=
∴ lim
= + lim
Δ→0 Δ
Δ→0 Δ
∴ ()在0 可导, 且 = ′ (0 ).
∵ ′ ()d = d, ∴ d = ′ ()d.
结论：无论是自变量还是中间变量, 函数 = ()的微分形式
总是 d = ′ ()d
第五节 函数的微分
微分形式的不变性
第二章 导数与积分
例4 设 = sin( 2 + 1), 求d.
解
方法1.
方法2.
按微分形式不变性求.
2
大一高数上-PPT课件
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4
参考书目
＜工科数学分析基础＞ 马知恩 等编 （高教出版社）
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
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5
第一章 函数与极限
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6
§1.1 函 数
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31
3. 函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如
果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)
为偶函数。
偶函数的图形关于y轴对称。
y
偶函数举例： y=x2，
y=f(x) f(-x)=f(x)
y=cos x
都是偶函数
-x O
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x
x
32
如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。
O
x
y= -M
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27
函数的有界性举例：
f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。
y
1
y=sin x
-2p
-p
O
p
2p x
-1
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28
无界函数举例：
y
函数f(x)=1/x在开区间
(0,1)内是无界的。 函数f(x) =1/x在(0, 1)内
y y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
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x
34
四、反函数与复合函数
25函数的微分 共46页
5
3. 可微满的足充什分么必条要件条的件函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢?
定理 微函 分与数 导f(数x)有在 何关点 x0系可 呢?微 函数f(x)
在点 x下0处 面的可定,导 且 理回A 答了f(这x0 些)问即,题有.
d yf(x 0) x .
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
例8 半 径 10cm的 金属 圆 片 ,半加径热伸后长 了 0.05cm,问 面积 增 大 ? 了 多 少
解 设Ar2,r10cm, r0.0c5m .
AdAArr 2rr
lxi m 0 xyf(x0),即 x yf(x(0)x,0, 0)
从而 y f ( x 0 ) x (x ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函f数 (x)在x0 点 可,且 微 f(x0)A .
可导 可微 .其微分一定是 d yf(x 0)x .
求导法又叫微分法
7
注 (1)当 f(x0)0时 ,有 第一章第七节定理1 (58页)
lim
x0
y
dy
lim
x0
y
f(x0)x
1 lim y f ( x0 ) x0 x
f
1 ( x0 )
f (x0)
1.
从,而 当 x 0时 ,y~dy. yd yo (d y).
d(taxn)se2cxdx d(cox)tcs2cxdx
d(sexc)sexctaxndx d(csxc)csxccoxtdx
16
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
3. 可微满的足充什分么必条要件条的件函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢?
定理 微函 分与数 导f(数x)有在 何关点 x0系可 呢?微 函数f(x)
在点 x下0处 面的可定,导 且 理回A 答了f(这x0 些)问即,题有.
d yf(x 0) x .
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
例8 半 径 10cm的 金属 圆 片 ,半加径热伸后长 了 0.05cm,问 面积 增 大 ? 了 多 少
解 设Ar2,r10cm, r0.0c5m .
AdAArr 2rr
lxi m 0 xyf(x0),即 x yf(x(0)x,0, 0)
从而 y f ( x 0 ) x (x ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函f数 (x)在x0 点 可,且 微 f(x0)A .
可导 可微 .其微分一定是 d yf(x 0)x .
求导法又叫微分法
7
注 (1)当 f(x0)0时 ,有 第一章第七节定理1 (58页)
lim
x0
y
dy
lim
x0
y
f(x0)x
1 lim y f ( x0 ) x0 x
f
1 ( x0 )
f (x0)
1.
从,而 当 x 0时 ,y~dy. yd yo (d y).
d(taxn)se2cxdx d(cox)tcs2cxdx
d(sexc)sexctaxndx d(csxc)csxccoxtdx
16
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
2-5函数的微分
2020/1/16
蚌埠学院 高等数学
21
内容小结
1. 微分概念 • 微分的定义及几何意义
• 可导
可微
2. 微分运算法则
微分形式不变性: df(u )f(u )d u
( u 是自变量或中间变量 )
近似计算 3. 微分的应用 估计误差
2020/1/16
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思考与练习
1. 设函数 yf(x)的图形如下,试在图中标出的点
第二章
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用
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1
恩格斯在《自然辩证法》中，对微分作了一个 形象的解释：
硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方 形硫磺薄板，放入容器，立刻降低容器内的温度，则 硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一 对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮 盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，而误差 就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的 分子很多，误差的这一个分子和它们相比，是微不足 道的。
令 xx0x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
使用原则: 1) f(x0), f(x0)好;算 2) x与x0 靠近 .
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14
特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
基本初等函数的微分公式
d yf(x)dx
d(C)0
d(x)x1dx
先计算函数的
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx 导数, 再 乘以自 d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx 变量的微分.
2-5函数的微分
例1. 求 的近似值 . 解: 设 f (x) = sin x , 取 则 dx = − 180
o
π
π π 29 π π ≈ sin + cos ⋅ (− ) sin 29 = sin 6 180 180 6 1 3 = + ⋅ (−0.0175) 2 2
2 = (4 )
2
( ±2 ) = 4
2
2 sin = ( 2 ) 4
π
2 sin( + 2kπ ) = 4 2
19
π
七、 微分在近似计算中的应用
1、计算函数的近似值 、 当 ∆x 很小时, 得近似等式:
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ dy = f ′( x0 )∆x f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x
必要性” 证: “必要性” 必要性 已知 在点 可微 , 则
∆ y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x)
∆y o(∆x) ∴ lim = lim ( A + )= A ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
故 在点 的可导, 且
7
定理 : 函数 在点
在点 x0可微的充要条件 充要条件是 充要条件 处可导, 且 即
′ = yudu( 或= f ′(u)du)
讨论： 讨论：(1) 若u = x, 则dy = f ′( x )dx = f ′(u )du;
(2) 若u = ϕ ( x ) , 则dy = f ′(u )du
一阶微分形式不变性 一阶微分形式不变性
dy = f ′( x)dx
无论x是自变量还是中间变量, 函数 y = f (x)的微分形式总是dy = f ′(x)dx
o
π
π π 29 π π ≈ sin + cos ⋅ (− ) sin 29 = sin 6 180 180 6 1 3 = + ⋅ (−0.0175) 2 2
2 = (4 )
2
( ±2 ) = 4
2
2 sin = ( 2 ) 4
π
2 sin( + 2kπ ) = 4 2
19
π
七、 微分在近似计算中的应用
1、计算函数的近似值 、 当 ∆x 很小时, 得近似等式:
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ dy = f ′( x0 )∆x f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x
必要性” 证: “必要性” 必要性 已知 在点 可微 , 则
∆ y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x)
∆y o(∆x) ∴ lim = lim ( A + )= A ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
故 在点 的可导, 且
7
定理 : 函数 在点
在点 x0可微的充要条件 充要条件是 充要条件 处可导, 且 即
′ = yudu( 或= f ′(u)du)
讨论： 讨论：(1) 若u = x, 则dy = f ′( x )dx = f ′(u )du;
(2) 若u = ϕ ( x ) , 则dy = f ′(u )du
一阶微分形式不变性 一阶微分形式不变性
dy = f ′( x)dx
无论x是自变量还是中间变量, 函数 y = f (x)的微分形式总是dy = f ′(x)dx
大一-高等数学函数-PPT
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 3 x 2
2 2 x 1 故 D f : [3,1]
y
函数的图形:
W
点集C {(x, y) y f (x), x D} y 称为函数y f (x)的图形.
o
(x, y)
x
D
x
分段函数：在自变量的 不同取值范围内，函数 的 解析式也不同的函数 .
例如， y 1 1 x2
D : (1,1)
例1 求函数y 4 x2 1 的定义域. x 1
解 要使数学式子有意义，x必须满足
4 x 2 0, x 1 0,
即
x x
2, 1,
由此有 1 x 2
因此函数的定义域为(1,2]．
例2
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
微积分是近代数学发展的里程碑
微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一， 一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认 识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。 它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪 元，并因此加强与加深了数学的作用。 恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像 17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的 最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精 神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”
子集
设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，
则称A是B的子集，记作A B(或B A ),读作A包
含于B包含（或B包含A ）. 若A B，且有元素a∈B ，但a A，则说A是B的真 子集.
高数上2.5函数的微分
4x
x cos x2 ,
2x
d(sin x2 ) (4x x cos x2 )d( x).
例 10 求由方程 e xy 2x y3 所确定的隐函数 y f ( x) 的微分dy.
解 对方程两边求微分, 得
d(e xy ) d(2x y3 ), e xyd( xy) d(2x) d( y3 ), e xy ( ydx xdy) 2dx 3 y2dy,
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
二、基本初等函数的微分公式
dy f '( x)dx
d(C ) 0 d(sin x) cos xdx d(tan x) sec2 xdx
0.05 厘米,问面积增大了多少?
解 设 A r 2 , r 10(厘米), r 0.05(厘米).
A dA
2r r
2 10 0.05
(厘米2 ).
例 12 计算 cos 6030' 的近似值.
解 设 f ( x) cos x
f '( x) sin x,( x为弧度),
dy yx 'dx f '(u)'( x)dx. 由于'( x)dx du,故复合函数 y f [ ( x)]的微
分公式为 dy f '(u)du 或 dy yu'du 由此可见, 无论 x是自变量还是中间变量,函数 y f ( x)的微分形式总是
大一高数上 PPT课件 第二章
xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x