2020届 神州智达高三诊断性大联考(一) 数学(理)质检卷(解析版)

2020届神州智达高三诊断性大联考（一）数学（理）质检卷一、单选题1．已知集合{}{}*2,1,0,1,2N 129xA B x =--=∈<<，，则A B =I （ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,0,1-C ．{}1,1,2-D ．{}1,2【答案】D【解析】由题意{}1,2,3B =，再由集合交集的概念可直接得解. 【详解】{}{}*N 1291,2,3x B x =∈<<=，∴{}{}{}2,1,0,1,21,21,32,A B --==I I . 故选：D. 【点睛】本题考查了指数不等式的求解，考查了集合交集的概念，属于基础题. 2．已知命题p ：复数121i z i-=+的虚部是32-，命题q ：复数()()21243i i i +-=-，以下命题真假判断正确的是（ ） A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假【答案】A【解析】由复数的除法法则和虚部的概念可判断命题p ，由复数的乘法运算法则可判断命题q ，即可得解. 【详解】 因为()()()()121121311122i i i z i i i i ----===-++-，所以其虚部为32-，所以p 为真命题； 因为()()221224243i i i i i i +-=-+-=-，所以q 为真命题.故选：A. 【点睛】本题考查了复数的运算和虚部的概念，考查了命题真假性的判断，属于基础题. 3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，前三项的和为26，则4a =（ ） A ．36 B ．48C ．54D ．64【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得222226q q ++=，解方程求得3q =即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为各项均为正数等比数列，12a =，前三项的和为26，设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222226q q ++=，解得3q =或4q =-（舍），所以34154a a q ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式进行基本量计算，属于基础题.4．已知0.50.50.70.50.3log 0.2a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】由对数函数和幂函数的单调性可得1b a c <<<，即可得解. 【详解】因为0.5y x =在(0,)+∞上是增函数，所以0.50.50.50.30.51<<，即1b a <<， 因为0.7log y x =在(0,)+∞上是减函数，所以0.70.7log 0.2log 0.71c =>= 所以1b a c <<<. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题.5．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ） A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π【答案】C【解析】由题意知PC 的长等于其外接球的直径，可知2PA =，计算棱锥的体积，球的体积，根据古典概型即可求解. 【详解】根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，因为222PC PA AB AD =++，∴2314PA =++，∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以314431223332P ABCDV V π-⎛⎫=⨯⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭球，， ∴3483274332P ππ==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题. 6．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．89 B ．89-C ．79D ．79-【答案】C【解析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式可得2sin 212sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解. 【详解】由题意227sin 2sin 2cos 212sin 16233699πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的以值求值，考查了诱导公式和余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.7．函数()21x xe ef x x --=-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的性质对比图象的特征，逐项排除即可得解. 【详解】由()()2121x x x xe e e ef x f x x x -----==-=---，∴()f x 为奇函数，排除选项B ； 当14x =时，11440x x e e e e ---=->，210x -<，∴()0f x <，排除选项D ； 当()2,x ∈+∞时，()21x xe ef x x --=-，则()()()()()()()()22212230222111xx x xxxee x e e e x ef x x x x ---+----+'==>--+∴()f x 在()2,x ∈+∞时单调递增，排除选项A. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性和利用导数判断函数单调性的应用，属于中档题.8．执行如图所示的程序框图，若输出的10232512iS S S -==+，则判断框内可以为（ ）A ．10?i <B ．10?i ≤C ．11?i <D ．11?i ≤【答案】A【解析】根据程序框图，注意变量取值的变化，可得1023512S =时10i =，即可得解. 【详解】第一次运行时，13122S -=+=，2i =； 第二次运行时，1271224S --=++=，3i =；第三次运行时，1231512228S ---=+++=，4i =；第四次运行时，1234311222216S ----=++++=，5i =；…，以此类推，第九次运行时，1012349112102312222212512S --------=+++++⋅⋅⋅+==-，10i =，依题意，此时刚好不满足判断条件，因此判断条件可以为10i <. 故选：A. 【点睛】本题考查了当型循环结构程序框图的应用，属于基础题. 9．()5221x x --的展开式中2x 的系数为（ ） A ．400 B ．120C ．80D ．0【答案】D【解析】变形已知为()525521(1)(21)x x x x --=-+，分别写出两个二项式展开式的通项55(1)rrr C x--，55C (2)kk x -，可知()525521(1)(21)x x x x --=-+的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，即可求解.【详解】 ∵()525521(1)(21)x x x x --=-+，二项展开式5(1)x -的通项为55(1)r r r C x --，二项展开式5(21)x +的通项式为5555C (2)(1)(21)kkx x x --+，的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，所以8k r +=，所以展开式中2x 的系数为5253444355555553(1)2(1)2(1)0C C C C C C -+-+-=.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题.10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．平面11D C P ⊥平面1C CPB ．三棱锥1A D DP -的体积为定值C ．11AD D P ⊥ D ．DP ⊥平面11D C P【答案】D【解析】由面面垂直的判定可判断A ；由11A D DP P D DA V V --=，再利用三棱锥体积公式可判断B ；由1A D ⊥平面11D C P ，再利用线面垂直的性质可判断C ；由反证法可判断D ；即可得解. 【详解】在正方体中，显然有11D C ⊥平面1C CP ，又11D C ⊂平面11D C P ， 所以平面11D C P ⊥平面1C CP ，故A 正确；三棱锥1A D DP -的体积满足11A D DP P D DA V V --=，因为P 到平面1D DA 的距离不变，1D DA △的面积不变，三棱锥1A D DP 一的体积为定值，故B 正确；在正方体中，显然有111A D D C ⊥，11A D BC ⊥，所以1A D ⊥平面11D C P ，因为1D P ⊂平面11D C P ，所以11A D D P ⊥，故C 正确；若DP ⊥平面11D C P ，则1DP BC ^，结合1DC BC ⊥可得1BC ⊥平面DCP ，所以1BC CP ⊥，但1BC CP ⊥不是一直成立，故D 不正确.故选：D. 【点睛】本题考查了线面、面面关系的判定和性质，考查了三棱锥体积公式的应用，属于中档题. 11．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC ．2D ．12【答案】A【解析】由圆的面积可得AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，利用抛物线定义得AF AQ BF BP ==，，根据梯形中位线可知2CD AQ BP a b =+=+，利用均值不等式即可求出最大值. 【详解】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，梯形的中位线，均值不等式，属于难题.12．已知函数()2ln f x mx x x =++，若存在0(0,)x ∈+∞使得()00f x >，则m 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．()0,∞+C ．()1,-+∞D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意可得2ln x x m x -->在(0,)+∞有解，令()()2ln 0x xg x x x --=>，求导判断()g x 的单调性后，求出()g x 的最小值即可得解.【详解】Q 存在0(0,)x ∈+∞使得()00f x >，∴2ln mx x x >--即2ln x xm x -->在(0,)+∞有解， 令()()2ln 0x x g x x x --=>，则()()243112ln 2ln 1x x x x x x x g x x x ⎛⎫--++ ⎪+-⎝⎭'==，()10g '=，当()0,1x ∈时，2ln 10x x +-<，则()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，2ln 10x x +->，则()0g x '>，函数()g x 单调递增；∴当0(0,)x ∈+∞时，()()11g x g ≥=-，∴1m >-.故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数解决能成立问题，考查了转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，1a =v，a b -=v v ，则a =v__________.【答案】2【解析】由题意22223a b a a b b -=-⋅+=v v v v v v ，计算出a b ⋅r r 的值后即可得解.【详解】Q 22223a b a a b b -=-⋅+=v v v v v v ，1a =v ，向量a r 与b r 的夹角为60o ，∴1cos602 a b a bb⋅==ov v vv v，21a=v，∴220b b--=v v，解得2b=v或1b=-v（舍去）.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用向量数量积解决向量模的问题，属于基础题.14．已知实数,x y满足不等式组201030yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx的取值范围为__________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出可行域，yx表示(),x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.【详解】如图，不等式组201030yx yx y-⎧⎪--⎨⎪+-⎩„„…表示的平面区域ABCV（包括边界），所以yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B，，所以122OA OBk k==，，故1,22yx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.15．在ABCV中，角A B C，，所对的边分别为a b c，，，且cos cosb cB Ca+=+，8sinbcA=，则ABCV的周长的最小值为__________.【答案】442+【解析】由余弦定理化简可得()()2220b c b c a++-=，即可得222bc a +=，进而可得8bc =，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为cos cos b a B C a +=+，根据余弦定理可得22222222b c a c b a b c a ac ab++-+-=+， 整理得()222233b c bc a b a c b c+=+-+，因式分解得()()2220b c bc a ++-=，由0b c +≠可得222b c a +=，即90A =o ，sin 1A =，则8bc =，所以()4a b c b c ++++，当且仅当b c =时，取等号，综上ABC V 的周长的最小值为4+. 故答案为：4+. 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题. 16．已知双曲线()()()2222:10,0,02,0x y C a b A a B a a b -=>>，，，点P 为双曲线C 右支上一点（异于点A ），满足222PA PB a +=u u u r u u u r ，则该双曲线离心率e 的取值范围为__________.【答案】1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意可知PA PB ⊥，设()P m n ,，可得()()220m a a m n ---=，再与方程22221m n a b-=联立，令32223a ac m a c -=>即可得解. 【详解】由222PA PB a +=u u u r u u u r ，得222PA PB AB +=，故PA PB ⊥.设()P m n ,，可得(),AP m a n =-u u u r ，()2,PB a m n =--u u u r， 所以()()220AP PB m a a m n ⋅=---=u u u r u u u r①.又因为点P 在双曲线上，所以22221m n a b -=，整理得22221m n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，将②式代入①式得()()222102m b a m a a m ⎛⎫-- ⎝-=⎪⎭-，化简整理得22222330c m am c a a-++-=，此方程的根为1m a =，32223a ac m c -=，因为点P 是双曲线右支上异于右顶点A 的一点，所以3223a ac a c ->，得2232a c>，即232e <， 又1e >，∴1e <<，故答案为：⎛ ⎝⎭.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足112nn n a a a +-=，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}1n n a a +的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 【答案】（1）121n a n =-；（2）详见解析. 【解析】（1）由题意可得1112n n a a +-=，利用等差数列的通项公式求出1na 后即可得解； （2）设()()112121n n n b a a n n +==-+，利用裂项相消法求出n T 后即可得证.【详解】（1）因为112nn n a a a +-=，所以1112n na a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为2的等差数列， 则有()112121nn n a =+-=-， 所以121n a n =-. （2）证明：设()()11111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+()()11113352121n n =++⋅⋅⋅+⨯⨯-+11111111111123352121221242n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭， 因为1042n >+，所以12n T <. 综上，12n T <. 【点睛】本题考查了构造新数列求原数列的通项，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 是边长为2的菱形，AC ⊥平面11AA B B ，且2AC =，点E 为11A C 的中点.（1）证明：平面1ACB ⊥平面1B CE ;（2）若160ABB ∠=︒，求直线BC 与平面1B CE 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）14. 【解析】（1）连接1BA ，交1AB 于点O ，取1B C 中点为F ，连接OF ，EF ，由中位线和平行四边形的性质可得1//BA EF ，再由线面垂直的性质和菱形的性质可得1BA ⊥平面1ACB ，进而可得EF ⊥平面1ACB ，由面面垂直的判定即可得证；（2）由题意建立空间直角坐标系后，求出各点坐标后，求出平面1B CE 的一个法向量为n r 和直线BC 方向向量BC uuu r，利用sin cos ,BC n θ=u u u v v 即可得解.【详解】（1）证明：连接1BA ，交1AB 于点O ，取1B C 中点为F ，连接OF ，EF . 因为O ，F 分别为1B A ，1B C 的中点， 所以//OF AC ，且12OF AC =， 因为11//A C AC ，1AC AC =，且11112A E AC =， 所以1//OF A E 且1OF A E =，所以四边形1OFEA 为平行四边形， 所以1//OA EF ，即1//BA EF .因为AC ⊥平面11AA B B ，1BA ⊂平面11AA B B ，所以1AC BA ⊥. 因为四边形11AA B B 是菱形，所以11BA AB ⊥. 因为1AB AC A =I ，所以1BA ⊥平面1ACB . 因为1//BA EF ，所以EF ⊥平面1ACB .因为FE ⊂平面1B CE ，所以平面1ACB ⊥平面1B CE.（2）因为160ABB ∠=︒，四边形11AA B B 是边长为2的菱形，故1ABB △为等边三角形.取1BB 的中点为M ，连接AM ，则1AM BB ⊥.以A 为原点，AM ，1AA ，AC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,2C ，13,()1,0B ，()0,2,1E ，3,1,0)B -， )13,1,2CB =-u u u r ，()13,1,1B E =-u u u u r ，(3,1,2)BC =u u u r，设平面1B CE 的一个法向量为(),,n x y z =r，则110,0,n CB n B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v 即320,30.x y z x y z +-=++=⎪⎩，令1y =，则)3,1,2n =r .设直线BC 与平面1B CE 所成角为θ，则1sin cos ,42222BC n BC n BC nθ⋅====⨯⋅u u u v vu u u v v u u u v v， 即直线BC 与平面1B CE 所成角的正弦值为14. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明和利用空间向量求线面角，考查了运算能力，属于中档题. 19．为了调查某公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取30名员工，调查他们的饮食习惯和月收人的关系，并制作了30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表（说明：表中饮食指数不高于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.其中月收入4000元以上员工中饮食指数高于70的有11人.（1）填表，并判断是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系.若有，请说明理由，若没有明理由，并分析原因； 月收入4000元及以下 月收入4000元以上 合计 主食蔬菜 主食肉类 合计（2）以上面的统计数据为参考，从该公司主食蔬菜的员工中随机抽取3人，设这3人中月收入4000元以上的人数为X ，求X 的分布列与期望.（3）经调查该公司员工的月收入x （百元）和月饮食支出y （百元）具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：$0.245 3.210y x =+，若一个员工的月收入恰好为这30人的月平均收人，求该人的月饮食支出费用.（结果保留到小数点后三位） 附：参考公式及临界值表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b c -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.15 0.100.050.025 0.010【答案】（1）表格详见解析，有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系，理由详见解析；（2）分布列详见解析，期望值为53；（3）14.603百元. 【解析】（1）由频率分布直方图可得月收入4000元以上的人数为21，即可完成列联表；代入数值计算出2K 后与3.841比较即可得解；（2）由题意5~3,9X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布概率公式计算即可得分布列；由二项分布的期望公式可直接求得期望，即可得解；（3）由频率分布直方图求出这30人的月平均收入，代入线性回归方程即可得解. 【详解】（1）根据频率分布直方图，月收入4000元以上的人数为()300.030.0250.0151021⨯++⨯=， 所以2×2列联表如下：所以2230(811110) 4.471 3.8419211218K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系.（2）从主食蔬菜的员工中任选1人，该人月收入4000元以上的概率105189p ==. X 可取0，1，2，3，所以()03035464099729P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，()121354240199729P X C ⎛⎫===⎛⎫ ⎪⎭⎭⎝⎪⎝，()22354297293009P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，()303354125399729P X C ⎛⎫===⎛⎫ ⎪⎭⎭⎝⎪⎝， 所以X 的分布列为X123P64729240729300729125729∵5~3,9X B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()53E X np ==（人）.（3）由频率分布直方图得这30人的月平均收入为0.1250.2350.3450.25550.156546.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）， 所以$0.24546.5 3.21014.602514.603y =⨯+=≈（百元）， 故该人的月饮食支出费用为14.603百元. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用和二项分布分布列与期望的求解，考查了线性回归方程的应用，属于中档题.20．如图，一张坐标纸上已作出圆22(316):E x y ++=及点(3,0)Q ，折叠此纸片，使Q 与圆周上某点Q '重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EQ '的交点为N ，点N 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 与y 轴的负半轴交于点D ，过D 作两条互相垂直的直线分别与曲线C 相交于点P M 、，求证：直线PM 经过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明详见解析，过定点30,5T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由题意转化条件得4NE NQ EQ +=>，由椭圆定义即可得解；（2）设直线:1PD y kx =-，联立方程组得222841,1441k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，22284,44k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 进而可求得直线PM 的直线方程，即可得解. 【详解】（1）折痕为QQ '的垂直平分线，则NQ NQ ='，由题意知圆E 的半径为4， 所以4NE NQ NE NQ EQ +=+=>'，所以N 的轨迹是以E Q 、为焦点的椭圆，且2a =，c =，所以2221b a c =-=，所以N 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知直线PD 、MD 的斜率存在且不为0，点()0,1D -， 设直线PD 的斜率为k ，则:1PD y kx =-.由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()224180k x kx +-=，0>V ， 可得222841,1441k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 用1k -去替换k ，得22284,44k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以()()()22222222224148111414885401144PMk k k k k k k k k k k k k k k---+--++===++++， 所以直线:PM 2222418454k k k y x k k k --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭即21355k y x k -=+， 所以直线PM 经过定点30,5T ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了与椭圆有关的轨迹问题，考查了直线与椭圆的综合，属于中档题. 21．已知函数()ln f x x x a =-+有两个不同的零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的两个不同的零点为12x x ，，且12x x <，当22x ≥时，证明：2212x x ⋅<. 【答案】（1）(),1∞--；（2）详见解析.【解析】（1）求导得()f x 在(0,)+∞的最小值为()11f a =+，即可得10+<a ，由()0a a f e e =>，并通过构造新函数求导证明()0a f e ->即可得解；（2）由题意得()1222222223ln ln 2f x f x x x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，设2t x =，令()()223ln ln 22h t t t t t =--+≥，求导后可得()0h t >即()1222f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由函数()f x 在()0,1上的单调性即可得证.【详解】（1）由题意得ln 0x x a -+=在(0,)+∞上有两个不同的实根， 而()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 在(1,)+∞上单调递增； 所以()f x 在(0,)+∞的最小值为()11f a =+. 所以10+<a 即1a <-， 易得01a e <<，()0aaf ee=>，1a e ->，()2a af e e a --=+，令t a =-，()()21t g t e t t =->，则()20tg t e '=->，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()()120g t g e >=->， 所以()20a a f e e a --=+>所以当1a <-时，ln 0x x a -+=在()0,1和(1,)+∞上各有一个实根， 故实数a 的取值范围为(),1∞--.（2）证明：由（1）可得101x <<，21>x ，()()120f x f x ==， 而()()111222222222ln ln f x f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222222222222ln ln 3ln ln 2x x a a x x x x x ⎛⎫=-+--+=--+ ⎪⎝⎭，设2t x =，令()()223ln ln 22h t t t t t =--+≥，于是()()()23321341t t h t t t t -+'=-+=， 由于2t ≥，故()0h t '≥，即()h t 在[)2,+∞上单调递增， ∴()()322ln 202h t h ≥=->. ∴当22x ≥时，()12220f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()1222f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 又()f x 在()0,1上递减，而101x <<，22201x <<， 所以1222x x <，即2122x x ⋅<. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数问题，考查了利用导数证明不等式，考查了推理能力和转化化归思想，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线22:14x C y +=，将C 的横坐标变为原来的12，纵坐标不变得到曲线1C ，再将曲线1C 向右平移一个单位得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 3ρθθ-=. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线22ππθαα⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭与直线l 和曲线2C 分别交于A B ，两点，求OB OA的最大值.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）1.【解析】（1）由题意可得曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得解； （2）由题意联立方程组可得OA =、2cos OB α=，代入并化简得21cos 2332OB OAπα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由平移变换和伸缩变换得曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）由cos sin 3ρθθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩得OA =，由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得2cos OB α=，所以2221cos cos cos 23332OBOAπαααα⎛⎫===++ ⎪⎝⎭， 由22ππα-<<可得242,333παππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以当且仅当6πα=-时，OB OA取得最大值1.【点睛】本题考查了函数图象的变换与直角坐标和极坐标的转化，考查了极坐标的应用，属于中档题.23．已知函数()4f x x x =-+. （1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()4,8-；（2）(],21-∞-.【解析】（1）由题意()24,44,0442,0x x f x x x x -≥⎧⎪=≤<⎨⎪-<⎩，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，利用基本不等式求出()max 149t t ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--，利用恒成立问题的解决办法即可得解. 【详解】（1）由题意()24,444,0442,0x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+=≤<⎨⎪-<⎩，则不等式()12f x <可转化为第 21 页 共 21 页 04212x x <⎧⎨-<⎩或04412x ≤<⎧⎨<⎩或42412x x ≥⎧⎨-<⎩， 整理可得48x -<<，故不等式()12f x <的解集为()4,8-.（2）由于()444x x x x -+≥--=，当04x ≤≤时，等号成立；而()1444919363793725t t t t t t ⎛⎫--=--+=-+≤- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当49t t =，即249t =，23t =时，等号成立. 要使不等式()()1449R x x t m t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭-+≥--+∈恒成立， 则254m +≤，解得21m ≤-，实数m 的取值范围为(],21-∞-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.。