中考第二轮复习：图形变换专题训练(有答案)

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中考数学复习《填空压轴题——图形变换综合》专项测试卷(含参考答案)

中考数学复习《填空压轴题——图形变换综合》专项测试卷(含参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________把CD绕点D旋转，点C的对应点为点E，当DE∥AC时，1．如图，AC为矩形ABCD的对角线，AB=5，BC=154CE的长为．2．如图，将线段BC绕点B逆时针旋转120°得到线段BA，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接DA、DC，则DA+DC的最小值为．3．如图，△ABC和△AGF是等腰直角三角形∠BAC=∠G=90°，△AGF的边AF，AG交边BC于点D，E若BD=3，CE=4则AD的值是．4．如图，在四边形ABCD中点E在四边形ABCD的内部，且DE=EC，∠DEC=∠AEB=120∘已知AD= 4，BC=6则AB的长为．5．如图，点D在等边△ABC的BC边上AB=3,BD=1将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，其中点B的对应点为点C，点D的对应点为点E,BC的延长线与AE的延长线相交于点F，则cos∠AFB的值为．6．如图，已知△ABC和△ADE为等腰直角三角形∠ACB=∠AED=90°，AC=√10，AE=√2连接CE、BD．在△AED绕点A旋转的过程中当CE所在的直线垂直于AD时BD=．7．如图，在矩形ABCD中AB=4，BC=3，CE=2BE，EF=2连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为．8．如图1的一汤碗，其截面为轴对称图形，碗体ECDF呈半圆形状（碗体厚度不计），直径EF=26cm，碗底AB＝10cm ∠A＝∠B＝90°，AC＝BD＝3cm．（1）如图1，当汤碗平放在桌面MN上时，碗的高度是cm．（2）如图2，将碗放在桌面MN上，绕点B缓缓倾斜倒出部分汤，当碗内汤的深度最小时，tan∠ABM的值是．9．如图．在矩形ABCD中BC=3√3点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为．10．如图，在平面直角坐标系中已知点A(0,2)，点P(a,0)是x轴上一动点，连接P A，在P A右侧作∠PAQ=60°，以P A为半径的⊙P交射线AQ于点B．当−1≤a≤3时，点B移动路径的长为．11．如图，△ABC中∠ACB=90°，AB=3AC=6O是AB边上一点满足CA=CO将△ABC绕点A顺时针旋转至△AB′C′使点C′落在射线CO上连接BB′交CC′的延长线于点F则FB的长为．12．如图在△ABC和△ADE中AB=BC=4√2AD=DE=2∠ABC=∠ADE=90°连接CE CD点O为CE的中点连接OD．将△ADE绕点A在平面内旋转．当∠CDE=90°时OD的长为．13．平面直角坐标系中四边形OABC是正方形点A C在坐标轴上点B(8,8)P是射线OB上一点将△AOP绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ Q是点P旋转后的对应点当BP+BQ=10√2时则点Q的坐标为．14．如图在Rt△ABC中∠ABC=90°∠C=30°点D是线段BC上的动点将线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD′连接BD′若AB=2cm则BD′的最小值为．15．如图平行四边形ABCD中AB＝16，AD＝12，∠A＝60°E是边AD上一点且AE＝8，F是边AB上的一个动点将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到EG连接BG、CG则BG＋CG的最小值是．16．如图在△ABC中∠ACB=90°∠ABC=30°AB=6点P是在△ABC内一点连接AP BP CP 将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B′．若点C P P′B′恰好在同一直线上则PA+PB+PC=．17．如图四边形ABCD为矩形连接BD将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O 并交BC于点E若D′E=2A′O则AB的值为．AD18．如图在菱形ABCD中AB=2∠BAD=60°将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转对应得到菱形AEFG点E在AC上EF与CD交于点P．（1）EF与DC的关系是（2）DP的长为．19．在Rt△ABC中∠BAC=90°AB=AC D E是斜边BC上两点且∠DAE=45°将△ADC绕点A顺时针旋转90°后得△AFB连接EF下列结论：①△AED≌△AEF；②△AEC的面积等于四边形AFBE的面积；③∠BAD=∠AEC；④BE2+DC2=DE2；其中正确的是．20．如图在平面直角坐标系xOy中把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角得到矩形CDEF．设若A(0,3) C(4,0)则BD2+BF2−BC2的最小值为．参考答案1．解：∵ABCD是矩形∵CD=AB=5AD=BC=154当DE∥AC且点E在CD上方时连接CE过点E作EF⊥CD交CD于点F∵DE∥AC∵∠EDF=∠DCA∵tan∠EDF=tan∠DCA即：EFDF =ADCD=1545=34设EF=3x DF=4x根据旋转的性质ED=CD=5在Rt△DEF中DE2=DF2+EF2即：52=(4x)2+(3x)2解得：x=1∵EF=3×1=3DF=4×1=4CF=CD−DF=5−4=1在Rt△FEC中CE=√EF2+CF2=√32+12=√10当DE∥AC且点E在CD下方时连接CE过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F∵DE∥AC∵∠EDF=∠DCA∵tan∠EDF=tan∠DCA即：EFDF =ADCD=1545=34设EF=3x DF=4x根据旋转的性质ED=CD=5在Rt△DEF中DE2=DF2+EF2即：52=(4x)2+(3x)2解得：x=1∵EF=3×1=3DF=4×1=4CF=CD+DF=5+4=9在Rt△FEC中CE=√EF2+CF2=√32+92=3√10故答案为：√10或3√10．2．解：如图把BD 绕点B 顺时针旋转120° 交DC 的延长线于点D` 过点B 作BE ⊥DD ′ 则∠DBD ′=∠ABC =120° DB =D ′B =5∵∠ABD +∠DBC =∠DBC +CBD ′=120°∵∠ABD =∠CBD ′又∵AB =CB DB =D ′B∵△ABD ≌△CBD ′(SAS )∵AD =CD ′∵AD +CD 的最小值为DD ′的值∵BE ⊥DD ′∵∠DBE =12∠DBD ′=60° DE =12DD ′∵∠BDE =30°∵BD =5∵BE =12BD =52∵DE =√52−(52)2=5√32 ∵DD ′=2×5√32=5√3故答案为：5√3．3．解：如图将△AEC 绕点A 顺时针旋转90°到△AG ′B 位置连接DG ′∵△ABC 和△AGF 是等腰直角三角形 ∠BAC =∠G =90°∵∠C =∠ABC =∠FAG =45° AB =AC由旋转性质可知：∠ABG′=∠C=45°BG′=CE=4AG′=AE∠BAG′=∠CAE∵∠G′BD=∠ABC+∠ABG′=90°∵DG′=√BG′2+BD2=√32+42=5∵∠BAC=90°∠FAG=45°∵∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠G′AB=45°∵∠DAG′=∠DAE=45°又∵AG′=AE AD=AD∵△AG′D≌△AED(SAS)∵DE=DG′=5∵BC=BD+DE+CE=12过点A作AH⊥BC∵AB=AC∠BAC=90°BC=6∵BH=CH=AH=12∵DH=BH−BD=6−3=3∵AD=√DH2+AH2=√32+62=3√5故答案为3√5．4．解：如图将△AED绕点E顺时针旋转120°至△FEC连接BF过点F作FH⊥BC交BC延长线于H则AD=CF=4AE=EF∠ADE=∠FCE∵AD∥BC∴∠ADE+∠EDC+∠ECD+∠ECB=180°∵ED=EC∠CED=120°∴∠EDC=∠ECD=30°∴∠ADE+∠ECB=120°∴∠FCE+∠ECB=120°即∠FCB=120°∵∠FCH=60°∵∠CFH=30°∵CH=12CF=12×4=2FH=√CF2−CH2=2√3∴FB=√BH2+FH2=√(6+2)2+(2√3)2=2√19∵∠AEB=120°∠AEF=120°∴∠FEB=360°−120°−120°=120°∴∠AEB=∠FEB在△ABE和△FBE中{AE=EF ∠AEB=∠FEB BE=BE∴△ABE≌△FBE(SAS)∴AB=FB=2√19．5．解：如图过点A作AH⊥BF于点H过点E作EN⊥BF于点N∵△ABC为等边三角形AH⊥BF∴BH=CH=32,AH=3√32∴DH=BH−BD=12∴AD=√AH2+DH2=√7∵将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE∴BD=CE=1AD=AE=√7∠B=∠ACF=60°∴∠ECN=180°−∠ACE−∠ACB=60°∵EN⊥CF∴CN=12CE=12EN=√32CN=√32∴HN=HC+CN=2∵∠AHC=∠ENF=90°∴△AHF∽△ENF∴ENAH =EFAF=EFAE+EF∴√323√32=√7+EF解得EF=√72∴NF=√EF2−EN2=1∴cos∠AFB=NFEF =2√77故答案为：2√77．6．解：∵△ABC为等腰直角三角形AC=√10∴AB=√2AC=2√5①当点E在点D上方时如图③过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P当CE⊥AD时可证∠AEC=∠ADB=135°∵∠ADE=45°∴∠EDB=90°∴∠PDE=∠AED=∠APD=90°∴四边形APDE是矩形∵AE=DE∴矩形APDE是正方形∴AP=DP=AE=√2在Rt△APB中根据勾股定理得BP=√AB2−AP2=√(2√5)2−(√2)2=3√2∴BD=BP−PD=2√2．②当点E在点D下方时如图④同①的方法得AP=DP=AE=√2BP=3√2∴BD=BP+DP=4√2综上所述BD的长为2√2或4√2．7．解：如图连接AE过点A作AG⊥AE截取AG=AE连接PG，GE ∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP∵AF=AP,∠PAF=90°∵∠FAE+∠PAE=∠PAE+∠PAG=90°∵∠FAE=∠PAG．又∵AG=AE∵△AEF≌△AGP(SAS)∵PG=EF=2．∵BC=3,CE=2BE∵BE=1．∵在Rt△ABE中AE=√AB2+BE2=√17．∵AG=AE,∠GAE=90°∵GE=√2AE=√34．∵PE≥GE−PG且当点G P E三点共线时取等号∵PE的最小值为GE−PG=√34−2．故答案为：√34−2．8．（1）解：如图设半圆的圆心为O连接OC,OB过点O作直线OP⊥CD于P交AB于Q∵四边形ACPQ是矩形四边形BDPQ是矩形∵AC＝PQ＝3cm PD＝QB∵OP⊥CD∵CP＝DP＝QB＝5cm∵OP＝√OC2−CP2＝√169−25＝12（cm）∵OQ＝OP＋PQ＝15cm．∵碗的高度为15cm；故答案为：15；（2）解：如图1 OB＝√OQ2+QB2＝√225+25＝5√10cm∵将碗放在桌面MN上绕点B缓缓倾斜倒出部分汤∵当半圆O与直线MN相切时碗内汤的深度最小如图2 设半圆O与直线MN相切于点R连接O′R连接OO′O′B过点O作OK⊥O′B于K∵旋转∵OB＝O′B＝5√10cm ∠ABM＝∠OBO′∵半圆O与直线MN相切于点R∵O′R⊥MN∵O′R＝13cm∵BR＝√O′B2−O′R2＝√250−169＝9cm∵S△OO′B＝S﹣S△OBQ﹣S△BRO′梯形OQO′R∵S△OO′B＝12×（5＋9）×（15＋13）﹣12×15×5﹣12×13×9＝100（cm2）∵12×O′B×OK＝100∵12×5√10×OK＝100∵OK＝4√10cm∵BK＝√OB2−OK2＝√250−160＝3√10cm∵tan∠OBO′＝OKBK ＝√103√10＝43∵tan∠MBA＝43故答案为：43．9．解：如图所示以AB为边向右作等边三角形△ABF作射线FQ交AD于点E过点D作DH⊥QE于H连接PQ∵四边形ABCD是矩形∵∠ABP=∠BAD=90°∵△ABF△APQ都是等边三角形∵∠BAF=∠PAQ=60°BA=FA PA=QA∵∠BAP=∠FAQ在△BAP和△FAQ中{BA=FA ∠BAP=∠FAQ PA=QA∵△BAP≌△FAQ（SAS）∵∠ABP=∠AFQ=90°∵∠FAE=∠BAD−∠BAF=90°−60°=30°∵∠AEF=180°−∠AFQ−∠FAE=180°−90°−30°=60°∵AB =AF =3 ∠FAE =30°∵在Rt △AFE 中设FE =x 则AE =2x 根据勾股定理得x 2+32=(2x)23x 2=9x 2=3x =1√3 x 2=−√3（舍）∵FE =√3 AE =2√3∵点Q 在射线FE 上运动∵AD =BC =3√3∵DE =AD −AE =3√3−2√3=√3∵DH ⊥EF ∠DEH =∠AEF =60°∵DH =√DE 2−EH 2=√(√3)2−(√32)2=32∵垂线段最短∵当点Q 与点H 重合时 DQ 的值最小最小值为32故答案为：32．10．解：连接PB 如图所示∵PA =PB ∠PAQ =60°∵△APB 是等边三角形．当点P 运动到原点O 时记点B 的位置为M 如图1所示当点P 在x 轴上运动（P 不与O 重合）时∵∠PAB =∠OAM =60°∵∠PAO =∠BAM在△APO 和△ABM 中{AP=AB∠PAO=∠MAB AO=AM∵△APO≌△ABM（SAS）∵∠AMB=∠AOP=90°∵当点P在x轴上运动（P不与O重合）时∠AMB为定值90°∵点B的轨迹为一条经过点M且与AM垂直的线段．当a=−1时点P(−1，0)；当a=3时点P′(3，0)如图2所示∵PP′=3−(−1)=4∵△APB△AP′B′都是等边三角形∵AP=AB AP′=AB′∠PAB=∠P′AB′=60°∵∠PAP′=∠BAB′在△PAP′和△BAB′中{AP=AB∠PAP′=∠BAB′AP′=AB′∵△PAP′≌△BAB′（SAS）∵BB′=PP′=4∵当−1≤a≤3时点B移动路径的长为4故答案为：411．解：过点C作CD⊥AB于点D∵CA=CO CD⊥AB∵AD=OD∵AB=3AC=6∵AC=2∵∠ACB=90°∵在Rt△ABC中cos∠CAB=ACAB =13则在Rt△ACD中AD=AC⋅cos∠CAB=ADAC =13即AD2=13解得：AD=23则AO=2AD=43∵BO=AB−AO=6−43=143∵△AC′B′是由△ACB旋转得到∵AC=AC′,AB=AB′,∠CAC′=∠BAB′∵AC AB =AC′AB′∵△CAC′∽△BAB′∵∠ACO=∠OBF ∵∠BOF=∠COA ∵△ACO∽△FBO∵CA BF =COBO∵CA=CO∵BO=BF=14．3故答案为：14312．解：∵AB=BC=4√2AD=DE=2∠ABC=∠ADE=90°∵AC=√AB2+BC2=8分两种情况讨论：①如下图当点D运动到线段AC上时∵∠ADE=90°∵∠CDE=180°−∠ADE=90°此时CD=AC−AD=8−2=6∵CE=√CD2+DE2=√62+22=2√10∵点O为CE的中点CE=√10；∵OD=12②如下图当点D运动到线段CA的延长线上时此时∠CDE=∠ADE=90°CD=AC+AD=8+2=10∵CE=√CD2+DE2=√102+22=2√26∵点O为CE的中点CE=√26．∵OD=12综上所述OD的长为√10或√26．故答案为：√10或√26．13．解：当点P 在线段OB 上时∵点B 的坐标为(8,8) 四边形OABC 是正方形∵OA =AB =8 ∠OAB =90° ∠AOB =45°在Rt △OAB 中OB =√OA 2+AB 2=√82+82=8√2将△AOP 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABQ∵△AOP ≌△ABQ∵OP =BQ∵BP +BQ =BP +OP =OB =8√2与BP +BQ =10√2相矛盾故点P 不在线段OB 上当点P 在线段OB 的延长线上时如图过点Q 作QF ⊥x 轴于点F由旋转的性质可得OP =BQ ∠AOB =∠ABQ =45°∵BP +BQ =BP +OP =10√2由图可知 OP −BP =8√2解方程组{BP +OP =10√2OP −BP =8√2解得{OP =9√2BP =√2∵BQ =OP =9√2设BQ 与x 轴交于点N∵∠OAB =∠NAB =90° ∠ABQ =45°∵∠ANB =90°−∠ABQ =90°−45°=45°∵△ABN 是等腰直角三角形∵AN =AB =8∵BN =√AB 2+AN 2=√82+82=8√2∵NQ =BQ −BN =9√2−8√2=√2∵∠QFA =90° ∠QNF =∠ANB =45°∵∠NQF =90°−∠QNF =90°−45°=45°∵△QNF 是等腰直角三角形∵QF=NF=NQ⋅sin∠NQF=√2×sin45°=√2×√22=1∵OF=OA+AN+NF=8+8+1=17∵点Q的坐标为(17,−1)故答案为：(17,−1)．14．解：在AC上截取AE=AB=2作EF⊥BC于F如图∵∠ABC=90°∠C=30°∴AC=2AB=4BC=√3AB=2√3∠BAC=60°∴CE=AC−AE=2在Rt△CEF中EF=12CE=1FC=√3EF=√3∵线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD′∴AD=AD′∠DAD′=60°∴∠BAD′=∠EAD在△ABD′和△ADE中{AB=AE∠BAD′=∠EAD AD′=AD∴△ABD′∵△AED∴DE=BD′在Rt△DEF中DE2=DF2+EF2=(√3−BD)2+12=(BD−√3)2+1∴当BD=√3时DE2有最小值1∴BD′的最小值为1．15．解：如图取AB的中点N连接EN,EC,GN作EH⊥CD交CD的延长线于H由题意可得：AE=8,DE=4,∵点N是AB的中点∵AN=NB=8,∵AE=AN,∵∠A=60°,∵△AEN是等边三角形∵EA=EN,∠AEN=∠FEG=60°,∠ANE=60°,∵∠AEF=∠NEG,∵EA=EN,EF=EG,∵△AEF≌△NEG(SAS),∵∠ENG=∠A=60°,∵∠GNB=180°−60°−60°=60°,∵点G的运动轨迹是射线NG∵BN=EN,∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG,∵△EGN≌△BGN(SAS),∵GB=GE,∵GB+GC=GE+GC≥EC,在Rt△DEH中∠H=90°,DE=4,∠EDH=60°,DE=2,EH=2√3∵DH=12∵在Rt△ECH中EC=√EH²+CH²=√(2√3)2+182=4√21∵GB+GC≥4√21∵GB+GC的最小值为4√21；故答案为4√21．16．解：过点B′作BE′⊥AC交直线AC于点E∵在△ABC中∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠BAC=90°−∠ABC=60°AC=12AB=12×6=3∵将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B′∵△APB≌△AP′B′△APP′是等边三角形∵PP′=AP∴AB=AB′=6,∠BAB′=60°∴∠B′AE=180°−∠BAC−∠BAB′=60°在Rt△B′AE中∠AB′E=90°−∠B′AE=30°∴AE=12AB′=3,B′E=√AB′2−AE2=3√3∴CE=AC+AE=3+3=6若点C P P′B′恰好在同一直线上在Rt△B′EC中CB′=√CE2+B′E2=√62+(3√3)2=3√7．∴PA+PB+PC=CB′=3√7．故答案为：3√7．17．解：如图延长D′A′交AD于点F连接BF AC DE∵四边形ABCD为矩形点O是对角线BD的中点∵AC经过点O AD=BC AD∥BC∴OA =OC ∠OAF =∠OCE由旋转的性质可知：AB =A ′B ∠BAF =∠BA ′O =90°在Rt △BAF 和Rt △BA ′F 中{BA =BA ′BF =BF∵Rt △BAF ≌Rt △BA ′F (HL )∵AF =A ′F在△OAF 和△OCE 中{∠OAF =∠OCE OA =OC ∠AOF =∠COE∵△OAF ≌△OCE (ASA )∵AF =CE∵AD =BC AD∥BC∵DF =BE∵四边形BEDF 为平行四边形∵OE =OF设AF =x A ′O =a∵OE =OF =x +a D ′E =2A ′O =2a∵EF =2OF =2x +2a AD =A ′D =x +4a∵DF =BE =AD −AF =4a A ′E =x +2a∵EF 为平行四边形BEDF 的对角线∵S ▱BEDF =2S △BEF∵BE ⋅AB =2×12EF ⋅A ′B∵4a ⋅AB =2×12(2x +2a )⋅A ′B ∵AB =A ′B∵4a =2x +2a∵x =a∵AD =x +4a =5a A ′E =x +2a =3a在Rt △A ′BE 中A ′E =3a BE =4a由勾股定理得：A ′B =√BE 2+A ′E 2=√7a∵AB=A′B=√7a∵AB AD =√7a5a=√75故答案为：√75．18．解：（1）连接BD交AC于O如图所示：∵四边形ABCD是菱形∵CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝12∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD∵OB＝12AB＝1∵OA＝√3OB＝√3∵AC＝2√3由旋转的性质得：BC=AD=EF=FG=GA=CD=AE=AB=2∠EAG＝∠BAD＝60°∵CE＝AC−AE＝2√3−2∵四边形AEFG是菱形∵EF∥AG∵∠CEP＝∠EAG＝60°∵∠CEP＋∠ACD＝90°∵∠CPE＝90°∵EF⊥DC∵EF=CD=2∵EF与DC的关系是相等且垂直故答案为：相等且垂直；（2）∵PE＝12CE＝√3−1PC＝√3PE＝3−√3∵DP＝CD−PC＝2−（3−√3）＝√3−1．故答案为：√3−119．解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF AD=AF ∵∠BAC=90°∠DAE=45°∵∠CAD+∠BAE=45∘∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°∵AD=AF AE=AE∵△AEF≌△AED(SAS)故①正确；②根据旋转的性质知△ADC≌△AFB∵△ABC的面积等于四边形AFBD的面积故②错误；③∵∠BAC=90°AB=AC∵∠ABC=∠ACB=45∘∵∠DAE=45°∵∠DAE=∠ABE=45∘∵∠ABE+∠EAB=∠DAE+∠EAB即∠BAD=∠AEC故③正确；④∵∠BAC=90°AB=AC△ADC旋转90°至△AFB∵∠ABC=∠ACB=45∘根据旋转的性质可得△ADC≌△AFB∠ABF=∠ACD=45∘∵∠FBE=45∘+45∘=90∘∵BE2+BF2=EF2∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后得△AFB∵△ADC≌△AFB∵BF=CD∵EF=DE∵BE2+DC2=DE2故④正确；故答案为：①③④．20．解：∵四边形OABC为矩形∵OA∥BC AB∥OC OA=BC AB=OC∠AOC=∠OAB=∠OCB=∠ABC=90°∵A(0 3) C(4 0)∵AO=BC=3 OC=AB=4由旋转可知四边形CDEF为矩形且DE=OA=3 DC=OC=4连CE则在Rt△CDE中CE=√CD2+DE2=√42+32=5过B作BG⊥EF于H且使BG=CF连GF GE则∠BHE=∠CFE=90°∵BG∥CF又∵CF∥DE CF=DE∵BG=CF BG=DE BG∥CF BG∥DE∵四边形CBGF和四边形DBGE均为平行四边形∵BC=FG BD=EG∵BG⊥EF于H∵∠BHF=∠FHG=∠GHE=∠BHE=90°∵BF2=BH2+HF2BD2=EG2=HE2+HG2∵BF2+BD2=BH2+HF2+HE2+HG2又∵BE2=BH2+HE2BC2=GF2=HF2+HG2∵BE2+BC2=BH2+HE2+HE2+HG2∵BF2+BD2=BE2+BC2∵BF2+BD2−BC2=BE2∵当BE最小时BF2+BD2−BC2才最小当C B E三点不共线时在△CBE中BE>CE−CB当C B E三点共线时（点E在CB的延长线上时）BE=CE-CB综上所述BE≥CE-CB=5-3=2即BE≥2∵BE的最小值为2当BE=2时BF2+BD2−BC2=4故答案为：4．。

中考专题图形变换(精选17题)(平移、轴对称、旋转)练习及答案

中考复习专题:图形变换（精选17题）（平移、轴对称、旋转）练习及答案一、翻折翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180º后所形成的新的图形的变化．翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴．解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素．翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多．另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意．1．(2012•丽水)如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是( )A．①B．②C．⑤D．⑥2．（2012•济宁）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米3．（2012泰安）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．B．（C．（2012泰安）D．4．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC 上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A．150°B．210°C．105°D．75°5．（2012绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．512532⨯B．69352⨯C．614532⨯D．711352⨯6．(2012•连云港)小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( )A．＋1B．＋1 C．2.5 D．7、（2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．8、．（2006年南京市）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，23AF ，求DE的长；(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．9、．（2012•德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC 于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．专题二．、旋转1. （2011四川成都，14,4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，将Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到R t △ADE ，点B 经过的路径为 BD，则图中阴影部分的面积是___________.2．（2012中考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠B ＝30º，AC ＝1，AC 在直线l 上．将△ABC绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2012为止，则AP 2012＝【】A ．2011＋671 3B ．2012＋671 3C ．2013＋671 3D ．2014＋671 33．（2012•烟台）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB ′C′的位置，B ，A ，C ′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为．4．(2012•中考)如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为（结果用含有π的式子表示）B①② ③123… l5．（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是O（0，0），旋转角是90度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；（3）设Rt△ABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．6．（2012成都）(本小题满分10分)如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=9 2 a时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)．7、（2011安徽，22，12分）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．（1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；（2）如图（2），连接A ′A 、B ′B ，设△ACA ′ 和△BCB ′ 的面积分别为S △ACA ′ 和S △BC B′．求证：S △ACA ′ ：S △BC B′ =1：3；（3）如图（3），设AC 中点为E ，A ′B ′中点为P ，AC =a ，连接EP ，当 = °时，EP 长度最大，最大值为．Aθ A ′B ′BCA ′B ′BCAθ8、（2011四川凉山州，21，8分）在平面直角坐标系中，已知ABC △三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C ---⑴画出ABC △，并求出AC 所在直线的解析式。

中考二轮复习之图形的变换(含答案)

中考二轮复习之图形的变换平移变换【例1】如图，将边长为4个单位长度的等边△ABC 沿边BC 向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )A ．12B ．16C ．20D ．241．如图，将△ABE 向右平移 2 cm 得到△DCF，如果△ABE 的周长是16 cm ，那么四边形ABFD 的周长是( C )A ．16 cmB ．18 cmC ．20 cmD ．21 cm(第1题图) (第2题图)2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝8，将△ABC 沿C B 向右平移得到△DEF，若四边形ABED 的面积等于8，则平移距离等于( A )A ．2B ．4C ．8D ．16折叠变换【例2】如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝________.3．如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处．若AE ＝23BE ，则长AD 与宽AB 的比值是____．旋转变换【例3】如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°，得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC 上，点A′落在CD 的延长线上)，A ′B ′交AD 于点E ，连接AA′，CE.求证：(1)△ADA′≌△CDE；(2)直线CE 是线段AA′的垂直平分线．4．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA ，OB 分别在x 轴，y 轴的负半轴上，且OA ＝2，OB ＝1.将Rt △AOB 绕点O 按顺时针方向旋转90°后，再把所得的图形沿x 轴正方向平移1个单位长度，得到△CDO.(1)写出点A ，C 的坐标；(2)求点A 与点C 之间的距离．5．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1；平移△A BC ，若点A 的对应点A 2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A 2B 2C 2；(2)若将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标；(3)在x 轴上有一点P ，使得PA ＋PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．综合练习一、选择题1．如图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是由△ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是( )A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ．(4)2．在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为(1，0)，顶点A 的坐标为(0，2)，顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此点C 的对应点C′的坐标为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 B ．(2，0) C .⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 D ．(3，0)3．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－1，3)，以原点O 为中心，将点A 顺时针旋转150°得到点A′，则点A′坐标为( )A ．(0，－2)B ．(1，－3)C ．(2，0)D ．(3，－1)4．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．85．如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MP N 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点，则以下结论：①PM＝PN 恒成立；②OM＋ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变，其中正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1(第5题图) (第6题图)6．如图，已知直线l 的表达式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．一个半径为 1.5的⊙C，圆心C 从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿y 轴向下运动，当⊙C 与直线l 相切时，则该圆运动的时间为( )A ．3 s 或6 sB ．6 sC ．3 sD ．6 s 或16 s7．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B ′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是( )A .2π3 B ．23－π3 C ．23－2π3 D ．43－2π38．(2017考试说明)如图，已知点F 的坐标为(3，0)，点A ，B 分别是某函数图像与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x之间满足关系：d ＝5－35x(0≤x≤5)，结论：①AF ＝2；②BF＝4；③OA ＝5；④OB＝3.则正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①③C ．①②④D ．③④二、填空题9．如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是____________．(第9题图) (第10题图)10．如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A＝60°，AD ＝4，AB ＝6，则AE 的长为____． 11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE＝∠B，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC ＝8，AB ＝10，则CD 的长为____.(第11题图) (第12题图)12．一副三角尺按如图的位置摆放(顶点 C 与 F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B ，C ，D 在一条直线上)．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n °后(0＜n ＜180)，如果EF∥AB，那么n 的值是____．13．如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B′C′交CD 边于点G.连接BB′，CC ′，若AD ＝7，CG ＝4，AB ′＝B′G，则CC′BB′＝___________三、解答题14．在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上.(1)在图①中画出与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；(画出一个即可)(2)将图②中的△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形.15．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC＝3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AB′C′E，点B，C的对应点分别为点B′，C′.(1)当B′C′恰好经过点D时(如图①)，求线段CE的长；(2)若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°(如图②)，求△DFG的面积；(3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．16．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC.(1)如图①，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；(2)如图②，若点P为线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；(3)如图③，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB＝a，BP＝b，求a∶b及∠AEC的度数．中考二轮复习之图形的变换答案平移变换【例1】如图，将边长为4个单位长度的等边△ABC 沿边BC 向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( A )A ．12B ．16C ．20D ．24【解析】平移是全等的图形变化，在平移过程中线段的长度和图形中的角度保持不变．【答案】B1．(济宁中考)如图，将△ABE 向右平移2 cm 得到△DCF，如果△ABE 的周长是16 cm ，那么四边形ABFD 的周长是( C )A ．16 cmB ．18 cmC ．20 cmD ．21 cm(第1题图) (第2题图)2．(2016保定一模)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝8，将△ABC 沿C B 向右平移得到△DEF，若四边形ABED 的面积等于8，则平移距离等于( A )A ．2B ．4C ．8D ．16 【方法指导】运用平移前后两个图形全等以及每个点平移的距离相等解决问题．折叠变换【例2】(黄冈中考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝________.【解析】利用折叠前后图形全等解决问题．先求出DE ＝a ，EC ＝2a.再根据折叠的性质得到PE ＝EC ＝2a ，∠PEF ＝∠FEC，PF ＝FC.在Rt △PDE 中，利用三角函数可推出∠PED＝60°，从而可得∠PEF＝∠FEC＝60°.在Rt △FEC 中，利用三角函数可求得FC ＝23a ，所以FP ＝FC ＝23a.【答案】23a3．如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处．若AE ＝23BE ，则长AD 与宽AB 的比值是__355__．【方法指导】熟练掌握两个图形翻折前后全等，以及轴对称的性质，结合图形解题．旋转变换【例3】(宁夏中考)如图，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°，得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC 上，点A′落在CD 的延长线上)，A ′B ′交AD 于点E ，连接AA′，CE.求证：(1)△ADA′≌△CDE；(2)直线CE 是线段AA′的垂直平分线．【解析】(1)根据正方形的性质可得AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∠EA ′D ＝45°，则∠A′DE＝90°，∠A ′ED ＝45°.根据等角对等边可得A′D＝ED ，即可利用“SAS ”证明△ADA′≌△CDE；(2)由AC ＝A′C，可得点C 在AA′的垂直平分线上．根据两点确定一条直线可得直线CE 是线段AA′的垂直平分线．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠A ′DE ＝90°. 根据正方形的性质可得，∠EA′D＝45°， ∴∠A ′ED ＝45°，∴A ′D ＝DE. 在△ADA′和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠A ′DA ＝∠EDC＝90°，A ′D ＝ED ，∴△ADA ′≌△CDE(SAS )；(2)根据旋转的性质可得，AC ＝A′C， ∴点C 在AA′的垂直平分线上． ∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠CAE ＝45°.∵AC ＝A′C，CB ′＝CD ， ∴AB ′＝A′D.在△AEB′和△A′ED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ′＝∠EA′D，∠AEB ′＝∠A′ED，AB ′＝A′D.∴△AEB ′≌△A ′ED(AAS )． ∴AE ＝A′E.∴点E 也在AA′的垂直平分线上． ∴直线CE 是线段AA′的垂直平分线．4．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA ，OB 分别在x 轴，y 轴的负半轴上，且OA ＝2，OB ＝1.将Rt △AOB 绕点O 按顺时针方向旋转90°后，再把所得的图形沿x 轴正方向平移1个单位长度，得到△CDO.(1)写出点A ，C 的坐标；(2)求点A 与点C 之间的距离．解：(1)点A 的坐标是(－2，0)，点C 的坐标是(1，2)； (2)连接AC ，在Rt △ACD 中，AD ＝OA ＋OD ＝3，CD ＝2.∴AC ＝CD 2＋AD 2＝22＋32＝13. 【方法指导】熟练掌握两个图形旋转前后全等，以及旋转的性质，再结合图形解题．5．(2016石家庄四十三中二模)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1；平移△ABC，若点A 的对应点A 2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A 2B 2C 2；(2)若将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，请直接写出旋转中心的坐标； (3)在x 轴上有一点P ，使得PA ＋PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．解：(1)如图所示；(2)如图所示，旋转中心的坐标为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1； (3)点P 的坐标为(－2，0)．综合练习一、选择题1．(2017呼和浩特中考)如图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是由△ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是( A )A ．(1)B ．(2)C ．(3)D ．(4)2．(2017咸宁中考)在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为(1，0)，顶点A 的坐标为(0，2)，顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此点C 的对应点C′的坐标为( C )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0B ．(2，0)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 D ．(3，0)3．(2017孝感中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－1，3)，以原点O 为中心，将点A 顺时针旋转150°得到点A′，则点A′坐标为( D )A ．(0，－2)B ．(1，－3)C ．(2，0)D ．(3，－1)(第3题图)(第4题图)4．(2017考试说明)如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( C )A ．4B ．5C ．6D ．85．(2017滨州中考)如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MP N 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA ，OB 相交于M ，N 两点，则以下结论：①PM＝PN 恒成立；②OM＋ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④MN 的长不变，其中正确的个数为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1(第5题图)(第6题图)6．如图，已知直线l 的表达式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C 从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿y 轴向下运动，当⊙C 与直线l 相切时，则该圆运动的时间为( D )A ．3 s 或6 sB ．6 sC ．3 sD ．6 s 或16 s7．(2017河南中考)如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B ′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是( C )A .2π3 B ．23－π3C ．23－2π3 D ．43－2π3(第7题图)(第8题图)8．(2017考试说明)如图，已知点F 的坐标为(3，0)，点A ，B 分别是某函数图像与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：d ＝5－35x(0≤x≤5)，结论：①AF ＝2；②BF＝4；③OA ＝5；④OB＝3.则正确结论的序号是( B )A ．①②③B ．①③C ．①②④D ．③④二、填空题9．(2017齐齐哈尔中考)如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是．(第9题图)(第10题图)10．(2017西宁中考)如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A＝60°，AD ＝4，AB ＝6，则AE 的长为__194__．11．(2017襄阳中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE＝∠B，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC ＝8，AB ＝10，则CD 的长为__258__.(第11题图)(第12题图)12．(2017上海中考)一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B ，C ，D 在一条直线上)．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n °后(0＜n ＜180)，如果EF∥AB，那么n 的值是__45__．13．(2017苏州中考)如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B′C′交CD 边于点G.连接BB′，CC ′，若AD ＝7，CG ＝4，AB ′＝B′G，则CC′BB′＝5．三、解答题14．(2017宁波中考)在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上.(1)在图①中画出与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；(画出一个即可) (2)将图②中的△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形.解：(1)如图所示：(2)如图所示：15．(2017宿迁中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝3，点E 在边CD 上移动，连接AE ，将多边形ABCE 沿直线AE 折叠，得到多边形AB′C′E，点B ，C 的对应点分别为点B′，C ′.(1)当B′C′恰好经过点D 时(如图①)，求线段CE 的长；(2)若B′C′分别交边AD ，CD 于点F ，G ，且∠DAE＝22.5°(如图②)，求△DFG 的面积； (3)在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点C′运动的路径长．解：(1)由折叠得，∠B ＝∠B′＝90°，AB ＝AB′＝1，BC ＝B′C′＝3，C ′E ＝CE ，由勾股定理得，B ′D ＝AD 2－AB′2＝（3）2－12＝2，∴DC ′＝3－ 2.∵∠ADE ＝90°，∴∠ADB ′＋∠EDC′＝90°.又∵∠EDC′＋∠DEC′＝90°，∴∠ADB ′＝∠DEC′.又∠B＝∠C′＝90°，∴△AB ′D ∽△DC ′E. ∴AB′DC′＝B′D C′E ，即13－2＝2C′E ，∴CE ＝6－2； (2)连接AC ，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝31＝3， ∴∠BAC ＝60°，故∠DAC＝30°.又∠DAE＝22.5°，∴∠EAC ＝∠DAC－∠DAE＝30°－22.5°＝7.5°，由折叠得，∠B ′AE ＝∠BAE＝67.5°，∴∠B ′AF ＝67.5°－22.5°＝45°，∴AF ＝2AB′＝2，∴DF ＝3－2，∵∠DFG ＝∠B′FA＝45°，∠D ＝90°，∴DF ＝DG ，∴S △DFG ＝12×(3－2)2＝52－6； (3)如答图，连接AC ，AC ′，则AC ＝AC′＝2，∴点C′的运动路径是以点A 为圆心，以AC 为半径的圆弧；当点E 运动到点D 时，点C′恰好在CD 的延长线上，此时∠CAC′＝60°，∴点C′的运动路径长是60π×2180＝2π3.16．(2017枣庄中考)已知正方形ABCD ，P 为射线AB 上的一点，以BP 为边作正方形BPEF ，使点F 在线段CB 的延长线上，连接EA ，EC.(1)如图①，若点P 在线段AB 的延长线上，求证：EA ＝EC ；(2)如图②，若点P 为线段AB 的中点，连接AC ，判断△ACE 的形状，并说明理由；(3)如图③，若点P 在线段AB 上，连接AC ，当EP 平分∠AEC 时，设AB ＝a ，BP ＝b ，求a∶b 及∠AEC 的度数．解：(1)∵四边形ABCD 和四边形BPEF 是正方形，∴AB ＝BC ，BP ＝BF ，∴AP ＝CF ，在△APE和△CFE中，∵AP＝CF，∠P ＝∠F，PE＝EF，∴△APE≌△CFE，∴EA＝EC；(2)△ACE是直角三角形，理由如下：∵P为AB的中点，∴PA＝PB.∵PB＝PE，∴PA＝PE，∴∠PAE＝45°.又∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形；(3)如答图，设CE交AB于G.∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP＝PG＝a－b，BG＝a－(2a－2b)＝2b－a，∵PE∥CF，∴PEBC＝PGGB，即ba＝a－b2b－a，解得：a＝2b.∴a∶b＝2∶1，作GH⊥AC于H，∵∠CAB＝45°，AG＝2AP＝2(a－b)＝22b－2b，∴HG＝22AG＝22(22b－2b)＝(2－2)b.又∵BG＝2b－a＝(2－2)b，∴GH＝GB，∵GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG＝∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG＝∠BCG，∴∠AEC＝∠ACB＝45°.。

备考2024年中考数学二轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_旋转的性质-解答题专训及答案

备考2024年中考数学二轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_旋转的性质-解答题专训及答案旋转的性质解答题专训1、(2017长春.中考真卷) 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．2、(2011苏州.中考真卷) 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是？3、(2018红桥.中考模拟) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0，），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=30°时，求点B′的坐标；（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M．如图②，当α=90°时，求点M的坐标；②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值．（直接写出结果即可）4、(2018河东.中考模拟) 如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．5、(2017吉林.中考模拟) 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F，求证：△AEC≌△ADB．6、(2019.中考模拟) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（1，0），点B（0，），把△ABO绕点O顺时针旋转，得A′B′O，记旋转角为α.（Ⅰ）如图①，当α＝30°时，求点B′的坐标；（Ⅱ）设直线AA′与直线BB′相交于点M.①如图②，当α＝90°时，求点M的坐标；②点C（﹣1，0），求线段CM长度的最小值.（直接写出结果即可）7、(2017浙江.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ +bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣ +bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=﹣ +bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．8、(2017全椒.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC，D为△ABC内一点，AD=4，如果把△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，求点D运动的路径长．9、(2017金乡.中考模拟) 请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD的边长．10、(2016济宁.中考模拟) 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α=30°时，求线段EF的长度．11、(2013来宾.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（﹣3，5），C（﹣4，1）．①把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；②把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．12、(2019巴中.中考真卷) △ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．13、(2017西安.中考模拟) 如图，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=50°，将△AOB绕O点顺时针旋转30°，得到△COD，OC交AB于点F，CD分别交AB、OB于点E、H．求证：EF=EH．14、(2020黄石.中考模拟) 如图，等腰△ABC和等腰△ADE的顶角∠BAC=∠DAE=30°，△ACE可以看作是△ABD经过什么图形变换得到的？说明理由.15、(2020福州.中考模拟) 如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．旋转的性质解答题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

图形的变换复习(中考题选附标准答案)

初三数学第二章图形与变换复习知识总结1. 旋转不改变图形地形状和大小，由旋转得到地图形与原来地图形全等.2. 在旋转前后地两个图形中,对应点到旋转中心地距离相等3. 任意一对对应点与旋转中心地连线所成地角都相等.即旋转角度相等.如果两个多边形是位似图形，那么图形上任意一对对应点到位似中心地距~~ 离之比都等于对应边地比1. 确定旋转中心及旋转方向.旋转角2. 找出表示图形地关键点.3. 将图形地关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向将它们旋转一定地角度得到此关键点地对应点.4. 按原图形地顺序连接这些对应点所得图形就是旋转后地图形.1. 确定位似中心2. 分别连接位似中心和能代表原图形地关键点3. 根据位似比，找出所作地位似图形地对应点4. 顺次连接上述各点，得到放大或缩小地图形平面上任意点（a，b）1. 按逆时针方向旋转90度，得到（-b，a）2. 按逆时针方向旋转180度，得到（-a，-b ）3. 按逆时针方向旋转270度，得到（b，-a）以坐标原点为位似中心地位似变换地坐标规律：原来图形上点地坐标为（x，y），所求图形上点地坐标为（a，b），所求图形与原来图形地位似比为k，那么：旦二k或-kx-=k或-ky定义要素在平面内，将一个图形沿某一个方向移动平移方向一定地距离，这样地平移距离移变换叫做图形地平移性质1.平移不改变图形地形状和大小，由平移得到地图形与原来地图形全等2平移前后两个图形地|对应点地连线平行（或在同一条直线上）且相等•3.平移前后两个图形地|对应线段|平行（或在同一条直线上）且相等•画图步骤1. 首先作出平移地方向.2. 确定平移地距离3. 画出决定图形大小和形状地对应点，对应角和对应线段4. 按原来图形地连接方式补充完整图形.坐标规律1. 左右平移，横坐标变化，纵坐标不变.2. 上下平移，纵坐标变化，横坐标不变.旋在平面内，将一个图形绕一个定点按某一旋转中心个方向转动一疋地角旋转方向度，这样地变换叫做旋转角度转图形地旋转位每对对应点所在直线交于一点地相似图形叫做位似图形似潍坊六年中考题选一一平移与旋转部分（2007—2012）1. （2007潍坊）如图,两个全等地长方形 ABCD 与CDEF 旋转长方形 ABCD 能和长方形CDEF 重合 ,则可以作为旋转中心地点有（A ）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

初中图形变换试题及答案

初中图形变换试题及答案一、选择题1. 以下哪个图形经过旋转后与原图形重合？A. 正方形B. 长方形C. 等边三角形D. 圆答案：D2. 一个图形经过轴对称变换后，以下哪个说法是正确的？A. 图形的形状和大小都发生了改变B. 图形的形状不变，大小发生了改变C. 图形的形状和大小都不变D. 图形的形状发生了改变，大小不变答案：C3. 在平移变换中，图形的位置会发生变化，而以下哪个属性不会改变？A. 形状B. 大小C. 颜色D. 以上所有答案：D二、填空题4. 如果一个图形绕着某一点旋转180度后与原图形重合，那么这个图形具有______对称性。

答案：中心5. 平移变换不改变图形的______和______。

答案：形状、大小三、解答题6. 给定一个等腰直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=BC=2cm。

请画出经过以下变换后的图形：(1) 将三角形ABC绕点C顺时针旋转90度；(2) 将旋转后的三角形沿AC边平移3cm。

答案：根据题目描述，首先画出等腰直角三角形ABC，然后进行旋转和平移变换，得到变换后的图形。

7. 已知一个矩形，长为4cm，宽为2cm。

请计算经过以下变换后的图形的周长：(1) 将矩形沿长边方向平移2cm；(2) 将平移后的矩形绕其中心点旋转180度。

答案：由于平移和旋转变换不改变图形的形状和大小，所以变换后的图形周长与原图形周长相同，即(4+2)×2=12cm。

四、综合题8. 给定一个正五边形，边长为3cm。

请回答以下问题：(1) 正五边形具有哪种对称性？(2) 如果将正五边形绕其中心点旋转72度，旋转后的图形与原图形的关系是什么？答案：(1) 正五边形具有轴对称性和中心对称性；(2) 旋转后的图形与原图形重合。

2020年中考数学图形的变换专题(附答案)

2020年中考数学图形的变换专题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.若△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，那么△ABC的最长边是（）A. 4cmB. 9cmC. 4cm或9cmD. 以上答案都不对2.如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A. 2：3B. 3：2C. 6：4D. 9：43.如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是( ）A. (,)B. (,3)C. (,)D. (,)4.如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A. 5.1米B. 6.3米C. 7.1米D. 9.2米5.设a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.6.如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：① ：②S△BCE=36:③S△ABE=12：④△AEF∽△ACD；其中一定正确的是（）A. ①②③④B. ①④C. ②③④D. ①②③7.如图，E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F，连接AF，CE.则图中与△ABF面积一定相等的三角形是（）A. △BEFB. △DCFC. △ECFD. △EBC8.如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米。

若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 3sina米B. 3cosa米。

中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

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图形变换专题训练一、旋转1、（上海市2011年4分）Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt△ABC 的边上，那么m ＝80°或120°．2、（2012四川南充8分）在Rt △POQ 中，OP=OQ=4,M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿POQ 的两直角边分别交于点A 、B ， (1)求证：MA=MB(2)连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。

请说明理由。

解：（1）证明：连接OM 。

∵ Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ 的中点，∴，OM=PM=12，∠POM=∠BOM=∠P=450。

∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO ，∴∠PMA=∠OMB 。

∴△PMA ≌△OMB （ASA ）。

∴ MA=MB 。

(2) △AOB 的周长存在最小值。

理由如下: ∵△PMA ≌△OMB ，∴ PA=OB 。

∴OA+OB=OA+PA=OP=4。

令OA=x ， AB=y ，则y 2=x 2+(4-x)2=2x 2-8x+16=2(x-2)2+8≥8。

∴当x=2时y 2有最小值8，从而 y 的最小值为。

∴△AOB 的周长存在最小值，其最小值是【分析考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。

变式一、（2008年江苏徐州10分）如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ， ∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板．．．．DEF ．．．绕点．．E ．旋转．．，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q 【探究一】在旋转过程中，（1）如图2，当CE 1EA＝时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明.（2）如图3，当CE 2EA＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由.（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CE m EA＝时，EP 与EQ 满足的数量关系式为_________,其中m 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)【探究二】若CE 2EA＝，AC ＝30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S(cm 2)，在旋转过程中：（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化？不出相应S 值的取值范围.求m 取值范围方法：当点E 与点C 重合时，m=0，EQ=0，EQ mEP =成立。

当点Q 与点F 重合时，如图，是EQ 最大的情形。

设PE=k ，则EQ=km ，，，()1m +。

探究二：（1）存在。

设EQ=x ，则21S x 4=。

∴当EQ=EF=0DE tan 30=30⋅时，面积最大，是75cm 2；当EQ⊥BC，即EQ=0EC sin 45=20⋅，面积最小，是50cm 2。

（2）当时，S=62.5cm 2，∴当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有1个。

变式二、（2011年江苏扬州12分）在△ABC 中，∠BAC＝900，AB ＜AC ，M 是BC 边的中点，MN⊥BC 交AC 于点N ．动点P 从点B 出发沿射线BA Q 从点N 出发沿射线NC 运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为t 秒（0t >）．（1）△PBM 与△QNM 相似吗？以图１为例说明理由；（2）若∠ABC＝600，AB ＝ ①求动点Q 的运动速度；②设△APQ 的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；（3）探求22BP PQ CQ 2、、三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．（2）∵BAC ABC 9060∠=∠=，°°，∴BC AB 2==cm 。

又∵MN 垂直平分BC ，∴BM CM ==。

∵C 30∠=°，∴MN =＝4 cm 。

①设Q 点的运动速度为v cm/s ，当0t 4<<时，如图１，由（1）知△PBM∽△QNM，∴NQ MNBP MB ==。

∴v 1=。

当t 4≥时，如图2，同样可证△PBM∽△QNM ，得到v 1=。

综上所述，Q 点运动速度为1 cm/s ．【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

3、（2012辽宁阜新12分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE。

②结论：BD=CE，BD⊥CE。

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。

在Rt△ABD 与Rt△ACE 中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ， ∴△ABD≌△ACE（SAS ）。

∴BD=CE。

延长BD 交AC 于F ，交CE 于H 。

在△ABF 与△HCF 中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC， ∴∠CHF=∠BAF=90°。

∴BD⊥CE。

（2）结论：乙．AB ：AC=AD ：AE ，∠BAC=∠DAE=90°。

【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。

变式、（2013安徽芜湖一模）如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立. （1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（090θ<<）时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G .① 求证：BD ⊥CF ；② 当AB ＝4，ADBG 的长.图1 图2 图3解（1）BD ＝CF 成立.理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，∴AB =AC ，AD =AF ，∠BAC =∠DAF =90°,∵∠BAD =DAC BAC ∠-∠，∠CAF =DAC DAF ∠-∠，∴∠BAD =∠CAF ，∴△BAD ≌△CAF .∴BD ＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG 交AC 于点M .∵△BAD ≌△CAF （已证），∴∠ABM ＝∠GCM . ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG .∴∠BGC ＝∠BAC ＝90°.∴BD ⊥CF .……………………………………（7分）②过点F 作FN ⊥AC 于点N .∵在正方形ADEF 中，AD ＝2， ∴AN ＝FN ＝121=AE . ∵在等腰直角△ABC 中，AB ＝4，图13.3图13.2图13.1A 45°θG CDEFFEDCFED CB A MN FE DCG 45°∴CN ＝AC －AN ＝3，BC ＝2422=+AC AB . Rt △FCN ∽Rt △ABM ，∴ABCN AMFN =∴AM ＝=⨯AB 3134. ∴CM ＝AC －AM ＝4－34＝38，310422=+=AM AB BM .…… （9分）∵△BMA ∽△CMG ，∴CGCM BABM =.∴CG 3843104=. ∴CG ＝5104.…………………………………… （11分）∴在Rt △BGC 中，=-=22CG BC BG 5108. ……………… （12分）4、（2005年江苏扬州课标卷14分）等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．①探究1：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论） ②探究2：连接EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由； ③设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．（2）①△BPE∽△CFP。

②△BPE 与△PFE 相似。

理由如下：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP PFBE PE=。

【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

5、（2007年江苏徐州9分）如图，△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE′＜180°），连接AD′、BE′，设直线BE′与AC、AD′分别交于点O、E．（1）若△ABC为等边三角形，则ADBE''的值为，求∠AFB的度数为；（2）若△ABC满足∠ACB=60°，，，①求ADBE''的值和∠AFB的度数；②若E为BC的中点，求△OBC面积的最大值．②当面积最大，最大值为11BC CO sin ACB 22⋅⋅∠=。

【考点】旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

6、（2012辽宁丹东12分）已知：点C 、A 、D 在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD 、CE 交于点M ．（1）如图1，若AB=AC ，AD=AE①问线段BD 与CE 有怎样的数量关系？并说明理由； ②求∠BMC 的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB= BC=kAC ，AD =ED=kAE则线段BD 与CE 的数量关系为，∠BMC= （用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC 绕点A 逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC 并延长交BD 于点M.则∠BMC= （用α表示）．解：（1）如图1。