【全国重点校】高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案 (2)
高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221168x y -=的虚轴长是（ ）A ．8B ．C ．．2 2.在公差为d 的等差数列{}n a 中，“1d >”是“是递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A ．50B ．60C ．30D ．404.已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线交椭圆C 于P Q 、两点，若1F P +110FQ =，则PQ 等于（ ） A ．8 B ．6 C.4 D ．25.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5 C.3.5 D ．2.756.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.已知椭圆()222:10525x y C b b +=<<的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（ ）A ．221254x y +=B ．221259x y += C.2212516x y += D ．22125x y +=8.已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32pAF =，AO = ） A ．B ．3x =- C.2x =- D ．1x =-9.某班m 名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m 名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则等于（ ）A ．45B ．48 C.50 D ．5510.已知定点()3,0M -，()2,0N ，如果动点P 满足2PM PN =，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ．1009π B ．1429π C.103πD ．9π11.已知命题p ：直线20x y +=与直线20x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∧⌝B ．()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧12.如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ）A ．1 BD ．2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0m >，0n >，向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直，则mn 的最大值为 ．14.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．15.在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上任取一个数x ，则函数()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值不小于0的概率为 ．16.已知点A 是抛物线()2:20C x px p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则p 的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρθ=.（1）写出直线的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.18. （本小题满分12分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根；q ：方程221321x ym m-=+-表示焦点在轴上的双曲线.（1）若为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.19. （本小题满分12分）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x （百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. （本小题满分12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；（2）在（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率. 21. （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，CB CD =，AD DB =，,P Q 分别在线段,AB AC 上，3AP PB =，2AQ QC =，M 是BD 的中点.（1）证明：//DQ 平面CPM ； （2）若二面角C AB D --的大小为3π，求tan BDC ∠.22. （本小题满分12分）已知()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，1225F F =，点P 在椭圆上，21tan 2PF F ∠=，且的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M 是椭圆上任意一点，12A A 、分别是椭圆的左、右顶点，直线12MA MA ，与直线x =分别交于,E F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.试卷答案一、选择题1.B 因为28b =，所以虚轴长2b =.2.A 若1d >，则n N *∀∈，110n n a a d +-=>>，所以，{}n a 是递增数列；若{}n a 是递增数列，则n N *∀∈，10n n a a d +-=>，推不出1d >3.D 由于8002040÷=，即分段的间隔40k =.4.B 因为直线PQ 过椭圆的右焦点2F ，由椭圆的定义，在1F PQ ∆中，11416F P FQ PQ a ++==.又1110F P FQ +=，所以6PQ =. 5.A 设这100个成绩的平均数记为x ，则120210*********3100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.6.B 男员工应抽取的人数为12072156120-⨯=. 7.C 设焦距为2c ，则有222552b c c b ⎧-=⎨+=⎩，解得216b =，所以椭圆22:12516x y C +=.8.D 因为0322p px +=，所以0x p =，0y =.又)2212p +=，所以2p =，准线方程为1x =-.9.D ()10.0150.025100.6P =-+⨯=，由0.633m =，得55m =.10.A 设(),P x y ，则由2PM PN =得()()2222342x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得223322x y x +-70+=，即221110039x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，所以所求图形的面积1009S π=. 11.B 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联立方程组224120x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得222210x mx m ++-=.由0∆=得，所以m =，椭圆上的点到直线l最近距离为直线20x y +-=与l 的距离d =1>，所以命题p 为假命题，于是p ⌝为真命题.对于命题q ，椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.从而()p q ⌝∧为真命题. 12.由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=2a =，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，1260F AF ∠=︒，由余弦定理得，所以227c a =，22226b c a a =-=，所以双曲线方程为222216x y a a-=，又()1,3A 在双曲线上，所以，解得212a =，即22a =.所以122124sin1202BF F S a a ∆=⨯⨯⨯︒==. 二、填空题13.9 因为，所以，又，所以.14.7 第一次循环，0S =，2n =；第二次循环，1S =，4n =；第三次循环，3S =，6n =；第四次循环，5S =，8n =；第五次循环，7S =.因为8>6，所以输出S 的值为7. 15.611 当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，272,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[]20,6x ππ-∈，即7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()0f x ≥，则所求概率为76121221134ππππ-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 16.56如图，因为MA OA =，所以，点A 在线段OM 的中垂线上，又()0,10M ，所以可设(),5A x . 由tan 305x︒=，得x =，所以A ⎫⎪⎭的坐标代入方程22x px =，得56p =.三、解答题17.解：（1）由3,.x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l0y --=，由ρθ=得2sin ρθ=，22x y +=，即圆C的直角坐标方程为(223x y +-=.（2）()3P t +，(C ，PC ==，0t =∴时PC 最小，此时()3,0P .18.解：（1）由已知方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线，则()244202020m m m m ⎧∆=-+>⎪->⎨⎪+>⎩解得21m -<<-，即:21p m -<<-. 因p 或q 为真，所以p q 、至少有一个为真. 又且为假，所以至少有一个为假.因此，两命题应一真一假，当为真，为假时，213m m -<<-⎧⎨≥-⎩，解得21m -<<-；当为假，为真时，213m m m ≤≥-⎧⎨<-⎩或，解得.综上，21m -<<-或.19.解：（1）因为7x =，1089616.85y ++++==，所以，122121857 6.82255549ni ii ni i x y nx yb x nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，()6.82720.8a y bx =-=--⨯=，于是得到y 关于x 的回归直线方程220.8y x =-+.（2）销售价为时的利润为()()24220.8228.883.2x x x x ω=--+=-+-，当28.8722x =≈⨯时，日利润最大. 20.（1）解：依题意得：82910789112155x +⨯+++++⨯=-，解得6x =，41=5x 乙，22222141414141682910 1.7655555s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为123,,A A A ，他们的命中次数分别为9，8，7. 乙组投篮命中次数低于10次的同学为1234,,,B B B B ，他们的命中次数分别为6，8，8，9. 依题意，不同的选取方法有：()()()()()()()()()()()()111213142122232431323334,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 共12种.设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有()()()222334,,,,,A B A B A B 共3种.()31124P C ==∴. 21.（1）证明：取AB 的中点E ，连接ED EQ 、，则2AE AQEP QC==，所以//EQ PC . 又EQ ⊄平面CPM ，所以//EQ 平面CPM . 又PM 是BDE ∆的中位线，所以//DE PM ， 从而//DE 平面CPM . 又DEEQ E =，所以平面//DEQ 平面CPM .因为DQ ⊂平面DEQ ，所以//DQ 平面.（2）解：法1：由AD ⊥平面BCD 知，AD CM ⊥， 由BC CD =，BM MD =，知BD CM ⊥， 故CM ⊥平面ABD .由（1）知//DE PM ，面DE AB ⊥，故PM AB ⊥. 所以CPM ∠是二面角的平面角，即3CPM π∠=.设PM a =，则CM =，又易知在Rt ABD ∆中，4B π∠=，可知DM BM ==，在Rt CMD ∆中，tan MC MDC MD ∠===法2：以M 为坐标原点，,,MC MD ME 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标.设MC a =，MD b =，则(),0,0C a ，()0,,0B b -，()0,,2A b b ，则，()0,2,2BA b b =，设()1,,n x y z =是平面ABC 的一个法向量，则110,0.n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,220.ax by by bz +=⎧⎨+=⎩取()1,,n b a a =-， 不难得到平面ABD 的一个法向量为()21,0,0n =，所以121cos ,2nn <>==，所以a b =， 在中，6tan 2MC a MDC MD b ∠===.22.解：（1）因为21tan 2PF F ∠=，所以21sin PF F ∠=，21cos PF F ∠=. 由题意得((2222122125542522PF PF PF PF ⎧⨯⨯=⎪⎪⎨⎪=+-⨯⎪⎩，解得1242PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 从而1224263a PF PF a =+=+=⇒=，结合2c =，得24b =，故椭圆的方程为22194x y +=. （2）由（1）得()13,0A -，()23,0A ，设()00,M x y ，则直线1MA 的方程为()0033y y x x =++，它与直线x =的交点的坐标为0033y E x ⎫⎫+⎪⎪⎪⎪+⎭⎭， 直线2MA 的方程为()0033y y x x =--，它与直线的交点的坐标为003535,3232y F x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎭， 再设以EF 为直径的圆交x 轴于点(),0Q m ，则QE QF ⊥，从而1QE QF k k =-，即033y x ⎫+00353321352y x m ⎛⎫- -⎝⎭=--，即，解得3512m =±. 故以为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为351,02⎛⎫+ ⎪ ⎪⎭或351,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎭.。
高二上学期期末数学(理)试卷Word版含答案 (2)
高二（上）数学期末统测试题（理科）考生注意：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第#卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容:人教A 版必修1,必修3占15%,必修5占30%,选修2—1占55%.第"卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.命题“若，则I a | = | # | ”的逆命题为 A .若 a 2 /b 2，则 \ a\ #\ b\ B.若 a 2##，则 I a " # " b" 0 若 I a | = | b |，则 a 2/b 21 若 I a \ # \ b \，则 a 2#b 22,若集合 \ — 1V 2—%%1%，&={0,1,2,3%,则 A&B /A . {1,2%B . {2,3%0 {0,1%1 {1,2,3%3, 某大学随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据 T ----------------1 7 3的茎叶图如图所示，则这20个班有网购经历的人数的众数为2 7 4 4 4 3。
3 7 5 5 5 5 2 0A. 24B. 37 4 8 8 4 3 00 481 354, 已知a >3,则a —33a—3%最小值为5, 在三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中,若AB =!,A'=",A（/C ,则A. !十"一c B . ―!―b +c C , —a +b —c 1!—b —c6, 执行如图的程序框图.若输入A = 3,则输出的Z =A3 B4 05 167, 已知函数y （%） / log2（%+1） + 3%+*的零点在区间（0,1］上，则*的取 值范围为A , （ — 7, —4）*（0,十7） B, （ — 4,0）A . § B. 102140（— 7, —4]*（0,十7） 1 [ — 4,0）9.已知点F是抛物线+ =的焦点，点$(2,+#)&(!，+!)分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若$-1/10测/ABF的面积为A. 14B. 30C. 42D. 9010.正三棱锥A'PBC的侧棱两两垂直,0,E分别为棱PA,BC的中点，则异面直线PC与DE 所成角的余弦值为A槡3 只槡槡p /槡p.槡(.33.11.在直角坐标系％Q y中,-是椭圆C：号十#!=1 (〉#〉0)的左焦点,A, B分别为左、右顶点, 过点-作％轴的垂线交椭圆C P P 3两点,连接PB交+轴于点E,连接AE交PQ于点4，#4是线段P-的中点,则椭圆C的离心率为; ) 10 4 12A.12.对于给定的正整数5，设集合X={1,2,3，…,n}, AOX,且A#1 ,记I(.A)为集合A中的最大元素,当A取遍X的所有非空子集时,对应的所有K.A)的和记为S(n),则8(100)的值为A. 100X2100+1B. 100X299+1C 99X2" + 1 D. 99 X2100+1第#卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设命题.：对于任意的［0,2$) , | si; % |%1 ,则3 .为▲.14.一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中45个红球,从中摸出一个球,摸出白球的概率为0. 23，则摸出黑球的概率为15.在/ABC中,内角A, B, C所对的边分别为",b, c.若c =4槡b, c os B /槡槡cos C?a /槡3 ,则S/ABC / ▲.16.已知双曲线C：%2-b2/ 1(a>0 , b〉0)的左、右焦点分别为-i, -2 ,过-2的直线交C的右支ab于A , B两点,A-,丄AB, 4 "A- | =3 | AB | ,则C的离心率为▲,三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1。
2021-2022年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2021-2022年高二上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、双曲线的渐近线的方程为（）A． B． C． D．2、下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3、下列命题中，假命题是（）A． B．C． D．4、不等式的解集是（）A．或 B．C．或 D．R5、等差数列的前n项和是，若，则的值为（）A．55 B．65 C．60 D．706、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则等于（）A． B．C． D．7、在中，若，那么等于（）A． B． C． D．8、一元二次方程有一个正跟和一个负根的充分不必要条件是（）A． B． C． D．9、已知向量(22,),(2,3)m y x n x y y =-=+，且的夹角为钝角，则在平面上，点所在的区域是（ ） 10、直三棱柱中，190,BAC AB AA AC ∠===，则异面直线与所成的角为（ ） A ． B ． C ． D ．11、某同学要做一个三角形，要求三条高的程度分别为，则（ ） A ．不能做出满足要求的三角形 B ．能作出一个锐角三角形 C ．能作出一个直角三角形 D ．能作出一个钝角三角形12、已知点00(1,0),(1,0),(,)A B P x y -是直线上任意一点，以为焦点的椭圆过，记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是（ ）A ．与一一对应B ．函数无最小值，有最大值C ．函数是增函数D ．函数有最小值，无最大值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。
. 13、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且过点，则抛物线的方程为 14、如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座 灯塔P 的南偏西距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为 海里/小时15、设定义如下面数表，满足，且对任意自然数均有，则的值为1 2 3 4 5 14135216、已知满足约束条件020232x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩，如果是取得最大值时的最优解，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知命题方程所表示的图形是焦点在轴上的双曲线；命题方程无实根，又为真，为真，求实数的取值范围。
高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
吉林油田高级中学第一学期期末考试高二数学试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题:0p x ∀>，||x x =，则p ⌝为( )A ．0x ∀>，||x x ≠B ．00x ∃≤，00||x x =C ．0x ∀≤，||x x = D ．00x ∃>，00||x x ≠ 2．已知A (－2,0,3)，B (－1,2,1)是空间直角坐标系中的两点，则|AB |=( ) A ．3 B 3 C ．9 D ．33．已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A ．32 B ．2 C ．32 D ．2334．将正弦曲线sin y x =作如下变换:23X xY y =⎧⎨=⎩，得到的曲线的方程为( )A ．2sin3X Y = B ．2sin 31X Y = C ．X Y 2sin 31= D ．X Y 2sin 3=5．已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)n y =，若α⊥，则( ) A ．3420x y ++= B ．4320x y ++= C ．6x =，2y = D ．2x =，6y = 6．已知双曲线C:x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，F 1Q ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =QP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，O 为坐标原点，若|PF 1|=10，则|OQ|=( ) A ．10 B ．9 C ．1 D ．1或97．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中(正四棱柱是指底面为正方形，侧棱和底面垂直的四棱柱)，AA 1＝2AB ，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A ．35 B ．－31010 C ．1010 D ．310108．设F 为抛物线24y x =的焦点，该抛物线上三点A 、B 、C 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y .若||||||9FA FB FC ++=，则123x x x ++=( )A ．9B ．6C ．4D ．3 9．“x 2−x ≤0”是“x ≤1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若椭圆2213616x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．36B ．16C ．20D ．2411．在三棱锥P －ABC 中，P A =AC =BC ，P A ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，O 为PB 的中点，则直线CO 与平面P AC 所成角的余弦值为( )A B C D ．1212．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，过A ，B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q .则下列说法中不正确的是( )A ．1||||2MN AB = B ．FN AB ⊥ C ．Q 是线段MN 的一个三等分点 D ．QFM QMF ∠=∠ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知F 为椭圆C ：221164x y +=的左焦点，过F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，则|AB |=____． 14．给下列三个结论：①命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题为假；②命题“若2am b <2m ，则a b <”的逆命题为真；③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；④命题“若直线a //直线b ，直线b //直线c ，则直线a //直线c”是真命题.其中正确的结论序号是______（填上所有正确结论的序号）．15．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，且x 1+x 2=5，则这样的直线有______条．16．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1=2，11120A AD A AB ∠=∠=︒，则对角线BD 1的长度为__________.三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆C 的圆心的坐标为(4,0),C -半径为4，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(t 为参数) (1)求圆C 的极坐标方程，直线l 的普通方程； (2)若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.18．(本小题满分12分)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线x y 3±=为渐近线，焦点是(－4，0)，(4，0)的双曲线；(2)离心率为35，短轴长为8的椭圆.19．(本小题满分12分)已知命题:p x R ∀∈，230ax x -+>，命题:[1,2]q x ∃∈，x a 21≥. (1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 、F 分别为棱AB 、AA 1的中点. (1)求证：A 1C ⊥平面BC 1D ；(2)求：EF 与平面BC 1D 所成角的正弦值.21．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (2，0)，且与直线x =－2相切，圆心C 的轨迹为E ， (1)求圆心C 的轨迹E 的方程；(2)若直线l 交E 于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点坐标为(1，1)，求直线l 的方程．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. (1)证明：P A //平面BDE ；(2)若PD =DC ，求二面角B －DE －C 的余弦值.四、选做题：23．(本小题满分10分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，经过F 2的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且△F 1AB 的周长为8． (1)则椭圆C 的方程为__________；(2)斜率为2的直线m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ，则直线m 的方程为_________；(3)若在x 轴上存在一点E ，使得过点E 的任一直线与椭圆两个交点M 、N ，都有2211||||EM EN +为定值，则此定值为___________.高二数学试卷(理科)参考答案一、选择题：DADAC BDBAB BC二、填空题：13. 2；14. ①④；15. 2；16. 2 三、解答题17．【解】（1）圆C 的圆心的坐标为()4,0,C-半径为4，得到圆的一般方程为：()22416,x y ++=化为极坐标得到8cos 0ρθ+=.直线l 的参数方程为21:2x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得到直线的斜率为1，过点（1，0），由点斜式得到方程为：1y x =-.（2）圆心为（-4，0），圆心到直线的距离为d=5 2.22=半径为4，由勾股定理得到弦长为2252414.2⎛⎫-= ⎪⎝⎭18．【答案】（1）x 24－y 212＝1；（2）2212516x y +=或2212516y x +=.19．【详解】(1)当0a =时，30x -+>不恒成立，不符合题意；当0a ≠时，01120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得112a >. 综上所述：112a >. (2)[]1,2x ∃∈，21xa ⋅≥，则14a ≥. 因为p q ∨为真命题，且q q ∧为假命题，所以p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假，有11214a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即11124a <<；当p 假q 真，有11214a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，则a 无解.综上所述，11124a <<. 20．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，)2,2,0(1C ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，F (2,0,1)，)1,1,0(-=EF ，)0,2,2(=DB ，)2,2,0(1=DC ,()12,2,2A C =--．(1)∵01=•DB C A ，011=•DC C A ， ∴D DC DB DC C A DB C A =⊥⊥1111,, ∴A 1C ⊥平面BC 1D(2)由(1)知，1A C 为平面BC 1D 的法向量， 设EF与平面BC 1D所成的角为θ．∴sin θ=|||||11C A EF =3621．解：（1）由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线x =-2的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点x =-2为基准线的抛物线，所以所求E 的轨迹方程为y 2=8x ． （2）由题意已知，直线l 的斜率显然存在，设直线l 的斜率为k ，11P x y （，）， 22Q x y （，），则有22112288y x y x ==，，两式作差得2212128y y x x （）即得128k y y =+，因为线段PQ 的中点的坐标为（1，1），所以k =4， 则直线l 的方程为y -1=4（x -1），即4x-y -3=0，22．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD DC =. ∵PD ⊥平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设PD DC a ==，则()0,0,0D、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a aE ⎛⎫⎪⎝⎭、()0,,0C a .∴(),0,AP a a =-、(),,0DB a a =、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()0,,0DC a =. （1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则有110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,022ax ay a ay z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.∴1111,1,1x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()11,1,1n =-.100AP n a a ⋅=-++=，∴1AP n ⊥， 又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP 平面BDE .（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0n =.12,3cosn n ==⨯∴二面角B DE C --3选做题：23．【答案】（1）2214x y +=（2）220x y -±=（3）5【详解】（1）由已知，1122c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c === ∴椭圆的方程为2214x y +=。
高二上数学期末考试题(理)答案
高二上数学期末考试题（理）答案1～5 DABBC 6～10 BDCAC 11．36π 12．3 131420y ±+= 1516解答：要使方程表示圆，则22244(3)4(14)4(169)0m m m ++--+>．整理得27610m m --<，解得117m -<<．设圆心的坐标为(,)x y ，则2341x m y m =+⎧⎨=-⎩， 消去参数m 可得，24(3)1y x =--，又1201,477m x -<<∴<<． 故圆心的轨迹方程为2204(3)1(4)7y x x =--<<，即22042435(4)7y x x x =-+<<． 17解答：连结AC BD 、交于O 点，连结MO ． 由MOPA 知，OMB ∠即为PA 与BM 所成的角．P ABCD -是正四棱锥，PO ∴⊥平面ABCD ．又,,AC BD PA BD MO BD ⊥∴⊥⊥ Rt OMB ∆中，11,1,122OM OB OM PA BO BD ⊥====，45OMB ∴∠= 即异面直线PA 与BM 所成角的为45． 18解答：（1）由已知,AB CD DE CD ⊥⊥可得CD ⊥平面ABD ．又ABD ∆中，,AE BE DE DE AB ==⊥ 知,AD BD AD BD =⊥，又AD 为AC 在平面ABD 内的射影，AC BD ∴⊥（2）连结CE ，作DH CE ⊥于H ，连结BH ． 由,AB DE AB CD ⊥⊥知，AB ⊥平面CDE ，所以平面ABC ⊥平面CDE ，又DH CE ⊥，DH ∴⊥平面ABC 故BD 与平面ABC 所成的角为DBH ∠．Rt CAD ∆≌,Rt CBD ∆AC BC ∴=，又60,ACB ABC∠=∴∆为等边三角形．记AB a =，则1,,2CE DE aBD ===．在Rt CDE ∆中，CD ==，CD DE DH CE ⋅∴== A BCEDＨ故在Rt BDH ∆中，sin DH DBH BD ∠==，故BD 与平面ABC所成的角为 19解答：（1）由题意知，椭圆焦点为12(F F 、，顶点12(2,0)(2,0)A A -、． 所以双曲线2C中，2,1a c b ===，故双曲线2C 的方程为2213x y -=．（2）联立2233y kx x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩22(13)90k x ---=．由题意知，2221307236(13)0k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩得2211,3k k <≠ ① 记1122(,),(,)A x y B x y，则12122913x x x x k-+=⋅=-．212121212((()2y y kx kx k x x x x ∴=⋅=++，由题2OA OB ⋅>，知22212121212229(1)12(1)()2201313k k x x y y k x x x x k k-++=++++>⇒+>--， 整理得2221(3)(31)0(,3)3k k k --<⇒∈ ②由①②知，21(,1)3k ∈，故k的取值范围是3(1,(,1)3-． 20解答：（1）由PA ⊥底面ABCD 知，PA BC ⊥，又,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ．故PC 与平面PBA 所成的角的正弦为sin BC BPCPC ∠==， PCRt PAC ∴=∴∆中PA =，即2PA =（2）由M N 、分别为AD BC 、的中点，MN AD ∴⊥，又PA MN ⊥，所以MN ⊥平面PAD ,MN MP MN MQ ∴⊥⊥，故PMQ ∠为二面角P MN Q --的平面角．由MQ PD⊥，在Rt PMQ ∆中，PM=sin MQ MD ADP =⋅∠=， 故cos MQ PMQ PM ∠==P MN Q --的大小为10． （3）作MH NQ ⊥于H 点，由,MN PD MQ PD ⊥⊥，所以PD ⊥平面MNQ∴平面MNQ ⊥平面PNQ又MH NQ ⊥，M H ∴⊥平面PNQ 点M 到平面PNQ 的距离即为M H ． 在Rt Q ∆MN 中，2,MN MQ NQ === AB CDMQNHP23MN MQ MH NQ ⋅==，即点M 到平面PNQ 的距离为23． 21解答：（1）设y ===又由0y ≥，可得动点(P x 轨迹C 的方程为：24(0)y ax y =≥．（2）由题得28(0)y x y =≥，设直线:l x my c =+ , 依题意00m c ><、，则(,0)T c ． S T P Q 、、、都在直线l 上，则|||||0||0|11||()|||||0||0|||||P Q P Q ST ST c c c SP SQ x x x x --+=+=+--． 由题，0,0,0P Q c x x <>>，∴()||||11()||||P Q P Q P Qc x x ST ST c SP SQ x x x x -++=-⋅+=⋅ 由28y x x my c⎧=⎨=+⎩ 消去y 得，22(28)x c m x c -++22222228432(2)02800P Q P Q c m c m m c x x c m x x c 2⎧∆=(+)-=+>⎪⎪∴+=+>⎨⎪⋅=>⎪⎩210,2c m c <∴>-代入2228,P Q P Q x x c m x x c +=+⋅=得，2||||82||||ST ST m SP SQ c+=--又21,02m c c >-<知，212m c <-，所以22884,22m m c c ->--> 即||||||||ST ST SP SQ +的取值范围是(2,)+∞． （3）由1()d P ==2()d P x a ==-， 设111222(,),(,)A x y A x y 1a =-2a =-又2211224,4y ax y ax ==1a =-2a -，a -在[)0,x ∈+∞有两个不等的实数解．平方整理有，223(1)(24)0a x a a x a --++=在[)0,x ∈+∞有两个不等的实数解．第21题（2）图223212312(24)4(1)0240101a a a a a a x x a ax x a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪∴+=>⎨-⎪⎪⋅=≥⎪-⎩又0a >，得1a >． 故实数a 的取值范围是(1,)+∞．。
2021年高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案
2021年高二上学期期末考试数学（理）试卷 Word版含答案一、选择题（每小题5分，共40分）1、设为虚数单位，则A.1B.C.D.2、已知等差数列，又为等比数列，求该等差数列的公差A. B.0 C.2 D.13、已知条件，条件，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为A.6B.4C.2D.15、已知双曲线的一条渐近线方程为，它的一个焦点坐标为，求双曲线的方程A. B.C. D.6、某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其左视图的面积为A.6B.C.3D.7、抛物线上一动点到直线距离的最小值为A. B. C. D.8、如图，在正方体中，分别为棱上的点，则下列判断中正确的个数有（）①平面②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形③在平面内总存在与平面平行的直线④平面内与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，而与点的位置无关A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题5分，共30分）9、已知命题，则为：10、定积分11、在中，若，则边12、已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程为13、若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则14、对于,将表示为，当时，，当时，或.记为上述表示中为0的个数（例如：,,所以）,则（1）,（2）(1)(2)(2048)__________+++=I I I三、解答题（共80分）15、在数列中，，求的值，并由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明16、已知函数（1）求函数在处的切线方程（2）写出函数的单调增区间和最值17、在四棱锥中，，，,，平面平面（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值（3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值18、已知函数（1）当时，求函数的单调区间（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围19、已知点，为一个动点，且直线、的斜率之积为（1）求动点的轨迹的方程（2）设,过点的直线与交于两点，的面积记为，对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值20、已知数列满足，其中（1）若，求数列的通项公式（2）若，且①记，求证：数列为等差数列②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件民大附中xx高二理科第一学期期末考试答案（理科）一、选择题CDAA CCAB二、填空题9. 10.11.1 12.13. 14. 2，9228注：14题第二问为差比数列求和，,,,……所以1019+++=⋅+⋅+⋅++⋅+=(1)(2)(2048)021222102119228I I I-三、解答题15.；猜想；数学归纳法易证；16.（1）切线方程：（2）单调增区间，单调减区间，最小值为1，无最大值17.（1）因为,所以，又因为平面平面，为其交线，所以平面，又因为，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B C D P,(4,0,0),(2,22,0),(0,22,0),(0,0,4)所以,所以,从而又因为平面平面所以又因为与相交所以平面（2）（3）18.（1）的定义域为，若，，所以在上单调递减，在上单调递增（2）①若，在上单调增加；②若，在上单调增加，在上单调减少；③若，在上单调增加，在上单调减少；综上，的取值范围为19. （1）（2）轨迹方程：设，①若直线斜率不存在，则,,，此时②若直线斜率不存在，设直线，并不妨假，此时联立直线与轨迹的方程可知：，由于直线恒过点，且在椭圆内部，所以恒成立；由韦达定理可得，；（*）的面积；12121212tan tan )22tan tan()()1tan tan )1(2)(2)y y MQP NQP x x MQN MQP NQP y y MQP NQP x x -+∠+∠--∠=∠+∠==--∠⋅∠--- 化简得1222212123tan (2)()(1)(4)kx kx MQN k x x k x x k -∠=-+++++ 于是2221212(2)()(1)(4)tan 2S k x x k x x k MQN λ-+++++≥=∠，将（*）式代入得，所以 综上可知，的最大值为20.（1）由累加法可知（2）①123456789111,2,2,1,,,1,2,222b b b b b b b b b =========， 可知：61646263656611,2,2k k k k k k b b b b b b ++++++======，其中 51656166(1)064636261661()7n n n n n i n i i n n n n n n c c a a a a b b b b b b ++-++-=++++--=-=-=+++++=∑，其中 所以，所以为等差数列②由①可知，，，，，要使得中任何一项不重复出现无数次，只要不为常数，不为常数……，不为常数，即39948 9C0C 鰌39502 9A4E 驎RU 22897 5971 奱YuC21642 548A 咊30849 7881 碁,27446 6B36 欶Yi。
高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案 (2)
滁州九校—第一学期高二期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.高二（2）班男生36人，女生18人，现用分层抽样方法从中抽出n 人，若抽出的男生人数为12，则n 等于（ ）A ．16B ．18C ． 20D ．22 2. 命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（ ）A ．,ln x R x x ∀∈≤B ．,ln x R x x ∀∈<C ．000,ln x R x x ∃∈≤D ．000,ln x R x x ∃∈>3. 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）A B C ． 2 D ． 3 4.下列函数是偶函数的是 （ ）A ．cos y x x =+B ．sin 2y x x =+ C. 2cos y x x =+ D ．2sin 2y x x =+5. 若正方形ABCD 的边长为1，则在正方形ABCD 内任取一点，该点到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ．4π B ．6π C. 1π D ．2π6. “函数()()2311f x ax a x =--+在区间[)1,+∞上是增函数”是“01a ≤≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 （ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．58. 设命题2:,20p x R x x ∃∈-+=；命题:q 若1m >，则方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()()p q ⌝∨⌝ C. p q ∧ D ．()p q ∧⌝ 9. 将曲线cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位后，得曲线()y f x =，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．(),33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．(),66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦10. 已知长方体11111,2,3,ABCD A B C D AD AA AB E -===是线段AB 上一点，且1,3AE AB F =是0中点，则1D C 与平面1D EF 所成的角的正弦值为（ ）A ．．411.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()3cos 3cos cos b A a C a B -=+，则sin A =（ ）A B ．1312. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为M ，右焦点为F ，过左顶点且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于点N ，若MNF ∆的面积为232b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ． 3B ． 2 C.53 D ．43第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,3,3,a b t =-=，若a b ⊥，则2a b += ．14.已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的1x =-与1x =时，则输出的两个y 值的和为 ．15.在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，点,E F 分别为1,CD DD 的中点，点G 在棱1AA 上，若//CG 平面AEF ，则四棱锥G ABCD -的外接球的体积为 ．16.已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点M 是椭圆上第一象限内的点，MF 的延长线依次交y 轴，椭圆于点,P N ，若MF PN =，则直线MN 的斜率为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件（单位：mm ）， 甲：25，44，25，43，25，41，25，39，25，38 乙：25，41，25，42，25，41，25，39，25，42 从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高．18.已知直线2y x p =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，O 是坐标原点．（1）求证：OA OB ⊥；（2）若F 是抛物线的焦点，求ABF ∆的面积．19.某高校进行社会实践，对[]25,55岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[)30,35岁、[)35,40岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的80%、60%． 请完成以下问题：（1）求[)30,35岁与[)35,40岁年龄段“时尚族”的人数；（2）从[)30,45岁和[)45,50岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队，求领队的两人年龄都在[)30,45岁内的概率．20. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知232,S 6S ==-． （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）是否存在n ，使23,S 2,n n n S n S +++成等差数列，若存在，求出n ，若不存在，说明理由．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1,2,PB PD AB AP Q====是CD 中点．（1）求点C 到平面BPQ 的距离； （2）求二面角A PQ B --的余弦值．22.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆ （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10: CDBCA 11、12：AB二、填空题13. 5416.三、解答题17.解：甲的平均数()125.4425.4325.4125.3925.38 5.415x =⨯++++=甲， 乙的平均数()125.4125.4225.4125.3925.4225.415x =⨯++++=乙， 甲的方差20.00052s =甲，乙的方差20.00012s =乙，∵甲、乙平均数相同，乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高． 18.（1）证明：由222y x p y px=-⎧⎨=⎩，得22442x px p px -+=，∴22640x px p -+=， 设()()1122,y ,,A x B x y ，则11222,2y x p y x p =-=-，且2121264x x p x x p +-=，∴()()()221212121212122222482640x x y y x x x p x p x x p x x p p p p p +=+--=-++=-+=，∴12120OA OB x x y y =+=，∴OA OB ⊥； （2）解：由（1）知AOB ∆的面积等于()()22221122111222S OA OB x y x y x==++=225p ==， （用12122S p y y =-求解同样给分）直线2y x p =-与x 轴交点为()2,0M p ，抛物线焦点F 为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，∴34FM OM =，∴AFB ∆的面积为234S p =． 19.解：（1）[)30,35岁的人数为10000.06580%240⨯⨯⨯=，[)35,40岁的人数为10000.04560%120⨯⨯⨯=；（2）由（1）知[)30,35岁中抽4人，记为,,,a b c d ，[)35,40岁中抽2人，记为x y 、， 则领队两人是ab ac ad ax ay bc bd bx by cd cx cy dx dy xy 、、、、、、、、、、、、、、共15种可能，其中两人都在[)30,35岁内的有6种，所以所求概率为62155=． 20.解：（1）设{}n a 的公差为d ，则112232362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，∴146a d =⎧⎨=-⎩， ∴()()211461106,732n n n n a n n S na d n n -=--=-=+=-； （2）()()2223737333646n n S S n n n n n n -+=-++-+=---，()()2227232352n S n n n n +=+-+=--+，()()2222223522664n S n n n n n n ++=--++=--+，若存在n ，使23,2,n n n S S n S +++成等差数列，则22646664n n n n ---=--+，∴5n =， ∴存在5n =，使23,2,n n n S S n S +++成等差数列． 21.解：∵正方形边长1,2AB PB PD AP ====，∴222222PB PA AB PD PA AD =+=+，∴,PA AB PA AD ⊥⊥，∴PA ⊥平面ABCD ， ∴分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,,1,0,1,1,02A B D P Q C⎛⎫⎪⎝⎭，∴()()()10,0,2,1,0,2,,1,2,1,1,22AP BP PQ PC⎛⎫==-=-=-⎪⎝⎭，（1）设平面BPQ的一个法向量()1111,,n x y z=，则1111111201202x zBP nx y zPQ n-+=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩，令11z=，得()12,1,1n=，∴PC与平面BPQ所成角的正弦值111sin66n PCn PCθ===，∴点C到平面BPQ的距离为6sinPQθ=（2）设平面APQ的一个法向量()2222,,n x y z=，则222222201202zAP nx y zPQ n⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+-==⎪⎪⎩⎩，令22x=，得()22,1,0n=-，∴121212cos,6n nn nn n===⨯A PQ B--22.解：（1）设M的焦点()()12,0,,0F c F c-，∵12,P PF F∆⎭122c⨯=1c=，由222233141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2243a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆M 的方程为22143x y +=； （2）设直线l 的方程为y kx t =+，由22143x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x ktx t +++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．。
高二上学期期末考试数学理试题含答案
第一学期期末考试试题高二数学（理科）命题：卢会玉 审核：甄荣本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分，考试时间120分钟.第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ） A ．25 B ．5 C ．215D ．10 2．在等差数列{}n a 中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6=（ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 453．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．7 4．下列命题为真命题的是( )A ．若ac bc >，则a b >B ．若22a b >，则a b >C ．若11a b>，则a b < D ．若a b <，则a b < 5．在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，PA ⊥平面ABC ，PA =8，则P 到BC 的距离是（ ）A.5 B.45 C.35 D.256．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．三角形ABC 周长等于20，面积等于 60,310=∠A ，则a 为 （ ） A ． 5 B ．7 C ． 6 D ．88．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则 BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ．1715 B ．21C ．178D ．239.曲线2sin y x =在点（0,0）处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ． 12-10.已知1)6()(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为（ ） A. 21>-<a a 或 B. 63<<-a C.21<<-a D.63>-<a a 或 11.已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB =4，AD =3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85B ．85C ．52D ．5012．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是________．14.已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．15．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =________．16．已知0,0,2a b a b >>+=，则14a b+的最小值是________．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)在ABC ∆中，5BC =，3AC =，sin 2sin C A =.图（I ）求AB 长；（II ）求sin(2)4A π-的值．18．（本小题满分12分）设命题p ：（4x -3）2≤1;命题q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令n b =211n a -（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点. （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M AC B --的正弦值.21. （本小题满分12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>过M ()2,2、N()6,1两点，O 为坐标原点.（I ）求椭圆E 的方程；（II ）若直线()40y kx k =+>与圆2283x y +=相切，并且与椭圆E 相交于两点A 、B ，求证：OA OB ⊥.22.（本小题满分12分）函数21()ln ,()(0)2f x xg x ax bx a ==+≠.（I ）若2,()()()a h x f x g x =-=-时函数在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （II ）若1=,2=b a ，若函数2)(2)(x x f x g k --=在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k 的取值范围.高二理科数学试卷参考答案一、选择题（共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBDDBCBAADBA二、填空题（共20分） 题号 13 14 15 16答案 y=x-2[-5,7]1592三、解答题（共70分） 17.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，ABCC AB sin sin = 于是AB =522sin sin ==BC BC A C…………………………………………………………4分（Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A =2222525AB AC BC AB AC +-=于是 sin A =55cos 12=-A …………………………………………………………6分从而sin2A =2sin A cos A =54,cos2A =cos 2A -sin 2A =53 所以 sin(2A -4π)=sin2A cos 4π-cos2A sin 4π=102……………………………………10分18.（本小题满分12分）设A ＝{x|(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}， 易知A ＝112xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．………………………………………6分 由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得p 是q 的充分不必要条件，即A 真包含于B ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.…………………………………………………………………………10分 故所求实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………12分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由于3577,26a a a =+=， 所以1127,21026a d a d +=+=， 解得13, 2.a d ==………………………………………………………………………2分由于1(1),n a a n d =+-所以2 1.n a n =+ ………………………………………………………………………4分由于1()2n n n a a S +=, 所以(2).n S n n =+……………………………………………………………………6分（Ⅱ）因为21n a n =+所以214(1)n a n n -=+因此1111().4(1)41n b n n n n ==-++…………………………………………………9分故12n n T b b b =+++111111(1)42231n n =-+-++-+ 11(1)41n =-+4(1)nn =+所以数列{}n b 的前n项和.4(1)n nT n =+………………………………………………12分20.（本小题满分12分）以A 为坐标原点,AD 长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为111111(0,0,0),(0,1,0),(,,0),(,0,0),(0,0,),(0,,)222224A B C D P M .（Ⅰ）证明：因11(0,0,),(0,,0),0,.22AP DC AP DC AP DC ==⋅=⊥故所以由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 内，故面PAD ⊥面PCD .………………………………………………4分（Ⅱ）解：因111(,,0),(0,1,),222AC PB ==-251||,||,,22210cos ,.5||||AC PB AC PB AC PB AC PB AC PB ==⋅=⋅<>==⋅故所以……………………………………………7分 所以，AC 与PC 所成角的余弦值为105…………………………………………………8分（Ⅲ）解：易知平面ACB 的一个法向量1(0,0,),2AP =…………………………………9分设平面MAC 的一个法向量(,,),n x y z =则0n AM n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨取(1,1,2),n =-………10分设二面角M AC B --的平面角为则θ， 则6cos .3θ=所以23sin 1cos .3θθ=-= …………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩ …………………………………………3分 椭圆E 的方程为22184x y += …………………………………………4分（2）设()11y x A ()22y x B ，由题意得：5,362142==+=k k d ……………6分联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1484522y x x y 024516112=++x x 化简得，有1124,511162121=-=+x x x x ………………………………………………………9分()()16)(5464545212121212121+++=+++=+x x x x x x x x y y x x =0……11分OB OA ⊥∴…………………………………………………………………………… 12分22.（本小题满分12分） （Ⅰ）2()ln ,()(0,)h x x x bx h x =+-+∞且函数定义域为，则：1()20(0,)h x x b x x'=+-≥∈+∞对恒成立，………………………………… 2分112,0,222b x x x x x∴≤+>∴+≥，（当且仅当1x x=时，即22x =时，取等号），22b ∴≤……………………………………………………………………… 5分（II ）函数k 2()()2()k x g x f x x =--在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程 k =2ln x x a -=，在[1，3]上恰有两个相异实根. 令2()2ln ,()1,x x x x x ϕϕ'=-=-则 ……………………………………………… 7分[)(](]min 1,2,()0,2,3,()0,()[1,2]2,3.()(2)22ln 2.x x x x x x ϕϕϕϕϕ''∈<∈>==-当时当时在上是单调递减函数,在上是单调递增函数故 ……………………………………………9分(1)1,(3)32ln3,(1)(3),ϕϕϕϕϕϕ==->∴≤又只需(2)<a (3),只需()()23k ϕϕ<≤…………………………………………………………………………11分故22ln 32ln3.x a -<≤- ……………………………………………………12分。
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高二数学（理科）期末试题（时间：120分钟 总分：150分，交答题纸）第Ⅰ卷（12题：共60分）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1.某高中有学生1 000人，其中一、二、三年级的人数比为4∶3∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．100 B ．40 C ．75 D ．252.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 （ ） A.40%B.30%C.20%D. 10%3.对于空间的两条直线n m ,和一个平面α，下列命题中的真命题是 （ ） A.n m n m //,////则，若αα B.n m n m //,则，若αα⊥⊥ C.n m n m //,//则，若αα⊥ D.n m n m //,//则，若αα⊂4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为 （ ）A.911B.811C.89D.255.甲、乙两名学生六次数学测验成绩如右图所示。
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差。
上面说法正确的是（ ）A.②④B.①②④C.③④D.①③ 6.下图是把二进制数11111(2)化成十进制数的一个程序框图， 则判断框内应填入的条件是( )A.?5>iB.?4≤iC.?4>iD.?5≤i7．在4次独立重复试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为8165,则事件A 在1次试验中发生的概率为( ) A.32 B.31 C.95D.94 8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点与圆01022=-+x y x 的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为（ ）A.120522=-y x B.1202522=-y x C.152022=-y x D.1252022=-y x 9.设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，求弦长超过半径2倍的概率（ ） A.34B. 35C.13D.1210.①命题“设R b a ∈,，若6≠+b a ，则3≠a 或3≠b ”是一个真命题； ②若“q p ∨”为真命题，则q p ,均为真命题；③命题“)1(2,,22--≥+∈∀b a b a R b a ”的否定是“)1(2,,22--≤+∈∃b a b a R b a ”；④“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数的充要条件。
其中正确判断的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.411．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有 ( )A ．24对B ．30对C.48对D ．60对12.已知1F 为抛物线22(0)y px p =>的准线与x 轴的交点，2F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，点M 在抛物线上且12||||MF MF λ=，当λ取最大值时，点M 在以12,F F 为焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上，若21b =，则p 的值为（ ）A.1C.D.4第Ⅱ卷（10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13.261()x x-的展开式中3x 的系数为__________。
14.设F 是双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________。
15.已知三棱锥ABC D -的顶点都在球O 的球面上,12,,3,4=⊥==AD BC AB BC AB ,且⊥DA 平面ABC ，则三棱锥BOD A -的体积等于_____________。
16.集合{1,2,3,,20}S =L 的4元子集1234{,,,}T a a a a =中，任意两个元素的差的绝对值都不为1，这样的4元子集的个数为_______个。
三、解答题（包括6小题，共70分）17.（本题10分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与市医院抄录了2至5月每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，)ˆˆ,)())((ˆ(2112211x b y ax x y y x x x n x yx n y x bi ni i i ni i ni i i ni -=-∑--∑=-∑⋅-∑=====请根据以上数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+= 18. （本题12分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.（1（2）从频率分布直方图求平均数．（只列出算式即可）19.（本题12分）已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于))(,(),,(212211x x y x B y x A <两点，且9||=AB .（1）求抛物线的方程;（2）O 为坐位原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值.20.（本题12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB ===，3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，,D E 分别为,AB AC 中点.（1）求证：//DE 平面PBC ;（2）求二面A PB E --的大小.21.（本题12分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：① 每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；② 每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③ 每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束。
假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34、12、13、14，且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Εξ。
22.（本题12分）已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>。
（1）求a 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率为，试问在椭圆上是否存在两个不同的点,A B 关于直线1:2l y kx =+对称，且以AB 为直径的圆恰好经过原点，若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，请说明理由。
一、选择题1.D2.A3.B4.C5.C6.A7.B8.A9.D 10.B 11.C 12.B 二、填空题13.-20 14.5 15.12 16.2380 三、解答题17.===by x ˆ,24,11718)())((ˆ,24,11211=-∑--∑======x x y y x x b y x i ni i i ni 730ˆˆ=-=x b y a ,730718ˆ-=x y18.(2)15.05502.04504.035015.02501.0150⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 19.（1）x y 82=；（2）0=λ或2=λ20.（1）略（2）3π21. （1）41（2）214833812=⨯+⨯+⨯=ξE22. (1)31≤<a（2）由22=e 得2=a 椭圆方程为1222=+y x 当0=k 时，椭圆C 上不存在两个不同的点A,B 关于直线l 对称 当0≠k 时，假设在椭圆上存在两个不同的点A,B 关于直线21:+=kx y l 对称，此时设直线m x ky l AB +-=1:，联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+m x k y y x 1122消去y 整理得012)121(222=-+-+m x k mx k 042222>++-=∆k m 即：2221m k>+① 设),(),,(2211y x B y x A 。
则222212212)1(2,24k m k x x k km x x +-=+=+22212122)1()1(k mk m x k m x k y y +=+-++-=+222212122)1)(1(k m k m x k m x k y y +-=+-+-= 设线段A,B 的中点为K ，则)2,22(222k mk k km K ++ 又K 在直线上,故21222222++⨯=+k km k k m k 整理得2222kk m +-=② 将②代入①即2222)22(21k k k +->+整理得044324>-+k k 解得3636-<>k k 或，又因为以AB 为直径的圆恰好过圆心，0=⋅OB OA 得02121=+y y x x 即0222)1(2222222=+-++-k m k k m k整理得0223222=--k m k ③将2222k k m +-=代入③，得0124524=--k k 解得2±=k 满足3636-<>k k 或 所以122:-=x y l AB 或122:-=x y l AB。