边坡变形的灰色预测模型

第21卷第3期2000年9月岩 土 力 学Rock and So il M echanicsVol.21No.3S ept.2000文章编号:1000 7598 (2000)03 0244 04边坡变形的灰色预测模型蒋 刚1,林鲁生2,刘祖德1,王 钊1(1.武汉水利电力大学土建学院,湖北武汉 430072;2.广东东深供水工程局,广东深圳 518006)摘要:利用灰色系统理论建立边坡变形观测资料的GM(1,1)模型群,在建模中考虑了观测资料的非等间隔性,模型较好地反映了边坡变形的趋势。

关 键 词:灰色理论;GM(1,1)模型;边坡变形中图分类号:T B115,T D824.7+3 文献标识码:A作者简介:蒋 刚,男,1971年生,博士生,现从事边坡稳定,非饱和土、土工材料方面的研究。

Prediction grey model for slope displacementJIAN G Gang1,L IN L u sheng2,LI U Zu de1,WAN G Zhao1(1.W uhan U niversity o f Electr ic and Hydr aulic Engineer ing,Hubei,Wuhan430072,China)(2.East Riv er Shenzhen W ater Supply A dministration Bureau,Shenzhen,518006,China)Abstract:In thi s paper,GM(1,1)gr ey models for observed data o f the slope displacement w ith gr ey system are g iven,unequal t ime series are considered in process.T he models obtained are accordant with the slope di splacement tendency.Key Words:g rey system;G M(1,1)model;slope di splacement1 前 言灰色系统理论是一种研究某些既含已知信息又含未知或未确知信息的系统理论和方法。

近年来,灰色理论在土工变形资料的预测分析中得到了一定的应用[1~3]。

但在工程实际中,变形观测资料一般都是不等时间间隔数据序列,而灰色理论GM模型都是以等时间间隔序列建模的。

因此,须将等时间间隔序列的灰色理论模型推广到非等时间间隔序列。

本文基于非等时间间隔的边坡变形观测序列,建立了灰色GM(1, 1)和用等维递补法建立了不同维数的新陈代谢GM (1,1)模型并对边坡的变形进行分析预测。

2 非等时距序列的GM(1,1)模型2.1 非等时距序列的数据处理在GM建模中,GM模型是以等间隔序列为基础的。

在应用灰色理论预测边坡变形中,需考虑实际中实测变形观测时间的不等步长性。

必须把原始的非等时距间隔序列变换成等间隔序列。

其变换方法可分为[4]:(1)非整数间隔序列变换 设序列为X(0)1={X(0)1(P i)|P i R+,i=1,2,,n}设i p为小于P i且最接近P i的正整数,且为 P i =P i-i p。

用内插法求i p点的值(仅计算正整数中缺失的点):X(0)1(i p)=X(0)1(P i-1)+i p-P i-1P i-P i-1!(X(0)1(P i)-X(0)1(P i-1))(1)即可得正整数间隔序列:X(0)1(i p)={x(0)1(1),x(0)1(2),,x(0)1(n),i p=1,2,,n}(2)(2)i p为空间域内一点,将其拓展至时空域,可广义地理解为序列的步长,以t i替换i p,若t i间隔为不等步长时,还须对序列进行等间隔变换。

设各时段的实际间隔为t i=t i+1-t it j=t j+1-t j(3)i∀j;i,j {1,2,,n-1}且有 t i∀ t j,表示各时段间隔不相等。

平均时间间隔 t,有t0=1n-1n-1i=1t i=1n-1(t n-t1)(4)各时段与平均时段的单位时段差系数(t i)=t i-(i-1) t0t0,i {1,2,,n}(5)收稿日期:1999 10 18。

得各时段总的差值为x(0)1(t i)= (t i)[x(0)1(t i+1)-x(0)1(t i)](6)计算等间隔点的灰数i:i=x(0)1(t i)- x(0)1(t i),i {1,2,,n} (7)于是得到等间隔序列为X(0)2(t)={x(0)2(1),x(0)2(2),,x(0)2(n)} (8)式中t=1,2,,n。

以式(8)作为初始数据序列建立灰色GM模型。

2.2 GM(1,1)模型建模对式(8)作1 AGO累加生成,得生成序列X(1)2(t)={x(1)2(1),x(1)2(2),,x(1)2(n)} (9) 设生成序列式(8)满足系统动态微分方程(GM(n,h))模型[1]n j=0a jd n-j(X(1)1)d t n-j= h-1k=1b k X(1)k+1(10)式中 a0=1;n为系统微分方程的阶;h为系统的因素个数。

该方程共有n+h-1个待定系数,当有N个样本时(N#n+h),可由最小二乘法根据已知数据求得A=[a1a2a n b1b2b n-1]T(11) 当只有一个∃时间序列%(h=1),动态微分方程取为一阶时(n=1),系统的动态模型(GM(1,)模型)为d X(1)(t)d t+aX(1)(t)=u(12) 待定系数向量为a^=[a u]T=(B T B)-1B T Y N(13)其中B=-!x(1)(1)1-!x(1)(2)1-!x(1)(n)1(14)Y N=x(0)(2)x(0)(3)x(0)(n)(15)对式(8)建立GM(1,1)模型,得到其解(时间响应函数):x^(1)2(k+1)=x(0)2(1)-ua e-ak+ua(16)或x^(0)2(k+1)=(-a)x(0)2(1)-uae-ak(17)式中x^(0)2(k+1)表示以平均时间间隔 t作步长的外推预测值。

2.3 模型精度检验为了能与原始数据序列进行比较,将非等间隔序列中的时间 t i(即k+1=t2/ t0)代入模型中,即x^(1)1(t)=x(0)1(1)-uae-at/ t0+ua(18) x^(0)1(t)=x^(1)1(t)-x^(1)1(t- t0)(19)还原序列X^(0)1(t)为X^(0)1(t)={x^(0)1(1),x^(0)1(2),,x^(0)1(n)}(20)用公式e(0)(t i)=x(0)1(t i)-x^(0)1(t i)(21)求得残差e(0)(t i),进行残差检验,再按后验差检验法[2]对模型精度进行检验。

后验差检验是从概率预测方法中移植过来的,其步骤如下:(1)求实际值X(0)(t),t=1,2,,n的平均值!x!x=1nnt=1x(0)(t)(22)(2)求残差e(t i)的平均值∀e∀e=1n&n&t=1e(t i) (t i=1,2,,n&,n&<n)(23) (3)求x(0)(t i)的方差S21S21=1nnt=1(x(0)(t)-!x)2(24) (4)求e(0)(t)的方差S22S22=1n&n&t=1(e(0)(t)-∀e)2(25) (5)计算后验差比值cc=S2/S1(26) (6)计算小误差概率pp=p|e(t)-∀e|<0.6745S1(27) 按c与p计算的结果,对照表1[5]所示的具体指标,综合评定模型的精度。

表1 后验差模型精度检验指标Table1 Post test error for m odel precision预测精度等级p c一级:好>0.95<0.35二级:合格>0.8<0.5三级:勉强>0.7<0.65四级:不合格∋0.7#0.652.4 新陈代谢GM(1,1)模型对一个系统来说,随时间的推移,未来的一些扰动因素将不断的进入系统而对系统施加影响。

GM(1, 1)模型虽可以进行长期预测,但从灰平面上看,只有最近的几个数据具有实际意义且精度较高。

新陈代谢方法可以很好地改善这种情况。

新陈代谢GM(1,1)模型是根据已有序列建立GM(1,1)模型预测下一个值,然后把这个预测值补充到已知序列之后,同时去掉第一个数据,保持数列等维,接着再建立GM(1,1)模型,预测下一个值。

如此逐步预测,依次递补,直到完成预245第3期 蒋 刚等:边坡变形的灰色预测模型测目标或达到要求预测的精度为止。

新陈代谢除了用预测值递补外,还能用主行为的新近获得的实际数据来实现,统称之为等维新陈代谢GM(1,1)模型。

3 应 用某水库边坡1991年因工程活动引起滑坡,经采取削坡减荷、修建排水沟渠、坡面铺设土工织物和六角形护坡块,边坡趋于稳定。

1994年因遭遇特大暴雨,引起边坡再次产生滑动,之后埋设坡面观测点,累积观测资料至今。

因测点埋设时间不一,资料不完整,现取其代表点位,观测资料比较完整的两个测点数据序列建立不同维数的GM (1,1)模型。

全部数据的分析计算由笔者编制的MATLAB [6]程序完成。

灰色理论强调通过对系统内在规律的深刻分析,弱化数据的随机性来建立反映系统发展规律的模型。

因此,子数列的维数需要根据系统的变化规律来选取。

本边坡明显受当地降雨量和降雨强度的影响,表现出受降雨量和强度的突变。

为避免子数列过少,突变数据强化边坡变形的随机性,建立GM (1,1)模型时,选取子数列维数为10~14维(14维为全数列)。

得到的GM(1,1)模型群与原始数据的曲线如图1,2所示,模型的精度检验和预测见表2。

该边坡在雨季强降雨因素的诱发下,再次发生滑动。

通过对数据序列的合理选取,建模时进行适当的生成处理,弱化降雨等随机因素的突变作用,得到GM (1,1)模型,除其突变点相对残差大于10%外,其余测点的残差均很小,且残差分布集中。

模型较好地反映了边坡变形的趋势。

图1 边坡变形测点2GM(1,1)模型群曲线Fig.1 C urves of GM(1,1)model forslope deformation at point2图2 边坡变形测点4GM(1,1)模型群曲线Fig.2 C urves of GM(1,1)model forslope deformation at point 4表2 边坡变形GM(1,1)模型群成果表Table 2 Result of GM(1,1)models f or slope def ormation测 点 号14维13维12维11维10维 测点2相对残差平均值/% 1.47 1.3 1.160.970.59 模型精度/级(((((第一次预测值/mm 646.26647.57648.73650.30652.84 1.02%第二次预测值/mm 653.24654.96656.51658.63662.15 1.36%测点4相对残差平均值/%2.19 2.57 2.14 1.96 1.38模型精度/级)))))第一次预测值/mm 769.21768.79770.05770.85772.980.5%第二次预测值/mm781.18780.61782.33783.45786.460.7%注: 为不同维模型的最新两次预测变动幅度。