中考数学精学巧练备考秘籍 第3章 函数 第14课时 一次函数的运用

第3章 函数【精学】考点一、一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次方程：一次函数y ＝kx ＋b 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx ＋b ＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点的横坐标，即为方程kx ＋b ＝0的解． 2、一次函数和一元一次不等式：任何一元一次不等式都可以转化为类似ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y ＝ax ＋b 的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y ＝ax ＋b 的值何时大(小)于0时，只要求出不等式ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的解集即可．①如图1，一次函数b kx y +=的图象与x 轴交于点（x 0，0）．当它在x 轴上方的部分时，对应不等式为kx+b ＞0，其解为x ＞x0；当它在x 轴下方的部分时，对应不等式为kx+b ＜0，其解为x ＜x0.图1图21x+b 1如图2，一次函数111b x k y +=与222b x k y +=的图象交点的横坐标为x 0．当222b x k y +=的图象在111b x k y +=上方的部分时，对应不等式为k2x+b2＞k1x+b1，其解为x ＞x0；当222b x k y +=的图象在111b x k y +=下方的部分时，对应不等式为k2x+b2＜k1x+b1，其解为x ＜x0.考点二、一次函数的实际应用 (1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助． (2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．【巧练】题型一、一次函数、一元一次方程与一元一次不等式【例1】（2015辽宁辽阳）如图，直线2y x =-+与y ax b =+（0a ≠且a ，b 为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x 的不等式2x ax b -+≥+的解集为（ ）A ．x ≥﹣1B ．x ≥3C ．x ≤﹣1D ．x ≤3 【答案】D ．【分析】根据图形即可得到不等式的解集．【解析】从图象得到，当x ≤3时，2y x =-+的图象对应的点在函数y ax b =+的图象上面，∴不等式2x ax b -+≥+的解集为x ≤3．故选D ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．要注意数形结合，直接从图中得到结论．【方法技巧规律】一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合题型二、利用一次函数性质求最值例2（2015新疆生产建设兵团）某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A种T恤x件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元．（1）求W关于x的函数关系式；（2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）【答案】（1）w=5x+5000；（2）购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【分析】（1）根据总利润=A品牌T恤的利润+B品牌T恤的利润就可以得到w关于x的函数关系式；（2）由“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论．【解析】（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200一x）件，由题意得：W=(80一50)x+(65一40)(200一x）=30x+5000一25x=5x+5000答：w关于x的函数关系式为W=5x+5000(2)∵购进两种T恤的总费用不超过9500元，∴50x+40(200-x）≤9500, ∴x≤150.∵W=5x+5000. ∴ k=5>0∴W随x的增大而增大，∴x=150时，W的最大值为5750, ∴购进A种T恤150件．∴购进A种T恤巧。

件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【点评】本题考查了总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润的运用，一元一次不等式组的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．题型三、分段函数例3．（2016吉林省长春市）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x （时），y 与x 之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从A 地到达B 地的行驶时间；（2）求甲车返回时y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求乙车到达A 地时甲车距A 地的路程．【解析】试题分析：（1）根据题意列算式即可得到结论； （2）根据题意列方程组即可得到结论； （3）根据题意列算式即可得到结论．试题解析：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时）． 答：甲车从A 地到达B 地的行驶时间是2.5小时；（2）设甲车返回时y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，∴300 2.50 5.5k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：100550k b =-⎧⎨=⎩，∴甲车返回时y 与x 之间的函数关系式是y=﹣100x+550（2.5≤x ≤5.5）； （3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小时，当x=3.75时，y=175千米． 答：乙车到达A 地时甲车距A 地的路程是175千米． 考点：1．一次函数的应用；2．分段函数．【点评】本题考查了一次函数图象的运用，行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，解答时认真分析一次函数的图象的意义是关键．【限时突破】1.（2015山东济南）如图，一次函数1y =x+b 与一次函数2y =kx+4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x+b ＞kx+4的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＞0C ．x ＞1D ．x ＜12．（2016四川巴中市）已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=x+5与直线l2：112y x =--的交点坐标为 ．3．（2016四川资阳市）已知关于x 的方程mx +3=4的解为x=1，则直线y=（m ﹣2）x ﹣3一定不经过第 象限．4.（2016山东滨州）星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km ；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h ．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km/h ．设爸爸骑行时间为x （h ）．（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km ）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km ）与x （h ）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；（2）请在同一个平面直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象； （3）请回答谁先到达老家．5.（2016新疆生产建设兵团）暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y （km ）与汽车行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？ （2）求线段AB 对应的函数解析式；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？6. （2016山东省临沂市）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？7．(2016四川省乐山)“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．8.（2016四川南充）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？【答案解析】1.【答案】C【解析】观察函数图象可得：当x>1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以当x>1时，x+b>kx+4，即不等式x+b>kx+4的解集为x>1．故选：c．2.【答案】（﹣4，1）．【解析】试题分析：∵二元一次方程组522x yx y-=-⎧⎨+=-⎩的解为41xy=-⎧⎨=⎩，∴直线l1：y=x+5与直线l2：112y x=--的交点坐标为（﹣4，1），故答案为：（﹣4，1）．3.【答案】一．【解析】试题分析：'.’关于x的方程mx+3=4的解为x=1,.∴m+3=4,.'．m=1,.'．直线为y=-x-3，∴直线一定不经过第一象限，故答案为：一考点：一次函数与一元一次方程．4.【答案】（1）y1=20x （0≤x≤2），y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）；（2）详见解析；（3）同时到达老家．【解析】试题分析：（1）根据速度×时间=路程，即可得函数关系式；（2）根据描点法，即可画出函数图象；（3）观察图象，即可得答案．试题解析：解；（1）由题意，得y1=20x （0≤x≤2）y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）；（2）由题意得；（3）由图象可得，同时到达老家．5. 【答案】(1)4h；（2）y=120x﹣40（1≤x≤3）；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地120km远．【解析】试题分析：（1）观察图形即可得出结论；（2）设AB段图象的函数表达式为y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；（3）先将x=2.5代入AB段图象的函数表达式，求出对应的y值，进一步即可求解．试题解析：（1）从小刚家到该景区乘车一共用了4h时间；（2）设AB段图象的函数表达式为y=kx+b．∵A（1，80），B（3，320）在AB上，∴，解得．∴y=120x﹣40（1≤x≤3）；（3）当x=2.5时，y=120×2.5﹣40=260，380﹣260=120（km）．故小刚一家出发2.5小时时离目的地120km远．考点：一次函数的应用．6.【答案】（1）22 (01)157 (1)x xyx x<<⎧=⎨+>⎩甲，=163y x+乙；（2）当12＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜12或x＞4时，选甲快递公司省钱．【解析】试题分析：（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式；（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．试题解析：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3；∴22 (01)157 (1)x xyx x<<⎧=⎨+>⎩甲，=163y x+乙；（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜1 2；令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=1 2；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：12＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：0＜x＜4．综上可知：当12＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜12或x＞4时，选甲快递公司省钱．考点：1．一次函数的应用；2．分段函数；3．方案型．7. 【答案】（1）A文具为40只，B文具60只；（2）各进50只，最大利润为500元．【解析】试题分析：（1）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出方程解答即可；（2）设A 文具为x 只，则B 文具为（100﹣x ）只，根据题意列出函数解答即可．试题解析：（1）设A 文具为x 只，则B 文具为（100﹣x ）只，可得：10x+15（100﹣x ）=1300，解得：x=40． 答：A 文具为40只，则B 文具为100﹣40=60只； （2）设A 文具为x 只，则B 文具为（100﹣x ）只，可得：（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x ）≤40%[10x+15（100﹣x ）]，解得：x ≥50， 设利润为y ，则可得：y=（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x ）=2x+800﹣8x=﹣6x+800， 因为是减函数，所以当x=50时，利润最大，即最大利润=﹣50×6+800=500元． 考点：1．一次函数的应用；2．一元一次方程的应用；3．一元一次不等式的应用．8. 【答案】（1）s=50 (020)1000 (2030)50500 (3060)t t t t t ≤≤⎧⎪<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）37.5min ；（3）小明在步行过程中停留的时间需减少5min ． 【解析】试题分析：（1）根据函数图形得到0≤t≤20、20＜t≤30、30＜t≤60时，小明所走路程s 与时间t 的函数关系式；（2）利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式，列出二元一次方程组解答即可；（3）分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可．试题解析：（1）s=50 (020)1000 (2030)50500 (3060)t t t t t ≤≤⎧⎪<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）设小明的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式为：s=kt+b ，则251000250k b b +=⎧⎨=⎩，解得，30250k b =⎧⎨=⎩，则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250，当50t ﹣500=30t+250，即t=37.5min 时，小明与爸爸第三次相遇；（3）30t+250=2500，解得，t=75，则小明的爸爸到达公园需要75min ，∵小明到达公园需要的时间是60min ，∴小明希望比爸爸早20min 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min ． 考点：一次函数的应用；分段函数；分类讨论．。