《函数的应用(一)》函数的概念与性质PPT教材课件
合集下载
3.2.1函数的单调性与最大小值(第一课时)课件(人教版)
函数有着不同的对应关系 ,那么我们称这样的函数为分段函数
.
f1(x),x A1,
如y=f(x)= …f2(…x),,x A2, 是分段函数.
fn (x),x An
注意:分段函数表示的是一个函数.
3.2.1 单调性和最大（小）值 情境导入
思考 视察下列各个函数的图象， 并探讨下列变化规律： ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？
3.2.1 单调性和最大（小）值 随堂练习
4、函数y=|x+2|在区间[-3,0]上( ) A.递减 B.递增 C.先递减后递增 D.先递增后递减
解：根据题意画出函数图像，易知选择C
3.2.1 单调性和最大（小）值 随堂练习
5、.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成 立的是( D ) A.f(4)>f(-π)>f(3) B.f(π)>f(4)>f(3) C.f(4)>f(3)>f(π) D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
第三章 函数概念与性质
3.2.1 单调性和最大（小）值 教学目标
1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念； 2、掌握增（减）函数的证明和判别； 3、学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2
3.2.1 单调性和最大（小）值 重点难点 重点 ： 掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 难点 ：单调性的证明和判别。
3.2.1 单调性和最大（小）值 研探新知
知识点二 减函数与单调递减
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间 D⊆I ，如果 ∀x1,x2∈D , 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 ； 特别地，当函数 f(x)在它的定义域内最大（小）值 随堂练习
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)
3.4函数的应用(一)知识解读•必须会知识点1 常见的几种函数模型1.（2022·安徽亳州高一期中）商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠方案:①买一个茶壶赠送一个茶杯;②按购买总价的92%付款。
某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个)。
当购买茶杯x个时,付款为y 元,试分别建立两种优惠方案中的y与x之间的函数解析式,并指出如果该顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠方案。
解析：由优惠方案①,得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*)。
由优惠方案②,得函数解析式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*)。
当该顾客需购买茶杯40个时,采用优惠方案①应付款y1=5×40+60=260(元),采用优惠方案②应付款y2=4.6×40+73.6=257.6(元)。
由于y2<y1,故应选择优惠方案②。
知识点2 用函数模型解决实际问题的方法与步骤2.（2021·山东菏泽23校高一期末联考）为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元。
根据经验,若每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出的电动观光车就增加2辆。
为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)(x只取整数),并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得)。
(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;答案：(1)当x≤5时,y=60x-120,令60x-120>0,解得x>2,因为x∈N*,所以3≤x≤5。
当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,令-2x2+70x-120>0,有x2-35x+60<0,上述不等式的整数解为2≤x ≤33(x ∈N *),所以5<x ≤33(x ∈N *)。
1【课件(人教版)】第1课时 函数的表示法
法二：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2(t≥1)， 所以 f(t)＝(t－1)2＋2 （t－1）2＝t2－1(t≥1)． 所以 f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f1x＝x，令 x＝1x， 得 f1x＋2f(x)＝1x.
于是得到关于 f(x)与 f1x的方程组
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数， 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的 关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变 量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．
1．(2020·辽源检测)设函数 f11－ ＋xx＝x，则 f(x)的表达式为
解析：选 A.法一：令 2x＋1＝t，则 x＝t－2 1.
所以 f(t)＝6×t－2 1＋5＝3t＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
法二：因为 f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
()
3．已知函数 f(x)＝x－mx ，且此函数的图象过点(5，4)，则实数 m 的值为 ________． 解析：因为函数 f(x)＝x－mx 的图象过点(5，4)， 所以 4＝5－m5 ，解得 m＝5. 答案：5
5．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)． 解：因为 f(x)是二次函数，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝1，得 c＝1. 由 f(x＋1)－f(x)＝2x， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
4．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
函数的概念与性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
解:设-1<x1<x2<1,
则
1
f(x1)-f(x2)= 2
1 -1
∵-1<x1<x2<1,
−
2
22 -1
=
1 22 - 1 - 2 12 + 2
( 12 -1)( 22 -1)
∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(12 -1)(22 -1)>0.
答案:(-1-√2,-1+√2)
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:由f(1-x2)>f(2x),得1-x2>2x,忽视了1-x2>0导致解答失误.
2 + 1, ≥ 0,
正解:画出 f(x)=
的图象,
1, < 0
由图象可知,若 f(1-x2)>f(2x),
(2)-(1)
<0,则(
2 -1
-, ≥ 1
则实数a的取值范围为(
)
A.
1 1
,
8 3
C.
1
,
8
+∞
B.
1
0, 3
D.
1
-∞,
8
∪
1
,
3
+∞
3-1 < 0,
解析:要使 f(x)在 R 上是减函数,需满足 - < 0,
(3-1)·1 + 4 ≥ -·1,
1
1
解得 ≤a< .
8
3
答案:A
探究三
函数的奇偶性及应用
【例3】 (1)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=
北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件
数的零点，方程的根，图象与x轴交点 数零点与方程解的关系.
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
《函数的最大(小)值》函数的概念与性质
对数函数
形如f(x)=log_a(x)(a为常数且 以a>0,a≠1)的函数称为对数函 数。
02
函数的最大值与最小值
最大值的概念与性质
01
02
函数最大值的定义
最大值的性质
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若存 在一个数M，使得对于任意x∈[a,b] ，都有f(x)≤M，则称M为函数f(x)在 区间[a,b]上的最大值。
最值在其他领域的应用展望
最值与优化决策
在管理科学、决策科学等领域，最值的概念和方法被广 泛应用于制定最优决策方案。例如，在投资组合选择、 生产计划、资源分配等问题中，最值的思想和方法可以 帮助我们找到最优解决方案。
最值与控制理论
在控制理论中，最值的概念和方法被用于研究系统的稳 定性和性能。例如，在航天工程、机器人控制等领域， 最值的方法可以帮助我们找到最优的控制策略，提高系 统的性能和稳定性。
自变量x可以取值的范围称为函数的定义 域。
函数中自变量与因变量之间的对应关系称 为对应法则。
因变量y可以取值的范围称为函数的值域 。
函数的性质
01
单调性
函数在某区间内单调增加或减少 的性质。
周期性
函数在一定区间内重复出现的性 质称为周期性。
03
02
奇偶性
函数关于原点对称的性质称为奇 偶性。
有界性
函数在一定区间内取值有上界和 下界的性质称为有界性。
最值与公平性
在很多社会福利分配问题中，人们通常希望实现分配的公平 性。例如，在教育资源分配中，政府希望将有限的资源分配 给最需要它的学校或学生，这通常需要找到一个最值，如最 大满意度或最小不公平感。
最值在数学中的应用
最大值与极值
第三章函数概念与性质章末总结课件(人教版)
2.二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换
元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴
与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变
量的取值范围.
【跟踪训练5】
1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ每个5
元,该商店推出两种优惠办法:
（2） 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,
则a,b,c的大小关系为 (
)
A.c<b<a
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.
答案:A
解题技能
1.判断一个函数是否为幂函数的根据是该函数是否为y=xα(α为常数)的情
3
∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤ .
2
3
∴函数 f(2x+1)的定义域是 -1, .
2
1
2-
1
+ 的定义域
题型二 分段函数
解题技能
1.求分段函数的函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间.
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 的情势
时，应从内到外依次求值.
2.求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定
x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂
函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换
元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴
与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变
量的取值范围.
【跟踪训练5】
1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ每个5
元,该商店推出两种优惠办法:
（2） 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,
则a,b,c的大小关系为 (
)
A.c<b<a
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.
答案:A
解题技能
1.判断一个函数是否为幂函数的根据是该函数是否为y=xα(α为常数)的情
3
∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤ .
2
3
∴函数 f(2x+1)的定义域是 -1, .
2
1
2-
1
+ 的定义域
题型二 分段函数
解题技能
1.求分段函数的函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间.
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 的情势
时，应从内到外依次求值.
2.求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定
x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂
函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
第三章 函数的概念与性质(单元解读)高一数学(人教A版2019必修第一册)
1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的 不是函数关系． 2．判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上. 1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单 调区间上，然后利用单调性比较大小.
13.判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的 形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2 底数为自变量；3系数为1.
三: 课时安排
本章数学约需12课时，具体分配如下（仅共参考）：
3.1 函数的概念及其表示
约4课时
3.2 函数的基本性质
约3课时
3.3 幂函数
约1课时
3.4 函数的应用 (一)
约1课时
文献阅读与数学写作 函数的形成与课标解读
1构建函数的研究框架 2. 加强与学生已有经验的联系 3.如何完成函数概念的抽象 4. 如何引导学生辨析 5.如何体现“函数的表示”的教学价值 6.函数基本性质的编写思考 7.暴函数、函数的应用(一)的编写意图
人教A版2019必修第一册
第三章 函数的概念与性 质单元解读
一:本章知识结构图
二： 单元目标
教学目标 核心素养
1.掌握函数的概念； 2.了解分段函数，会画分段函数的图像； 3.理解函数性质并且熟练运用； 4.能用函数与方程的思想解决实际问题．
12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上. 1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单 调区间上，然后利用单调性比较大小.
13.判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的 形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2 底数为自变量；3系数为1.
三: 课时安排
本章数学约需12课时，具体分配如下（仅共参考）：
3.1 函数的概念及其表示
约4课时
3.2 函数的基本性质
约3课时
3.3 幂函数
约1课时
3.4 函数的应用 (一)
约1课时
文献阅读与数学写作 函数的形成与课标解读
1构建函数的研究框架 2. 加强与学生已有经验的联系 3.如何完成函数概念的抽象 4. 如何引导学生辨析 5.如何体现“函数的表示”的教学价值 6.函数基本性质的编写思考 7.暴函数、函数的应用(一)的编写意图
人教A版2019必修第一册
第三章 函数的概念与性 质单元解读
一:本章知识结构图
二： 单元目标
教学目标 核心素养
1.掌握函数的概念； 2.了解分段函数，会画分段函数的图像； 3.理解函数性质并且熟练运用； 4.能用函数与方程的思想解决实际问题．