因式分解老师
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》(同步教学设计)
冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》（同步教学设计）单元备课第 11单元本单元所需课时数5课时课标要求1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义。
2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式。
3.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系。
4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力。
教材分析本章内容主要用于代数式的恒等变形，是数与代数知识后续学习的基础。
因式分解是以整式运算为基础的，是整式的一种恒等变形，也是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础.同时,它还有助于进一步发展学生的观察、发现、归纳和概括的能力以及分析问题和解决问题的能力。
主要内容本章的主要内容是因式分解的概念和分解因式的两种方法.提公因式法是分解因式最基本的方法,它实质上是单项式和多项式或多项式和多项式相乘的逆过程。
公式法是逆用整式的乘法公式，对某些多项式进行分解因式的方法。
教学目标1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义。
2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式。
3.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系。
4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力。
课时分配11.1 因式分解 1课时11.2 提公因式法 1课时11.3 公式法 2课时教学活动回顾与反思 1课时教与学建议1.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯。
因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系。
在因式分解概念教学时,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的活动中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”，从而培养学生逆向思考。
《因式分解》教学设计
活动二
因式分解的概念 学习
类比整数的乘除，学习整式的乘除，体会“因式分解”与“整式 相乘”是两个互逆的过程.
活动三
教学“提取公因 式法”
通过短除法与乘法分配律，让学生理解并掌握提取公因式的具体 操作，并形成技能.
活动四
拓展训练，提高 能力
通过例题教学，培养学生整体观念与转化思想，发展学生思维， 增强学生解决问题的能力.
学情分析
因式分解需要用到的上位知识有：整式的乘法（单项式与单项式相乘，单项式乘以多项式，多 项式与多项式相乘）以及简单地整式的除法（多项式除以单项式，单项式除以单项式）；对“代数和”、 “代数积”算式的理解，即必须准确理解一个单项式是由哪些因数组成的（即数字因数是什么？字 母因数是什么？），一个多项式是由哪几个单项式组成的（即一个多项式可以看作是哪些单项式的 和）；在小学学习分数的运算时，涉及通分和约分，其中就要将一个整数分解成几个整数的积的形式； 用短除法求几个数的最大公约数及最小公倍数.这些知识多数学生可能记不大清楚了，需要耐心举例 说明，以唤醒学生已有知识经验参与到新知识的学习之中，帮助学生打通思维的任督二脉.
课堂小结
组织学生归纳小结，培养系统思考问题的意识与能力，养成反思 的习惯
作业布置
布置有针对性的练习，巩固所学知识，发展学生能力与个性
教学过程设计
一、复习旧知
师（出示题目）：1、计算
（1） 1 + 7 （2） 3 + 7 （3） 3 + 7
12 12
8 24
8 12
（学生思考后，老师板书计算过程）
（1）原式= 1 + 7 = 8 = 4 2 = 2 ； 12 12 4 3 3
14.3.1《因式分解》教学设计（第一课时）
因式分解评课稿
《因式分解》复习课评课稿(校内听课评课)本节课，有亮点也有缺陷。
先来说说亮点吧。
这是一堂较好的复习课，张老师的教学思路清晰，课堂氛围活跃，富有感染力，注重小细节问题，比如教学过程中培养学生多思维的发展，培养学生组织归纳能力的提升等。
教学环节中还体现了新课标要求下的教学课堂，“教师为辅，学生为主”的教学理念在教学环节中足以体现。
整堂课，教师主要是起到一个引导作用，学生都是自己动手的应用中。
课堂环节中，学生学习自然，教师教学自然，充分展现了一幅和谐自然的课堂。
这节课以例题讲练让学生回忆所学的基础知识，采用互答式在互助互长中掌握所学内容。
引导学生对所学的知识进行梳理、总结、归纳，帮助学生理清知识结构，分清解题思路，弄清各种解题方法联系的过程，并掌握相应的解题技巧。
对重点内容和学生中的疑难作进一步的分析，帮助学生解决重点、难点和疑点。
通过练习，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。
复习课的模式基本成型，对知识点的回顾、巩固比较到位；题目的设计也是遵循了由易到难，由浅入深的梯度。
不足之处，比如：1.○2-□2=（○+□）（○-□）及首2±2首尾+尾2这样的“非官方语言”不应该在板书中出现，而且初中数学正是让学生经历从具体到抽象的过程，用字母表示数，需要让学生意识到，字母可以表示的数、也可以表示代数式。
2.在“练一练”中，（1）的知识要点是：遇到首项为负因数时，应提负因数；并且提取公因式要提尽公因式；（2）的知识点也涉及到了提取负因数。
第二题建议改为36322a+-，这样既复习巩固原有的提取公因式，又能巩b-ab33ba固分解因式应该彻底分解。
3.在“每日一练”中，问题2建议改为“用简便方法计算”的题目。
因为这样的题目在作业和教材中出现频繁，其目的也是为了让学生感受到因式分解的作用：可以给计算带来简便。
如：1.42+2.8×1.6+1.62，102-92+82-72+62-52+42-32+22-12这样的计算题。
因式分解教案模板(10篇)
因式分解教案模板（10篇）因式分解教案 1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1)._2-4y2=(_+2y)(_-2y)因式分解(2).2_(_-3y)=2_2-6_y整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4)._2+4_+4=(_+2)2因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4)因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、规律总结(教师讲解)：分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点：(1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6_2+6_y+3_=-3_(2_-2y-1)公因式的概念;公因式的求法公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。
现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。
动画演示：场景一：正方形折叠演示师：这就是我们得到的正方形。
下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。
用因式分解法解一元二次方程评课稿
用因式分解法解一元二次方程评课稿上课人：陈银评课人：徐波陈老师这节课从学案的编写到实施，在形式和内容上都体现了新课程改革的特征，符合教改的基本精神。
本节课始终以如何用因式分解法解一元二次方程为主线加强对学生知识、技能、方法、能力等的培养，目标的达成，达到了比较理想的程度。
在课堂结构上、严谨而顺畅，课堂营造的学习氛围比较轻松活泼；内容上，新旧知识的前后联系，多种解法系统而完整，学到了新知识，还让学生体验到了成功的快乐。
教学中灵活使用多媒体资源，提高了教学效果也是本节课的一个亮点。
针对这节课我着重从以下几个方面谈谈个人的意见。
一、教学目标方面针对学科特点，结合本课内容，制定了明确的教学目标，而且在这堂课中顺利的完成了目标，使学生学会用因式分解解一元二次方程方法，做到理解其算理，掌握其算法；并进一步培养学生观察比较、分析、综合的能力，进一步提高学生的计算能力，培养思维的灵活性。
同时还培养学生参与数学学活动的积极性，体验在学习活动中探索和创造的乐趣，感受数学的严谨性、数学结论的确定性，养成认真仔细的良好学习习惯。
本节课教学目标明确，教学过程始终围绕这个目标展开，重点内容的教学得到保证，重点知识和技能得到巩固和强化。
二、教学内容方面教学内容规定着教什么和学什么的问题，恰当地选择和处理教学内容是实现教学目标的重要保证。
本节课的教学内容始终围绕目标、反映目标，能分清主次，准确地确定让学生明白如何利用因式分解来解一元二次方程，以及利用因式分解来解一元二次方程方法步骤这一重点、难点、关键点，处理好新旧知识的结合点，抓住知识的生长点。
讲授具有启发性、层次性、详略得当；本堂课师生互动，共同探索，结合多媒体较好地处理了这个重点。
同时，注意发挥练习题的作用，加强对学生解题方法和过程的指导，使传授知识和培养能力容为一体。
通过对问题的处理，学生在不知不觉中得到了用因式分解解一元二次方程的方法，真可谓潜移默化、水到渠成。
三、教学方法方面教学方法是实现教学目标，体现教学内容的手段，教学方法包括教法和学法两部分。
二次三项式的因式分解--教学设计(朱斌)
一元二次方程的应用（一）——二次三项式的因式分解教学设计说明上海民办兰生复旦中学朱斌一、内容与内容解析本节课是上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第一学期§17.4（1）的内容．是一元二次方程的应用第一节课，内容是使用解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，在实数范围内来对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)因式分解．本课程是对七年级学习的因式分解的再思考，七年级第一学期的整式中，学生已经学习了在有理数范围内的因式分解，特别地，对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，一般使用十字相乘法进行分解．在七年级第二学期实数一章，经历了从有理数到实数的数系拓展，但并没有解决二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内的因式分解问题：（1）二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内能否分解？判据是什么？为什么？（2）如果可以在实数范围内分解，如何分解？（3）常数a,b,c满足什么条件时，二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可以在有理数范围内分解？在八年级系统学习一元二次方程之后，具有对其进行研究的基础．通过从特殊到一般的探究过程，使用学生比较熟悉的配方法作为手段，由浅入深地研究二次三项式的因式分解，最终掌握通过解与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相联系的一元二次方程对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解的方法．同时，学生可以从无到有地对问题（1）、（2）进行研究，给有余力的同学提供思考问题（3）的基础，有利于学生以发展的眼光来认识数学．教材中，一元二次方程的公式法就是通过配方法推导的，这节课通过配方法引入，更好地帮助学生理解二次三项式的因式分解和一元二次方程求解之间的联系．同时，也为高中的进一步的数系扩充做准备，帮助学生在将来学习复数后，能够更加自然地想到如何处理复数范围内的二次三项式因式分解．建立二次三项式ax2+bx+c(a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0之间完整的对应关系．鉴于此，本课时的教学重点为：1、理解关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内进行因式分解的判据．2、掌握对于b2-4ac≥0的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内因式分解的方法．二、目标与目标解析教学目标1．知道二次三项式的分解与一元二次方程的解的联系，会判断二次三项式在实数范围内是否可以因式分解，并能在实数范围内通过解一元二次方程对二次三项式进行分解．2．经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程，体会从特殊到一般的数学思维策略，感受从存疑到寻求解释的数学思辨形式，提高归纳、抽象概括的能力与代数式变形能力；在解题中体会化归的数学思想．3．在不断深入、层层递进的分析中，激发学习数学的兴趣，增强探究和钻研精神；在理解方程求根和代数式变形关系的过程中，体会数学内部之间的内在联系．三、教学问题诊断分析1．面对学生差异，重视因材施教授课的对象为上海民办兰生复旦中学八年级的学生，学生总体水平较高，理解能力和运算能力都比较强．同时，有部分同学在课余已经提前学习过该内容，知道通过解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)可以对ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解．但是只是机械运用，并不能真正理解方程求根和多项式因式分解之间的内在联系．因此，本节课的核心任务有两个：（1）帮助学生掌握如何通过求解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解来对多项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解．（2）揭示方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)和多项式ax 2+bx +c (a ≠0)因式分解的关系．因此，本课时通过具体的问题引入，使用了和课本不同的方法来引导学生学习．课本中使用了观察、归纳的方法切入，直接归纳出二次三项式因式分解的公式．然后，通过多项式展开和求根公式来进行证明．面对授课学生的情况和需求，本课时着重于帮助他们利用已有的知识，自行探索二次三项式因式分解方法，并通过具体问题加以验证．本节课中所用的方法，仿照一元二次求根公式的配方法，对二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行配方，通过配方成平方差（或平方和）的形式来处理．在此基础上直接发现二次三项式因式分解的公式，并找到其与一元二次方程求根公式之间的联系．让学生对这节课的知识点有更深入的理解和感受．2．唤醒相关旧知，铺设配方通途对于八年级的学生，只有配方法是最容易想到的对二次三项式进行因式分解的合理方法．但是，难点在于帮助他们自然地想到使用配方的手段来处理．因此，在教学内容的引入部分，给出两个简单的因式分解问题，224,3x x --，帮助学生意识到，可以使用平方差的方法解决上述形式的二次二项式．对于一般的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)，则可以通过配方转化为上述的二次二项式的形式．练习题的前三个是变式训练：(1)2221(1)x x x -+=-；(2)223(1)(3)x x x x --=+-两题回顾七年级的做法，并帮助学生注意到他们之间的关系．(3)224x x --无法直接用过去的因式分解方法解决，此处学生若无法主动得出结论，引导学生关注(1)(2)(3)小题的联系，即：2223(1)4x x x --=--，2224(1)5x x x --=--．3．运用配方方法，得出初步结论学生运用配方方法，应该能够很好地处理问题(3)，2224(1)5(15)(15)x x x x x --=--=---+然后抛出问题(4)，研究224x x -+的因式分解这个问题，对学生是一个重大难点，处理方式可能会有多种不同的方法．经过尝试后，应该会得出无法因式分解的结论．但是可能会有以下几种情况，视具体情形来进行处理． (1)学生知道结论，但是无法说清楚理由，又分成以下几种情形：a) 无法清晰讲出原因；b) 应用配方：2224(1)3x x x -+=++得到平方和，所以无法分解；c) 过去提前学过，知道其与方程x 2-2x +4=0是否有实根有关，但是不知道原因． 对于情况b )的学生，应该让其知晓，不能使用之前的配方法因式分解，并不代表无法因式分解．对于情况c )的学生，首先肯定他的结果，并且可以告诉学生这是今天要学习的内容，并且告诉他们应该要理解每一个数学定理的来龙去脉．此时，可以提醒学生，将问题化归为23x +的因式分解研究，利用待定系数法，不考虑二次项系数，23x +一定分解为23()()x x m x n +=--，其中m 和n 为常数，于是，将得到：03a b ab +=⎧⎨=⎩，即a 2=-3，不存在实数a ，因此无法因式分解．同时也代表一切化为平方和形式的二次三项式都无法在实数范围内因式分解． (2)学生能够解释原因因为部分学生能力较强，完全有可能有学生能够解释原因．应该都是想到使用待定系数法研究，2224()()4m n x x x m x n mn +=⎧-+=--⇒⎨=⎩，有以下几种可能：a) 通过代数式运算（比如：22240,()120m n m n +=-<-=-<等），得到矛盾． b) 利用特殊值法，若取x =m ，则m 2-2m +4=0，不存在这样的实数m ．c) 直接应用韦达定理，得到m 和n 为方程2240x x -+=的两根，得到矛盾． 对于使用韦达定理的同学，应当予以鼓励，但是必须指出，其他同学可能还不清楚什么是韦达定理，应尽可能用学过的知识来进行思考．对于使用a ),b )方法说明的同学，应当给予肯定，但是之后应当继续引导学生思考，怎样发现x 2-2x +4不可以在实数范围内因式分解，有什么判别方法．最终回到配方法，来进行说明．并让学生总结，得出初步结论：(1)如果可以通过配方转化为平方差的形式，则可以在实数范围内因式分解； (2)如果通过配方转为成为平方和的形式，则不可以在实数范围内因式分解．4．特殊走向一般，归纳最终结论让学生使用配方法研究：ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解． 因为之前很少遇到全为字母的形式，而且牵涉到比较复杂的讨论，学生可能会遇到的错误有以下几种，应用实物投影仪，进行展示，指出这些容易出错的地方，并由老师最终板演，让学生进行归纳：(1)22224()24b b ac ax bx c x a a -++=+-，学生直接将二次项系数a 除掉．让学生意识到，对于方程，可以利用等式性质作上述处理，但是多项式不能做上述操作．(2)2224()42bb acax bx c ax a a-++=+-，学生默认a 是正数，并且直接将a 写成2()a ，应当指出这种错误，并且说明为了减少讨论和运算难度，应该将字母a 提出来．(3)222222444[()]()()2422b b ac b b ac b b acax bx c a x a x x a a a a---+-++=+-=++，这种错误是不对24b ac -的正负进行讨论，直接开平方．(4)其他运算错误．老师应指出以上错误，帮助学生理解代数式变形中的等价性．在得到正确的结果后，由学生进行总结，并思考和已经学过的什么知识有联系．引导学生发现其与方程：20ax bx c ++=(a ≠0)之间的联系，并能用20ax bx c ++=(a ≠0)的求根来进行二次三项式：2ax bx c ++(a ≠0)的因式分解．学生应该能发现方程和多项式因式分解之间有关系，但是b 2-4ac ≥0的情况，对于给出最终结论可能有一定的难度．教师应写出来，帮助学生进行比较：20ax bx c ++=的两个实数根：221244,22b b ac b b acx x a a-+----==； 222222444[()]()()2422b b ac b b ac b b acax bx c a x a x x a a a a---+-++=+-=++221244()()()()22b b ac b b aca x x a x x x x a a-+----=--=--，以得到最终结果．鉴于以上，本课时内容的教学难点如下：1、通过配方法研究多项式ax 2+bx +c 如何在实数范围内进行因式分解．2、通过对于ax 2+bx +c 的因式分解，发现其与一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系．四、教学支持条件分析本课时内容主要以老师黑板板演和学生解答展示为主．通过师生之间的对话，关注怎么做？为什么？层层推进．借助不同的问题，不断深入研究，从特殊到一般，加深学生对该知识点的理解．（1）黑板 用以老师的推导过程和结论的展示，左半边黑板在使用投影仪的时候会被遮住，主要进行一些解题过程的展示，右边黑板进行主要结论的推导和提纲性的说明．（2）实物投影仪 用以学生的解答展示，提供典型错误和正确做法，帮助学生更好理解（3）投影仪 将总结内容做成PPT 进行投影，加深学生对于所学知识的印象．五、教学过程设计教师活动学生活动与预设设计意图一、复习引入1、因式分解的意义回顾：什么是因式分解？2、习题引入（1）x2-4（2）x2-3如何因式分解？3、引出本节课研究内容：形如ax2+bx+c(a≠0)的二次三项式在实数范围内的因式分解回顾因式分解的意义将一个多项式化为几个整式的积的形式．学生口答：x2-4=(x-2)(x+2)23(3)(3)x x x-=-+唤醒学生对于因式分解的记忆，并为之后的研究作铺垫．回顾因式分解的基本方法——公式法（平方差）并通过这两个习题了解实数范围内的因式分解．为接下来研究的配方法结合平方差公式作预备．同时指出，23x-在有理数范围内不能分解因式，在实数范围内才能分解因式．二、学习新知1、练习：尝试将以下多项式分解因式（1）x2-2x+1（2）x2-2x-3（3）x2-2x-4上面的三个二次三项式都能在实数范围内分解因式，那么是否所有的二次三项式都能分解因式呢？学生在练习纸上完成，老师巡视后通过实物投影仪展示．(1)x2-2x+1=(x+1)2(2)x2-2x-3=(x-3)(x+1)22(3)24(1)5(15)(15)x x xx x--=--=---+(4)x2-2x+4 = (x-1)2+3所以无法分解．学生回答：无法分解．因为该式无法转化为平方差的形式．教师应引导学生意识到使用平其中（1）（2）为了帮助学生唤醒对于过去学习因式分解的常见方法．引导他们认识到过去的方法并非对于一切二次三项式都能直接应用．为学生第（3）题能够想到通过配方并运用平方差公式解决作铺垫．第（3）题用过去学习的四种方法无法解决，但是通过配方法，结合运用平方差公式即可．帮助学生在课后体会因式分解和一元二次方程求根之间的关系．帮助学生理解因式分解的本质，知道多项式分解的形式．并利用多项式的意义，得从特殊到一般研究二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解得到通过一元二次方程求解实数范围内分解二次三项式的方法通过配方法熟悉具体二次三项式在实数范围内的因式分解方法通过具体习题加以巩固，并研究特殊的形如ax2+bxy+cy2的二元二次三项式的因式分解（4）x2-2x+4无法分解．引入问题x2+3的因式分解反证：如果可以分解，则：x2+3=(x+a)(x+b)，比较系数，得到：3a bab+=⎧⎨=⎩，即a2=-3，不可能．不存在实数a，即不能在实数范围内因式分解．因此x2-2x+4=(x+1)2+3在实数范围内无法因式分解．2、总结结论对上述因式分解问题进行总结．(1)用什么方法进行分解？(2)怎样的二次三项式可以在实数范围内分解？3、研究新知使用配方法研究ax2+bx+c(a≠0)的因式分解老师巡视，挑选学生的常见错误进行分析．然后在黑板进行板演运算，得出最后结论．方差无法分解并非意味着因式分解无法进行．引导学生从因式分解的意义出法，通过待定系数法来进行研究．注：此处学生的回答可能多种多样，还包括：（1）直接对x2-2x+4进行待定系数研究，将引出24a bab+=⎧⎨=⎩这样比较复杂的二次三项式．（2）使用余式定理和因式定理来进行研究．等等(1)可以通过配方结合平方差公式进行分解．(2)如果配方得到两个平方的差，则可以分解；如果得到两个平方的和，则不能在实数范围内因式分解．完成配方，常见错误：(1)原式=2224()24b b acxa a-+-(2)原式=224()42b b acaxaa-+-(3)原式=2224[()]24b b aca xa a-+-=2244()()22b b ac b b aca x xa a+---++正确过程：(1)当b2-4ac≥0时，原式=2244()()22b b ac b b aca x xa a+---++(2)当b2-4ac<0时，原式无法在实数范围内因式分解．出矛盾．体会二次三项式在实数范围内能否因式分解的判据．对于课堂生成，应抓住机会，善于引导，帮助学生借助多项式的恒等变形解决问题．并在此过程中，让学生体会多项式和方程之间的关系．通过总结，体会可以因式分解的条件，为下一步从特殊到一般的研究作准备．并帮助同学体会因式分解和一元二次方程求根之间的关系．常见错误(1)分不清楚多项式和方程的区别，应将二次项系数提出来，而不是直接除掉．(2)默认a为正数，未考虑a<0的情形．另外将a放到平方中，增加了运算难度．(3)不讨论b2-4ac的正负，直接用平方差展开．对于前述的结论没有真正理解．通过错误解答的展示，帮助同学回顾配方的过程，认识配方解题的关键，加强整式变形的能力．4、比较归纳请学生回答问题．将以上结果和已经学过的知识进行比较，观察ax2+bx+c(a≠0)的因式分解和什么有关．将两者进行比较、联系和归纳，并介绍自己的结果．5、巩固新知使用上述结论，对前述的四个练习题进行验证．由老师进行引导，学生口答．学生回答：和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有关．（1）如果ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，ax2+bx+c(a≠0)无法在实数范围内因式分解；（2）如果ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1和x2，则：ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)学生分别研究方程：x2-2x+1=0x2-2x-3=0x2-2x-4=0x2-2x+4=0的解的情况，并利用上述结论直接得出多项式因式分解的结论．通过对ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解，观察到其能否分解的关键在于b2-4ac，以及分解式中的常数和ax2+bx+c=0(a≠0)的两根非常相近，得出上述结论．关注学生的数学直觉和学生对于代数式的变形能力．通过具体问题的操练，帮助学生熟悉通过一元二次方程分解二次三项式的方法．三、运用新知例题：应用解一元二次方程的方法分解因式(1)x2+x-3(2)2x2-3x-1完成上述二次三项式的因式分解，并找到两位同学进行板演．(1)设x2+x-3=0，则：12113113,22x x-+--==原式=113113()()22x x-+----(2)设2x2-3x-1=0，则：12317317,44x x+-==原式=3173172()()44x x+---通过例题的练习，帮助学生巩固使用通过一元二次方程对二次三项式因式分解的方法．关注公式中的二次项系数和1x x-与2x x-．四、拓展延伸对含有两个字母的二次三项式进行因式分解(1)x2+xy-3y2(2)2x2-3xy-y2请同学思考，口述，老师完成该题的解答．将x看作主元，将y看作字母系数来处理．(1)设x2+yx-3y2=0，则：121717,22y y y yx x-+--==原式=1717()()22y y y yx x-+----(2)设2x2-3yx-y2=0，则：12317317,44y y y yx x+-==原式=3173172()()44y y y yx x+---对于形如：ax2+bxy+cy2(ac≠0)的二次三项式，通过将字母y看作系数，将上式转化为已经解决的ax2+bx+c(a≠0)形式的问题．通过该习题，培养学生的化归能力，能够将新问题转化为已经解决的旧问题进行研究．此时，判别式b2y2-4acy2在开平方后，可以化为关于y的单项式，原式就可以进行因式分解了．五、课堂总结再次对今天的学习内容进行总结．（1）从具体问题入手，经历从特殊到一般的研究过程；（2）使用配方结合平方差的方法，对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内的因式分解进行了研究．（3）学会通过解对应一元二次方程的方法对二次三项式进行因式分解的方法．教师强调：今后，因式分解的范围就从有理数范围扩充到实数范围．学生交流与讨论通过课堂总结，帮助学生了解（1）学习内容：使用解一元二次方程的方法对二次三项式因式分解．（2）研究手段：通过配方法结合平方差公式进行研究．（3）研究途径：通过从特殊到一般、从具体到抽象的途径来进行研究．希望能够帮助学生更好地记忆和理解本节课的知识点和数学方法．作业布置1、数学练习册，§17.42、校本练习册，§17.4六、目标检测设计对于本课时的教学目标的检测，主要都放在教学的过程中穿插进行．本节课中，学生共要笔算三次问题，分别是：练习题：用已经学过的方法，对下列二次三项式进行因式分解．研究：使用配方法，研究二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．例题：使用解一元二次方程的方法，完成下列因式分解的问题．1．练习题（1）x2-2x+1 （2）x2-2x-3 （3）x2-2x-4 （4）x2-2x+4 先给出练习题（1）（2）（3），再巡视和展示完成后，再给出习题（4）继续研究．练习题（1）（2）着重在于唤醒学生对于因式分解基本方法的回忆，并体会本题组中贯穿的部分x2-2x，引导学生通过配方法对问题（3）（4）进行研究．根据前面的学习和铺垫，练习题（3）对于学生而言，最容易想到的方法就是配方法．此处应用配方法解决问题，加深学生对于配方的理解．老师在巡视过程中，观察学生本题的完成情况，了解学生配方以及多项式变形的能力．对于练习题（4），考察学生逻辑思维的严密，根据学生的回答加以引导，最终得到严格的证明．要求学生根据习题（3）、（4）能够归纳总结出初步结果，即用配方法判断二次三项式能否因式分解和如何因式分解．是对学生的理解和归纳能力的集中考察．2．通过配方法研究ax2+bx+c（a≠0）的因式分解本题是本节课的关键，目的在于通过本题的研究，得到通过解一元二次方程对二次三项式进行因式分解的方法．难度有二：（1）多项式的等价变换，根据前文所述学生的不同错误加以点评，锻炼学生的变形能力．（2）发现多项式因式分解和一元二次方程之间的关系．这里要求学生能够有较好的数学联想的能力，从已有的结果中，通过变形得到最终结论．3．例题运用解一元二次方程的方法，将下列多项式在实数范围内分解因式(1)x2+x-3 (2)2x2-3x-1 (3)x2+xy-3y2 (4)2x2-3xy-y2先给出前两个例题，通过板演和巡视，观察学生对于所学知识的掌握情况．关注学生对于公式能否正确应用．再给出习题(3)(4)．请学生口述，老师板演，考察学生能否使用化归的方法，将问题(3)(4)转化为问题(1)(2)，将字母y看作字母系数来处理．并通过含字母的方程的求根，得到所需的结果．考察学生课程所学知识的灵活运用，对于含字母问题的理解，以及代数运算的基本能力．在整个课堂教学的练习部分，安排充分时间让学生自主训练、由学生判断、给学生讲，让学生学会思考，学会质疑、评价和总结．。
专家教师课堂MPCK的特点——李庾南老师执教“因式分解”课例研究
小组交流 ， 学 生 各 自矫 正 纠 错 ． ０ ： ５ ８
ａ ｂ
１ Ｆ １ ９
师 生 小 结
引导 学 生 回顾 学 习 活 动 过程 ， 建构因式分解体系．
埔 醌 桩 嗣 标 有
。
布 置 作 业
（ ２ ） 怎 样 剪 面 积 是 ８ ４ ｃ ｍ ２ ， 长 比 宽 多 ５ 的 长 方 形 纸 片 ？
“ Ｍ ＰＣＫ’ ’ ｒ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｐｅ ｄ ａ ｇ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ Ｃｏ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ Ｋｎ ｏ ｗｌ —
我 们 用表 １把 该 课 教 学 活 动 安 排 梳 理 如 ｒ Ｆ：
表 １ 李庾南老师“ 因式 分解 ” 教 学 活 动 安 排 教 学 环 节 教 学 活 动 时ｌ 司
曼（ Ｓ ｈ ｕ ｌ ｍａ ｎ ） 提 出 了“ 缺 失 的范 式 ” ， 并 给 出“ 学 科 教
学 知识” （ 即 Ｐ ｅ ｄ ａ ｇ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ Ｋｎ ｏ ｗ— ｌ ｅ ｄ ｇ ｅ ， 简 称
ｅ ｄ ｇ ｅ ） ． 根据文［ １ ］ 的综述 ， 目前 国 内研 究 者 对 优 秀 教
教师讲评用 时 ５ ３ ７ ）
变 式 训 练
一
因式分解 ： １ ． ３ ａ 。 ｂ 一１ ２ ａ ｂ 。 ； ２ ．（ 一ｑ ） 一 ２ （ — ｑ ） ； ３ ． 一３ “ 。 －６ ４
４ ａ。 ｂ 。
．
３ ， Ⅱ ； ４ ．（ Ⅱ ＋ｂ ）
１ ６ ４６
法， 而 李 老 师 这 节 课 的 教 学 内容 包 括 了 因 式 分 解 的
定义 、 提 公 因式 法 、 运 用 公 式法 （ 平方是， 反 复 品 味这 节课 ， 新 知
中考一轮复习 数学专题02 整式与因式分解(老师版) 教案
专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·福建）化简()223a 的结果是（ ） A ．29aB ．26aC ．49aD ．43a【答案】C 【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】()()222224339a a a ==，故选：C ． 【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．2．（2022·湖南永州）下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()333a b a b +=+C ．()22444a a a ++=+D ．()2a b a a b +=+【答案】B【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．【详解】解：A 、ax +ay =a (x +y )，故选项计算错误；B 、3a +3b =3(a +b )，选项计算正确；C 、()22442a a a ++=+，选项计算错误；D 、2a b +不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．3．（2022·四川内江）下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3＝a 5B ．（a 3）2＝a 6C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．x 6÷x 3＝x 2【答案】B【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．【详解】A.a 2和a 3不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；B.（a 3）2＝a 6，故B 符合题意；C.（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，故C 不符合题意；D.63633x x x x ÷==﹣，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，是解题的关键．4．（2022·山东临沂）计算()1a a a +-的结果是（ ）A ．1B ．2aC ．22a a +D ．21a a -+【答案】B【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()1a a a +- 22a a a a ．故选B【点睛】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键．5．（2022·内蒙古赤峰）已知()()2221x x x +--=，则2243x x -+的值为（ ）A ．13B ．8C ．－3D ．5【答案】A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．【详解】∵()()2221x x x +--=∴225x x -=∴222432(2)313x x x x -+=-+=故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．6．（2022·江苏泰州）下列计算正确的是( )A ．325ab ab ab +=B ．22523y y -=C ．277a a a +=D ．2222m n mn mn -=-【答案】A【分析】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．【详解】解：A 、325ab ab ab +=，故选项正确，符合题意；B 、222523y y y -=，故选项错误，不符合题意；C 、78a a a +=，故选项错误，不符合题意；D 、222m n mn 和不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．7．（2022·湖北鄂州）下列计算正确的是（ ）A ．b +b 2＝b 3B ．b 6÷b 3＝b 2C ．（2b ）3＝6b 3D ．3b ﹣2b ＝b 【答案】D【分析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，合并同类项“把同类项的系数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数幂的除法“底数不变，指数相减”进行计算即可得．【详解】解：A 、22b b b b +=+，选项说法错误，不符合题意；B 、63633b b b b -÷==，选项说法错误，不符合题意；C 、33(2)8b b =，选项说法错误，不符合题意；D 、32b b b -=，选项说法正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键是掌握这些知识点． 8．（2022·辽宁锦州）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22(2)4x x -=C ．22m mn n -= D ．2ab ab b -=【答案】B【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：235a a a ⋅=，故A 错误；22(2)4x x -=，故B 正确；22m mn n -=，故C 错误； 2ab ab -不能合并，不D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．9．（2022·广西贵港）下例计算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．2222a b a b +=C ．33(2)8a a -=D ．()236a a -= 【答案】D【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．【详解】解：A. 2a −a =a ，故原选项计算错误，不符合题意；B. 2222a b a b +≠，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. 33(2)-8a a -=，故原选项计算错误，不符合题意；D. (-a 3)2=a 6，故原选项计算正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟知运算法则是解题关键．10．（2022·湖北恩施）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．321a a ÷=C ．32a a a -=D ．()236a a = 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，则此项错误，不符题意；B 、32a a a ÷=，则此项错误，不符题意；C 、3a 与2a 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意；D 、()236a a =，则此项正确，符合题意；故选：D ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 11．（2022·黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）A ．()22346a b a b =B ．22434b b b +=C ．()246a a =D ．339a a a ⋅=【答案】A【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．【详解】解：A 、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知()22346a b a b =，该选项符合题意； B 、根据合并同类项运算可知2224344b b b b +=≠，该选项不符合题意；C 、根据幂的乘方运算可知()244286⨯==≠a a a a ，该选项不符合题意； D 、根据同底数幂的乘法运算可知333369a a a a a +⋅==≠，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．12．（2022·内蒙古包头）若42222m ⨯=，则m 的值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．2【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法运算计算4242622222m +⨯===，即可求解．【详解】4242622222m +⨯===，6m ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，即m n m n a a a +⋅=（m 、n 为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2022·湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的费用为（ ）A ．8x 元B ．10(100)x -元C ．8(100)x -元D ．(1008)x -元 【答案】C【分析】根据题意列求得购买乙种读本()100x -本，根据单价乘以数量即可求解．【详解】解：设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本()100x -本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为8(100)x -元故选C【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．14．（2022·山东聊城）下列运算正确的是（ ）A ．()22233xy x y -=B ．2243474x x x +=+C ．()2323131t t t t t -+=-+ D ．()()43341a a -÷-=- 【答案】D【分析】A 选项根据积的乘方等于乘方的积即可判断；B 选项合并同类型：字母和字母的指数比不变，系数相加；C 选项利用乘方的分配律；D 选项先用幂的乘方化简，在运用整式的除法法则．【详解】解：A 、原式229x y =，不合题意；B 、原式27x =，不合题意；C 、原式323t t t =-+，不合题意；D 、原式=-1，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、合并同类型、乘法分配律、整式的除法，掌握相应的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号是易错点．15．（2022·湖南岳阳）下列运算结果正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．55a a a ÷=C ．236a a a ⋅=D ．437()a a =【答案】A【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的除法判断B 选项；根据同底数幂的乘法判断C 选项；根据幂的乘方判断D 选项．【详解】解：A 选项，原式3=a ，故该选项符合题意；B 选项，原式4a =，故该选项不符合题意；C 选项，原式5a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式12a =，故该选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握()m n mn a a =是解题的关键． 16．（2022·内蒙古包头）若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（ ）A ．8-B ．5-C ．1-D ．16 【答案】C【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是4，可得14c =，代入即可求解． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∴0a b +=，∵c 的倒数是4，∴14c =， ∴334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-，故选：C 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =是解题的关键． 17．（2022·贵州遵义）下列运算结果正确的是（ ）A ．3412a a a ⋅=B ．321ab ab -=C ．()232624ab a b -=D ．()222a b a b -=- 【答案】C 【分析】分别利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式分别判断即可．【详解】A ．347a a a ⋅=，故此选项计算错误，不符合题意；B ．32ab ab ab -=，故此选项计算错误，不符合题意；C ．()232624ab a b -=，此选项计算正确，符合题意；D ．()2222a b a ab b -=-+，故此选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；222()2a b a ab b +=++与222()2a b a ab b -=-+都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．18．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．222()ab a b = 【答案】A【分析】根据大正方形的面积=边长为a 的正方形的面积+两个长为a ，宽为b 的长方形的面积+边长为b 的正方形的面积，即可解答．【详解】根据题意得：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 19．（2022·广东深圳）下列运算正确的是（ ）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab +=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．【详解】解：268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．20．（2022·上海）下列运算正确的是……（ ）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2 =ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2 【答案】D【分析】根据整式加法判定A ；运用积的乘方计算关判定B ；运用完全平方公式计算并判定C ；运用平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A.a ²+a ³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab ）2 =a2b 2，故此选项不符合题意；C.（a +b ）²=a ²+2ab +b ²，故此选项不符合题意D.（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2，故此选项符合题意故选：D ．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．二．填空题21．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2002个不同的数据二维码，现有四名网友对2002的理解如下：YYDS （永远的神）：2002就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD （懂的都懂）：2002等于2200；JXND （觉醒年代）：2002的个位数字是6；QGYW （强国有我）：我知道10321024,101000==，所以我估计2002比6010大．其中对2002的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS （永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2002化为1002(2)，再与2200比较，即可判断DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND （觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得2001020603202(2),10(10)==，即可判断QGYW （强国有我）的理解是正确的．【详解】2002是200个2相乘，YYDS （永远的神）的理解是正确的；200100222(2)200=≠，DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；1234522,24,28,216,232=====，∴2的乘方的个位数字4个一循环，200450÷=，∴2002的个位数字是6，JXND （觉醒年代）的理解是正确的；2001020603202(2),10(10)==，10321024,101000==，且103210>20060210∴>，故QGYW （强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD ．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．22．（2022·内蒙古包头）若一个多项式加上2328xy y +-，结果得2235xy y +-，则这个多项式为___________．【答案】23y xy -+【分析】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy ∴=+--+-=+---+=-+，故答案为：23y xy -+．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．23．（2022·黑龙江大庆）已知代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，则实数t 的值为____________．【答案】52或32- 【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，∴()()()222222(21)4222a t ab b a b a b a b +-+++±=±±⋅⋅=，∴214t -=±， 解得52t =或32t =-， 故答案为：52或32- 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．24．（2022·四川广安）已知a +b =1，则代数式a 2﹣b 2 +2b +9的值为________．【答案】10【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +-++，可得9a b ++，即可求解．【详解】解：a 2﹣b 2 +2b +9()()29a b a b b =+-++29a b b =-++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 25．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m 元，一共需要__________元．（用含m 的代数式表示）【答案】10m【分析】根据“总费用=购买篮球的数量⨯每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得：一共需要的费用为10m 元，故答案为：10m ．【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．26．（2022·湖北恩施）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n 个数记为n a ，且满足21112n n n a a a +++=．则4a =________，2022a =________． 【答案】15 13032【分析】由已知推出1211111n n n n a a a a +++-=-，得到202220211132a a -=，202120201132a a -=，431132a a -=，211132a a -=，上述式子相加求解即可． 【详解】解：∵21112n n n a a a +++=；∴1211111n n n n a a a a +++-=-， ∵21111113212222a a -=-=-=， ∵43411113227a a a -=-=， ∴a 4=15， ∴202220211132a a -=，202120201132a a -=，211132a a -=，把上述2022-1个式子相加得2022111320212a a ⨯-=， ∴a 2022=13032， 故答案为：15，13032．【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出1211111n n n n a a a a +++-=-，利用裂项相加法求解． 27．（2022·江苏常州）计算：42÷=m m _______． 【答案】2m【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出． 【详解】解：422m m m ÷=．故答案为：2m ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 28．（2022·辽宁锦州）分解因式：2232x y xy y -+=____________． 【答案】2()y x y -【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2． 【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 29．（2022·江苏常州）分解因式：22x y xy +=______． 【答案】xy (x +y )【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】22()x y y y xy x x =++，故答案为：()xy x y +．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键． 30．（2022·四川内江）分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____． 【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解为()()2214a a +- ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）， 故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查． 31．（2022·贵州遵义）已知4a b +=，2a b -=，则22a b -的值为__________．【答案】8【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．【详解】解：∵4a b +=，2a b -=，∴22a b -()()428a b a b =+-=⨯= 故答案为：8 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 32．（2022·北京）分解因式：2xy x -=______． 【答案】()()11x y y +-【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 33．（2022·湖北恩施）因式分解：3269x x x -+＝_______． 【答案】2(3)x x -【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解题． 【详解】解：322269(69)(3)x x x x x x x x -+=-+=- 故答案为：2(3)x x -．【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．34．（2022·山东临沂）因式分解2242x x -+=______． 【答案】22(1)x -． 【详解】解：2242x x -+ =22(21)x x -+ =22(1)x -， 故答案为22(1)x -．35．（2022·浙江台州）分解因式：21a -=____． 【答案】()()11a a +-．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 36．（2022·江苏苏州）计算：3a a ⋅= _______． 【答案】a 4【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案． 【详解】解：a 3•a ， =a 3+1， =a 4．故答案为：a 4．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．37．（2022·黑龙江牡丹江）如图所示，以O 为端点画六条射线后OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，O 后F ，再从射线OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线___上．【答案】OC【详解】解∶∵1在射线OA 上，2在射线OB 上，3在射线OC 上，4在射线OD 上，5在射线OE 上，6在射线OF 上，7在射线OA 上，… ∴每六个一循环． ∵2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样． ∴所描的第2013个点在射线OC 上． 故答案为：OC38．（2022·吉林）计算：2a a ⋅=____．【答案】3a【详解】试题分析：根据同底数幂的乘法性质，底数不变，指数相加，可直接结算，2123a a a a +⋅==. 考点：同底数幂的乘法39．（2022·黑龙江牡丹江）下列图形是将等边三角形按一定规律排列，则第5个图形中所以等边三角形的个数是__________．【答案】485【详解】解： 由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形， 第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形， 第五个图形中161×3+2=485个正三角形． 故答案为：48540．（2022·湖北十堰）如图，某链条每节长为2.8cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm ，按这种连接方式，50节链条总长度为_________cm ．【答案】91【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是2.8cm ，2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ，3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ，n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ，据此解答即可求解． 【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ， 3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ， n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ， 所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1） =140-1×49=91(cm) 故答案为：91【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n 节链条长度为2.5×n -0.8×（n -1）． 41．（2022·广西贺州）因式分解：2312m -=__________． 【答案】3(2)(2)m m +-【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)； 故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 42．（2022·广西玉林）计算：3a a -=_____________． 【答案】2a【分析】按照合并同类项法则合并即可． 【详解】3a -a =2a ， 故答案为：2a ．【点睛】本题考查了合并同类项，解题关键是熟练运用合并同类项法则进行计算． 43．（2022·广东）单项式3xy 的系数为___________． 【答案】3【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案． 【详解】3xy 的系数是3， 故答案为：3．【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义． 44．（2022·黑龙江大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．【答案】49【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规侓即可得答案．【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个， 第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个， 第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个， ……∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个， 故答案为：49．【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 45．（2022·江苏泰州）已知22222,2,()a m mn b mn n c m n m n =-=-=-≠ 用“＜”表示a b c 、、的大小关系为________. 【答案】b c a <<【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解． 【详解】解：由题意可知：222222222)(2))(()(22m n mn m n a b m mn mn n m n m n ，∵m n ≠， ∴222()0m n m n ，∴b a <；22222223)()2)(4(2n m mn a c m mn n mm n n ，当且仅当002nm n 且时取等号，此时0m n ==与题意m n ≠矛盾，∴223()024n mn ∴c a <；22222223)()()24(2n m c b m n m n n mn n m n ，同理b c <， 故答案为：b c a <<．【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．46．（2022·黑龙江绥化）因式分解：()()269m n m n +-++=________． 【答案】()23m n +-【分析】将m n 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：()()269m n m n +-++()()22233m n m n =+-⨯⨯++()23m n =+-．【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．47．（2022·广西梧州）若1x =，则32x -=________． 【答案】1【分析】将1x =代入代数式求解即可．【详解】解：∵1x =， ∴323121x -=⨯-=， 故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算． 48．（2022·贵州黔东南）分解因式：2202240442022x x -+=_______． 【答案】()220221x -【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-；故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．49．（2022·黑龙江绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案． 【答案】3##三【分析】设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出3124yx =-，由于1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可． 【详解】解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件， 4348x y +=，解得3124y x =-， ∵1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数， ∴y 是4的整数倍， ∴4y =时，341294x ⨯=-=，8y =时，381264x ⨯=-=， 12y =时，3121234x ⨯=-=， 16y =时，3161204x ⨯=-=，不符合题意， 故有3种购买方案， 故答案为：3．【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键． 50．（2022·海南）因式分解：ax ay +=___________． 【答案】()a x y +【分析】原式直接提取a 即可．【详解】解：ax ay +=()a x y +． 故答案为：()a x y +．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确确定公因式是解答本题的关键． 三．解答题51．（2022·广西）先化简，再求值2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+，其中11,2x y ==． 【答案】x 3-2xy +x ，1【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x 、y 值代入计算即可．【详解】解：2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+ =x (x 2-y 2)+xy 2-2xy +x =x 3-xy 2+xy 2-2xy +x =x 3-2xy +x ，当x =1，y =12时，原式=13-2×1×12+1=1．【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 52．（2022·湖南岳阳）已知2210a a -+=，求代数式()()()4111a a a a -++-+的值． 【答案】-2【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【详解】解：()()()4111a a a a -++-+ 22411a a a =-+-+224a a =-()222a a =-，∵2210a a -+=， ∴221a a -=-， ∴原式()212=⨯-=-．【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键． 53．（2022·江苏无锡）计算：(1)(21cos 602-⨯-；(2)()()()()23a a a b a b b b +-+---．【答案】(1)1 (2)2a +3b【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可． (1) 解：原式=11322⨯- =3122- =1； (2)解：原式=a 2+2a -a 2+b 2-b 2+3b =2a +3b ．【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．54．（2022·广西梧州）（125(3)(2)+-⨯- （2）化简：232()23a a a a a +--⋅． 【答案】（1）14-；（2）24a a -【分析】（1 （2）先去括号和计算乘法运算，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）解：原式=235(3)(2)-+-⨯- =35(3)4-+-⨯ =3512-- =14-；（2）原式=223226a a a a +-- =24a a -．【点睛】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 55．（2022·北京）已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值． 【答案】５【分析】先根据2220x x +-=，得出222x x +=，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，最后代入求值即可．【详解】解：∵2220x x +-=， ∴222x x +=， ∴2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++ 2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，是解题的关键．56．（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【答案】(1)43(2)2x +2【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．(1)201(3)3---+π＝2﹣1+13＝43； (2)2(1)(1)(1)+--+x x x＝22211x x x ++-+＝2x +2．【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．57．（2022·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A 是关于m 的多项式．请写出多项式A ，并将该例题的解答过程补充完整．【答案】6A m =+，解答过程补充完整为26m -【分析】利用26m m +除以m 可得A ，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．【详解】解：观察第一步可知，()26A m m m =+÷， 解得6A m =+，将该例题的解答过程补充完整如下：(6)6(1)m m m +-+2666m m m =+--26m =-，故答案为：26m -．【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．58．（2022·吉林长春）先化简，再求值：()()()221a a a a +-++，其中4a =．【答案】4a +【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将4a 代入求值即可求解．【详解】解：原式＝224a a a -++4a =+当4a =时，原式44=【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．。
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因式分解
一、因式分解意义
把一个多项式写成几个整式乘积的形式，这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解．
二、因式分解的方法
1、提公因式法：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）．
公因式的构成：
①系数：各项系数的最大公约数．
②字母：各项的相同字母．
③指数：相同字母的最小指数．
2、公式法：
a2－b2=（a＋b）（a－b）；
a2±2ab＋b2=（a±b）2．
3、x2＋（a＋b）x＋ab=（x＋a）（x＋b）．
三、例题讲解
例1、下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（）
A．（x＋3）（x－3）=x2－9 B．x2＋x－5=（x－2）（x＋3）＋1
C．a2b＋ab2=ab（a＋b） D．
答案：C
例2、把下列各式分解因式．
①4a2－8ab；②－6x4y2＋12x3y－27x2y3；③5（x－y）3＋10（y－x）2；
④25－16x2；⑤9（m＋n）2－（m－n）2；⑥a5－a；
⑦x2＋14x＋49；⑧（m＋n）2－6（m＋n）＋9；⑨－3ax2＋6axy－3ay2；
⑩（x2＋4）2＋8x（x2＋4）＋16x2；
（x＋y）2－4（x＋y－1）；
（x4＋1）2－（2x2）2；
（x＋y）2＋4（x－y）2－4（x2－y2）．
解：①原式=4a（a－2b）．②原式=－3x2y（2x2y－4x＋9y2）．
③原式=5（x－y）3＋10（x－y）2=5（x－y）2（x－y＋2）．④原式=52－（4x）2=（5＋4x）（5－4x）．
⑤原式=[3（m＋n）]2－（m－n）2=（3m＋3n＋m－n）（3m＋3n－m＋n）
=（4m＋2n）（2m＋4n）
=4（2m＋n）（m＋2n）．
⑥原式=a（a4－1）=a（a2＋1）（a2－1）=a（a2＋1）（a＋1）（a－1）．
⑦原式=x2＋2×7x＋72=（x＋7）2．
⑧原式=（m＋n）2－2×3（m＋n）＋32=（m＋n－3）2．
⑨原式=－3a（x2－2xy＋y2）=－3a（x－y）2．
⑩原式=（x2＋4）2＋2×4x·（x2＋4）＋（4x）2
=（x2＋4＋4x）2=[（x＋2）2]2=（x＋2）4．
原式=（x＋y）2－4（x＋y）＋4=（x＋y－2）2．
原式=（x4＋1＋2x2）（x4＋1－2x2）=（x2＋1）2（x2－1）2
=（x2＋1）2（x＋1）2（x－1）2．
原式=（x＋y）2－2（x＋y）·2（x－y）＋[2（x－y）]2
=[x＋y－2（x－y）]2=（3y－x）2．
例3、分解因式：m2－n2＋2m－2n．
解：原式=（m2－n2）＋2（m－n）=（m－n）（m＋n）＋2（m－n）
=（m－n）（m＋n＋2）．
变式：分解因式：
①4a3－4a2－a＋1；②a2－b2＋2b－1．
解：①原式=（4a3－4a2）－（a－1）=4a2（a－1）－（a－1）
=（a－1）（4a2－1）=（a－1）（2a＋1）（2a－1）．
②原式=a2－（b2－2b＋1）=a2－（b－1）2=（a＋b－1）（a－b＋1）．
例4、分解因式：x2＋4x＋3．
解：原式=（x2＋4x＋4）－1=（x＋2）2－1=（x＋2＋1）（x＋2－1）=（x＋3）（x＋1）．变式：分解因式：x3－3x2＋4．
解：原式=x3＋x2－4x2＋4
=x2（x＋1）－4（x＋1）（x－1）
=（x＋1）（x2－4x＋4）=（x＋1）（x－2）2．
例5、分解因式：
（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）·（xy－1）．
解：设x＋y=a，xy=b，则
原式=a（a＋2b）＋（b＋1）（b－1）
=a2＋2ab＋b2－1=（a＋b）2－1=（a＋b＋1）（a＋b－1）
=（x＋y＋xy＋1）（x＋y＋xy－1）
=[x（1＋y）＋（y＋1）]（x＋y＋xy－1）
=（x＋1）（y＋1）（x＋y＋xy－1）．
一、选择题
1、多项式（x＋y－z）（x－y＋z）－（y＋z－x）（z－x－y）的公因式是（）
A．x＋y－z B．x－y＋z C．y＋z－x D．不存在
2、不论x、y取任何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（）
A．非负数B．正数 C．负数 D．非正数
二、填空题
3、下列各式：（1）a2＋ab＋b2；（2）4a2＋4a＋1；（3）a2－b2＋2ab；（4）－4a2＋12ab －9b2中，可以表示为完全平方式的有__________．（填序号）
4、若a＋b=5，ab=3，则a2b＋ab2=__________．
5、分解因式：x2＋2x－3=__________．
三、解答题
6、先化简再求值：x（x－y）－y（y－x）＋（x－y）2，其中x=－1，y=2．
7、用简便方法计算：
（1）7.6×201＋430×2 .01－19×20.1
8、已知x2＋x=－1，求x2009＋x2008＋x2007＋…＋x3＋x2＋x＋1的值．
9、分解因式：
（1）（x＋2）（x＋4）＋x2－4．
（2）（n＋1）（n＋2）（n＋3）（n＋4）＋1
10、利用因式分解说明257－512能被120整除．。