高考数学(文)名师讲义：第1章《集合与常用逻辑用语》含解析

近三年广东高考中对本章考点考查的情况年份题号赋分所考查的知识点
201125
以直线、圆为背景，求交集的元素
的个数
45以集合表示函数的定义域
第一章
集合与常用逻辑用语
本章主要包括两个内容：集合、常用逻辑用语．
1．集合主要包含两部分：集合的含义与表示以及集合的运算．
(1)对于集合的概念问题，学生在解题过程中易忽视集合的互异性，学会检验是处理此类问题最好的方法．
(2)研究元素与集合的关系，主要有两点：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．某个集合在另一个集合中，也可以为元素．此外，在处理两个集合之间的关系时，需时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(3)对于集合的运算，应充分利用数轴、Venn图的直观性来帮助解题．此外，在解题中融入分类讨论、数形结合等思想方法．2．常用逻辑用语主要包含三部分：命题及命题的四种形式、充要条件、量词．
(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”．
(2)有关充要条件的证明必须分“充分性”和“必要性”两个环节分别进行推理论证，证明时易出现充分性与必要性概念混淆的情形，因此证明时必须依“定义”弄清楚．
第一章集合与常用逻辑用语(3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，要注意类比．其中对逻辑联结词“或”的理解是难点．
(4)全(特)称命题的否定与命题的否定有区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．
从近几年的高考题来看，常以逻辑联结词“或”、“且”、“非”为工具，考查函数、不等式、数列、立体几何、解析几何等知识．
预测高考仍以选择题、填空题为主要考查题型，难度以容易题为主，以基本概念、基本方法为考查对象，以函数、不等式、三角、立体几何、解析几何等知识为依托，重点考查集合的运算，全称命题与特称命题的否定，判断特称命题、全称命题的真假，确定充分(或必要)条件等内容．
本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：
1．复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用．
2．主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚．3．要注意逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的“并”、“交”、“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解．
4．复习常用逻辑用语知识时，要抓住所学的几个知识点，通
过解决一些简单的问题达到理解、掌握常用逻辑知识的目的．
要突出常用逻辑用语的工具性作用，从概念入手，根据有关的符号、术语、关系、条件，结合实际问题进行逻辑推理，重点是命题的相互关系，全称量词、存在量词及其否定，确定命题成立的充分或必要条件．复习应侧重于以下几点：
(1)能写出已知命题的四种形式，会根据命题的相互关系判断充分(或必要)条件、充要条件．
(2)了解简单逻辑联结词，能用数学符号表示命题，并能根据简单命题的真假判定含有逻辑联结词的命题的真假．
(3)理解全称量词、存在量词及其关系，能区分否命题与命题的否定的不同．
5．集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通．
第一节集合的概念与运算
1．集合的含义与表示：
(1)了解集合的含义、元素与集合的从属关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系：
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算：
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
知识梳理
一、集合的含义与表示方法
1．集合的含义：把研究的对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．
2．集合元素的性质：________、________、________.
3．元素与集合的关系：①属于，记为________；②不属于，记为________．
4．集合的表示方法：________、________和________．
5．常用数集的记号：空集________，正整数集________，自然数集________，整数集________，有理数集________，实数集
________，复数集________．
二、集合间的基本关系
，________或
B A
三、集合的基本运算
交集属于A____
属于B的元
素组成的集
合
{x|x∈A____
x∈B}
_____
_
并集属于A____
属于B的元
素组成的集
合
{x|x∈A____
x∈B}
_____
_
补集
全集U中
____属于A
的元素组成
的集合
{x|x∈U，
x____A}
_____
_
一、1.元素集合 2.确定性无序性互异性 3.∈∉ 4.列举法描述法自然语言法 5.∅N*N Z Q R C
二、任意一个元素B⊇A至少A B相同A＝B不含子集
三、且且A∩B或或A∪B不∉∁U A,
基础自测
1．(2013·广东卷)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝()
A．{0} B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
解析：S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．故选A.
答案：A
2．(2013·北京东城区模拟)设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为()
A．{x|x>0} B．{x|－3<x<－1}
C．{x|－3<x<0} D．{x|x<－1}
解析：依题意，得集合A＝{x|－3<x<0}，所求的集合即为A∩B，所以图中阴影部分表示的集合为{x|－3<x<－1}．故选B.
答案：B
3．(2013·福建卷)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()
A．2 B．3
C．4 D．16
解析：因为A∩B＝{1,3}，有2个元素，所以子集个数为22＝4个．
答案：C
4．(2012·广州一模)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x||x－a|≤1}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为______________．
解析：化简得B＝{x|a－1≤x≤1＋a}．
∵A∩B＝A，∴A⊆B.∴a－1≤1且1＋a≥2.解得1≤a≤2.
答案：
1．(2013·重庆卷)已知集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
解析：因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.
答案：D
2．(2013·上海卷)设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，2)
B ．(－∞，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞),
解析：对集合A 讨论后，根据A 与B 的关系利用数轴可知，⎩⎨⎧ a ≥1，a －1≤1或⎩⎨⎧
a ≤1，a －1≤a ，
解得a ≤2 ，故选B. 答案：B
1．(2013·增城下学期调研)设集合U ＝{x |x 是小于9的正整数}，集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{3,4,5,6}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )
A ．{3}
B ．{7,8}
C ．{4,5,6,7,8}
D ．{1,2,7,8}
解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∁U A ＝{4,5,6,7,8}，∁U B ＝{1,2,7,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{7,8}．故选B.
答案：B
2. (2013·广州模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设
A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥－94，
B ＝{x |x <0}，则A ⊕B ＝( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－94，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞)
D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞)
解析：因为A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－94，所以A B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x <－94或x ≥0. 答案：C。