一个分式不等式的简证、推广及其应用

一个分式不等式的简证、推广及其应用隆建军、邓永海﹙攀枝花市大河中学，四川攀枝花617061﹚摘 要:文章利用Radon 不等式和Jensen 不等式的相关结论推广了一个分式不等式，所得结论具有一般性和实用性，并由此产生了一大批全新的分式不等式和已有的竞赛不等式.关键词:分式不等式；Radon 不等式；Jensen 不等式；Chebyshev 不等式；竞赛不等式 中图分类号:O122.3孙志坤老师在《数学通报》2008年8月号问题1728题给出如下分式不等式]1[：命题：若+∈R a a a a 4321,,,，S a a a a =+++4321，求证122434333232131S a S a a S a a S a a S a ≥-+-+-+- ﹙1﹚ 孙老师提供的解法相当地巧妙，但是方法让人很难想到，笔者认为该解答方法不值得推广。

在本文中，我们利用文[2]中的结论给出﹙1﹚式一个非常简洁的证明，然后，结合文[2-4]中的结论给出﹙1﹚式的全方位推广，并由此得到了一系列全新的分式不等式和已有的竞赛不等式。

引理1]2[ 设()n i b a i i ,,2,10,0 =>>，2≥p 或0≤p∑∑∑==-=⎪⎭⎫⎝⎛≥n i ipn i i p ni ipi b a n b a 1121 当且仅当nn b a b a b a === 2211时，等号成立. 引理2]3[﹙Jensen 不等式﹚ 若f 为区间],[b a 上的凸函数，则对任意],[b a x i ∈，n i ,,2,1 =，有()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≥+++n x x x f n x f x f x f n 21111.引理3]4[ 若()n i x m i ,,2,10,1 =>>，则下列不等式成立()()m n m m m m n x x x n x x x +++≤+++- 21121当且仅当n x x x === 21时，等号成立. 1 ﹙1﹚式的别证证明：在引理1中令3,4==p n ，则可得34333231a a a a()()()()()432134321324a S a S a S a S a a a a -+-+-+-+++≥-()124423S S S S =-≥ 故﹙1﹚式成立.2 ﹙1﹚式的推广及其应用定理1 若+∈R a a a n ,,,21 ，S a a a n =+++ 21，则有()123232131-≥-++-+-n n S a S a a S a a S a n n 证明：在引理1中令3=p ，则可得nn a S a a S a a S a -++-+-3232131 ()()()()n n a S a S a S a a a n-+-+-+++≥-2132132 ()12-=n n S 故有()123232131-≥-++-+-n n S a S a a S a a S a n n ，即定理1成立. 定理2 若+∈R a a a n ,,,21 ，S a a a n =+++ 21，2≥k 或0≤k ，则有()1212211-≥-++-+---n n S a S a a S a a S a k k n k n kk 证明：由引理1，则可得nk n kk a S a a S a a S a -++-+- 2211 ()()()()n k n ka S a S a S a a a n-+-+-+++≥-21212 ()121-=--n n S k k 故有()1212211-≥-++-+---n n S a S a a S a a S a k k n k n kk ，即定理2成立. 定理3 若++∈∈R b b b R a a a n n ,,,,,,,2121 ，T b b b S a a a n n =+++=+++ 2121,，2≥k 或0≤k ，则有()()()()()Sn n T S a S b a a S b a a S b a k kn kn n kk 12222111-+≥-+++-++-+- 证明：由引理1，则可得()()()111111111a S b a a S b a a S b a k kk -+++-++-+()()()()n kn n ka S a S a Sb a b a b a n-+-+-++++++≥-2122112 ()()Sn n T S k k12-+=- 故有()()()()()Sn n T S a S b a a S b a a S b a k knkn n kk 12222111-+≥-+++-++-+- ，即定理3成立. 定理4 若++∈∈R b b b R a a a n n ,,,,,,,2121 ，T b b b S a a a n n =+++=+++ 2121,，且()n i a S b i i ,,2,1 =≥，2≥k 或0≤k ，则有()121222111-≥-++-+---T n S a S b a a S b a a S b a k k n n kn k k 证明：由引理1，则可得n n kn k k a S b a a S b a a S b a -++-+- 222111 ()()()()n n kn ka Sb a S b a S b a a a n-+-+-+++≥-2211212()()1212-=-=---T n S S TS n S k k k k 故有()121222111-≥-++-+---T n S a S b a a S b a a S b a k k n n kn k k ，即定理4成立. 定理5 若+∈R a a a n ,,,21 ，S a a a n =+++ 21，21162412,12+-+-≥≥k k k q k ，()n i a S p q i p ,,2,1,0 =≥>则有()qpq k kq qn p k n q p kq p k S S n n S n a S a a S a a S a -≥-++-+-+12211 证明：作辅助函数()()0>-=x x S x x f qpk，对()x f 求一阶和二阶导数，有 ()()()0'211>-+-=-+-q pq k q p k xSqx x S kx x f()()()()()()3222222224422141''q pq k q k p k p xSx qk q x S k k q k q x S k k x f --++---+-=-+-+-由条件可知()0''>x f ，故()x f 为凸函数，则由引理2可得()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≥+++n x x x f nx f x f x f n 21111 q n p kn q n p k n q p kq p k n a a a S n a a a a S a a S a a S a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+- 212122111 所以qp kq n p k n q p kq p k n S S n S n a S a a S a a S a ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛≥-++-+- 2211()q p q k k q S S n n S n -=+1 故()qpq k kq q n p k n q p kq p k SS n n S n a S a a S a a S a -≥-++-+-+12211 成立，即定理5成立. 定理6 若++∈∈R b b b R a a a n n ,,,,,,,2121 ，T b b b S a a a n n =+++=+++ 2121,，n a a a ≤≤≤ 21；n b b b ≤≤≤ 21，且，2≥p ，1≥q ，则有()212221111-+--≥-++-+-q p pq n qn p n q p q p nn T S a S a b a S a b a S a b 证明：不妨设n a a a ≤≤≤ 21；n b b b ≤≤≤ 21，从而有qn q q a a a ≤≤≤ 21；p n p p b b b ≤≤≤ 21. n a S a S a S -≤≤-≤-11121 ，即nq n p n qp q p a S a b a S a b a S a b -≤≤-≤- 222111 由Chebyshev 不等式，可得nq n p n qp q p a S a b a S a b a S a b -++-+- 222111 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+++≥---n q n p n q p q p n a S a b a S a b a S a b a a a n 121221111211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=---n q n p n q p q p a S a b a S a b a S a b n S 121221111 ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-⎪⎭⎫⎝⎛≥---n q n p n q p q p aS a b a S a b a S a b n S 2222212112⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n p n p p qaS b a S b a S b n S 2211 ﹙2﹚ 运用Cauchy 不等式，可得()()()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+--++-+-n p n pp n aS b a S b a S b a S a S a S 221121222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥p n p p b b b﹙3﹚设()()02>=x x x f p，则有()02'12>=-px p x f ，()0122'22>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-px p p x f由引理2，可得222122221p pn p np pn T n n b b b n b b b ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥+++ ﹙4﹚由﹙3﹚、﹙4﹚可得n p n p p a S b a S b a S b -++-+- 2211()()Sn n T S nS n T n p pp122-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥- ﹙5﹚ 把﹙5﹚式代入﹙2﹚式，即有n q n p n qp q p a S a b a S a b a S a b -++-+- 222111qn S ⎪⎭⎫⎝⎛≥()()S n n T p p 12-⨯-()211-+--=q p p q n n T S . 故定理6成立.定理7 若++∈∈R b b b R a a a n n ,,,,,,,2121 ，T b b b S a a a n n =+++=+++ 2121,，且，2≥p ，1≥q ，()n i a S r k k i r ,,2,1,0,1 =≥>≥则有≥-++-+-knr qn p n k r q p k r q p a S a b a S a b a S a b 222111()k rk k q p kq p p S S n n S T -+-+-+122 证明：由引理3，可得()()knk k k k n k a a a n a a a S +++≤+++=- 21121 即 121-≥+++k kk nk k nS a a a ﹙6﹚不妨设n a a a ≤≤≤ 21；n b b b ≤≤≤ 21，从而有q n q q a a a ≤≤≤ 21；kn k k a a a ≤≤≤ 21；p np pb b b ≤≤≤ 21.k n r k r k ra S a S a S -≤≤-≤-11121 ，即knr q n p n k r qp k r q p a S a b a S a b a S a b -≤≤-≤- 222111 由Chebyshev 不等式，可得knrq n p n k r qp k r q p a S a b a S a b a S a b -++-+- 222111 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-+++≥---k n rq n p n k r qp k r q p n a S a b a S a b a S a b b b b n 122121111211≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=---kn rq n p n k r qp k r qp a S a b a S a b a S a b n T 122121111 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥kn r q n k r qk r q pa S a a S a a S a n T 2211 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛≥---k n rq n k r q k r q n pa S a a S a a S a a a a n n T 1212111211⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---k n rq n k r q k r q pa S a a S a a S a n S n T 1212111 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥≥-kn r k n k r kk r k kq p a S a a S a a S a n S n T 2211 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-+++--++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-kn r k n k r kk r k knk k r knr k r k rkq pa S a a S a a S a a a a nS a S a S a Sn S n T 22112121 ﹙6﹚ 运用Cauchy 不等式，可得()()()[]⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+--++-+-kn r k n k r kk r k k nrk rkra S a a S a a S a aSaSaS221121222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥p n p p a a a ﹙7﹚ 设()()02>=x x x f p ，则有()02'12>=-p x p x f ，()0122'22>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-px p p x f由引理2，可得222122221p pn p np p n S n n a a a n a a a ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥+++ ﹙8﹚把﹙6﹚、﹙7﹚、﹙8﹚式，有kn r q n p n k r qp k r q p a S a b a S a b a S a b -++-+- 222111()pkn k k r kq pn S n a a a nS n S n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-2211 ﹙9﹚ 把﹙6﹚代入﹙9﹚式，有kn r q n p n k r qp k r q p a S a b a S a b a S a b -++-+- 222111pk krkq p n S n nS nS n S n T ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥--211()krk k q p k q p p S S n n S T -=+-+-+122 故定理7成立.定理8 若+∈R a a a n ,,,21 ，S a a a n =+++ 21，则有()123232131+≥++++++n n S a S a a S a a S a n n 证明：在引理1中令3=p ，则可得nn a S a a S a a S a ++++++3232131 ()()()()n na S a S a S a a a n++++++++≥-2132132 ()12+=n n S 故有()123232131+≥++++++n n S a S a a S a a S a n n ，即定理1成立. 类似定理1至定理7对原命题的推广，也可以类比推广定理8，有兴趣的数学爱好者可以去完成. 在定理2中令3,2==n k ，即可得第2届“友谊杯” 国际邀请赛试题 推论1 设+∈R c b a ,,，则2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++ 在定理2中令3=n ，可得第28届国际数学奥林匹克竞赛预选题： 推论2 设c b a ,,是三角形的三边，N k s c b a ∈=++,2，则1232--⋅⎪⎭⎫⎝⎛≥+++++k k k k k s b a c a c b c b a在定理2中令2=k ，即可得《数学通报》1994年11月号问题925题 推论3 若+∈R a a a n ,,,21 ，S a a a n =+++ 21，则有12222121-≥-++-+-n Sa S a a S a a S a n n 在定理4中令1-=k 有下面不等式.推论4 若++∈∈R b b b R a a a n n ,,,,,,,2121 ，T b b b S a a a n n =+++=+++ 2121,，且()n i a S b i i ,,2,1 =≥，则有()()()()232221111111S T n a S b a a S b a a S b a n n n -≥-++-+- 在定理5中令6,2,2===q p k 有下面不等式.推论5 若+∈R a a a n ,,,21 ，S a a a n =+++ 21，()n i a S i ,,2,162 =≥则有4656226222261221S n n a S a a S a a S a n n -≥-++-+- 在定理6中令3,2==q p 有下面不等式.推论6 若++∈∈R b b b R a a a n n ,,,,,,,2121 ，T b b b S a a a n n =+++=+++ 2121,，n a a a ≤≤≤ 21；n b b b ≤≤≤ 21，则有()3223223222131211nn T S a S a b a S a b a S a b n n n -≥-++-+- 在定理7中令2,2,2,2====r q p k 有下面不等式.推论7 若++∈∈R b b b R a a a n n ,,,,,,,2121 ，T b b b S a a a n n =+++=+++ 2121,，且()n i a S i ,,2,122 =≥则有≥-++-+-222222222222122121n n n a S a b a S a b a S a b ()1232-n n T 在定理1-8中适当对参数取值，我们还可以得到其他新的分式不等式。