第六章第3讲基本不等式(教师)

第3讲 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)[做一做]1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取到等号． 答案：2 141．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑” 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．[做一做]2．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A3．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5考点一__利用基本不等式证明不等式__________已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. [证明] 法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab .∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．在本例条件下，求证1a ＋1b≥4.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． ∴1a ＋1b≥4. [规律方法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立，ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．考点二__利用基本不等式求最值(高频考点)______利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)当0<x <12时，函数y ＝12x (1－2x )的最大值为________．(2)(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3(3)(2015·吉林长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)扫一扫 进入91导学网( )基本不等式[解析] (1)∵0<x <12，∴1－2x >0，则y ＝14·2x (1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取到等号，∴y max ＝116.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3a b时取等号．故选D.(3)x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2.[答案] (1)116(2)D (3)D[规律方法] 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．2.(1)当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为__________．(2)若x <3，则函数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________．(3)已知函数y ＝a x ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m ＋n 的最小值为________．(4)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为________．解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．(2)∵x <3，∴x －3<0， ∴3－x >0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋（3－x ）＋3≤－243－x ·（3－x ）＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )的最大值为－1.(3)易知函数y ＝a x ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又因为点A 在直线x m ＋y n ＝－1上，所以3m ＋1n ＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝⎛⎭⎫3m ＋1n ＝10＋3m n ＋3n m ≥10＋23m n ·3n m＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立，所以3m ＋n 的最小值为16.(4)因为a >0，b >0，1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a ·(2b )＋1ab ＝4ab ＋1ab ，令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t.因为f (t )在⎝⎛⎦⎤0，18上单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝⎛⎭⎫18＝172，此时a ＝2b ＝12. 答案：(1)1 (2)－1 (3)16 (4)172考点三__利用基本不等式解决实际问题________小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解] (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8.35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15， 此时，当且仅当x ＝100x时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．[规律方法] 应用基本不等式解实际问题的步骤：①理解题意，设变量；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④写出正确答案．3.某化工企业2014年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．解：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋（2＋4＋6＋…＋2x ）x，即y ＝x ＋100x＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得：y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．考题溯源——基本不等式的实际应用(2014·高考福建卷)要制作一个容积为 4 m 3，高为 1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．[解析] 设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x ≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)． [答案] 160[考题溯源] 本题源于教材人教A 版必修5 P 99例2“某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？”只对题目数字作一变动，其解法完全相同．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：(1)设DN 的长为x (x >0)米， 则|AN |＝(x ＋2)米． ∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |， ∴|AM |＝3（x ＋2）x，∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝3（x ＋2）2x.由S 矩形AMPN >32，得3（x ＋2）2x>32.又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得0<x <23或x >6，即DN 长的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(6，＋∞)．(单位：米) (2)矩形花坛的面积为y ＝3（x ＋2）2x＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12(x >0)≥23x ·12x ＋12＝24，当且仅当3x ＝12x 即x ＝2时，矩形花坛的面积最小，为24平方米．1．(2015·青岛模拟)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当p 成立的时候，q 一定成立，但当q 成立的时候，p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件．2．(2015·上海黄浦模拟)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba≥2C.⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2D ．a 2＋b 2>2ab 解析：选C.当a ，b 都是负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立，当a ＝b时，D 不成立，因此只有选项C 是正确的．3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.4．(2015·湖北黄冈模拟)设a >1，b >0，若a ＋b ＝2，则1a －1＋2b 的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2 解析：选A.由a ＋b ＝2，可得(a －1)＋b ＝1.因为a >1，b >0，所以1a －1＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a －1＋2b (a －1＋b )＝ba －1＋2（a －1）b ＋3≥22＋3.当且仅当ba －1＝2（a －1）b ，即a ＝2，b ＝2－2时取等号．5．(2015·山东青岛质检)在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．则函数f (x )＝(e x )*1ex 的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选B.依题意可得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ＋1e x ＋1≥2e x ·1e x ＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x )*1ex 的最小值为3，故选B.6．已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为________．解析：由已知a 4a 14＝(22)2＝8.再由等比数列的性质有a 4a 14＝a 7a 11＝8. 又∵a 7>0，a 11>0，∴2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝8.当且仅当2a 7＝a 11时等号成立． 答案：8 7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－(x ＋25x )，而x ＞0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 88．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：209．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2， ∴2－x >0，∴y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1， 又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy .得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.1．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，∵a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．故选C.2．(2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xyz取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94D ．3 解析：选B.z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴2x＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1. 3．(2015·云南统一检测)已知a >0，b >0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax－by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________．解析：该曲线表示以(2，－1)为圆心的圆，由题意知直线ax －by －1＝0经过圆心(2，－1)，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝⎝⎛⎭⎫3b ＋2a (2a ＋b )＝6a b ＋2ba＋7≥26a b ·2ba＋7＝43＋7(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)．答案：43＋7 4．(2014·高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1900.当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)1005．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值． 解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥ 120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 6．(选做题)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立， 故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．。