第6篇第3讲基本不等式

第3讲 基本不等式

A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2013·宁波模拟)下列函数中，最小值为4的个数为 ( )． ①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x (0

x ；④y ＝log 3x ＋4log x 3. A ．4 B ．3 C ．2

D ．1

解析 ①中，由于x 的符号不确定，故不满足条件；②中，0

2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1

y 的最小值是 ( )．

A.120

B.15

C.12

D ．2

解析 ∵lg x ＋lg y ＝lg xy ＝2，∴xy ＝100，∴1x ＋1

y ≥2 1xy ＝15.

答案 B

3．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )． A.13 B.12 C.34

D.23

解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝3

4

.

当x＝1－x，即x＝1

2时取等号．

答案 B

4．函数y＝x2＋2

x－1

(x>1)的最小值是()．

A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2

解析∵x>1，∴x－1>0，

∴y＝x2＋2

x－1

＝

x2－2x＋1＋2(x－1)＋3

x－1

＝(x－1)2＋2(x－1)＋3

x－1

＝(x－1)＋

3

x－1

＋2≥23＋2.

当且仅当x－1＝

3

x－1

，即x＝3＋1时取等号．

答案 A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2012·黄冈二模)若a，b是正数，则a＋b

2，ab，

2ab

a＋b

，

a2＋b2

2这四个数

的大小顺序是________．

解析∵a，b是正数，∴2ab

a＋b

≤

2ab

2ab

≤ab，

而ab≤a＋b

2，又a

2＋b2≥2ab，

所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a＋b

2≤

a2＋b2

2.

故2ab

a＋b

≤ab≤

a＋b

2≤

a2＋b2

2.

答案2ab

a＋b

≤ab≤

a＋b

2≤

a2＋b2

2

6．(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18

－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 8 三、解答题(共25分)

7．(12分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，

(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.

(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8

x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫

2y ＋8x

＝10＋2x y ＋8y

x ≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.

8．(13分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1

y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，

∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .

∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧

x ＝5，

y ＝2，

此时xy 有最大值10.

∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.

∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.

(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛

⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭

⎪⎫

7＋2

5y x ·2x y

＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x

y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x

y

，解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝1010－203

，y ＝20－4103

.

∴1x ＋1

y 的最小值为7＋21020.

B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2013·南昌一模)当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x ＋27y ＋1 的最小值为 ( )． A ．3 B ．5 C ．1

D ．7

解析 由x ＋3y －2＝0得3y ＝－x ＋2， ∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1 ＝3x ＋9

3

x ＋1≥2

3x ·9

3

x ＋1＝7. 当且仅当3x

＝9

3x ，即x ＝1时取得等号． 答案 D

2．已知x >0，y >0，且2x ＋1

y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范 围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4)

D ．(－4,2)

解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1

y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y

≥4＋2

4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，

即x ＝4，y ＝2时取等号，