第6篇第3讲基本不等式
谈谈配凑基本不等式中的和式与积式的技巧
备考指南备考指南式变形为(m -2)(y -3)=6，将目标式变形为2(m -2)+3(n -3)+13，并把2(m -2)+3(n -3)视为两式的和，直接使用基本不等式求得最值.三、幂的变换幂的变换主要通过乘方来实现升幂、降幂.当代数式中含有指数幂，且指数幂的次数不一样时，往往可以通过幂的变换来改变指数，从而配凑出两式的和或积，为运用基本不等式创造条件.例3.已知α∈[0,π2]，则cos αsin α的最大值为_____.解：(cos αsin α)4=cos 4αsin 2α=12cos 2α⋅cos 2α⋅2sin 2α≤12(cos 2α+cos 2α+2sin 2α3)3=427,当且仅当cos 2α=2sin 2α，即tan α因此cos αsin α目标式中含有根式，需将其乘四次方，进行升幂处理，以去掉根号，并将根式化为2次式，就可以将cos 2α、cos 2α、2sin 2α看作三个式子的积，而其和为定值2，再运用基本不等式求得最值.四、换元变换换元法是解答高中数学问题的常用方法.运用换元法解答问题时，需从代数式的特征入手，将其中较为复杂的式子，如根式、根号下的式子、绝对值内部的式子、频繁出现的式子等用一个新元替换，通过换元建立目标式与已知关系式之间的联系，以配凑出两式的和或积.例4.已知x 2-3xy +2y 2=1，则x 2+y 2的最小值为_____.解：由x 2-3xy +2y 2=(x -y )(x -2y )=1，令t =x -y ，则x -2y =1t(t ≠0)，因为x 2+y 2=[2(x -y )-(x -2y )]2+[(x -y )-(x -2y )]2，则x 2+y 2=(2t -1t )2+(t -1t )2=5t 2+2t2-6≥-6=210-6，当且仅当5t 2=2t2，即t 25则x 2+y 2的最小值为210-6.先将已知关系式进行因式分解；然后令t =x -y ，即可将目标式转化为关于t 的式子5t 2+2t 2-6.而5t 2+2t 2为两式的和，其积为定值，这样便通过换元，配凑出基本不等式中的和式与积式.五、倒数变换进行倒数变换的难度较大，不仅需要仔细观察代数式的结构特征，建立各式之间的联系，还需熟练运用所学的公式进行恒等变换.有些式子，如根式、有理式、分式、对数式，在取倒数后，其形式、结构就会发生变化，这就为配凑两式的和或积创造了条件.例5.已知α，β∈(0，π2)，且tan α=3tan β，则α-β的最大值为______.解：令tan(α-β)=k ，则k =tan α-tan β1+tan αtan β=2tan β1+3tan 2β，取倒数得：1k =12tan β+32tan β≥=3，当且仅当12tan β=32tan β，即tan βtan α=3，α=π3，β=π6时取等号，此时k由于α，β∈(0，π2)，则0<α-β<π2，可得0<k 而正切函数在(0，π2)上单调递增，因此α-β的最大值为π6.我们直接求α-β的最大值的难度较大，于是从两角和的正切公式入手，通过取倒数，构造出两式的和与积，从而求得最值.总之，要配凑出基本不等式中的和式与积式，需掌握并灵活运用一些进行恒等变换的技巧，通过“1”的变换、加减变换、幂的变换、换元变换、倒数变换，将代数式进行合理的变形.（作者单位：四川省遂宁市第二中学校）57。
基本不等式解题“三步走”
课程篇基本不等式主要包含下列四种形式：①a+b ≥2ab √；②a 2+b 2≥2ab ；③ab ≤（a+b 2）2；④2（a 2+b 2）≥（a+b ）2。
其应用因灵活多变，不易为学生掌握，本文从解题角度入手来帮助学生解决这个问题。
第一步：应用特征基本不等式的应用特征：题目中会出现和（a+b ），积（ab ），倒数和（1a +1b ），平方和（a 2+b 2）四个中的两个，且一个是定值，一个是最值。
举例如下：例1.已知a 2+b 2=1（a ，b>0），求a+b 的最大值。
分析：条件中有平方和为定值、结论中有和为最值，满足基本不等式的应用特征，故可以直接使用基本不等式求解。
而包含和与平方和的基本不等式是公式④。
解：∵（a+b ）2≤2（a 2+b 2）=2×1=2∴a+b ≤2√（当且仅当a=b =2√2时等号成立）∴a+b 的最大值为2√。
例2.α为锐角，求sin αcos α的最大值。
分析：题目中只有一个字母α，但可以发现结论中是sin α与cos α积的最值，而sin α与cos α的平方和是定值1为隐藏条件，满足基本不等式的应用特征。
包含和与积的基本不等式是公式②。
解：∵2sin αcos α≤sin 2α+cos 2α=1∴sin αcos α≤12（当且仅当sin α=cos α=2√2，即α=π4时等号成立）∴sin αcos α的最大值为12。
点评：在使用基本不等式时可能会出现在和、积、倒数、平方和这四个中，题目上只有一个最值。
那就需要你寻找隐藏的定值，而隐藏的定值就必然在剩下三个中（例1）。
同时在使用中不一定是两个字母，它可能是只有一个字母（例2）。
第二步：应用技巧在题目满足基本不等式的应用特征时，经常会出现不能直接得出定值或直接应用公式的情况。
这时就需要有一定的技巧进行转化，技巧规律为：加减常数（或定值）与乘除常数（或定值）。
举例如下：例3.求x +4x+1（x >0）的最小值。
初中不等式知识点总结(合集12篇)
初中不等式知识点总结第1篇转化思维转化思维，既是一种方法，也是一种思维。
转化思维，是指在解决问题的过程中遇到障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻求最佳方法，使问题变得更简单、清晰。
创新思维创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，得出与众不同的解要培养质疑的习惯在家庭教育中，家长要经常引导孩子主动提问，学会质疑、反省，并逐步养成习惯。
在孩子放学回家后，让孩子回顾当天所学的知识：老师如何讲解的，同学是如何回答的？当孩子回答出来之后，接着追问：“为什么？”“你是怎样想的？”启发孩子讲出思维的过程并尽量让他自己作出评价。
有时，可以故意制造一些错误让孩子去发现、评价、思考。
通过这样的训练，孩子会在思维上逐步形成独立见解，养成一种质疑的习惯。
初中不等式知识点总结第2篇1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
初中不等式知识点总结第3篇1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;初中不等式知识点总结第4篇1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的.方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵∴（）②∵∴（）③∵∴（）④∵∴（）⑤∵∴⑥∵∴（）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：①（A）②（B）③（C）④（C）⑤（C）⑥（A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A．B．C．D．②由由得到的条件是（）A．B．C．D．③由得到的条件是（）A．B．C．D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A．B．C．D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵∴( ) ②∵∴( )③∵∴( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√②×③√④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质（二）一、不等式的基本性质1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．若，则，．2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．二、应用例1 解（1）（2）（3）（4）例2 解（1）（2）（3）三、小结注意不等式性质3的应用．四、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？第5篇教学设计初二下册数学16.1.2分式的基本性质说课稿设计16.1.2《分式的基本性质》说课稿今天我说课的内容是《分式的基本性质》。
高中数学基本不等式讲解
高中数学基本不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是围绕高中数学中的重要内容——基本不等式进行讲解。
基本不等式不仅是解决数学问题的有力工具，而且对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略选择能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将掌握基本不等式的性质、应用条件及其在解题中的应用策略。
2、教学对象本次教学的对象是高中二年级的学生。
经过之前的学习，他们已经具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力，但对于基本不等式的理解可能还停留在表面，缺乏深入的认知和灵活的运用。
因此，本节课将针对学生的实际情况，通过启发式教学、案例分析等方式，帮助学生更好地理解基本不等式，提高解题能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解基本不等式的定义及其证明过程，掌握基本不等式的表达形式；（2）能够运用基本不等式解决实际问题，如求最值、证明不等式等；（3）掌握基本不等式的应用条件，了解其在解决高中数学问题中的重要性；（4）通过基本不等式的学习，提高学生的运算速度和准确率，增强代数变形能力。
2、过程与方法（1）采用启发式教学方法，引导学生主动探究基本不等式的性质和证明过程，培养学生的自主学习能力；（2）通过典型例题的讲解和练习，使学生掌握基本不等式的应用方法，提高解决问题的策略选择能力；（3）组织小组讨论，让学生在合作交流中碰撞出思维的火花，相互学习，共同提高；（4）注重培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维方式，提高学生的逻辑推理能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神和创新意识；（2）通过基本不等式的学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的实用主义观念；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成认真审题、规范解题的良好习惯；（4）教育学生遵循数学的客观规律，尊重事实，树立正确的价值观；（5）通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高学生的综合素质。
三个未知数的基本不等式
三个未知数的基本不等式在数学中，不等式是一个重要的概念。
它描述了数之间的大小关系，使用不等号（<，>，≤，≥）来表示。
今天我们将讨论三个未知数的基本不等式。
首先，让我们看看一个关于三个未知数的简单不等式。
假设我们有三个实数a，b，c。
我们可以写下如下不等式：a +b > c这个不等式告诉我们，如果我们将a和b相加的结果大于c，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们c应该是a和b之和的上限。
例如，如果a=2，b=3，c=4，那么这个不等式成立，因为2+3=5大于4。
但如果a=1，b=2，c=4，那么这个不等式不成立，因为1+2=3小于4。
接下来，让我们看一个稍微复杂一些的不等式。
假设我们有三个非零实数x，y，z。
我们可以写下如下不等式：xy + yz + xz ≥ 0这个不等式告诉我们，如果我们将xy、yz和xz这三个数相加的结果大于等于0，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们这三个数的乘积的和应该大于等于0。
例如，如果x=1，y=-2，z=3，那么这个不等式成立，因为1*(-2) + (-2)*3 + 1*3 = -2 + (-6)+ 3 = -5 大于等于0。
但如果x=1，y=2，z=3，那么这个不等式也成立，因为1*2 + 2*3 + 1*3 = 2 + 6 + 3 = 11 大于等于0。
最后，让我们来看一个更加复杂和有趣的不等式。
假设我们有三个正实数p，q，r。
我们可以写下如下不等式：p/(q+r) + q/(p+r) + r/(p+q) ≥ 3/2这个不等式告诉我们，如果我们将每一个项的比值相加的结果大于等于3/2，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们分数项的和应该大于等于3/2。
这个不等式实际上是著名的尼尔森不等式的特例。
它在数学中有广泛的应用，尤其在不等式证明方面。
这个不等式的证明涉及到一些高级的数学知识和技巧，超出了本文的范围。
不等式基本性质和证明
第一讲 不等式的基本性质与证明一、 知识点分析不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。
不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a ±>±⇒>（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加性） （5）bc ac c b a >⇒>>0,.，bc ac c b a <⇒<>0,（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘性） （7）a ﹥b ，ab ﹥0，a 1⇒﹤b1(倒数变向性) （8）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则），)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数2、性质（8）中，若n 为正奇数，则无须b a ,都大于零两个实数大小的比较：作差法 b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0作商法 若b a ,﹥0，则b a ﹥1a ⇔﹥b ；b a ﹤1a ⇔﹤b ；ba=1a ⇔=b不等式的证明方法： ①作差法②作商法③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因 ⑤放缩法：常见类型有⑴nn n n n n n n n111)1(11)1(11112--=-<<+=+- （放缩程度较大）;⑵)1111(2111122+--=-<n n n n （放缩程度较小）;⑶1(212221--=-+<=n n n n nn⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法二、 例题精选例1.⑴比较a 与b 的大小：a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3⑵设21x x <，比较1211x x -+与2221x x -+的大小⑶设0,0>>b a ，试比较a b b a b a b a 与的大小 例2．⑴已知y x x yx y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322求的取值范围 ⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A ：x >3 B:x 1<31 ⑵ A ：x <3 B ：x 1>31 ⑶ A ：x >y B ：yx 11< ⑷ A ：32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地，甲在前一半时间行走的速度为x ，后一半时间行走的速度为y ，乙用速度x 走完前半段路程，用速度y 走完后半段路程，若x ≠y ，试指出谁先到达B 地，并说明理由。
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第3讲 基本不等式A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·宁波模拟)下列函数中，最小值为4的个数为 ( )． ①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝log 3x ＋4log x 3. A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析 ①中，由于x 的符号不确定，故不满足条件；②中，0<sin x ≤1，而应用基本不等式时等号成立的条件为sin x ＝2，故不满足条件；③正确；④中log 3x ，log x 3的符号不确定，故不满足条件，综上只有③满足条件． 答案 D2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是 ( )．A.120B.15C.12D ．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝lg xy ＝2，∴xy ＝100，∴1x ＋1y ≥2 1xy ＝15.答案 B3．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )． A.13 B.12 C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x＝1－x，即x＝12时取等号．答案 B4．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是()．A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时取等号．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·黄冈二模)若a，b是正数，则a＋b2，ab，2aba＋b，a2＋b22这四个数的大小顺序是________．解析∵a，b是正数，∴2aba＋b≤2ab2ab≤ab，而ab≤a＋b2，又a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a＋b2≤a2＋b22.故2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.答案2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b226．(2013·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案 5 8 三、解答题(共25分)7．(12分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.8．(13分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·南昌一模)当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x ＋27y ＋1 的最小值为 ( )． A ．3 B ．5 C ．1D ．7解析 由x ＋3y －2＝0得3y ＝－x ＋2， ∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1 ＝3x ＋93x ＋1≥23x ·93x ＋1＝7. 当且仅当3x＝93x ，即x ＝1时取得等号． 答案 D2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范 围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 由a ，b ∈R ＋，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ， 则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇔(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)4．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________．解析 z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋(x ＋y )2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f (t )＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254. 答案 254 三、解答题(共25分) 5．(12分)设f (x )＝16xx 2＋8(x >0)． (1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a ，b ，恒有f (a )<b 2－3b ＋214. (1)解 f (x )＝16x x 2＋8＝16x ＋8x ≤162 x ·8x＝22，当且仅当x ＝8x 时，即x ＝22时，等号成立． 所以f (x )的最大值为2 2.(2)证明 b 2－3b ＋214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3，当b ＝32时，b 2－3b ＋214有最小值3， 由(1)知，f (a )有最大值22，∴对任意实数a ，b ，恒有f (a )<b 2－3b ＋214.6．(13分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形 式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米． (1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解 (1)由图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63. 则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x－16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)． 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米.。