基本不等式(三课时内容)

立．
常用的变形公式有： (1)a＋b≥2 ab，ab≤( a＋ b 2 ) (当且仅当 a＝b 时取等号)． 2
1 ＋ (2)a＋ ≥2(a∈ R )(当且仅当 a＝ 1 时取等号)． a 1 － a＋ ≤－2(a∈ R )(当且仅当 a＝－ 1 时取等号)． a b a (3) ＋ ≥2(a， b 同号)(当且仅当 a＝b 时取等号 )． a b
B
C
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 1 S 4
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
赵金 才
典型题型
题型三：利用基本不等式证明不等式 例3：证明：
a b c ab bc ca
2 2 2
同步练习：已知a、b、c、d都是正数，
求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
变式练习：已知 a, b, c 均为正数，求证：
a 2 b2 c 2 abc b c a


[研一题] [例2] 2 5 已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求x＋ y的最小值．
[自主解答]
∵lg x＋lg y＝1， 10 xy＝2，
2 5 ∴xy＝10，∴x＋ y≥2
2 5 当且仅当x＝ y，即x＝2，y＝5时，等号成立， 2 5 故x＋ y的最小值为2.
[通一类] x y 2．已知x>0，y>0，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为 ________．
D
A a OC b B
E
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD? OD=______ CD=______ ≥ OD_____CD ＞
解：设AB=x ，BC=24－2x ，
矩形花园的面积为x(24－2x) m2 (其中2x+(24-2x)=24 是定值)
当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立 因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a b 2ab 的证明吗？
2 2
证明：（作差法） a b 2ab (a b)
2 2
2
当a b时
当a b时
2
(a b) 0
2
2
(a b) 0
所以(a b) ≥0
所以a b ≥2ab.
基本不等式
特别地，若a>0，b>0，则
a b≥2 ab
ab (a 0, b 0) 通常我们把上式写作： ab 2
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
ab 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 2 ab 叫做正数a，b的几何平均数；
一“正” 二“定” 三“相等”
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
则篱笆的长为 x +2y= 24 矩形花园的面积为xy m2
B C A D
得 144≥2xy
即 xy ≤ 72
[例 1] 1 5 (1)已知 x < ，求函数 f (x )＝4x －2＋ 的最大值； 4 4x －5 x2 (2)若 x >1，求函数 y＝ 的最小值． x －1
x 2＋7x ＋10 1．求函数 y＝ (x >－1)的最小值． x ＋1
x2＋5 2．求 y＝ 2 的最小值． x ＋4
【题型4.含两个变量或多个变量的最值问题】 例4、已知x，y为正实数，且x+2y=1，
同步练习
a＋b 已知 a>0，b>0，试比较 ， ab， 2
2 a2＋b2 ，1 1的大小 2 ＋ a b
内容小结
1.重要不 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab 等式： （当且仅当a=b 时取“=”）
2.基本不 等式：
ab 如果a, b∈R+，那么 2 ≥ ab
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；
1 1 （2）求 的最小值。 x y
变式1：已知x,y为正实数，若 x y 4 ，则
1 4 m 恒成立的实数m取值范围是 。 x y 1 4 11 4 1 4x y 解： x y 5 x y 4 x y 4 y x 1 9 5 2 4 4 4 4 x y 4 x 3 当且仅当 4 x y 即 时，取等号 8 y x y 3 9 m 4
D
A a OC b B
E
③OD与CD的大小关系怎样?
ab ≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
填表比较：
适用范围 文字叙述 “=”成立条件
a,b∈R
a>0,b>0
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a =b
a =b
注意从不同角度认识基本不等式
典型题型
题型二：利用基本不等式比较大小
[例 2] lga＋lgb a＋b 若 a>b>1，P＝ lga· lgb，Q＝ ，R＝lg( 2 )， 2
试比较 P、Q、R 的大小．
lga＋lgb [解] ∵a>b>1， ∴lga>lgb>0， ∴ lga· lgb< ， 即 P<Q. 2 a＋b a＋b 又 ab < ， 两 边 取 常 用 对 数 ， 得 lg ab <lg( )， 2 2 lga＋lgb a＋b ∴ <lg( 2 )，即 Q<R，∴P<Q<R. 2
解：设AB=x ，BC=24－2x ，
矩形花园的面积为x(24－2x) m2
当x=6时，函数y取得最小值为72
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
思考题
1 1. 求函数 f(x)=x + x+1 (x＞ -1) 的最小值. 2. 若 0<x< 1 2 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
例 4：已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 1 1 1 求证： ＋ ＋ ≥9. a b c
同步练习： 已知 a，b，c∈{正实数}且 a＋b＋c＝1. 1 1 1 求证：( －1)( － 1)( －1)≥8. a b c
本题型点评
本题除了正确使用基本不等式外，还要注
意“1”的整体代换，上式中还必须保证三个“＝”号同时成
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD? OD=______ CD=______
2
b
G F E C H
a b 面积S=＿＿＿＿＿
2
2
２、四个直角三角形的
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S___>__S′
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H
D
a 2 b2
F
E a a C A E(FGH) b C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2
赵金才
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
D
探究１：
1、正方形ABCD的
a b
2
赵金 才
典型题型
题型四：利用基本不等式求解最值问题
例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最 A D 短的篱笆是多少？
B
C
如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大， 最大面积是多少？ A D
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
则篱笆的长为 x +2y= 24 矩形花园的面积为xy
x yx 2 y x 2 xy y 2 2
24 12 2Fra bibliotekAD
m2
B
C
得 2xy ≤ 144 即 xy ≤ 72 x + 2 y不是 =24为 定值. 当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6