[2020理数]第七章 第三节 基本不等式

[基本知识]1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0,b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式⎭⎪⎬⎪⎫(1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋ab ≥2，ab >0；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R ；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时等号成立.3．算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a ＋b2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则：(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x,x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( ) (3)x >0,y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0,则a 3＋1a 2的最小值为2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、填空题1．当x >0时,函数f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 答案：12．已知a ,b ∈(0,＋∞),若ab ＝1,则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1,则ab 的最大值为________．解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2,当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14,当且仅当a ＝b ＝12时取到等号． 答案：2143．若a ,b ∈R,ab >0,则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：∵a ,b ∈R,ab >0,∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．答案：44．已知a >0,b >0,a ＋2b ＝3,则2a ＋1b的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1,所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号． 答案：83[全析考法]考法一通过拼凑法利用基本不等式求最值利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．[例1] (1)(2019·泉州检测)已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B ．12C.34D ．23(2)(2019·南昌调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6,则正数m 的值为________． [解析] (1)∵0<x <1,∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋(1－x )22＝34. 当且仅当x ＝1－x ,即x ＝12时等号成立．(2)∵x >2,m >0,∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2,当且仅当x ＝2＋m 时取等号,又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6,∴2m ＋2＝6,解得m ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值[例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x >0,y >0,lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x >0,y >0,x ＋2y ＝1,有2x ＋1y ≥m 恒成立,则m 的最大值是________．[解析] (1)因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,所以x ＋3y ＝1,所以1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4当且仅当3y x ＝x 3y ,即x ＝12,y ＝16时取等号． (2)∵x >0,y >0,x ＋2y ＝1,∴2x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋2＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy ＝8,当且仅当x ＝12,y ＝14时取等号,∴2x ＋1y 的最小值为8,又2x ＋1y ≥m 恒成立,∴m ≤8,即m 的最大值为8.[答案] (1)C (2)8 [方法技巧]通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．[集训冲关]1.[考法一]已知x <0,则函数y ＝4x ＋x 的最大值是( ) A ．－18 B ．18 C ．16D ．－4解析：选D ∵x <0,∴y ＝－⎣⎡⎦⎤4－x ＋(－x )≤－4,当且仅当x ＝－2时取等号．2.[考法二]正数a ,b 满足1a ＋9b ＝1,若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：因为a >0,b >0,1a ＋9b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16.由题意．得16≥－x 2＋4x ＋18－m ,即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立,又x 2－4x －2＝(x －2)2－6的最小值为－6,所以－6≥－m ,即m ≥6.答案：[6,＋∞)突破点二 基本不等式的综合问题关于基本不等式的考题,涉及的知识点较多,常融合于函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中,此类问题一般难度较大,需要较强的分析问题、解决问题的能力．[全析考法]考法一基本不等式的实际应用问题[例1] 如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔挡的材料为铝合金,宽均为6 cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2,此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm 2,设该铝合金窗的宽和高分别为a cm,b cm,铝合金窗的透光部分的面积为S cm 2.(1)试用a ,b 表示S ；(2)若要使S 最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少？ [解] (1)∵铝合金窗宽为a cm,高为b cm,a >0,b >0, ∴ab ＝28 800.①设上栏框内高度为h cm,则下栏框内高度为2h cm,则3h ＋18＝b ,∴h ＝b －183, ∴透光部分的面积S ＝(a －18)×2(b －18)3＋(a －12)×(b －18)3＝(a －16)(b －18)＝ab －2(9a ＋8b )＋288＝28 800－2(9a ＋8b )＋288＝29 088－2(9a ＋8b )．(2)∵9a ＋8b ≥29a ·8b ＝29×8×28 800＝2 880,当且仅当9a ＝8b 时等号成立,此时b＝98a ,代入①式得a ＝160,从而b ＝180,即当a ＝160,b ＝180时,S 取得最大值． ∴铝合金窗的宽为160 cm,高为180 cm 时,可使透光部分的面积最大． [方法技巧]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．考法二基本不等式与其他知识的交汇问题考向一 基本不等式与函数的交汇问题[例2] (2019·北京西城区期末)已知A ,B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点,若点A ,B 到直线y ＝12的距离相等,则点A ,B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞,－1)B ．(－∞,－2)C ．(－∞,－3)D ．(－∞,－4)[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),不妨设x 1<x 2.函数y ＝2x 为单调增函数,若点A ,B 到直线y ＝12的距离相等,则12－y 1＝y 2－12,即y 1＋y 2＝1,即2x 1＋2x 2＝1.由基本不等式得1＝2x 1＋2x 2≥22x 1·2x 2,当且仅当x 1＝x 2＝－1时取等号,则2x 1＋x 2≤14,解得x 1＋x 2<－2(因为x 1≠x 2,等号取不到),故选B.[答案] B考向二 基本不等式与数列的交汇问题[例3] (2019·济宁期末)已知a >0,b >0,并且1a ,12,1b 成等差数列,则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4[解析] ∵1a ,12,1b 成等差数列,∴1a ＋1b ＝1,∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2a b ·9b a ＝16,当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1,即a ＝4,b ＝43时等号成立,故选A. [答案] A考向三 基本不等式与解析几何的交汇问题[例4] (2019·邢台月考)当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时,M 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x[解析] 由题意得m >0,e ＝1＋m 2＋4m ＝1＋m ＋4m ≥1＋2m ·4m ＝5,当且仅当m ＝4m ,即m ＝2时等号成立,所以双曲线的方程为x 22－y 28＝1,所以渐近线方程为y ＝±2x ,故选A.[答案] A [方法技巧]求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．[集训冲关]1.[考法二·考向一]已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上,其中mn >0,则1m ＋1n 的最小值为( )A ．3－2 2B ．5C ．3＋2 2D ．3＋ 2解析：选C 令x ＋3＝1,得x ＝－2,故A (－2,－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上,∴－2m －n ＋1＝0,即2m ＋n ＝1,则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2 n m ·2mn ＝3＋2 2.当且仅当m ＝12＋2,n ＝12＋1时等号成立,所以1m ＋1n 的最小值为3＋22,故选C.2.[考法二·考向二]已知a >0,b >0,a ,b 的等比中项是1,且m ＝b ＋1a ,n ＝a ＋1b ,则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意知ab ＝1,∴m ＝b ＋1a ＝2b ,n ＝a ＋1b ＝2a ,∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4,当且仅当a ＝b ＝1时取等号．3.[考法二·考向三]两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线,若m ∈R,n ∈R,且mn ≠0,则4m 2＋1n 2的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 由题意可知两圆内切,x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0化为x 2＋(y －m )2＝1,x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0化为(x －2n )2＋y 2＝9,故4n 2＋m 2＝3－1＝2,即4n 2＋m 2＝4,4m 2＋1n 2＝14⎝⎛⎭⎫4m 2＋1n 2(4n 2＋m 2)＝2＋4n 2m 2＋m 24n 2≥2＋24n 2m 2·m 24n 2＝4. 4.[考法一]某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是多少万元？解：由题意知t ＝23－x －1(1<x <3),设该公司的月利润为y 万元,则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5,当且仅当x ＝114时取等号,即最大月利润为37.5万元.[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12C.22D ．1解析：选B 显然x ≥0.当x ＝0时,f (x )＝0；当x >0时,x ＋1≥2x ,∴f (x )≤12,当且仅当x＝1时取等号,f (x )max ＝12.2,若a ,b ∈R,则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |2≥|ab |B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4解析：选C 由于a ,b ∈R,所以A 、B 、D 项不能直接运用基本不等式考察,先考虑C 项． ∵a 2＋b 22－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝2(a 2＋b 2)－(a 2＋2ab ＋b 2)4＝a 2－2ab ＋b 24＝(a －b )24≥0,∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.3．(2018·东北三省四市一模)已知x >0,y >0,且4x ＋y ＝xy ,则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由题意可得4y ＋1x ＝1,则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×yx ＝9,当且仅当4x y ＝yx ,即x ＝3,y ＝6时等号成立,故x ＋y 的最小值为9.4．已知x ,y 都为正实数,且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5,则x ＋y 的最大值是( ) A ．3 B ．3.5 C ．4D ．4.5解析：选C 因为x ＋y ＋1x ＋1y ＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y ,所以x ＋y ＋4x ＋y≤5.令x ＋y ＝t .则t 2－5t ＋4≤0,解得1≤t ≤4. 5．(2019·西藏林芝期中)若x ,y 均为正数,则3x y ＋12yx ＋13的最小值是( )A ．24B ．28C ．25D ．26解析：选C 因为x ,y 均为正数,所以由基本不等式得3x y ＋12yx ＋13≥23x y ·12yx ＋13＝25,当且仅当x ＝2y 时等号成立,故3x y ＋12yx ＋13的最小值是25,故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州外国语学校月考)若a >b >1,P ＝lg a ·lg b ,Q ＝12(lg a ＋lg b ),R ＝ lga ＋b2,则( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <Q解析：选C ∵a >b >1,∴lg a >lg b >0,12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P .∵a ＋b 2>ab ,∴lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b ),即R >Q ,∴P <Q <R . 2．(2019·湖北稳派教育联考)若x >0,y >0,则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( )A ．x ＝yB ．x ＝2yC ．x ＝2且y ＝1D ．x ＝y 或y ＝1解析：选C ∵x >0,y >0,∴x ＋2y ≥22xy ,当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件,故选C.3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{a n }的公比为2,若a m a n ＝4a 22,则2m ＋12n 的最小值为( )A ．1B ．12C.34D ．32解析：选C 由题意知a m a n ＝a 212m＋n －2＝4a 2122＝a 2124,∴m ＋n ＝6,则2m ＋12n ＝ 16⎝⎛⎭⎫2m ＋12n (m ＋n )＝16( 52＋2n m ＋m 2n )≥16×⎝⎛⎭⎫52＋2＝34,当且仅当m ＝2n 时取等号,∴2m ＋12n 的最小值为34,故选C.4．(2019·岳阳一中模拟)已知a >b >0,则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．2 3D ．3 2解析：选A 因为4a ＋b ＋1a －b ＝12a ( 4a ＋b ＋1a －b )·[](a ＋b )＋(a －b )＝12a [ 5＋a ＋b a －b＋4(a －b )a ＋b ]≥12a (5＋4)＝92a (当且仅当a ＝3b 时取等号),所以2a ＋4a ＋b ＋1a －b ≥2a ＋92a ≥6(当且仅当a ＝32时后一个不等式取等号),故选A.5．(2019·甘肃诊断)已知向量a ＝(3,－2),b ＝(x ,y －1),且a ∥b ,若x ,y 均为正数,则3x ＋2y 的最小值是( )A.53 B ．83C ．8D ．24解析：选C 因为a ∥b ,故3(y －1)＝－2x ,整理得2x ＋3y ＝3,所以3x ＋2y ＝13(2x ＋3y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ＝13( 12＋9y x ＋4x y )≥13⎝⎛⎭⎫12＋2 9y x ·4x y ＝8,当且仅当x ＝34,y ＝12时等号成立,所以3x ＋2y 的最小值为8,故选C.6．若实数a ,b ,c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8,则a ＋b ＋c 的最大值为( ) A ．9 B ．2 3 C ．3 2D ．2 6解析：选D (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc . ∵a 2＋b 2≥2ab ,a 2＋c 2≥2ac ,b 2＋c 2≥2bc ,∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24,当且仅当a ＝b ＝c 时取等号, ∴a ＋b ＋c ≤2 6.7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 8－2S 4＝5,则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )A ．10B ．15C ．20D ．25解析：选C 由题意可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8,由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5,由等比数列的性质可得S 4,S 8－S 4,S 12－S 8成等比数列,则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2,综上可得：a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋5)2S 4＝S 4＋25S 4＋10≥2S 4×25S 4＋10＝20,当且仅当S 4＝5时等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB ＝4,O 为圆心,C 是半圆上不同于A ,B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→的最小值是( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选D ∵O 为AB 的中点,∴PA ―→＋PB ―→＝2PO ―→,从而(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→＝2PO ―→·PC ―→＝－2|PO ―→ |·|PC ―→|.又|PO ―→|＋|PC ―→|＝|OC ―→|＝12AB ＝2≥2|PO ―→|·|PC ―→|,∴|PO ―→|·|PC ―→|≤1,∴－2|PO ―→|·|PC ―→|≥－2,∴当且仅当|PO ―→|＝|PC ―→|＝1,即P 为OC 的中点时,(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→取得最小值－2,故选D.9．(2019·玉溪月考)在△ABC 中,若a 2＋b 2＝2c 2,则内角C 的最大值为( ) A.π6 B ．π4C.π3 D ．2π3解析：选C∵a 2＋b 2＝2c 2,∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2＝2c 2－c 22c 2＝12,当且仅当a ＝b 时取等号．∵C 是三角形的内角,∴角C 的最大值为π3,故选C. 10．(2019·淮安学情调研)已知正数x ,y 满足x ＋2y ＝3,则y x ＋1y 的最小值为________． 解析：∵x >0,y >0,x ＋2y ＝3,∴y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ·x 3y ＋23＝23＋23,当且仅当y x ＝x 3y 即x ＝63－9,y ＝6－33时等号成立,∴y x ＋1y 的最小值为23＋23.答案：23＋2311．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m ,n 满足2m ＋n ＋6＝mn ,则mn 的最小值是________． 解析：由2m ＋n ＋6＝mn ,m >0,n >0,得22mn ＋6≤2m ＋n ＋6＝mn ,令2mn ＝t (t >0),则2t ＋6≤t 22,即t 2－4t －12≥0,解得t ≤－2(舍)或t ≥6,即2mn ≥6,mn ≥18,则mn 的最小值是18.答案：1812．(2019·张掖月考)设a >0,b >1,若a ＋b ＝2,则3a ＋1b －1的最小值为________．解析：∵a >0,b >1,a ＋b ＝2, ∴3a ＋1b －1＝⎝⎛⎭⎫3a ＋1b －1(a ＋b －1)＝3＋3(b －1)a ＋ab －1＋1＝4＋3(b －1)a ＋a b －1≥4＋23,当3(b －1)a ＝ab －1, 即a ＝3－32,b ＝3＋12时取等号,故最小值为4＋2 3. 答案：4＋2 313．(2019·石家庄高三一检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0,b >0)经过点(2,3),则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2,3),所以2a ＋3b －ab ＝0,所以b ＝2aa －3>0,所以a －3>0,所以a ＋b ＝a ＋2a a －3＝a －3＋6a －3＋5≥5＋2(a －3)·6a －3＝5＋26,当且仅当a －3＝6a －3,即a ＝3＋6,b ＝2＋6时等号成立．答案：5＋2 614．(2018·唐山二模)已知a >0,b >0,c >0,d >0,a 2＋b 2＝ab ＋1,cd >1. (1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立,并说明理由．解：(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋1,当且仅当a ＝b 时取等号． 解得(a ＋b )2≤4,又a ,b >0, 所以a ＋b ≤2. (2)不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2,当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立． 因为a ＋b ≤2, 所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2. 因为c >0,d >0,cd >1, 所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ,故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．15．(2019·孝感模拟)经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ,B 两地相距120 km,假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地,则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时,y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675], 所以当x ＝65时,y 取得最小值,最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时,函数y ＝12－x60单调递减,故当x ＝120时,y 取得最小值,最小值为12－12060＝10.因为9<10,所以当x ＝65,即该型号汽车的速度为65 km/h 时,可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L,由题意可知l ＝y ·120x ,①当x ∈[50,80)时,l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4 900x －130＝16,当且仅当x ＝4 900x ,即x ＝70时,l 取得最小值,最小值为16；②当x ∈[80,120]时,l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数,所以当x ＝120时,l 取得最小值,最小值为10.因为10<16,所以当速度为120 km/h 时,总耗油量最少．。