【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数 3弧度制课件 新人教A版必修4

用弧度表示终边相同的角
(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. (链接教材P12习题1－3T7)
[解 ] 74 2 (1)－1 480°＝－ π ＝－8π － π 9 9
16 16 ＝－10π ＋ π ＝2×(－5)π ＋ π ， 9 9 16 16 其中 0≤ π <2π ，因为 π 是第四象限角， 9 9
3．角度与弧度的区别与联系 (1)定义不同，大小不同
区别 (2)单位不同 (3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角
的大小都是一个与圆的半径大小无关的值， 联系 仅和半径与所含的弧这两者的比值有关
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
(3)表示角时，弧度制与角度制不能混用
1．对弧度制概念的三点说明 (1)“1 rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大 小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关． (2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们 今后表示角时，多用弧度制表示． (3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大
扇形面积
公式
|n|π r2 S＝ 360
注意事项
r是扇形的半径，n是
r是扇形的半径，α是圆 心角的弧度数，l是弧长
圆心角的角度数
显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多，记忆和应用 也就更加方便．
注意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如
果已知角是以“度”为单位,则应该先化成弧度后再计算．
4.角度制与弧度制换算时应注意的四个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不
写，如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不
写． (2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度． (3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π 化成小数． (4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所 得的结果都是不同的，二者要注意不能混淆．
π 3 2．(1)与－660°角终边相同的最小正角是________ ．(用弧度
制表示) (2)将下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出 它们是第几象限角． ①－1 725°；②870°.
解：(1)因为与角 α 终边相同的角为 α＋ k· 360° (k∈Z)，所以与 －660°角终边相同的角是－660°＋k· 360°(k∈Z)， 其中最小 π π 正角是 60°，化为弧度为 .故填 . 3 3
2．下列转化结果错误的是( C ) π A． 60°化成弧度是 3 7π C．－150°化成弧度是－ 6 10 B．－ π 化成度是－600° 3 π D. 化成度是 15° 12
π π 10 10 解析：对于 A，60°＝ 60× ＝ ；对于 B，－ π ＝－ × 180 3 3 3 π 5π 180°＝－600°；对于 C，－150°＝－150× ＝－ ；对 180 6 π 1 于 D， ＝ ×180°＝15° . 12 12
所以－1 480°是第四象限角． (2)由题意知： 16 β ＝α＋2kπ ＝2kπ ＋ π (k∈ Z)， 9 又因为 β∈[－4π ， 0]，所以令 k＝－1，－ 2 得， 2 20 β 1＝－ π ，β 2＝－ π . 9 9
本例(1)中的条件“－1 480°”若换为“－855°”，其他条
(2)①因为－ 1 725°＝－5× 360°＋75°， 5π 所以－1 725°＝－ 10π ＋ . 12 5π 所以－1 725°与 的终边相同，是第一象限的角． 12 5π 29 ② 870°＝ π ＝ ＋ 4π ， 6 6 5π 所以－870°与 终边相同，是第二象限角． 6
扇形的弧长和面积公式的应用
360° 2π rad＝__________
180° π rad＝____________
180 π ) °≈57.30°＝ 1 rad＝(_____
57°18′
(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系
角度 数 弧度 数 0 0° 15° π 12 30° π 6 45° π 4 60° π 3 75° 5π 12 90° π 2 120 ° 2π 3 135 ° 3π 4 150 °的弧所对的圆心角 2 ． α(0<α<2π)的弧度数为________
l 4 解析：|α|＝ ＝ ＝2. r 2
4．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l＝
π π ________ ． 6 3 ，面积S＝________
π π 解析：因为 α＝60°＝ ，r＝1，所以 l＝|α|· r＝ ， 3 3 π π 1 1 S＝ r·l＝ ×1× ＝ . 2 2 3 6
件不变，其结论又如何呢？
π 19π 5π 解：因为－ 855°＝－ 855× rad＝－ ＝－6π ＋ ， 180 4 4 5π 5π 所以－855°与 的终边相同．又因为 是第三象限角， 4 4 所以－855°是第三象限角．
方法归纳 (1)无论用角度制还是用弧度制来度量角， 都能在角的集合与实 数集 R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的 一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角 与它对应． (2)用弧度制表示终边相同角 α＋2kπ (k∈ Z)时， 注意 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是π 的奇数倍．
小一样，π rad的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的
圆心角，在判断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时 需要把π化为小数．
2．对弧度数计算公式的说明 l 我们常用 α＝ 来求解圆中圆心角所对弧度数， 一般来说， 在圆 r 中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数．但在平面直角坐 标系中，所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角 α 上 l 添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为|α|＝ . r
弧度数 这就是说，弧长等于弧所对的圆心角_________ 的绝对值与 半径的积． ____________
3．角度制与弧度制的换算
(1)角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
2π 360°＝_________ rad
π 180°＝__________rad
π 180 1°＝____________ 0.017 45 rad≈____________rad
第一章
三角函数
§3 弧
度
制
1．问题导航
(1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？ (2)“2 rad”的角终边在第几象限？ (3)30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度 数是多少？
2．例题导读 P10例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并注意，不 要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面． 试一试：教材P12习题1－3 T1你会吗？ P10例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并注意，“ 度”的单位“°”不能省略．
角度 数 弧度 数
180°
210° 7π 6
225° 5π 4
240° 4π 3
270° 3π 2
300° 5π 3
315° 7π 4
330° 11π 6
360°
π
2π
4.弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧长公式
|n|π r l＝ 180
弧度制
l＝ |α|r
|α | 2 1 S＝ r ＝ lr 2 2
5．角度制与弧度制换算的要点
角度与弧度的互化
(1)把 112°30′化为弧度； 5 (2)将－ π rad 化为度． 12 (链接教材 P10 例 1、例 2)
[解 ]
π (1)因为 1°＝ rad， 180
π 5 所以 112° 30′＝ 112.5°＝ 112.5× ＝ π. 180 8 180 (2)因为 1 rad＝ π °， 180 5 5 所以－ π ＝－ π × π °＝－ 75° . 12 12
1 2 解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 α，则扇形面积为 S＝ α r 2 1 ＝ α ×22＝ 4，解得 α＝2.故填 2. 2 (2)①设扇形的弧长为 l cm，半径为 r cm，则 l＝4－2r. 1 1 因为 S 扇形＝ lr，所以 (4－ 2r)r＝ 1. 2 2 l 解得 r＝ 1， l＝2，所以圆心角的弧度数为|α|＝ ＝2(rad)． r π 2π ②设扇形弧长为 l cm，因为 72°＝72× ＝ rad. 180 5 2π 1 1 所以 l＝ |α|r＝ × 20＝8π (cm)， S＝ lr＝ ×8π × 20＝ 80π 5 2 2 (cm2)．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度指的是1度的角．( (2)周角的大小是2π.( )√ )√ )×
(3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．(
2π r (2)正确．周角的大小是 ＝ 2π . r
解析：(1)错误 .1 弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角．
π (3)正确．若弧长为π ，半径为 2， 则 |α|＝ ，故其圆心角是直角． 2
一条弦的长度等于半径r，求：
(1)这条弦所对的劣弧长；
(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．
[解 ] (1)如图，半径为 r 的⊙ O 中弦 AB＝ r，则△ OAB 为等边 π π 三角形，所以∠ AOB＝ ，则弦 AB 所对的劣弧长为 r. 3 3
32 (2)因为△ AOB 是边长为 r 的正三角形，所以 S△ AOB＝ r ， 4 π 2 1 1 π 2 2 S 扇形 OAB＝ |α |r ＝ × × r ＝ r ， 2 2 3 6 π 2 32 所以 S 弓形＝ S 扇形 OAB－ S△ AOB＝ r － r 6 4 π 3 ＝ － r2. 6 4