概率7-4
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中的一门重要分支，用于研究随机事件的发生概率和规律性。
下面是概率论中的一些常用公式和定理，供参考：1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的情况数，n(S)表示样本空间中所有事件发生的情况数。
2.加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B发生的概率。
3.乘法定理：P(A∩B)=P(B，A)×P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.互斥事件的概率：若事件A和事件B互斥（即不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B) 5.条件概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6.贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=∑[P(A∩B_i)]其中，事件B_1,B_2,...,B_n互斥且构成样本空间，P(B_i)不为0，P(A∩B_i)表示事件A和事件B_i同时发生的概率。
8.期望值：E(X)=∑[x_i×P(X=x_i)]其中，X为随机变量，x_i为随机变量X的取值，P(X=x_i)为随机变量X取值为x_i的概率。
9.方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，X为随机变量。
10.协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) × (Y - E(Y))]其中，X和Y为两个随机变量。
11.独立事件的概率：若事件A和事件B独立，即P(A∩B)=P(A)×P(B)12.独立随机变量的期望值：E(XY)=E(X)×E(Y)其中，X和Y为独立随机变量。
概率第7章 参数估计
Gauss
Fisher
基本思想
甲.乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中, 可以认为:甲射击技术优于乙射击技术. 事件A发生的概率为0.1或0.9,观察一次,事件A发生了, 可以认为:事件A发生的概率为0.9. 实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量 检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在 获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观 察结果出现的可能性最大. 最大似然估计就是通过样本值 x1 , , x n 等数求得总体的 分布参数,使得 X1 ,, X n 取值为 x1 , , x n 的概率最大.
i
L( ) L( x1 , , x n ; ) f ( x i ; ),
i 1
n
的最大值，这里 ( )称为样本的似然函数 L .
ˆ 若 L( x 1 , , x n ; ) max L( x 1 , , x n ; )
ˆ 则称 ( x1 , , xn )为 的极大似然估计值 .
i
xi
在得到观测值 x1 ， x 2 ， ， x n 的前提下，自然 应当选取使得 n
f ( x ; )dx
i i 1
i
达到最大的 值作为未知参数 的估计值．
因为当未知参数 等于这个值时，出现给 定的那个 样本观测值的可能性最 大．
但 dxi 不随 而变，故只需考虑：
3.期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计: (1)无偏性 1 n 选择估计量 X X i n i 1 (2)样本容量越大,估计值 越有效 方差的点估计:
《概率论与数理统计》第4-7 章自测题讲评
《概率论与数理统计》第4－7章自测题讲评第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤10 其他 , 求数学期望EX 。
【讲评】考点：连续型随机变量数学期望的定义为EX= ∫-∞+∞xf(x)dx 。
[解]：EX= ∫-∞+∞xf(x)dx = 5∫01x 5dx = 5[x 56]01= 562.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
【讲评】考点：正态分布N(μ, σ2)的数字特征，EX=μ，DX=σ2。
和的方差公式：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)。
[解]：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)= 3+5+2×0.4 = 8.83. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0 ，若X ，Y 相互独立，求： E(XY)【讲评】考点：均匀分布与指数分布的数学期望，X~U[a,b] ⇒ EX=a+b 2 。
X~exp(λ) ⇒ EX=1λ 。
若X 与Y 相互独立，则 E(XY)=EXEY 。
本题：注意：X~U[1,3], Y~Exp(3) ⇒ EX=1+32 =1, EY=1/3，因为X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)=1×(1/3) =1/34. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ , E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ【讲评】考点：普阿松分布X~P(λ)的数字特征：EX=λ, DX=λ 。
及DX = E(X-EX)2 = EX 2 – (EX)2 , EX 2 =DX+(EX)2本题：X~P(λ) ⇒ EX=λ, DX=λ, EX 2=λ+λ2 .所以E(X)D(X) =1，E(X 2)=λ2＋λ＝E(X)[E(X)+1]，E(X) = λ，但是 DX=1λ , E (X - λ)2 = 0, 这两个是错误等式。
概率论与数理统计习题及答案第七章
习题7-11.选择题(1)设总体X 的均值口与方差 /都存在但未知，而X 1,X 2,L ,X n 为来自X 的样本，则均值 口与方差 (T 2的矩估计量分别是 ().(A) X 和(B)1 nX 和—(Xn i 1i )2.(C)口和 2(T・1 (D) X 和一 nn(X ii 1 x)2.解 选(D).(2) 设X : U[0,],其中 e >0为未知参数，又X ,,X 2,L ,X n 为来自总体X 的样本 ,则e 的矩估计量是().(A) X . (B)2X . (C)max{X i }.(D)mi^X i}.解选(B).2.设总体X 其中0v B v 为未知参数,X1, X 2,…,X.为来自总体X 的样本，试求e 的矩 估计量.解 因为 E (X )=(- 2)x3 e +1x (1 -4 e )+5x e =1-5 e ,令 1 5 X 得到的矩估计量为3.设总体X 的概率密度为f(x ；)(1)x ,0 x 1,0,其它•其中 0> -1是未知参数，X ,冷… ,X n 是来自 X 的容量为n 的简单随机样本求：(1) 的矩估计量；⑵ 0的极大似然估计量•解 总体X 的数学期望为-19 2X 1令E(X) X ,即一1 X,得参数B 的矩估计量为？•21 X设X 1, X 2,…,x n 是相应于样本X 1, X 2,…,X n 的一组观测值，则似然函 数为n(1)n X i , 0x i 1,i 10,其它.In xi 1In X ii 14.设总体X 服从参数为的指数分布，即X 的概率密度为E(X)1xf(x)dx o (1)x dx当 0<X i <1(i =1,2,3,…，n )时，L >0 且 In L nln(1)In X i ,i 1dln LnIn x =0,得0的极大似然估计值为而0的极大似然估计量为f(X,xe , x 0,其中0为未知参数,X, X2,）0, x< 0,…,X n为来自总体X的样本，试求未知参数的矩估计量与极大似然估计量解因为E(X)= 1= X , 所以的矩估计量为设X1, X2,…，x n是相应于样本X i, X2,…,X 的一组观测值，则似然函数取对数Xii 1然估计量为In L 0,得5.设总体X的概率密度为f (x,) 其中（0< <1）是未知参数.X, N为样本值x1, X2,L ,x n中小于极大似然估计量•解⑴ X E(X) xnInnXn e 11X).的极大似然估计值为1,的极大似X0,X2,0x1,, 1< x< 2,其它，…,X n为来自总体的简单随机样本，记1的个数.dx 2x(1求：（1）e的矩估计量；（2）e的3 3 —)dx ，所以矩一X .2 21⑵ 设样本X ，X 2 ,L X n 按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系：X (1) w X (2)X ( Ni <1 W X ( N +1) W X (N+2)X (n ).似然函数为N n NL()(1 ),X (1) w X (2) w L w X ( N ) 1W X (N1) W X (N2) w L w X n ,0,其它.考虑似然函数非零部分，得到In L ( 0 ) = N ln 0 + ( n -N ) ln(1 - 0 ),令d |nL ( )」o ,解得0的极大似然估计值为？ N .d1n习题7-2的无偏估计量•1.选择题：设总体X 的均值与方差 2都存在但未知,X i ,X 2,L ,X n 为X 的样本,则无论总体 X 服从什么分布，()1X i和丄 (XiX)2.(B)n i 1 n i1 n(C)X i 和n 1 i 1解 选(D).2.若X 1 ,X 2lx1 1X 2kX 334解 要求E( 7X 1-X j 和丄 1 i 1 n 1n(X ii 1X)2.(X i1)2 • (D)X i 和丄(X i)2.X 3为来 自总体X : N(,2)的样本，且的无偏估计量，问k 等于多少1 11 「2 kX 3)3 4k解之,k=g(A)13.设总体X的均值为0,方差2存在但未知，又X「X2为来自总体X1 2 2的样本,试证:—(X i X2)为的无偏估计21 2 1 2 2证因为E[—(X i X2) ] —E[(X i 2X^2 X2 )]2 2-[E(X i2) 2E(X i X2)E(X22)]-2 2所以-(X i X2)2为2的无偏估计•2习题7-31.选择题(1)总体未知参数的置信水平为的置信区间的意义是指()(A)区间平均含总体95%的值.(B)区间平均含样本95%的值.(C) 未知参数有95%的可靠程度落入此区间.(D) 区间有95%的可靠程度含参数的真值•解选(D).(2)对于置信水平1- a (0< a <1),关于置信区间的可靠程度与精确程度F列说法不正确的是().(A)若可靠程度越咼,则置信区间包含未知参数真值的可能性越大(B)如果a越小，则可靠程度越高，精确程度越低•(C)如杲1 - a越小,则可靠程度越高,精确程度越低•(D)若精确程度越高,则可靠程度越低,而1- a越小.解选(C)习题7-41. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下(单位：小时)： 1050, 1100, 1080 , 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200设灯泡寿命服从正态分布 N 口 , 902),取置信度为，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间所求置信区间为(x - z /2 , X - z /2 ) \l n J n 90 90 (1141.11 = 1.96,1141.11 r 1.96)V 9V 9(1082.31,1199.91).2.为调查某地旅游者的平均消费水平，随机访问了40名旅游者,算得平均消费额为 X 105元,样本标准差s 28元•设消费额服从正态分布 取置信水平为，求该地旅游者的平均消费额的置信区间解计算可得X 105, s 2 =282.对于a =,查表可得t_(n 1) t o.025(39)2.0227.2所求口的置信区间为3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布 .现随机抽取此种香烟 8支解计算得到X1141.11, CT 2 =902.对于a =,查表可得Z /2Z).Q25匸96*(Xt (n 1), x ■■- n 2s —t (n ■■- n 21)) (1052.0227, 1052.0227)2828为一组样本，测得其尼古丁平均含量为毫克，样本标准差s=毫克.试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为的置信区间.a =,查表可得 2(n 1) 爲5(7) 20.278,并说明该置信区间的实际意义1 2的置信水平为的置信区间是，”的实际意义是：在两总体第一个正态总体的均值1比第二个正态总体均值 2大〜，此结 论的可靠性达到95%.5.某商场为了了解居民对某种商品的需求 ，调查了 100户，得出每户月2解已知n =8, s2 2 (n 1)0.995(7) 1 - 20.989,所以方差d 2的置信区间为((n 1)S 2(2_ (n 1)22 22(8 1) 2.4 (8 1) 2.4 _2 —)(， )=，.2(n 廿丿 20.2780.9891 -(n 1)S 4.某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱 ，分别从两条流水线上抽取样本:X ,X 2,…，X 12 及 Y ,Y 2,…，丫17,算出 x 10.6g, y2 29.5g, s 1 2.4, s 2 4.7 .假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布 ,且相互独立，其均值分别为2又设两总体方差1:.求2置信水平为的置信区间解由题设2 2x 10.6,y 9.5,s 12.4, s 2 4.7,n12,n 2 17,m 1)s 2 仏 1)s ：(12 1) 2.4(171) 471.94212 17 2t_gn 22q n 2 22) t °.°25(27)2.05181,所求置信区间为((X y)11) ((10.6 9.5) 2.05181 1.94结论“方差相等时， [(a n 22)s w2)平均需求量为10公斤，方差为9 .如果这种商品供应10000户，取置信水平为•(1) 取置信度为,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计(2) 问最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需要解(1) 每户居民的需求量的置信区间为_ s(xt(n* n_ s1), xt (nV n1)) (xs卅,％s川)(10,9J492.575,10 2.575)(9.2275,10.7725). 100J10010000户居民对此种商品月需求量的置信度为的置信区间为(92275,107725)；(2)最少要准备92275公斤商品才能以99%的概率满足需要。
七年级数学下课本习题第6章概率初步
第六章概率初步第1节感受可能性1、P138-随堂练习-1下列事件中,哪些就是必然事件？哪些就是随机事件？(1)将油滴入水中,油会浮在水面上;(2)任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数就是奇数。
2、P138-随堂练习-2小明任意买一张电影票,座位号就是2的倍数与座位号就是5的倍数的可能性哪个大？3、P138-习题6、1-1下列事件中,哪些就是必然事件？哪些就是不可能事件？哪些就是随机事件？(1)抛出的篮球会下落;(2)一个射击运动员每次射击的命中环数;(3)任意买一张电影票,座位号就是2的倍数;(4)早上的太阳从西方升起。
4、P138-习题6、1-2一个袋中装有8个红球、2个白球,每个球除颜色外都相同。
任意摸出一个球,摸到哪种颜色球的可能性大？说说您的理由。
5、P138-习题6、1-3下图就是一个可以自由转动的转盘,转动转盘,当转盘停止时,指针落在哪个区域的可能性大？说明您的理由。
6、P139-习题6、1-4下图表示各袋中球的情况,每个球除颜色外都相同,任意摸出一个球,请您按照摸到红球的可能性由大到小进行排列。
7、P139-习题6、1-5如图就是一个可以自由转动的转盘,利用这个转盘与同伴做下面的游戏:(1)自由转动转盘,每人分别将转出的数填入四个方格中的任意一个(2)继续转动转盘,每人再将转出的数填入剩下的任意一个方格中;(3)转动四次转盘后,每人得到一个“四位数”;(4)比较两人得到的“四位数”,谁的大谁就获胜。
多做几次上面的游戏,在做游戏的过程中,您的策略就是什么？您积累了什么样的获胜经验？第2节频率的稳定性8、P142-随堂练习某射击运动员在同一条件下进行射击,结果如下表所示:(1)完成上表;(2)根据上表,画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图;(3)观察画出的折线统计图,击中靶心的频率的变化有什么规律？对某批产品的质量进行随机抽查,结果如下表所示: 随机抽取的产品数n 1 500 1000 合格的产品数m 9 19 47 93 187 467 935 合格率m n(1)完成上表;(2)根据上表,画出产品合格率变化的折线统计图;(3)观察画出的折线统计图,产品合格率的变化有什么规律？10、 P142-习题6、2-2抛一个如图所示的瓶盖,盖口向上或盖口向下的可能性就是否一样大？怎样才能验证自己结论的正确性？11、 P145-随堂练习-1小凡做了5次抛均匀硬币的试验,其中有3次正面朝上,2次正面朝下,因此她认为正面朝上的概率大约为35 ,朝下的概率约为25 ,您同意她的观点不？您认为她再多做一些试验,结果还就是这样不？掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为12 ,那么,掷100次硬币,您能保证恰好50次正面朝上不？与同伴进行交流。
数学小学奥数系列7-4排列（一）
数学小学奥数系列7-4排列（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共29题；共156分)1. （10分）有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。
请问：这2张扑克牌花色相同的概率是多少？2. （10分）根据规律画出被挡住部分的珠子。
（1）（2）3. （10分）分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少？点数之积为6的概率为多少？4. （5分）如果北京到广州的高铁中途要停靠郑州，武汉两个火车站，那这些车站间的往返火车票共需多少种？5. （5分）找规律填数。
6. （5分）找规律，数字游戏。
7. （5分）接下来画什么?请你圈一圈。
8. （5分）她只能从这三本书中挑选两本书，共有多少种挑选方法？每种挑选方法要花多少钱？9. （5分）画一画，填一填。
10. （5分）有10元、5元、2元和1元的纸币各一张，任取2张，可以组成多少种不同的币值？11. （5分） (2020四下·涟水月考) 用2、3、０、０这四个数字组成两个四位数，要使它们的和是5050，这两个四位数各是多少？12. （5分）书架上有本故事书，本作文选和本漫画书，全部竖起来排成一排．（1）如果同类的书不分开，一共有多少种排法？（2）如果同类的书可以分开，一共有多种排法？13. （5分）甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？14. （5分） (2020五上·鼓楼期末) 一列客车在上海与南京之间往返行驶，中间停靠苏州、无锡、常州，每两地之间的路程都不同，铁路局应准备多少种不同的火车票? （在相同的两站往返的车票是不同的）15. （5分） (2021三上·新会月考) 同学们在跳舞，每两人一组，可以有多少种分法？用线连一连。
概率论 7连续型随机变量
作业
• 习题2 10，11，12，13，15
随机变量 X 的分布函数为 x0 0 2 F ( x) x 0 x 1 1 x 1
(1)求 P (0.3 X 0.7)
(2)X的密度函数
2 2
(1) P (0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.7 0.3 0.4
P{ a X b}＝ P{ a X b} P{ a X b} ＝ P{ a X b}＝ f ( x ) dx
a b
例1：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0
x
求 P (0 X
P ( A ) P{10 X 15 } P ( 25 X 45 } P{55 X 60 }
5 20 5 60 1 2
2、 指数分布(exponential distribution)
e ,x 0 若 X ~ f ( x )＝ 0, x 0
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两 年的概率为多少？ 解
3e 3 x f ( x) 0
x0 x 0,
6
(1) p{ X 2}
3e
2
3 x
dx e
( 2 ) p{ X 3 .5 | X 1 .5}
p{ X 3 .5, X 1 .5} { X 1 .5}
密度函数的几何意义为
P ( a X b )＝ f ( u ) du
a
b
X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分
2. 密度函数的性质
《概率论与数理统计》第4-7 章复习与自测题
《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。
2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。
6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。
试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。
(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
数理统计
由
P{ χ
2 1− α 2
ห้องสมุดไป่ตู้
( n − 1) S ( n − 1) < < σ
2 χα 2 ( n − 1)} = 1 − α
可得到标准差 σ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
n − 1S
2 χα 2 ( n − 1)
(
,
n − 1S χ12− α 2 ( n − 1)
)
数理统计
例2 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称 得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体 标准差 σ 的置信水平0.95为的置信区间. 解 这里 α 2 = 0.025,1 − α 2 = 0.975, n − 1 = 15,
数理统计
第四节 正态总体均值与方差的区间估计
2 N ( μ , σ )的情况 单个总体
2 两个总体 N ( μ1 , σ12 ), N ( μ2 , σ 2 )的情况
课堂练习 小结 布置作业
数理统计
2 N ( μ , σ ) 的情况 一、单个总体
X ∼ N ( μ, σ 2 ), 并设 X 1 ,… , X n 为来自总体的
)
即
(4.58,9.60).
数理统计
2 2 N ( μ , σ ), N ( μ , σ 二、两个总体 1 1 2 2 ) 的情况
设已给定置信水平为 1 − α , 并设 X 1 , X 2 … , X n1 是来自第一个总体的样本 , Y1 ,Y2 … ,Yn2 是来自第二 个总体的样本 ,这两个样本相互独立 .且设 X ,Y 分别
2 2 = σ2 = σ 2 , σ 2 为已知 2 σ1
( X − Y ) − ( μ1 − μ2 ) ∼ t ( n1 + n2 − 2) 1 1 Sω + n1 n2
2 2 − + − ( n 1) S ( n 1) S 2 2 1 2 2 其中 Sω = Sω , Sω = 1 . n1 + n2 − 2
2 2 σ1 σ2 X − Y ∼ N ( μ1 − μ2 , + ) n1 n2
( X − Y ) − ( μ1 − μ2 )
或
σ σ + n1 n2
2 1
2 2
∼ N (0,1)
数理统计
于是得到 μ1 − μ2 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
( X − Y ± uα 2
2 2 σ1 σ2 + ) n1 n2
由
X−μ |< tα 2 ( n − 1)} = 1 − α P{| S n
此分布不依赖于 任何未知参数
可得到 μ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
S S (X − tα 2 ( n − 1), X + tα 2 ( n − 1)) n n S 或 (X ± tα 2 ( n − 1)) n
数理统计
数理统计
例3 为比较 I , Ⅱ 两种型号步枪子弹的枪口 速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平
2 = 1.10( m s ) ,随 均值 为 x1 = 500( m s ) , 标准差 s1
机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为 2 s x2 = 496( m s ) , 标准差 2 = 1.20( m s ) . 假设两总 体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认 为方差相等 .求两总体均值差 μ1 − μ2的置信水平为
t0.025 (15) = 2.1315. 1 16 x = ∑ xi = 503.75 , 16 i =1
1 16 2 ( ) s= x − x = 6.2022 . ∑ i 15 i =1
数理统计
于是得到μ 的置信水平为 0.95 的置信区间为
s (x ± tα 2 ( n − 1)) n
即
(500.4,507.1)
2 为第一、二个总体的样本均值 , S12 , S2 为第一、二
个总体的样本方差 .
1. 两个总体均值差 μ1 − μ2 的置信区间
2 2 σ , σ 1 1 2 为已知
数理统计
2 2 σ1 σ2 X ∼ N ( μ1 , ) , Y ∼ N ( μ2 , ) n1 n2
因为 X ,Y 相互独立 , 所以 X ,Y 相互独立 . 故
例1 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称 得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体 均值 μ 的置信水平0.95为的置信区间. 解 这里 1 − α = 0.95, α 2 = 0.025, n − 1 = 15,
数理统计
2. 方差 σ 2 的置信区间
( n − 1) S 2 2 ∼ χ ( n − 1) 2 σ
由
2 ( n − 1) S 2 P{ χ12− α 2 ( n − 1) < < χ α 2 ( n − 1)} = 1 − α 2 σ
可得到 σ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 ( 2 , 2 ) χ α 2 ( n − 1) χ1− α 2 ( n − 1)
数理统计
于是得到 μ1 − μ2 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
( X − Y ± tα 2 ( n1 + n2 − 2) Sω 1 1 + ) n1 n2
2 2 ( n 1) S ( n 1) S − + − 2 1 2 2 其中 Sω = S , Sω . = 1 n1 + n2 − 2 2 ω
样本 , X , S 2 分别为样本均值和样本方差 .
1. 均值 μ 的置信区间
1 σ 2 为已知
X−μ ∼ N (0,1) σ n
可得到 μ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为
σ σ σ (X − uα 2 , X + uα 2 ) 或( X ± uα 2 ) n n n
数理统计
2 σ 2 为未知 X−μ ∼ t ( n − 1) S n
χ
2 0.025
(15) = 27.488, χ
2 0.975
(15) = 6.262.
1 16 2 s= x − x = 6.2022 . ( ) ∑ i 15 i =1
数理统计
于是得到 σ 的置信水平为 0.95 的置信区间为
( n − 1S
2 χα 2 ( n − 1)
,
n − 1S χ12− α 2 ( n − 1)