相似三角形的性质(1)_577740
相似三角形的基本概念与性质
相似三角形的基本概念与性质相似三角形作为几何学中的重要概念之一，广泛应用于实际生活和工程领域。
相似三角形具有一些特定的属性和性质，对于理解和解决几何问题有着重要的指导作用。
本文将介绍相似三角形的基本概念与性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相等角度的三角形，其对应的边长之比也相等。
具体而言，对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应角度相等，则可以记作∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
若三角形的边长比例恒定，则可以记作AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这种边长比例的恒定性是相似三角形的核心特点。
二、相似三角形的性质1. 对应角的相等性：已知两个三角形相似，可得到它们对应的角度相等。
2. 边长比例的恒定性：已知两个三角形相似，可得到它们对应边长的比例是恒定的。
3. 周长比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意两条对应边之比。
4. 面积比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的面积之比等于任意两条对应边平方的比。
5. 高度比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的任意两个对应高度之比等于任意两条对应边之比。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 测量高距离：通过相似三角形的性质，可以利用影子定理等方法来测量高距离。
例如，可以利用自己身高和影子长度的比例，求得高楼的高度。
2. 图像的放缩：在图像处理或者绘画中，通过相似三角形的性质，可以实现图像的放大和缩小。
只需保持相似三角形的边长比例不变，即可达到图像的放缩效果。
3. 飞机的迎角：在飞行学中，飞机的迎角对于起降和飞行安全至关重要。
通过相似三角形的性质，可以利用飞机的视角和飞行速度的比例，来判断飞机的迎角。
4. 三角测量和导航：在测量和导航领域，利用相似三角形的性质可以进行三角测量和方位导航。
例如，通过估算两个位置的视角差和距离，可以确定自己的位置或者目标位置。
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形性质
相似三角形性质在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活中的各种领域有着广泛的应用。
相似三角形，简单来说，就是形状相同但大小不一定相同的三角形。
那相似三角形都有哪些性质呢？首先，相似三角形的对应角相等。
这是相似三角形最基本也是最明显的一个性质。
比如说，有两个相似三角形 ABC 和 A'B'C'，那么角 A就等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。
这个性质就好像是两个相似三角形之间的“身份证明”，只要知道它们是相似的，那么对应的角必然相等。
其次，相似三角形的对应边成比例。
假设三角形 ABC 和三角形A'B'C'相似，那么边 AB 与边 A'B'的比值，边 BC 与边 B'C'的比值，边AC 与边 A'C'的比值都是相等的。
这个比例关系可是解决很多数学问题的关键。
比如说，在实际测量中，如果我们无法直接测量一个物体的高度或者长度，就可以利用相似三角形的这个性质来解决。
比如要测量一棵大树的高度，我们可以在同一时间，同一地点，先测量出一个小木棍的长度以及它的影子长度，再测量出大树的影子长度。
因为此时太阳照射的角度是相同的，所以大树和它的影子，以及小木棍和它的影子分别构成了相似三角形。
通过小木棍及其影子长度的比例关系，就可以算出大树的高度。
再来看相似三角形的周长比等于相似比。
什么是相似比呢？就是对应边的比值。
如果两个相似三角形的相似比是 k，那么它们的周长比也是 k。
比如一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个与其相似的三角形对应边分别是 6、8、10，相似比就是 2，那么它们的周长比也是 2。
第一个三角形的周长是 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12，第二个三角形的周长是 6 ＋8 ＋ 10 ＝ 24，24 与 12 的比值正好是 2。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是指有着对应角度相等、对应边比例相等的两个三角形。
在解决几何问题中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，因为相似三角形的性质可以帮助我们得到许多有用的结论。
本文将讨论相似三角形的判定方法以及其性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法:当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若∠A1 = ∠A2且∠B1 = ∠B2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
2. SSS相似判定法:当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2 = C1A1/C2A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
3. SAS相似判定法:当两个三角形的两边成比例，且夹角对应相等时，这两个三角形是相似的。
例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2且∠A1 = ∠A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。
二、相似三角形性质1. 边比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
也就是说，相似三角形的边长之比保持不变。
2. 高比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AA'为两个三角形的对应边之比，BB'为对应边之比，CC'为对应边之比。
也就是说，相似三角形的高线段之比与对应边之比相等。
3. 角度性质:若△ABC~△A'B'C'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
也就是说，相似三角形的对应角度相等。
4. 面积比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比等于对应边的平方之比。
也就是说，相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比。
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比。
二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的最基本性质之一。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别对应相等。
例如，若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，且相似比为 k，那么：AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝ AC ／ A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AD 和 A'D'分别是它们的高，则：AD ／ A'D' ＝ k4、对应中线的比等于相似比中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。
相似三角形对应中线的比等于相似比。
若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AE 和 A'E'分别是它们的中线，则：AE ／ A'E' ＝ k5、对应角平分线的比等于相似比角平分线是将一个角平分为两个相等角的射线。
相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
假如三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AF 和 A'F'分别是它们的角平分线，则：AF ／ A'F' ＝ k6、周长的比等于相似比三角形的周长是三条边长度之和。
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单相似三角形是初中数学中的重要知识点，具有许多独特的性质。
掌握这些性质对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们就来详细梳理一下相似三角形的性质。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
二、相似三角形的判定方法1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角是相等的。
例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边是成比例的。
即如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'。
3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
设三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'，AD 和 A'D'分别是它们的高，那么 AD/A'D' ＝相似比。
4、对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比。
中线是连接三角形一个顶点和它所对边中点的线段。
5、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
角平分线将一个角平均分成两个相等的角。
6、周长的比等于相似比两个相似三角形的周长比等于它们的相似比。
若三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，其相似比为 k，则三角形 ABC 的周长与三角形A'B'C'的周长之比也为 k。
7、面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方。
假设三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么它们面积的比为 k²。
初三数学相似三角形的性质(1)
结合比例知识和三角形相关知识
继续探究相似三角形的性质.
∴ ∠B =∠B′ ，
AB
=k
(相似比）. B
′
′
AB
∠ADB =∠ A′ D′ B′ ，
∴
∴ △ABD∽△A′ B′ D′ .
A′
A
D
D′
C B′
AD
AB
∴A′D′= A′B′ =k
.
C′
新知探究
相似三角形的性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例.
相似三角形对应高的比等于相似比.
新知探究
探究相似三角形对应边上的中线的关系：
相似三角形的性质（1）
初三年级 数学
复习回顾
概念
相似三角形
性质
角
边
判定
新知探究
问题一：根据相似三角形的概念，我们可以得出相似
三角形具有哪些性质？
如果两个三角形相似，
那么它们的对应角相等，对应边成比例.
新知探究
相似三角形的性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例.
新知探究
A′
′ ′ ′
∵△ABC∽△A B C
B
D
△ABC∽△A′ B′ C′
AB
′
∠B =∠B
=k
(相似比）
′
′
AB
C B′
D′
C′
新知探究
探究相似三角形对应边上的高的关系：
A
A′
△ABD∽△A′ B′ D′
AD
A′D′
=
AB
=k
′
′
AB
B
D
C B′
D′
C′
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单相似三角形是初中数学中的重要内容，具有许多独特的性质。
掌握这些性质对于解决几何问题、培养逻辑思维和空间想象能力都有着至关重要的作用。
下面就让我们来详细了解一下相似三角形的性质。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的最基本性质。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别相等。
例如，若△ABC 与△A'B'C'相似，则∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
设△ABC 与△A'B'C'相似，相似比为k，则有：AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。
例如，△ABC 与△A'B'C'相似，AD 和 A'D'分别是它们对应的高，则 AD/A'D' ＝ k。
4、对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比。
中线是连接三角形顶点和对边中点的线段。
5、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
角平分线将一个角平分为两个相等的角。
6、周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比。
三角形的周长是三边长度之和。
若△ABC 与△A'B'C'相似，相似比为 k，设△ABC 的周长为 L1，△A'B'C'的周长为 L2，则 L1/L2 ＝ k。
7、面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方。
若△ABC 与△A'B'C'相似，相似比为 k，则它们的面积比为 S1/S2＝ k²。
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学以致用 第一阶段： 完成《我的数学课堂》P73页 第 1 、 2、 7、 9题 第二阶段： 完成《天府数学》P36页 第5题 第三阶段： 完成《天府数学》P36页
例3
再探新知
两个相似三角形的周长比与面积比 又分别为多少呢？
已知： 如图△ABC∽△A1B1C1， 相似比是k；
求：面积比
A
A1
B1 B C
∽
AD A B D 能否得到 等于什么？ A D
图 18.3.9 图 18.3.9
结论：相似三角形对应高的比等于相似比
自主探究
相似三角形对应中线以及对应角平 分线的比又为多少呢？
A
A1
B1
B C
C1
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 三 对应中线的比 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形
S ABC ? 求： S பைடு நூலகம்BC
A A1
B1
C1
B
C
相似三角形的性质
相 对应高的比 似 对应中线的比 三 都等于相似比. 角 对应角平分线的比 形 周长的比 面积的比等于相似比的平方
学以致用 第一阶段： 完成《我的数学课堂》P75页 第 1 、 2、 3、 4、 5题 第二阶段： 完成《天府数学》P37页 第5、2、3题 第三阶段： 完成《天府数学》P37页
相似三角形的性质
（一）
知识准备
B
A C
A1
B1
C1
1、相似三角形具有怎样的性质？ 2、如何计算相似比？
3、在三角形中，有哪些重要的线段？ 高、中线、角平分线 如果两个三角形相似， 那么这些对应线段有什么关系呢？
合作探究 问题1 : 如图,ABC
∽
A B C ,相似比为k ,
其中AD、 A D 分别为BC、 B C 边上的高, 由ABD
例2
C1
AB BC CA k A B C ABC ∽ 1 1 1 证: A B1C1 C1 A1 1B 1 AB BC CA k A 1B 1 B 1C1 C1 A 1
相似三角形的面积比等于相似比的平方. 已知： △ABC∽△ ABC ，且相似比为k；