天津高三数学理科试题精选分类汇编2：函数

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天津市最新高三数学精选分类汇编2 函数文

最新2013届天津高三数学文科试题精选分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）3()2xf x x =+的零点所在区间为（）A ．(0，1)B ．(-1，0)C ．(1，2)D ．(-2，-l) 2 ．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，S 7=28，S 11=66，则S 9的值为（）A ．47B ．45C ．38D ．543 ．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题（2））设⎩⎨⎧<+-≥--=0,620,12)(2x x x x x x f ，若2)(>t f ，则实数t 的取值范围是（） A ．),4(1,(+∞⋃--∞） B ．),3(2,(+∞⋃-∞） C ．),1(4,(+∞⋃--∞） D ．),3(0,(+∞⋃-∞） 4 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈+∞时，函数f (x )单调递减，设1302a f (),b f (),c f ()=-==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b<a<cB ．c<b<dC ．b<c<aD ．a<b<c5 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）已知函数322x f (x )x ,g(x )x ln x,h(x )x x =+=+=+-的零点分别为x 1，x 2，x 3，则（）A ．x 3<x 1<x 2B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 1<x 2<x 3 6 ．（天津市大港区第一中学2013届高三第二次月考数学（文）试题）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =7 ．（天津市大港区第一中学2013届高三第二次月考数学（文）试题）设函数1log ,0()log (),0a ax x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，(01a <<).若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是Ａ．(1,0)(0,1)-U Ｂ．(,1)(1,)-∞-+∞U Ｃ．(1,0)(1,)-+∞U Ｄ．(,1)(0,1)-∞-U8 ．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（文）试题(解析版)）已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩,若方程()f x x a =+在区间[2,4]-内有3个不等实根,则实数a 的取值范围是A ．{|20}a a -<⎩若在上恒成立,则实数a 的取值范围是（）A ．(][)10,-∞-⋃+∞B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．),1[]0,(+∞⋃-∞ 10．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1(11．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）设函数3()3,()=+∈f x x x x R ,当π02θ≤≤时,(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立,则实数m 的取值范围是（） A ．(0,1) B ．(,0)-∞ C ．1(,)2-∞ D ．(,1)-∞12．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文科数学）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数,满足条件)1(+=x f y 是偶函数,且当1≥x 时,1)21()(-=x x f ,则)32(f ,)23(f ,)31(f 的大小关系是（）A ．)31()23()32(f f f >> B ．)23()31()32(f f f >>C ．)31()32()23(f f f >>D ．)32()23()31(f f >>13．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（文）试题）已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数,若对于0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当)2,0[∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2009()2008(f f +-的值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．214．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考文科数学）已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数,且在]0,(-∞上是增函数,设)2.0(),3(log )7(log 6.0214f c f b f a ===,则c b a ,,的大小关系是（）A ．a b c <-x f x π,则函数x x f y sin )(-=在[]ππ2,2-上的零点个数为（）A ．2B ．4C ．5D ．816．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）在下列区间中,函数()=+4-3xf x e x 的零点所在的区间为（）A ．(1-4,0) B ．(0,14) C ．(14,12) D ．(12,34) 17．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）已知幂函数27+3-225()=(+1)()t t f x t t x t N -∈g 是偶函数,则实数t 的值为（） A ．0 B ．-1或1 C ．1 D ．0或1 18．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ,当x ∈[0,2)时,2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时,1()-42t f x t ≥恒成立,则实数t 的取值范围是（） A ．[-2,0)U (0,l) B ．[-2,0) U [l,+∞) C ．[-2,l] D ．(-∞,-2]U (0,l]19．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）若2()=(-2+1+)f x lg x ax a 在区间(-∞,1]上递减,则a 的取植范围为（） A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1, +∞) D ．[2,+∞)20．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）己知函数()=(2+-1)xa f x logb (a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b 满足的关系是（）A ．10<<b<1aB ．10<b<<1a C ．10<<a<1bD ．110<<<1a b二、填空题21．（天津市河西区2013届高三总复习质量检测（一）数学文）已知52315x x ⎛- ⎪⎝⎭的开式中的常数项为T ，()f x 是以和T 为周期的偶函数，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是_______________.22．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题）设函数34log (1)(4)()2(4)x x x f x x --+>⎧⎪=⎨≤⎪⎩的反函数为1()f x -，且11()8f a -=，则(7)f a += 。

【5年高考3年模拟】（新课标版）2021年高考数学真题分类汇编 2.2 函数的大体性质文(1)

函数的大体性质考点一函数的单调性1.(2021北京,2,5分)以下函数中,概念域是R且为增函数的是( )=e-x=x3=ln x =|x|答案 B2.(2021湖南,4,5分)以下函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )(x)= (x)=x2+1(x)=x3(x)=2-x答案 A3.(2021天津,12,5分)函数f(x)=lg x2的单调递减区间是.答案(-∞,0)考点二函数的奇偶性与周期性4.(2021课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的概念域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,那么以下结论中正确的选项是( )(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 C5.(2021重庆,4,5分)以下函数为偶函数的是( )(x)=x-1 (x)=x2+x(x)=2x-2-x(x)=2x+2-x答案 D6.(2021广东,5,5分)以下函数为奇函数的是( )=2x- =x3sin x=2cos x+1 =x2+2x答案 A7.(2021大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的概念域为R.假设f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,那么f(8)+f(9)=( )-1答案 D8.(2021课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,那么f(-1)= .答案39.(2021湖南,15,5分)假设f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,那么a= .答案-10.(2021四川,13,5分)设f(x)是概念在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=那么f= .答案111.(2021安徽,14,5分)假设函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=那么f+f= .答案。

天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-选择题(含解析)

天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-选择题（含解析）一、单选题1．（2022·天津·统考高考真题）设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()UAB =（）A ．{}01，B ．{}0,1,2C ．{}1,1,2-D ．{}0,1,1,2-2．（2022·天津·统考高考真题）“x 为整数”是“21x +为整数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·天津·统考高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·天津·统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A ．8B ．12C ．16D ．185．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>6．（2022·天津·统考高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（） A ．1B ．2C ．4D ．67．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=8．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A ．23B ．24C ．26D ．279．（2022·天津·统考高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,]44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．（2021·天津·统考高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（） A ．{}0B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}11．（2021·天津·统考高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2021·天津·统考高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．13．（2021·天津·统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（）A ．20B ．40C ．64D ．8014．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<15．（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（） A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π16．（2021·天津·统考高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 1017．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若2|CD AB ．则双曲线的离心率为（） A 2B 3C ．2D ．318．（2021·天津·统考高考真题）设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（） A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭19．（2020·天津·统考高考真题）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---20．（2020·天津·统考高考真题）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 21．（2020·天津·统考高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．22．（2020·天津·统考高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A ．10B ．18C ．20D ．3623．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为23则该球的表面积为（） A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π24．（2020·天津·统考高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（） A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=26．（2020·天津·统考高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③27．（2020·天津·统考高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞参考答案：1．A【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1U B =-，故(){}0,1UA B =，故选：A. 2．A【分析】由当x 为整数时，21x +必为整数；当21x +为整数时，x 比一定为整数；即可选出答案.【详解】当x 为整数时，21x +必为整数；当21x +为整数时，x 比一定为整数，例如当212x +=时，12x =. 所以“x 为整数”是“21x +为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 3．D【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x-=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D. 4．B【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果.【详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)1+⨯＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12．故选：B. 5．C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C. 6．B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=，故选：B 7．C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线2y =的准线方程为x =c =()1F、)2F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，2222ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得12a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C. 8．D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱AFD BHC -及直三棱柱DGC AEB -组成，作HM CB ⊥于M ，如图，因为3,120CH BH CHB ==∠=，所以333,22CM BM HM ===，因为重叠后的底面为正方形，所以33AB BC ==, 在直棱柱AFD BHC -中，AB ⊥平面BHC ，则AB HM ⊥, 由AB BC B ⋂=可得HM ⊥平面ADCB ，设重叠后的EG 与FH 交点为,I则132713813333,=3333=322224I BCDA AFD BHC V V --=⨯=⨯⨯则该几何体的体积为8127222742AFD BHC I BCDA V V V --=-=⨯-=. 故选：D. 9．A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,]44-上单调递增，②正确；因为π2π2,33t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A ． 10．C【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，， {}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C. 11．A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件. 故选：A. 12．B【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B. 13．D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=. 故选：D.14．D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解.【详解】22log 0.3log 10<=，<0a ∴， 122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<， a c b ∴<<.故选：D.15．B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==，所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CD CD BD=，3CD AD BD ∴=⋅因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=. 故选：B.16．C【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【详解】2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.17．A【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a=±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bc CD a=，所以2bc ac =，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率c e a=故选：A.18．A 【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ-=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】()222150x a x a -+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ-=至少有4个根，由22,2x a k k Z ππππ-=+∈可得1,24k x a k Z =++∈，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-，（1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；所以若52a >时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.19．C【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U 1,1AB =-.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.20．A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或a<0，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.21．A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．22．B【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.23．C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R =，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.24．D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.25．D【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1y x b +=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a-=-，1b b a -⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1y x b +=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a-=-，1b b a -⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．26．B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.27．D【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意；当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.。

天津市高三数学一轮复习试题选编2 函数理新人教A版

一、选择题1 ．（天津市南开中学2013届高三第三次（5月）模拟考试数学（理）试题）设f(x)=log 2[2x 2-(a-3)x-a 2+3a-2]在(-∞,-1]上为减函数,则常数a 的取值范围是（） A ．a≥-1 B ．1<a<3 C ．a>-1 D ．a>3 【答案】 B ． 2 ．（天津市新华中学2013届上学期第一次月考数学(理)试题）已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示,则=(2-)y f x 的图象为【答案】A 【解析】当0x =时,(20)(2)1y f f =-==,排除B,C,D,选A ．3 ．（天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）定义在R 上奇函数,()f x 对任意x R ∈都有(1)(3)f x f x +=-,若(1)2f =-,则2012(2012)2013(2013)f f -= （）A ．-4026B ．4026C ．-4024D ．4024 【答案】A 4 ．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（） A ．f(π)>f(-3)>f(-2) B ．f(π)>f(-2)>f(-3) C ．f(π)<f(-3)<f(-2) D ．f(π)<f(-2)<f(-3) 【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以(2)(2),(3)(3)f f f f -=-=，又函数在[0,)+∞上是增函数，所以由(2)(3)()f f f π<<，即(2)(3)()f f f π-<-<，选A ．5 ．（天津市宝坻区2013届高三综合模拟数学（理）试题）函数3()1ln f x x x x =+-+的零点所在的大致区间为（）A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭, B ．1142⎛⎫⎪⎝⎭, C ．112⎛⎫⎪⎝⎭,D ．()12,【答案】C6 ．（2011年高考（天津理））已知2log 3.45a =,4log 3.65b =,3log 0.31()5c =,则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】【命题立意】本小题考查了指数、对数的运算、对数函数值的大小比较和运用指数函数的单调性比较大小.利用函数思想和等价转化思想解答问题.C 【解析】33310log log 0.3log 0.331()555c -===,因为433210log 3.61log log 3.4log 3.43<<<<,所以根据指数函数5x y =为增函数,所以a c b >>7 ．（2010年高考（天津理））函数f(x)=23xx +的零点所在的一个区间是（）A ．(-2,-1)B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 【答案】B8 ．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）函数的定义域为（）（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】要使函数有意义，则有23400x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，即2+3400x x x ⎧-≤⎨≠⎩，解得41x -≤≤且0x ≠，选D ． 9 ．（2012年天津理）设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数,反之不成立,∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件 10．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C 函数的导数为()201320132320121()1'11()1x x f x x x x x x x --+=-+-⋅⋅⋅+==--+，由'()0f x =得1x =-，即函数的极小值为(1)f -，所以()1111110232013f -=-----<。

天津市高三数学试题分类汇编——函数(导数)

一、选择题1（2009年滨海新区五所重点学校联考理2）．下图是函数()f x 的图像，它与x 轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ 2．B ） A ．--[ 2.1,1] C ．[4.1,5]B ．[1.9,2.3] D ．[5,6.1]2（汉沽一中2008~2009届月考理4）．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，32)(-=x x f ，则)2(-f 的值等于（ C ）A ．1B ．41C ．1-D ．411-3（和平区2008年高考数学(理)三模4）. 已知函数)(x f y =的定义域为]1,1[-，其图象如图所示，则不等式21)(11≤≤--x f的解集为（ C ） A. ]21,1[-B. ]21,2[-C. ]1,21[)0,2[⋃-D. ]1,21()0,1[⋃-4（和平区2008年高考数学(文)三模4）. 函数)0(12≤+=x x y 的图象关于直线xy =对称的图象的函数为)(x g ，则)(x g 的大致图象为（C ）A B C D5（2009年滨海新区五所重点学校联考文5）．函数(2),2()2,2xf x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩ ，则(3)f -的值为（ C ）A ．2B ．8C ．18 D ．126（汉沽一中2009届月考文6．函数3)(1+=-x a x f （a>0，且a ≠1）的图像过一个定点P ，且点P 在直线nm n m ny mx 41)0,0(01+>>=-+上，则且的最小值是（ D ） A ．12B ．13C ．24D ．257（汉沽一中2008~2009届月考理6）．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（B ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)8（汉沽一中2009届月考文9）．已知函数122(0)()(0)x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎪≥⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（D ） A ．(0,1)B ．(0,)+∞C ．(,2)(0,)-∞-+∞D ．(,0)(1,)-∞+∞9（汉沽一中2009届月考文9）．已知函数122(0)()(0)x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎪≥⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ D ） A ．(0,1)B ．(0,)+∞C ．(,2)(0,)-∞-+∞D ．(,0)(1,)-∞+∞10（汉沽一中2009届月考文10）．在R 上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)在区间[－2，－1]上是（）函数，在区间[3，4]上是（）函数BA.增，增B.增，减C.减，增D.减，减11(一中2008-2009月考理6）．定义在-+∞⋃∞（，0）（0，）上的奇函数)(x f 在+∞（0，）上为增函数，当0x >时，)(x f 的图像如图所示，则不等式[]()()0x f x f x --<的解集是（ D ）A ．(,3)(0,3)-∞-⋃B ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞C ．(3,0)(3,)-⋃+∞D ．(3,0)(0,3)-⋃12(一中2008-2009月考理9）．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1('<-x f x ，设)3(),21(),0(f c f b f a ===，则（ B ） A ．c b a <⎩，若方程a x x f +=)(恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为 A ．(]0,∞- B ．[)1,0 C ．)1,(-∞ D ．[)+∞,014（2009年滨海新区五所重点学校联考理8）．函数f(x)、 g (x)的图像如图:则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是: （ 8．A ）15（2009年滨海新区五所重点学校联考文10）．定义在（0，+∞）的函数)(),0)()(()(122x f ab bx ax bx ax x f 则>++=--（10．B ）A ．有最大值2)(b a +，没有最小值 B ．有最小值2)(b a +，没有最大值 C ．有最大值2)(b a +，有最小值2)(b a - D ．没有最值16（和平区2008年高考数学(文)三模10）. 已知函数x x f x2log )31()(-=，若实数0x 是方程0)(=x f 的解，且010x x <<，则)(1x f 的值（C ）A. 等于0B. 不大于0C. 恒为正值D. 恒为负值二、填空题1（汉沽一中2008~2009届月考文11）．函数)2(log 221x x y -=的定义域是，单调递减区间是________________________．（-∞，0）∪（2，+∞）， (2，＋∞) （第一空3分，第二空2分）2（汉沽一中2009届月考文12）．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，则对于x R ∈，函数()1f x x =*，，则(2)f = 12 1 3（汉沽一中2008~2009届月考文14．过原点作曲线x e y =的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为 . （1，e ）, e （第一空3分，第二空2分） 3（汉沽一中2008~2009届月考理12．已知定义在区间[]0,1上的函数()y f x =图象如图所示，对于满足1201x x <<<的任意1x 、2x①2121()()f x f x x x ->-； ②2112()()x f x x f x >⋅； ③1212()()()22f x f x x xf ++<.其中正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）. 12．②③. 4 (一中2008-2009月考理16）．设1xm e dx =⎰，11en dx x=⎰，则m 与n 的大小关系为__ _。

专题02 函数的概念与基本初等函数-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)(原卷版)

专题02函数的概念与基本初等函数I 考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：已知奇偶性求参数2023年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（理）2024年上海卷2022年全国乙卷（文）2023年全国甲卷（理）从近三年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．考点2：函数图像的识别2022年天津卷2023年天津卷2024年全国甲卷（理）2024年全国Ⅰ卷2022年全国乙卷（文）2022年全国甲卷（理）考点3：函数模型及应用2022年北京卷2024年北京卷2023年全国Ⅰ卷考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性2023年全国乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷2024年天津卷2023年全国Ⅰ卷考点5：分段函数问题2022年浙江卷2024年上海夏季考点6：函数的定义域、值域、最值问题2022年北京卷2022年北京卷考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用2023年全国Ⅰ卷2022年全国I卷2024年全国Ⅰ卷2022年全国II卷考点8：指对幂运算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全国甲卷（理）2023年北京卷考点1：已知奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A ．1-B ．0C ．12D ．12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024年上海夏季高考数学真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b =．5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．考点2：函数图像的识别6．（2022年新高考天津数学高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．7．（2023年天津高考数学真题）已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．25e 5e 2x xx --+B ．25sin 1x x +C ．25e 5e 2x xx -++D ．25cos 1x x +8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．810．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．考点3：函数的实际应用12．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态13．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =14．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ≥B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p ≤考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.16．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=17．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞19．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞考点5：分段函数问题21．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是．22．（2024年上海夏季高考数学真题）已知(),0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．考点6：函数的定义域、值域、最值问题23．（2022年新高考北京数学高考真题）函数1()1f x x x=-的定义域是．24．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为；a 的最大值为．考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用25．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=27．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <28．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．129．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-考点8：指对幂运算30．（2022年新高考天津数学高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．631．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．5332．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．33．（2023年北京高考数学真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。

天津地区2018版高考数学总复习专题2函数分项练习含解析理

专题02 函数一．基础题组1.【2005天津，理9】设()1f x -是函数()()()112xx f x a a a -=->的反函数，则使()11f x ->成立的的取值范围为（）A 、21(,)2a a -+∞ B 、21(,)2a a --∞ C 、21(,)2a a a- D 、(,)a +∞ 【答案】A【解析】1a >时，()f x 单调增函数，所以()()()()()21111112a f x f fx f x f a--->⇔>⇔>=。

本题答案选A12.【2005天津，理10】若函数()()()3log 0,1a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，则的取值范围是（）A 、1[,1)4B 、3[,1)4C 、9(,)4+∞ D 、9(1,)4【答案】B【解析】记()3g x x ax =-，则()2'3g x x a =-排除A 本题答案选B3.【2005天津，理16】设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则()()()()()12345f f f f f ++++=__________。

【答案】0【解析】()()00f f -=-得()00f = 假设()0f n =因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数都有：()0f n =从而：()()()()()123450f f f f f ++++= 本题答案填写：04.【2007天津，理5】函数)2log 2(0)y x =+>的反函数是( )A.142(2)x x y x +=->B.142(1)x x y x +=->C.242(2)x x y x +=->D.242(1)x x y x +=->【答案】C 【解析】原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D ，故选C5.【2007天津，理7】在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( ) A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数【答案】B 【解析】6.【2007天津，理9】设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<【答案】A 【解析】由122log a a =可知0a >21a ⇒>121log 102a a ⇒>⇒<<，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0b >⇒120log 1b <<112b ⇒<<，由21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<.故选A7.【2008天津，理7】设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最小值为0【答案】D8.【2008天津，理9】已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则 (A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a << 【答案】A【解析】5(cos )(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ．9.【2009天津，理4】设函数x x x f ln 31)(-=,则y ＝f(x)（）A.在区间(e 1,1),(1,e)内均有零点B.在区间(e 1,1),(1,e)内均无零点C.在区间(e 1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间(e1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点【答案】D 【解析】由于131)1(+=e ef ＞0,31)1(=f ＞0,131)(-=e e f ＜0,故函数y ＝f(x)在区间(e1,1)内无零点,在区间 (1,e)内有零点.10.【2009天津，理8】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0,4,0,4)(22x x x x x x x f .若f(2－a 2)＞f(a),则实数a 的取值范围是（）A.(－∞,－1)∪(2,+∞)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞,－2)∪(1,+∞) 【答案】C【解析】由题中的分段函数的图象知函数f(x)在R 上是增函数,则由f(2－a2)＞f(a),可得2－a2＞a,解之,得－2＜a ＜1.11.【2010天津，理2】函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 【答案】B12.【2011天津，理7】【答案】C 【解析】令4.32log=m ，6.34log =n ，3103log =l ，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得 n l m >>，又∵x y 5=为单调递增函数， ∴b c a >>.13.【2012天津，理4】函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0, 1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B14.【2012天津，理14】已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(0,1)∪(1,4)【解析】21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩函数y=kx －2过定点(0，－2)，由数形结合： kAB ＜k ＜1或1＜k ＜kAC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜4．15.【2013天津，理7】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，作g(x)，h(x)的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．16.【2014天津，理4】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（）（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥ （D ）(),2-?【答案】D ．【解析】考点：复合函数的单调性（单调区间）．17. 【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．18.【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤．综上，47216a -≤≤．故选A ．【考点】不等式、恒成立问题、二次函数、基本不等式【名师点睛】首先将()||2xf x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．二．能力题组1.【2006天津，理10】已知函数)(x f y =的图象与函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记()()[()(2)1]g x f x f x f =+-．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数的取值范围是（）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0( 【答案】D范围是]21,0(,选D. 2.【2008天津，理16】设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,a a y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，的取值的集合为 . 【答案】{2}【解析】由已知得c a y x =，单调递减，所以当[,2]x a a ∈时，11[,]2c c ay a --∈所以1122log 223a c c a c a a c a --⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎩≥+≥≤≤，因为有且只有一个常数符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以的取值的集合为{2}.3.【2013天津，理8】已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )＜f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )． A．12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．130,⎫⎛+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ D ．⎛-∞ ⎝⎭【答案】A【解析】f(x)＝x(1＋a|x|)＝22,0,,0.ax x x ax x x ⎧+≥⎨-+<⎩若不等式f(x ＋a)＜f(x)的解集为A ，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆，则在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图象的下边．由图可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A⊆，只需1122f a f⎛⎫⎛⎫-+<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可，则有2211112222a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a＜0)，整理，得a2－a－1＜0a<<∵a＜0，∴a∈⎫⎪⎪⎝⎭.综上，可得a的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭.4. 【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.5. 【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.三．拔高题组1.【2010天津，理16】设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈32，＋∞)，f (x m )－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－2]∪2，＋∞) 【解析】解析：原不等式可化为22x m－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4m2－4，化简，得(1＋4m2－21m )x2≥2x＋3恒成立． ∵x∈32，＋∞)， ∴1＋4m2－21m ≥223x x +恒成立．令g(x)＝223x x +，x∈32，＋∞)，2.【2011天津，理8】对实数与，定义新运算 “⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数 ()()22()2,.f x x x x x R =--∈若函数()y f x c =-的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ 【答案】B 【解析】()()⎪⎩⎪⎨⎧>----≤----=12,12,2)(222222x x x x x x x x x x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤≤--=23,1,231,222x x x x x x 或则()x f 的图象如图∵c x f y -=)(的图象与轴恰有两个公共点，∴)(x f y =与c y =的图象恰有两个公共点，由图象知2-≤c ，或431-<<-c .３.【2014天津，理14】已知函数()23f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．【答案】()()0,19,+∞．【解析】()230x a x a +-+=，由0D =，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1a ¹，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t =++．∵(][),,444t t ???++，∴(][)45,19,t t ?ゥ+++．结合图象可得01a <<或9a >．考点：方程的根与函数的零点．4. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程│f (x )│=2-x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（A ）（0，23] （B ）23，34] （C ）13，23]{34} （D ）13，23）{34} 【答案】C【解析】【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f (2|a -1|)＞f（，则a 的取值范围是______. 【答案】13(,)22【解析】试题分析：由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<．【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化．。

天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题(含解析)

天津三年2020-2022高考数学真题按题型分类汇编-解答题（含解析）一、解答题1．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知16,2,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.2．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值； (3)求平面1A CD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．3．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nk k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．4．（2022·天津·统考高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足32BF AB=． (1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 的面积为3，求椭圆的标准方程．5．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x b x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．6．（2021·天津·统考高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:2A B C =，2b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．7．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A AC E --的正弦值．8．（2021·天津·统考高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B 255BF = （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．9．（2021·天津·统考高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明()*112222nk k kk k a n N c a c +=<∈-∑10．（2021·天津·统考高考真题）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围． 11．（2020·天津·统考高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．12．（2020·天津·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱 1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．13．（2020·天津·统考高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 14．（2020·天津·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．15．（2020·天津·统考高考真题）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．参考答案：1．(1)1c =(2)sin B =(3)sin(2)A B -=【分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出；（2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．【详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A =sin sin a b A B =，所以2sin sin b A B a===．（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A ，所以1sin 22sin cos 24A A A ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 2．(1)证明见解析 (2)45【分析】（1）以点1A 为坐标原点，1A A 、11A B 、11A C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线BE 与平面1CC D 夹角的正弦值；（3）利用空间向量法可求得平面1A CD 与平面1CC D 夹角的余弦值.【详解】（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面111A B C ，且AC AB ⊥，则1111AC A B ⊥以点1A 为坐标原点，1A A 、11A B 、11A C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,2,0B 、()2,0,2C 、()10,0,0A 、()10,0,2B 、()10,0,2C 、()0,1,0D 、()1,0,0E 、11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，则10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()1,0,0m =，则0EF m ⋅=，故EF m ⊥，EF ⊄平面ABC ，故//EF 平面ABC .（2）解：()12,0,0C C =，()10,1,2C D =-，()1,2,0EB =，设平面1CC D 的法向量为()111,,u x y z =，则111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取12y =，可得()0,2,1u =，4cos ,5EB u EB u EB u⋅<>==⋅. 因此，直线BE 与平面1CC D 夹角的正弦值为45.（3）解：()12,0,2AC =，()10,1,0A D =，设平面1A CD 的法向量为()222,,v x y z =，则122122200v AC x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取21x =，可得()1,0,1v =-，则110cos ,52u v u v u v⋅<>==-=⨯⋅，因此，平面1A CD 与平面1CC D 3．(1)121,2n n n a n b -=-= (2)证明见解析 (3)1(62)489n n +-+【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前n 项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得212221212122(1)(1)k k k k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦，进而由并项求和可得114nk n k T k +==⋅∑，再结合错位相减法可得解.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，由22331a b a b -=-=可得2112121d q d q d q +-=⎧⇒==⎨+-=⎩（0d q ==舍去），所以121,2n n n a n b -=-=；（2）证明：因为120,n n b b +=≠所以要证1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=-，即证111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅-，即证1112n n n n S a S S ++++=-，即证11n n n a S S ++=-，而11n n n a S S ++=-显然成立，所以1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=⋅-⋅；（3）因为212221212122(1)(1)k kk k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k --=-+-⨯++--⨯=⋅，所以211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑2122212121221[((1))((1))]nk kk k k k k k k a a b a a b ---+==--+--∑ 124nk k k ==⋅∑，设124nkn k T k ==⋅∑所以2324446424nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则2341244446424n n n T +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=，作差得()2341124(14)3244444242414n nn n n T n n ++⨯--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⨯-()126483n n +--=，所以1(62)489n n n T +-+=，所以211(1)nkk k kk a a b +=⎡⎤--=⎣⎦∑1(62)489n n +-+. 4．(1)e (2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由Δ0=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程. 【详解】（1）解：()22222433BF a b a a b AB===⇒=+⇒=，离心率为c e a ===（2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k +=+，②由OMN S可得231213km m k ⋅=+③ 联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=．5．(1)(1)1=-+y a x(2)（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0xa x +=，利用点到直线的距离得到x 22e >e sin xx x+，从而可得不等式成立.【详解】（1）()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+. （2）（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0tu t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10bu b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即0t ≥设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0tv t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故122e b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=0x ，其中00x ≥，若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0xa x +=，0sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200esin x a b x x +≥+，下证：对任意0x >，总有sin x x <，证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立. 综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立. 下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.6．（I）（II ）34；（III【分析】（I）由正弦定理可得::2a b c = （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =2b =，2a c ∴==；（II）由余弦定理可得2223cos 24a b c C ab +-===；（III ）3cos 4C =，sin C ∴=，3sin 22sin cos 24C C C ∴===，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1118216=⨯=. 7．（I ）证明见解析；（II（III ）13.【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11A EC 的一个法向量m ，证明1m D F ⊥，即可得证；（II ）求出1AC ，由1sin cos ,A m C θ=运算即可得解；（III ）求得平面11AA C 的一个法向量DB ，由cos ,DB m DB m DB m⋅=⋅结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ，所以()11,0,2D F =-,()112,2,0AC =,()12,1,2A E =-, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111202202m x y m x y A A E z C ⎧⋅+=⎪⎨⋅+-=⎩=⎪=，令12x =，则()2,2,1m =-，因为1220m D F =⋅-=，所以1m D F ⊥，因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；（II ）由（1）得，()12,2,2AC =，设直线1AC 与平面11A EC 所成角为θ，则11123sin cos ,9323m A C AC m m C A θ⋅====⨯⋅；（III ）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-，则822cos ,3322DB m DB m DB m⋅===⨯⋅，所以二面角11A AC E --的正弦值为211cos,3DB m -=.8．（1）2215x y +=；（2）60x y -+=.【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==，因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =-=，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故0y =，0x =，所以，直线l 的方程为1y =，即0x y -=. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.9．（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n na n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k k -==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nn n c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22nn c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k-==，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =错位相减法即可得证.10．（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+∞【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)x a x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =-+'，则(0)1f a '=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->；（II ）令()(1)0x f x a x e =-+='，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →-∞时，()0g x <，()10g -=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m '=-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-，1x >-，当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ≥-，所以实数b 的取值范围[),e -+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.11．（Ⅰ）4C π=；（Ⅱ）sin A =（Ⅲ）sin 24A π⎛⎫+=⎪⎝⎭【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC 中，由5,a b c ===222cos22a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π=；（Ⅱ）在ABC 中，由4C π=， a c ==sin sina C A c===（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2cos cos2sin 4441313A A A πππ+=+=+=. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.12．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ（Ⅲ【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、 ()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-． 26cos ,26C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,6CA n CA n ∴<>=-<>= 所以，二面角1B B E D --30 （Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,22AB n AB n AB n⋅<>===⋅．所以，直线AB 与平面1DB E 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.13．（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 14．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+⨯. 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n -+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c -==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-，从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n n n n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.15．（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12xt x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.(ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->. 因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32336ln 1t t t t =-++-. ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->. 所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

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最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编2：函数一、选择题1 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）已知函数12x f (x )x ,g(x )x ,h(x )x ln x =-=+=+的零点分别为x 1，x 2，x 3，则（）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 3<x 1<x 2D ．x 2<x 3<x 12 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．a<b<cC ．a<c<bD ．c<b<a3 ．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）定义在R 上的函数满足，当时，，则（）（）A ．B ．C ．D ．4 ．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知函数的图象如图所示则函数的图象是（）5 ．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）函数的定义域为（）（） A ．B ．C ．D ．6 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）设函数1()ln (0)3f x x x x =->,则函数()f x （）A ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均有零点 B ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均无零点 C ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,)+∞内无零点 D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,)+∞内有零点7 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ,则关于x 的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）A ．2a-1B ．1-2aC ．2-a-1 D ．1-2-a8 ．（天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）设)(x f 是定义在R 上的周期函数,周期为4=T ,对R x ∈都有)()(x f x f =-,且当]0,2[-∈x 时,121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ,若在区间]6,2(-内关于x 的方程)2(l o g )(+-x x f a =0)1(>a 恰有3个不同的实根,则a 的取值范围是（） A ．(1,2)B ．),2(+∞C ．()4,1D ．()32,4本卷共12小题,共110分.9 ．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（） A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）10．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．[-2，0) (0，l)B ．[-2，0)[l ，+∞)C ．[-2，l]D ．(-∞，-2] (0，l]11．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）在下列区间中，函数()=+43x f x e x -的零点所在的区间为（） A ．（1-4，0） B ．（0，14） C ．（14，12） D ．（12，34） 12．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（）A ．f(π)>f(-3)>f(-2)B ．f(π)>f(-2)>f(-3)C ．f(π)<f(-3)<f(-2)D ．f(π)<f(-2)<f(-3)13．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）偶函数f （x ）满足(1)(1)f x f x +=-，且在x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2，则关于x 的方程f （x ）=x⎪⎭⎫ ⎝⎛101在10[0,]3上根的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个14．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）设5log 4a =,25(log 3)b =,4log 5c =，则（）A ．a<c<bB ．b<c<aC ．a<b<cD ．b a c <<15．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于（） A ．13B ．5C ．223c +2cD ．222b +2b16．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数17．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）给定函数①12=y x-，②23+3=2xx y -，③12=log |1-|y x ，④=sin2xy π，其中在(0,1)上单调递减的个数为（） A ．0 B ．1 个 C ．2 个D ．3个18．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示，则=(2-)y f x 的图象为19．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数()()2531m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m的值为（） A ．2B ．－1C ．－1或2D ．020．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（理）试题）已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ ,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+-- ,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为（）A ．(-∞,0)B ．[0,1)C ．(-∞,1)D ．[0,+∞)22．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21D ．)2,1(23．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[P,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（） A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对二、填空题24．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是______.25．（天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设函数______.26．（天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））函数f(x)的定义域为D,若对于任意的x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时都有f(x 1)≤f(x 2),则称函数f(x)为D 上的非减函数.设f(x)为定义在[0,1]上的非减函数,且满足一下三个条件:(1)f(0)=0; (2)f(1-x)+f(x)=1 x ∈[0,1]; (3)当x ∈[0,31]时,f(x)≥23x 恒成立, 则f(73)+f(95)= . 27．（天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x，x ≤0，则f (f (-2))=________.28．（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））已知函数y mx =的图像与函数11x y x -=-的图像没有公共点,则实数m 的取值范围是29．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）已知a>0，且a ≠1，若函数2(-2+3)()=lg xx f x a 有最大值，则不筹式2(-5+7)>0a log x x 的解集为；30．（天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学）函数f(x)=a x+2+x a 的值域为_________.31．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>≤--.1,log 1,1)2(x x ，x x a a若f （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为________。

32．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，如4x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数1)(2++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 .33．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知x R ∀∈，(1+)=(1-)f x f x ，当1x ≥时，()=(1)f x ln x+，则当<1x 时，()=f x .34．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数y 域为[0,+)∞，则a 的取值范围是 . 35．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）函数212()=log (-2-3)f x x x 的单调递减区间为 .36．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知1f x -，则()=f x（x ∈ ）.37．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）若(f x ，则()f x 的定义域为 .38．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题）已知函数3111,0,362()21,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩ ,函数π()sin()22,(0)6=-+>g x a x a a ,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是____________.39．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）定义在)1,1(-上的函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1)()(，当)0,1(-∈x 时0)(>x f .若)0(,21,11151f R f Q f f P =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则P,Q,R 的大小关系为_____________.三、解答题40．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）对于函数()f x 若存在0x R ∈，00()=f x x 成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知2()=(1)-1(0)f x ax b x b a +++≠（1）当=1,=-2a b 时，求函数(f x ）的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若=()y f x 图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．41．（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，()0f x <又(1)2f =-. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）求证：()f x 是R 上的减函数；（3）求()f x 在区间[－3,3]上的值域；（4）若x R ∀∈，不等式2()2()()4f ax f x f x -<+恒成立，求a 的取值范围.最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编2：函数参考答案一、选择题 1. D 2. A 3. 【答案】D【解析】由题意可知，函数的图象关于y 轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数，∴，选D.4. 【答案】A【解析】由函数的两个根为.x a x b ==，图象可知01,1a b <<<-。