2021高考文科数学一轮复习第3章导数及其应用第1节变化率与导数、导数的计算课时跟踪检测

第一节 变化率与导数、导数的计算A 级·基础过关|固根基|1.已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B ∵f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x .又f ′(－x )＝－4ax 3－2(2a ＋b )x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．(2019届成都模拟)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝( )A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1解析：选D 由已知得，f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e，则f ′(e)＝－1e.故选D.3．(2019届武汉模拟)设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝( ) A ．0 B ．－1 C ．3D ．－6解析：选B 因为f ′(0)＝6，所以原函数中x 的一次项的系数为6，即k ·2k ·(－3k )＝－6k 3＝6，解得k ＝－1.故选B.4．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.5．(2019届贵阳模拟)已知直线y ＝ax 是曲线y ＝ln x 的切线，则实数a ＝( ) A.12 B.12eC.1eD.1e2 解析：选C 设切点坐标为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x知，切线方程为y－ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝x x 0＋ln x 0－1.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，解得a ＝1e.故选C.6.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝07．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________． 解析：由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. 答案：18．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又曲线存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0在(0，＋∞)有解，即a ＝－13x3(x ＞0)，所以a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)9．(2019届甘肃会宁一中模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1.由题意得，切线l 1的斜率为4，令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，由(1)得，点P 0的坐标为(－1，－4)， 所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＝(2a ＋1)2＞0， 所以a ≠－12，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. B 级·素养提升|练能力|11.(2020届“四省八校联盟”高三联考)直线x ＝a (a ＞0)分别与直线y ＝2x ＋1，曲线y ＝x ＋ln x 相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选B 根据题意，设f (x )＝2x ＋1－x －ln x ＝x ＋1－ln x ，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x(x >0)，所以函数f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝2－ln 1＝2，所以|AB |min ＝2.12．(2019届扬州模拟)已知点A (1，2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( )A ．6x －y －4＝0B ．x －4y ＋7＝0C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0解析：选D 由点A (1，2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，得a ＝2，则f (x )＝2x 3，其导数为f ′(x )＝6x 2.设切点为(m ，2m 3)，则切线的斜率k ＝6m 2，由点斜式得切线方程为y －2m 3＝6m 2(x－m )，代入点A (1，2)的坐标得2－2m 3＝6m 2(1－m )，即有2m 3－3m 2＋1＝0，即(m －1)2·(2m ＋1)＝0，解得m ＝1或m ＝－12，即斜率为6或32，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是y－2＝6(x －1)或y －2＝32(x －1)，即6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0.故选D.13．(2019届成都模拟)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x的切线，则b ＝________．解析：设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，与曲线y ＝e x的切点为(x 2，y 2)．由y ＝ln x ＋2的导数为y ′＝1x ，y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，可得k ＝e x 2＝1x 1.又由k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝e x2－ln x 1－2x 2－x 1，消去x 2，可得(1＋ln x 1)(x 1－1)＝0，则x 1＝1e或x 1＝1，则直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1或(1，2)，与曲线y ＝e x的切点为(1，e)或(0，1)，所以k＝e －11－1e ＝e 或k ＝1－20－1＝1，则切线方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1，可得b ＝0或1. 答案：0或114．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f (x )的解析式；(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＝－3，f ′（1）＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′（－1）＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x . (2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)， 因为f ′(x )＝3x 2－3， 所以f ′(x 0)＝3x 20－3，所以切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)． 又切线过点A (2，m )，所以m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(2－x 0)， 所以m ＝－2x 30＋6x 20－6. 令g (x )＝－2x 3＋6x 2－6，则g ′(x )＝－6x 2＋12x ＝－6x (x －2)．当0＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＜0或x＞2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2，画出函数g(x)的大致图象知，当－6＜m＜2时，m＝－2x3＋6x2－6有三个解，所以m的取值范围是(－6，2)．。