湖南省娄底市双峰县第一中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题
2020-2021学年湖南省娄底一中高二(下)期中数学试卷解析版
2020-2021学年湖南省娄底一中高二（下）期中数学试卷1.集合，，那么A. B.C. D.2.设为等差数列的前n项和，若，则的值为A. 14B. 28C. 36D. 483.已知函数若，则x的值为A. B. C. D. 24.已知直线l经过点，且与直线垂直，则l的方程为A. B.C. D.5.函数的图象可能是A. B.C. D.6.已知，，，则a，b，c的大小顺序为A. B. C. D.7.已知函数为定义在上的奇函数，则的解集为A. B. C. D.8.如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最小值是A. 0B.C. 2D.9.甲、乙、丙三家企业某产品的成本分别为10000元、12000元、15000元，其成本构成如图所示，则关于这三家企业，下列说法错误的是A. 成本最高的企业是甲企业B. 其他费用最高的企业是丙企业C. 工资支出最低的企业是乙企业D. 材料费用最高的企业是丙企业10.在下列区间中，存在函数的零点的是A. B. C. D.11.在中，给出下列4个命题，其中正确的命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. ，则12.如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是A.B. 平面C. 存在点E，使得平面平面D. 三棱锥的体积为定值13.已知，条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.14.若，是夹角为的两个单位向量，向量，则______.15.设，则______.16.如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______ .17.已知数列是公比为3的等比数列，且，，成等差数列．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和18.在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，求角B的大小；若，，求AC边上的高．19.已知函数关于x的不等式的解集恰好为，求a的值；若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．证明：面PAD；证明：面面PDC；求直线PD与面PBC所成角的正弦值．21.已知函数若，求函数的单调增区间和对称中心；函数的图象上有如图所示的A，B，C三点，且满足①求的值；②求函数在上的最大值，并求此时x的值．22.已知点，，曲线C上任意一点P满足求曲线C的方程；设点，问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x轴都平分，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.答案和解析【答案】1. A2. D3. A4. C5. C6. B7. C8. D9. AC10. AD11. ABD12. ABD13.14.15.16.17. 解：由题设可得：，公比，，解得：，；由可得：，………18. 解：中，由正弦定理可得：，，，可得，，设AC边上的高为h，，，，，即，，，，，解得，即AC边上的高是19. 解：，即，即为，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为又解集恰好为，所以；对任意的，恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立．①时，不等式为恒成立，此时；②当时，，由，可得，所以，当且仅当时，即，时取“=”，所以综上可得a的取值范围是20. 解：证明：取PD中点M，连接EM，AM，由中位线性质可知，又，，则四边形ABEM为平行四边形，，不在平面PAD内，AM在平面PAD内，面PAD；证明：底面ABCD，CD在平面ABCD内，，又，，故，由面面垂直的判定可知，平面PAD，在平面PAD内，，，又，，E为PC中点，，又，且都在平面PDC内，平面PDC，又BE在平面PBC内，平面平面PDC；过点D作，由及线面角的定义可知，为所求线面角，又，，，故所求线面角的正弦值为21. 解：时，函数，令，，解得：，，函数y的单调增区间为，；令，，解得，，函数y的对称中心为，；①由图知：点B是函数图象的最高点，设，设函数最小正周期为T，则，；，，由，得，解得：，；②由得，，函数y在上的最大值为，此时，，则，；又，22. 解：设，，化为：①如果斜率不存在，就是垂直于x轴的直线，与圆交于两点，可这些直线都是平行的，不可能经过同一点．②设存在定点Q满足条件，设直线l的方程为设，联立，化为：，，，，无论直线l如何运动，x轴都平分，则，，，，化为：，可得直线经过定点存在过定点的直线l与曲线C相交于不同两点E，F，无论直线l如何运动，x 轴都平分【解析】1. 解：把集合A和集合B中的解集表示在数轴上，如图所示，则故选：把两个集合的解集表示在数轴上，可得集合A与B的并集．此题考查学生理解并集的定义掌握并集的运算法则，灵活运用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道基础题．2. 解：为等差数列的前n项和，，故选：可得，由此能求出结果．本题考查等差数列的求和，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．3. 解：由题意，，则解得，或此不等式组无解；所以；故选：根据分段函数分别列出不等式组解之．本题考查了分段函数的已知函数值求自变量；关键是正确列出各段对应的不等式组解之．4. 解：直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为，又直线l经过点，所以直线l的方程为：，化简得：故选：由题意利用两条直线垂直的性质，用点斜式求出直线的方程．本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．5. 解：根据题意，，其定义域是，，且，为非奇非偶函数，排除B，当时，，在区间单调递减，排除AD，故选：根据题意，先分析函数的奇偶性，排除B，再分析在区间的单调性，排除AD，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的单调性、函数值符号的分析，属于基础题．6. 解：，，，且，，为增函数，又，，又为增函数，且，，故选：可得出，，，然后根据和为增函数即可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和幂函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．7. 解：函数为定义在上的奇函数，，得到，函数为奇函数，满足，则，，，，即函数的定义域为，则等价于，，，函数在上单调递增，，解得，原不等式的解集为故选：根据为定义在上的奇函数可求出，，得出，从而原不等式等价于，而根据求导可得出在上单调递增，从而可得出，这样即可得出原不等式的解集．本题考查了奇函数的定义，奇函数定义域的对称性，根据导数符号判断函数单调性的方法，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．8. 解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，，设，，因为，所以，于是，解得：，那么，因为，所以，故，因此的最小值为故选：建立坐标系写出A，B，C的坐标，设，结合，把用来表示，进而转变为函数求最值问题．本题考查坐标法在向量中的应用，向量的坐标运算，三角函数的性质，考查了学生的计算能力，属于中档题．9. 解：三个企业中成本最高的企业是丙企业，故A中说法错误；甲、乙、丙三个企业其他费用分别为500元、2040元、2250元，其他费用最高的企业是丙企业，故B中说法正确；甲、乙、丙三个企业工资支出分别为3500元、3600元、3750元，工资支出最低的企业是甲企业，故C中说法错误；甲、乙、丙三个企业材料费用分别为6000元、6360元、9000元，材料费用最高的企业是丙企业，故D中说法正确；故选：根据三个扇形图对应各个选项逐个判断即可．本题考查了函数的实际应用，考查了学生的识图能力，属于中档题．10. 解：根据题意，，其定义域为，其导数，在区间上，，为增函数，在区间上，，为减函数，依次分析选项：对于A，在上递增，，，在在上存在零点，A正确，对于B，在上递增，，，在在上不存在零点，B错误，对于C，在上递减，，，在在上不存在零点，C错误，对于D，在上递减，，，在在上存在零点，D正确，故选：根据题意，求出函数的导数，分析的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．11. 解：对于A：在中，，所以若，则正确；若，则，所以B正确；对于C：，，，，当，时，，，，，，则，；当，时和B不可能同时在第二象限，，，，当时，，则，，当时，，，；则；，故C错误；对于D：，若，则，故D正确；故选：根据正弦定理，同角三角函数的基本关系，正切函数的单调性，逐一分析五个命题的真假，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正弦定理，同角三角函数的基本关系，正切函数的单调性，难度中档．12. 解：A：，M分别是AD，CD的中点，，故A正确；B：由平面几何得，又，平面，故B正确；C：BF与平面有交点，不存在点E，使平面平面，故C错误；D：三棱锥以面BCF为底，则高是定值，三棱锥的体积为定值，故D正确．故选：本题利用中位线定理以及线面垂直，三棱锥的特征求解．本题考查了线线平行，线面垂直，以及三棱锥特征及体积的求法，属于基础题．13. 解：因为，条件p：，所以p对应的集合为；因为条件q：，所以q对应的集合为；因为p是q的充分不必要条件，所以，所以，所以，故答案为：先解出集合命题所对应的集合，再根据条件分析集合包含关系，进行求解．本题考查集合包含关系，以及简易逻辑，属于基础题．14. 【分析】本题考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量模的求法．根据条件即可求出，，从而可以求出，进而得出【解答】解：，，，故答案为15. 解：，即，平方可得，解得，故答案为利用两角和的正弦公式可得，平方可得，由此解得的值．本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题．16. 【分析】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，是中档题．取CD的中点E，由题意解得，，EA、EB、EC两两垂直，建立空间直角坐标系，令三棱锥的外接球的球心为，由，求出，，，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：在三棱锥中，，，，取CD的中点E，由题意解得，在中利用余弦定理解得，在中利用余弦定理解得，则为等腰三角形，，可解得，EA、EB、EC两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，，令三棱锥的外接球的球心为，由题意，，解得，，，，三棱锥的外接球的表面积为：故答案为：17. 由题设求得数列的首项，即可求得其通项公式；先由求得，再利用分组求和法求得其前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列基本量的计算及分组求和法在数列数列求和中的应用，属于中档题．18. 由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求B的值．设AC边上的高为h，利用余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了三角函数公式，正弦、余弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，考查化归与转化思想等，属于基础题．19. 不等式可化为，而解集为，分析即可得到答案；依题意转化为对任意的，恒成立．讨论和时，分离参数，利用基本不等式即可得到取值范围．本题考查一元二次不等式的性质，利用基本不等式求最值，不等式恒成立中含参问题，意在考查学生的分析能力、计算能力及转化能力，属于中档题．20. 取PD中点M，连接EM，AM，由中位线的性质及平行四边形的性质容易得证；关键是证明平面PDC，进而运用线线平行的性质及面面垂直的判定得证；易知，为所求线面角，转化在求解即可．本题考查线面平行及面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. 时求出函数y的单调增区间和对称中心；①由图知B是函数图象的最高点，设出点B的坐标和最小正周期，表示出点A、C 的坐标，利用坐标表示向量、，根据数量积求出T、的值；②由x的取值范围求出函数y的最大值，计算对应的x值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合以及平面向量的应用问题，是综合性题目．22. 设，由可得，化简即可得出．如果斜率不存在，可得不满足题意．因此可设存在定点Q满足条件，设直线l的方程为设，直线l的方程与圆的方程联立化为：，由无论直线l如何运动，x轴都平分，可得，可得，利用根与系数的关系代入即可得出．本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、斜率计算公式、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020-2021学年湖南省娄底市双峰县第一中学高二下学期期末考试数学试题 word版
娄底市双峰县第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题本试卷共4页，22题，考试用时120分钟，试卷满分150分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20S x x x =-=，{}20T x x x =+=，则ST =（ ）A. {}0B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,0,1-2. 已知12z =-，则z z ⋅=（ ）A. 12-B. 1C. 122-- D. 122-+ 3. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约（ ）年.（参考数据：2log 0.67900.5585=-） A. 3000B. 3100C. 3200D. 33004. 已知3sin 4cos 0αα-=，则sin 2α=（ ） A. 1225-B.1225C.2425D. 2425-5. 已知6log 2a =，12log 4b =，18log 6c =，则（ ） A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >>6. 为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作.已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（ ） A. 252B. 250C. 182D. 1807. 在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为1S ，不过球心的任意非圆面的截面的面积为2S ，则（ ） A. 12S S = B. 12S S >C. 12S S <D. 1S 、2S 的大小关系不定8. 若A 是圆C 所在平面内的一定点，P 是圆C 上的一动点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹不可能是（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列关于函数()sin 2f x x =的结论正确的是（ ） A. 函数()f x 是偶函数 B. 函数()f x 的最大值为2 C. 函数()f x 在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增 D. 函数()f x 的最小正周期是π10. 已知正三棱锥P ABC -中，M 为PA 的中点，PB CM ⊥，2CM =，则（ ） A. PB CA ⊥B. PB PA ⊥C. 该三棱锥的体积是13D. 该三棱锥的外接球的表面积是3π11. 已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于A 、B 两点，若ABC △为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 312. 设随机变量X 表示从1到n 这n 个整数中随机抽取的一个整数，Y 表示从1到X 这X 个整数中随机抽取的一个整数，则（ ） A. 当2n =时，1(2,1)4P X Y === B. 当4n =时，7(4)24P X Y +==C. 当n k =（2k ≥且*k N ∈）时，21(,)P X k Y k k ===D. 当2kn =（2k ≥且*k N ∈）时，()21212,12k kik i P X Y =-===∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S =-，63S =，则n S 的最小值为___________.14. 宽与长的比为510.6182-≈的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD 中，512BC -=，AB BC >，那么AB AC ⋅的值为__________. 15. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，且4FA =，则AB =__________.16. 2020年底，我国已正式对外宣布，实现了全面脱贫的伟大胜利.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB 的半径为10，3PBA QAB π∠=∠=，202AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，AQ QP PB ==，则PQ =__________（用θ表示）；据调研发现，当OP 最长时，该奖杯比较美观，此时θ的值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，令11242n n b a a a a -=++++，1,2,n =⋅⋅⋅.（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 中去掉数列{}n b 中的项，剩下的项按原来顺序排成新数列{}n c ，求2021c 的值.18. 如图，在平面四边形ABCD 中，2BC =，62AD =-，90ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，75BAD ∠=︒，求四边形ABCD 的面积.19. 为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过1小时不超过1小时男 20 8女12m（1）求m ，n ；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）若以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校随机调查60名学生，记一周参加社区服务时间超过1小时的人数为X ，求X 的数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820. 如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是正三角形，侧面11AAC C 是菱形，点1A 在平面ABC 的射影为线段AC 的中点D ，过点1B ，B ，D 的平面α与棱11AC 交于点E .（1）证明：四边形1BB ED 是矩形； （2）求二面角1A BB E --的余弦值.21. 双曲线C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，且焦点到其渐近线2y x =±的距离为2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()0,2P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，与其渐近线分别交于M ，N （从左至右）两点.（i ）证明：AM BN =； （ii ）是否存在这样的直线l ，使得255OMN OAB S S =△△，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22. 已知函数()a ax f x x e b =+（其中e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是3365y e x e =-.（1）求a ，b ； （2）设函数2()()ln f x g x mx x x=--，若()1g x ≥在()0,+∞上恒成立，求m 的取值范围.数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. A 8. D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. AC 10. ABD 11. ACD 12. ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】-3 【解析】易得21522n S n n =-， 当2n =或3时，()min 3n S =-. 14.【答案】1 15.【答案】163【解析】设过()1,0F 的直线方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则联立方程得214x my y x =+⎧⎨=⎩，2440y my --=，124y y =-，221212144y y x x =⋅=， 114FA x =+=，13x =，所以213x =，故2413FB x =+=，416433AB =+=. 16.【答案】10sin θ，4π 【解析】作OM QP ⊥交QP 于M ，交AB 于C ，且OC AB ⊥， 则AOC θ∠=，则20sin AB θ=，10cos OC θ=.设AQ QP BP x ===，作QE AB ⊥交AB 于E ，PF AB ⊥交AB 于F ， 因为60PBA QAB ∠=∠=︒，所以12AE BF x ==， 32CM PF x ==，EF QP x ==，所以2AB x =， 所以20sin 2AB x θ==，即10sin x θ=. 所以310cos 10cos 53sin 2OM OC CM x θθθ=+=+=+， 所以22222(10cos 53sin )(5sin )OP OM MP θθθ=+=++222100cos 75sin 1003sin cos 25sin 100503sin 2θθθθθθ=+++=+，因为[]sin 21,1θ∈-，所以当sin 21θ=，即4πθ=时，2OP 最大，故答案为4π.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 解：（1）当2n ≥时，()221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，又112a S ==也适合上式， 所以2n a n =，*n N ∈.()()121124*********n n n n b a a a a --=++++=++++=-.（2）由（1）知21n n b a -=， 所以101023b a =，112047b a =， 由此可知202120314062c a ==. 18. 解：设()090CBD θθ∠=︒<<︒. 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin 75AD BDABD =∠︒，即()62sin 90sin 75BDθ-=︒-︒， 在BCD △中，同理有，sin sin BC BDBDC BCD=∠∠，即()2sin 120sin 60BDθ=︒-︒，从而有()sin 1203cos θθ︒-=，化简得sin 3cos θθ=， 因此有tan 3θ=，∴60θ=︒.于是知四边形ABCD 是由边长为2的正BCD △和腰长为2，顶角30ABD ∠=︒的等腰ABD △构成，所以四边形ABCD 的面积为231222sin 301342S =⨯+⨯⨯=︒⨯+.解法二：过D 作DE AB ⊥，DF BC ⊥分别交AB 、BC 于E 、F 两点， ∵62AD ADE △中，(62)sin75DE =⋅︒， ∴1DE =，在矩形DEBF 中，∴1DE BF ==，∴1CF =，∴F 是BC 的中点， 在BCD △，∵60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形， ∴3434BCD S =⨯=△ 在ABD △中，由等面积法可以得到2AB =，∴11212ABD S =⨯⨯=△，∴1ABD BCD S S S =+=△△19. 解：（1）由已知，该校有女生400人，故12400208560m +=+，得8m =，从而20812848n =+++=. （2）作出列联表如下：2248(16096)240.6857 3.8412820321635K -==≈<⨯⨯⨯.所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关. （3）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率322483P ==， 所以2~60,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且606021()33k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,,60k =⋅⋅⋅.故X 的数学期望260403EX =⨯=. 20. 解：（1）连接1B E ，DE .在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 为平行四边形，所以11//B B A A . 因为1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ， 所以1//B B 平面11A ACC .因为1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D 平面11A ACC DE =，所以1//B B DE ，因此1//A A DE .因为点D 是AC 的中点，所以E 为11AC 中点，所以1B B DE =， 所以四边形1BB ED 为平行四边形.在正ABC △中，因为D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥. 由题可知1A D ⊥平面ABC ，所以1A D BD ⊥，1A D AC ⊥. 因为1ACA D D =，所以BD ⊥平面11ACC A ，于是BD DE ⊥，故四边形1BB ED 为矩形.（2）由（1）知DB ，AC ，1A D 两两垂直，以DB ，AC ，1A D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则BD =. 在1AA D △中，12AA AD =，190A DA ∠=︒，所以1A D =. 于是()0,0,0D ，()0,1,0A -，(1A，)B，()3,1,0AB =，()3,0,0DB=，(11AA BB ==.设平面1DBB E 的法向量为(),,m a b c =，由100m BB m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00b ⎧+=⎪=， 取()0,3,1m =-.设平面11ABB A 的法向量为(),,n x y z =，由100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00y y ⎧+=⎪+=， 取()1,3,1n =-.设二面角1A BB E --的大小为θ，由图知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos cos ,m n θ===故所求二面角1A BB E --的余弦值为5.21. 解：（1）设双曲线C ：22221x y a b-=，易得焦点(),0F c 到渐近线的距离为b ，故2b =， 又2ba=，所以1a =， 故所求双曲线C 的方程为2214y x -=. （2）（i ）设过点P 的直线l ：2y kx =+，联立222(01)4y kx y x λλ=+⎧⎪⎨-==⎪⎩或， 消去y ，整理得：()2244440k x kx λ----=，0∆>，()2,2k ∈-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .当1λ=时，12244k x x k +=-，即AB 中点横坐标为224kk -，当0λ=时，34244k x x k +=-，即MN 中点横坐标为224kk -，故线段AB ，MN 的中点重合，所以AM BN =.（ii ）由（i ）1234244k x x x x k +=+=-，12284x x k -=-，34244x x k-=-，所以 ()()2223434281144kk x x x x k MN +⎡⎤=++-=⎣⎦-()()222212122418144A k kk x x x x kB +-⎡⎤=++-=⎣⎦-又255OMN OAB MN S S AB ==△△，所以3k =±0∆>，故存在这样的直线l：2y =+.22. 解：（1）3a =，0b =，33()x f x x e =.（2）3()ln 1x g x xe mx x =--≥，整理得3ln 1x x m e x x ≤--. 记31ln ()x xx e x x ϕ=--，只需[]min ()m x ϕ≤. 而2323ln '()xx e xx x ϕ+=.令23()3ln x h x x e x =+，则()231'()960x h x x x e x =++>，故()h x 在()0,+∞单调递增. 又104h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理可知，存在唯一011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =.当()00,x x ∈时，()0h x <，'()0x ϕ<，()x ϕ单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，'()0x ϕ>，()x ϕ单调递增； 所以[]()0300min 00ln 1()x x x x e x x ϕϕ==--.由()00h x =得032003ln 0xx e x +=，所以0320013ln xx e x =， 所以001ln 30013ln xx x e e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即0013lnx x =，故003ln x x =-，且0301xe x =，所以[]()0300min 00ln 1()3x x x x e x x ϕϕ==--=，故所求m 的取值范围(],3-∞.方法二：证明：1x e x ≥+证明：构造函数()1x h x e x =--，∴'()1x h x e =-，令'()100x h x e x =->⇒>，所以函数()h x 在()0,+∞单调递增， 令'()100x h x e x =-<⇒<，所以函数()h x 在(),0-∞单调递减.所以函数()min ()00h x h ==，∴10x e x --≥，即∴1x e x ≥+，∴3ln 3()ln ln x x x g x xe mx x e mx x +=--=--，∵1x e x ≥+， ∴ln 3ln 31x x e x x +++≥，∴ln 3()ln ln 31ln (3)1x x g x e mx x x x mx x m x +=--≥++--=-+， 由()1g x ≥在()0,+∞上恒成立，故()30m x -≥恒成立，所以30m -≥，故3m ≤.。
湖南省娄底市双峰县双峰一中2020-2021学年高二数学9月入学考试试题【含答案】
19. （1） f x
3 sin 2x cos2 x 1
2
2
3 2
sin
2x
1
cos 2
2x
1 2
sin
2x
6
1,
由 2k 2x 2k , k Z 得 k x k k Z
2
62
6
3
∴函数
f
x 的单调递增区间为
6
k
,
3
k
k
Z
（2）.由
f
C
0
A. 2n1 3
B. 2n 3
C. 2n 3
D. 2n1 3
6.已知向量
a
1,1,
b
2,
x
,若
a
b
与
4b
2a
平行,则实数
x
的值是(
)
A. 2
B. 0
C. 1
D. 2
7.已知等差数列an中, a7 a9 16, a4 1,则 a12 等于( )
A.15
B.30
C.31
D.64
2 8.在△ABC 中，若 (BC BA) AC AC ,则△ABC 一定是( )
x
0,
π 2
时，
3
f
x 4 恒成立，求实数 m 的取值范围。
一．选择题： 二．填空题：
数学答案
BABBA
DACDA DB
27
32
10
880
8
3．简答题（第 17 题 10 分，其余各题 12 分）
17：（1） 3
（2）原式 cos10 3 sin10 2 cos(10 60) 2 cos 70 4
湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学试题
湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有（ ） A ．37种B ．1848种C ．3种D ．6种2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．2log ||y x =B ．21x y =-C ．ln y x =D ．21y x =+3．8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A ．38B ．83C ．38AD ．38C4．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为（ ） A ．66AB ．333AC ．3333A A ⋅ D ．4343A A ⋅5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( ) A ．18B ．14C ．25D ．126．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（ ） A ．81B ．60C ．6D ．117．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.568．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7 B ．0.6C ．0.4D ．0.39．已知(1n +的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n 的值为（ ）A ．14B ．10C ．14或23D ．10或2310．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．11．已知函数()22,0()ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-12．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭13．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）14．在189x ⎛+ ⎝展开式中，常数项为展开式的第_____项.15．书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有_____种不同的插法（具体数字作答）16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围________.17．一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.若这台机器在3个工作日内，不发生故障，可获利5万元；发生1次故障可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次故障要亏损1万元.这台机器在3个工作日内可能获利的均值是多少？18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =-u r与向量(cos ,cos )n C B =r共线.（1）求B ；（2）若b =3a =，且2AD DC =uuu r uuu r，求BD 的长度.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =. （1）求证：1AA ⊥平面ABC ； （2）求二面角111A BC B --的余弦值.20．2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源.保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的活动，2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间[50,100]内）绘制成如图所示的频率分布直方图.若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.（1）求所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）记这3人中，ξ为测试成绩在[90,100]内的人数，求ξ的分布列和数学期望.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）过原点且不与坐标轴重合的直线l 与C 有两个交点,A B ，点A 在x 轴上的射影为M ，线段AM 的中点为N ，直线BN 交C 于点P ，证明：直线AB 的斜率与直线AP 的斜率乘积为定值.22．已知函数(1)()ln ,1a x f x x x R x -=-∈+ ． （1）若x=2是函数f （x ）的极值点，求曲线y=f （x ）在点（1,f （1））处的切线方程； （2）若函数f （x ）在(0,)+∞ 上为单调增函数，求a 的取值范围； （3）设m ，n 为正实数，且m>n ，求证：ln ln 2m n m nm n -+<- ．参考答案1．A 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类进行求解. 【详解】取法分为三类：第一类：从语文书中取1本，有12种取法；第二类：从数学书中取1本，有14种取法；第三类：从英语书中取1本，有11种取法；所以共有12+14+11=37种取法. 故选：A. 【点睛】本题主要考查分类加法原理，合理分类是求解的关键，题目比较简单. 2．A 【解析】 【分析】根据选项逐个验证，得出答案. 【详解】由于21xy =-，ln y x =是非奇非偶函数，21y x =+是偶函数但没有零点，只有2log ||y x =是偶函数又有零点.故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的性质，函数的奇偶性一般利用定义进行判定，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】利用分步计数原理进行求解. 【详解】冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果. 故选：A.【点睛】本题主要考查分步计数原理，题目较为简单，分清是分步计数原理和分类计数是求解关键. 4．D 【解析】 【分析】利用捆绑法进行求解. 【详解】甲、乙、丙3人站在一起有33A 种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有44A 种，共有3434A A ⋅种.故选：D. 【点睛】本题主要考查排列问题，相邻问题一般利用捆绑法求解，侧重考查数学建模的核心素养. 5．B 【解析】 【分析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】至少有2件一等品包含三类：恰有2件一等品，恰有3件一等品，恰有4件一等品.分别求解再相加即可. 【详解】分三类：恰有2件一等品，有224560C C =种取法；恰有3件一等品，有314520C C =种取法；恰有4件一等品，有441C =种取法.所以抽法种数为6020181++=.故选：A. 【点睛】本题主要考查组合问题，合理分类是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 7．C 【解析】 【分析】两地中恰有一个地方降雨分为两种情况：甲地降雨乙地不降雨，乙地降雨甲地不降雨，分别求解然后求和可得结果. 【详解】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2(10.3)(10.2)0.30.38⨯-+-⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查事件的独立性，把事件分解为独立事件的积、互斥事件的和，是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 8．B 【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-Qp 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p Q ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题． 9．C【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求出第9项、第10项、第11项的二项式系数，再结合等差中项求解. 【详解】由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---，化简得2373220n n -+=，解得14n =或23n =【点睛】本题主要考查二项式定理，明确二项式系数为rn C 是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10．B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 11．D 【解析】 【分析】先根据函数解析式作出函数图象，结合图象得出a 的取值范围. 【详解】作出()y f x =的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使|()|ax f x ≤，则0a ≤，且22(0)ax x x x ≤-<，即2a x ≥-对任意0x <恒成立，所以2a ≥-.综上，20a -≤≤.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的性质，结合图象求解恒成立问题的关键是准确作出图象，侧重考查数学抽象的核心素养. 12．D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a 的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】绘制函数()12,021,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t =，由题意可知，方程230t t a -+=在区间()1,2上有两个不同的实数根， 令()()2312g t t t a t =-+<<，由题意可知：()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，据此可得：924a <<. 即a 的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．480 【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245480A A =（种）. 【考点定位】排列 14．13 【解析】 【分析】先求出189x ⎛+ ⎝的通项公式，再令指数为零可得常数项为展开式的第13项.【详解】由题意181181831818219()3(9)rr r r r r r r T C x C x ---+==，由题意得31802r -=，解得12r =，所以在189x ⎛+ ⎝展开式中，常数项为展开式的第13项.故答案为：13.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式，通项公式是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15．504 【解析】 【分析】利用定序相除法进行求解，先求9本书的所有排法，再求原来6本书的排法，相除可得结果. 【详解】原来的6本书，加上新买的3本书，随意排列共有99A 种排法，原来的6本书随意排列共有66A 种排法，而原来特有的顺序只有1种，所以共有9966=987=504A A ⨯⨯种方法.故答案为：504. 【点睛】本题主要考查排列问题，特定顺序要求的排列问题，一般是利用定序相除法来求解，侧重考查数学建模的核心素养. 16．16ln 326m e +≤≤【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性,可得02ln 6mx x ≤-≤ 对[]1,3x ∈ 恒成立,通过参变分离即得ln 2x m x ≥且6ln 2xm x+≤对[]1,3x ∈ 恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到m 的取值范围.【详解】解:Q 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=()f x ∴ 为偶函数Q 对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减,在(,0)-∞ 上单调递增由()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立得()2ln 3(3)f mx x f --≥在[]1,3x ∈上恒成立32ln 33mx x ∴-≤--≤在[]1,3x ∈上恒成立,即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立此时ln 2x m x ≥且6ln 2xm x +≤对[]1,3x ∈ 恒成立 设ln ()x g x x =,则令1ln '()0xg x x-==,解得x e = ()g x ,'()g x 随x 的变化如下表∴ 当x e =时,max 1()g x e = 12m e∴≥设6ln ()x h x x +=,则当[]1,3x ∈时,25ln '()0xh x x --=< ∴ ()h x 在[1,3] 上单调递减,即当3x = 时,min 6ln 3()(3)3h x h +==则6ln 36m +≤.综上所述, 16ln 326m e +≤≤ 故答案为:16ln 326m e +≤≤. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的方法. 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有()()12120f x f x x x -<-成立,说明()f x 在区间D 上为减函数; 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有()()12120f x f x x x ->-成立,说明()f x 在区间D 上为增函数.在解抽象不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围.17．4.2515 【解析】 【分析】先求所有可能获利的情况，然后再求解每种情况对应的概率，结合期望公式可求均值. 【详解】设这台机器3个工作日内可能获利X 万元， 则X 的可能取值为5、2.5、0、1-3(5)(10.1)0.729P X ==-=123( 2.5)0.1(10.1)0.243P X C ==⋅⋅-= 223(0)0.1(10.1)0.027P X C ==⋅⋅-=3(1)0.10.001P X =-==X 的分布列如下：所以，这台机器在3个工作日内可能获利的均值为()50.729 2.50.24300.027(1)0.001E X =⨯+⨯+⨯+-⨯3.6450.607500.0014.2515=++-=（万元）【点睛】本题主要考查随机变量的期望，求解随机变量的所有可能值及其相应概率是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．（1）3B π=（2）BD =【解析】 【分析】（1）根据共线得到(2)cos cos a c B b C -=，利用正弦定理化简得到答案.（2）根据余弦定理得到9c =，cosC =，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）∵(2,)m a c b =-u r 与(cos ,cos )n C B =r共线，∴(2)cos cos a c B b C -=.即(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+= 即sin (2cos 1)0A B -=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵(0,)B π∈，∴3B π=.（2）b =3a =，3B π=，在ABC V 中，由余弦定理得：22229631cos 2232a cbc B ac c +-+-===⨯⨯，∴23540c c --=.则9c =或6c =-（舍去）.∴222cos2a b c C ab +-===∵2AD DC =uuu r uuu r ∴13DC b ==在BDC V 中，由余弦定理得：2222cos 972319BD CB DC CB DC C =+-⋅=+-⨯=，∴BD =【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力. 19．（1）见解析（2）1625【解析】 试题分析：本题考查线面垂直的判定和二面角的求法．（1）利用面面垂直的性质证明即可．（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解． 试题解析：(1)证明：因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.又平面ABC ⊥平面11AAC C ，平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC .（2）由（1）知1AA AC ⊥，1AA AB ⊥， 又3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥. 所以1,,AA AB AC 两两垂直．以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()()()110,3,0,0,0,4,0,3,4B A B ，()4,0,4C . 设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =v，则11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u uv v 即34040y z x -=⎧⎨=⎩， 令3z =，则得()0,4,3n =v．同理可得平面11B BC 的法向量为()3,4,0m v=，所以16cos ,25n m n m n m ⋅==v vv vv v . 由图形知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为1625． 点睛：用法向量法求二面角的大小时，两个法向量的夹角与二面角大小不一定相等，这里有两种情形，即法向量的夹角可能与二面角相等，也可能互为补角．解题时，在求得两个法向量的夹角的基础上，再根据所给的图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再得出二面角的大小． 20．（1）45；（2）分布列见解析，1.2. 【解析】【分析】（1）先根据分层抽样求出两组的人数，再根据古典概率求解所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）先求ξ的所有取值，再求解分布列和数学期望. 【详解】认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16，根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人，4人.（1）从10人中任选3人，有310C 种不同情况，抽取的3人不属于同一组的情况有21126464C C C C +，故所抽取的3人不属于同一组的概率为2112646431045C C C C P C +==； （2）由条件可得ξ的取值可能有0，1，2，3，且363101(0)6C P C ξ===，21641301(1)2C C P C ξ===，23164103(2)10C C P C ξ===，343101(3)30C P C ξ===.ξ∴的分布列为ξ∴的数学期望为11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查古典概率和随机变量的分布列及期望，准确求解随机变量对应值的概率是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.21．（I ）22143x y +=（II ）定值1-【解析】试题分析：（1）（I ）由题意知， C 的焦点坐标为()10±，，利用定义求解,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（II ）设()()()112212,,,A x y P x y x x ≠，则()1111,,,2y B x y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由点,A P 在椭圆C 上得，两式相减得，得111133224BNy y k x x ==⋅， 1212BP y yk x x +=+.因为,,B N P 三点共线，所以BN BP k k =，即可证得AB AP k K ⋅为定值. 试题解析：（I ）由题意知， C 的焦点坐标为()10±，，532422a ==+=，b =所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （II ）设()()()112212,,,A x y P x y x x ≠，则()1111,,,2y B x y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由点,A P 在椭圆C 上得， 12122222143{143x y x y +=+=，两式相减得， 1222122234y y x x -=--.111133224BNy y k x x ==⋅， 1212BP y y k x x +=+.因为,,B N P 三点共线，所以BN BP k k =，即11211243y y y x x x +=⋅+. 11212121212112121212124413x 3AB AP y y y y y y y y y k K x x x x x x x x --+-∴⋅=⋅=⋅⋅=⋅=---+-，为定值. 22．(1)810x y +-= (2)2a ≤ 【解析】试题分析：（1）导函数为()()()222211x a x f x x x ++'-=+，由(2)0f '=，解得并检验94a =，再求得1(1)8k f '==，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程。
2020-2021学年湖南省娄底市娄星区高二(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖南省娄底市娄星区高二（下）期中数学试卷副标题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.命题“∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+2x+a≤0B. ∃x∈R，x2+2x+a>0C. ∀x∈R，x2+2x+a>0D. ∃x∈R，x2+2x+a≤02.复数z=2i−1i(i是虚数单位)在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n−m的值为()A. 5B. 6C. 7D. 84.已知α∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα=()A. √53B. 23C. 13D. √595.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=√10，b⃗ =(−2,1)，a⃗⋅b⃗ =5，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°6.标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052，下列数据最接近33611000052的是(lg3≈0.477)()A. 10−37B. 10−36C. 10−35D. 10−347.已知函数f(x)={−x 2−2x+3,x≤0|2−lnx|,x>0，直线y=k与函数f(x)的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标从小到大依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是() A. [0,e2] B. [0,e2) C. [0,e4] D. [0,e4)8.已知直线l1：mx−y−3m+1=0与直线l2：x+my−3m−1=0相交于点P，线段AB是圆C：(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦，且|AB|=2√3，点D是线段AB的中点．则|PD|的最大值为()A. 3√2B. 8√2C. 5√2D. 4√2+1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.如图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是()A. 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B. 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D. 从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%10.设椭圆C：x2+y2=1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的2是()A. |PF 1|+|PF 2|=2√2B. 离心率e =√62C. △PF 1F 2面积的最大值为√2D. 以线段F 1F 2为直径的圆与直线x +y −√2=0相切11. 记函数f(x)=sin(2x −π3)的图象为曲线F ，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)在区间[−π12,5π12]上单调递增 C. 曲线F 关于直线x =−π12对称D. 将函数y =sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到曲线F12. 已知a >1，0<c <b <1，下列不等式成立的是( )A. a b >a cB. c b >c+ab+aC. log b a <log c aD. b b+a >cc+a三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知z −是z 的共轭复数，且满足(1+i)z −=4(其中i 是虚数单位)，则|z|=______． 14. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A −NMD 1的体积为______．15. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 3+a 5=21，a 4+a 6+a 8=168，则S 8=______． 16. 已知函数f(x)=2x −12x +1，若正数a ，b 满足f(4a)+f(b −9)=0，则1a +1b 的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 请考生在①c =1，△ABC 的面积为√34，②b =√3c ，③A =π4，这三个条件中任选一个，补充在下面问题横线处．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinB +asinC =asinA +csinC ，_____，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．18.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销(k为常售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−km+1数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售元．价格定为每件产品12+24xx(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．(1)证明：平面PAE⊥平面BCP．(2)若PA=AB=√2PB，二面角A−BD−F的余弦2，求PD与平面BDF所成角的正弦值．值为3520. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=0，S n =a n+1−n ，n ∈N ∗．(1)求证：数列{a n +1}是等比数列；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，已知b n =n a n +1，若不等式T n ≥m −92+2a n对于n ∈N ∗恒成立，求实数m 的最大值．21. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y =32x 与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2，椭圆C 的另一个焦点是F 1，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =94． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆F 1：(x +1)2+y 2=1，动圆P 的圆心P 在椭圆C 上并且与圆F 1外切，直线l 是圆P 和圆F 1的外公切线，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求三角形F 1AB 的面积．22.已知函数f(x)=(2x2−4x+4)e x−ax2−e(a∈R)．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l过点(0,1−e)，求实数a的值；(2)当a>0时，若函数f(x)有且仅有3个零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的否定，特称量词命题与全称量词命题的否定关系，是基础题．利用特称量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+a>0．故选：C．2.【答案】A【解析】解：z=2i−1i =2i2−ii2=−2−i−1=2+i，对应点的坐标为(2,1)，位于第一象限，故选：A．根据复数的几何意义进行计算即可．本题主要考查复数几何意义的应用，根据复数的运算以及复数的几何意义是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3，又乙组学生的成绩的中位数是89，∴n=9，∴n−m=9−3=6．故选：B．利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．本题考查茎叶图，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cosα的一元二次方程，求解后再由同角三角函数基本关系式求得sinα的值． 【解答】解：由3cos2α−8cosα=5，得3(2cos 2α−1)−8cosα−5=0， 即3cos 2α−4cosα−4=0，解得cosα=2(舍去)，或cosα=−23． ∵α∈(0,π)，∴α∈(π2,π)，则sinα=√1−cos 2α=√1−(−23)2=√53．故选：A ．5.【答案】C【解析】解：∵b ⃗ =(−2,1)，∴|b ⃗|=√(−2)2+12=√5， 又|a ⃗ |=√10，a ⃗ ⋅b ⃗ =5，两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0,π]， ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√10×√5=√22． ∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°． 故选：C ．由已知b ⃗ 的坐标求出|b ⃗ |，然后代入数量积求夹角公式得答案．本题考查利用数量积求向量的夹角，考查向量模的求法，是基础的计算题．6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．根据题意，对33611000052取对数可得lg33611000052=lg3361−lg1000052 =361×lg3−52×4≈−35.8，即可得33611000052≈10−35.8，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，对于33611000052，有lg 33611000052=lg3361−lg1000052 =361×lg3−52×4≈−35.8， 则33611000052≈10−35.8，分析选项：B 中10−36与其最接近， 故选：B ．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强． 画出y =f(x)与y =k 的图象，运用韦达定理和对数的运算性质，计算即可得到所求范围． 【解答】解：函数f(x)={−x 2−2x +3,x ≤0|2−lnx|,x >0的图象如下：四个交点横坐标从小到大，依次记为a ，b ，c ，d ， 结合图象可知3≤k <4，则a ，b 是x 2+2x +k −3=0的两根， ∴a +b =−2，ab =k −3， ∴ab ∈[0,1)，且lnc =2−k ，lnd =2+k ， ∴ln(cd)=4，∴cd =e 4，∴abcd∈[0,e4)，故选：D．8.【答案】D【解析】解：由题意得圆C的圆心为(−1,−1)，半径r=2，易知直线l1：mx−y−3m+1=0恒过点(3,1)，直线l2：x+my−3m−1=0恒过(1,3)，且l1⊥l2，∴点P的轨迹为(x−2)2+(y−2)2=2，圆心为(2,2)，半径为√2，若点D为弦AB的中点，位置关系如图：连接CD，由|AB|=2√3，得|CD|=√4−(√3)2=1．∴|PD|max=|PC|max+|CD|=√32+32+√2+1=4√2+1，故选：D．由圆的方程求得圆心C的坐标与圆C的半径，再求出两直线l1与l2的交点P的轨迹方程，画出图形，求出|PC|的最大值，则|PD|的最大值可求．本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABC×100%=【解析】解：对于A：2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.3−0.80.8×100%≈105.6%，所以选项A错误；687.5%，高于2018年的增长率47.7−23.223.2对于B：公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，所以选项B错误；(4.9+14.1+21.4+30.0+44.7)=对于C：公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为1523.02万台，所以选项C错误；对于D：从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，所以选项D正确，故选：ABC．根据统计图表中的数据依次判断各个选项即可得出结果．本题主要考查了根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：由椭圆C ：x 22+y 2=1可知，a =√2，b =1，c =1，所以左、右焦点为F 1(−1,0)，F 2(1,0)，根据椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a =2√2，故A 正确； 离心率e =c a=√22，故B 错误；所以△PF 1F 2面积的最大值为12×2c ×b =bc =1，故C 错误； 由原点(0,0)到直线x +y −√2=0的距离d =√2√12+12=1=c ，所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x +y −√2=0相切，故D 正确； 故选：AD ．根据椭圆方程求得a ，b 和c ，根据椭圆的性质及点到直线的距离公式即可求得答案． 本题考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆的定义，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：函数f(x)的最小正周期为2π2=π，故A 选项正确； 由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ(k ∈Z)，所以函数f(x)在区间[−π12,5π12]上单调递增，故B 选项正确； 由于f(−π12)=sin[2(−π12)−π3]=sin(−π2)=−1，所以直线x =−π12是曲线F 的一条对称轴，故C 选项正确； y =sin2x 向右平移π3个单位长度得到y =sin[2(x −π3)]=sin(2x −2π3)，故D 选项错误．故选：ABC ．已知了三角函数，根据正弦函数y =sinx 的性质利用整体代换思想求出对应选项的结果，即可判断是否正确．本题考查了三角函数的周期性，单调性以及对称性，涉及到整体代换思想，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：A.由a>1，0<c<b<1，可得a b>a c，故选项A正确；B.由a>1，0<c<b<1，cb −c+ab+a=cb+ca−bc−bab(b+a)=a(c−b)b(b+a)<0，cb<c+ab+a，故选项B错误；C.由a>1，0<c<b<1，log b a=1log a b ，log c a=1log a c，则log a c<log a b<0，则1log a b <1log a c<0，可得log b a<log c a，故选项C正确；D.由a>1，0<c<b<1，bb+a −cc+a=bc+ba−cb−ca(b+a)(c+a)=a(b−c)(b+a)(c+a)>0可得bb+a>cc+a，故选项D正确．故选：ACD．A.由a>1，0<c<b<1，利用指数函数的单调性即可判断出正误；B.由a>1，0<c<b<1，作差cb −c+ab+a，判定符号，即可判断出大小关系；C.由a>1，0<c<b<1，利用log b a=1log a b ，log c a=1log a c，即可得出大小关系；D.由a>1，0<c<b<1，作差判定符号，即可判断出大小关系．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2√2【解析】解：∵(1+i)z−=4，∴z−=41+i =4(1−i)(1+i)(1−i)=2−2i，故z=2+2i，故|z|=√4+4=2√2，故答案为：2√2．求出z−，求出z，从而求出z的模即可．本题考查了复数求模问题，考查转化思想，是基础题．14.【答案】13【解析】解：如图，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点， ∴S △ANM =12×1×1=12，∴V A−NMD 1=V D 1−AMN =13×12×2=13．故答案为：13．由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥A −NMD 1的体积． 本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．15.【答案】255【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查等比数列的前n 项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S 8． 【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 3+a 5=21，a 4+a 6+a 8=168， ∴{a 1+a 1q 2+a 1q 4=21a 1q 3+a 1q 5+a 1q 7=168， 解得a 1=1，q =2， ∴S 8=1×(1−28)1−2=255．故答案为：255．16.【答案】1【解析】解：函数f(x)=2x −12x +1，可得f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x 1+2x=−f(x)，可得f(x)为奇函数，由f(x)=1−21+2x 可得f(x)在R 上递增， 则f(4a)+f(b −9)=0，即有f(4a)=−f(b −9)=f(9−b)， 可得4a =9−b ， 即为4a +b =9， 则1a +1b =19(4a +b)(1a +1b )=19(4+1+b a +4a b) ≥19×(5+2√ba ⋅4a b)=1，当且仅当b =2a =3时，取得等号． 则1a +1b 的最小值为1． 故答案为：1．求得f(x)为奇函数，且在R 上递增，可得4a +b =9，则1a +1b =19(4a +b)(1a +1b )，展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解方程，考查解不等式的运用：求最值，考查变形和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：由bsinB +asinC =asinA +csinC 及正弦定理可得b 2+ac =a 2+c 2， 由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac =b 2+ac−b 22ac=12，又因为B ∈(0,π)，所以B =π3．选择条件①，因为S △ABC =12acsinB =12a ×√32=√34，所以a =1，又因为a =c =1，B =π3，所以△ABC 是等边三角形，所以C =π3， 所以sinC =√32．选择条件②，由正弦定理b sinB =csinC ，及b =√3c 得sinC =csinB b=csinπ3√3c=12． 选择条件③，由A =π4得C =π−A −B =5π12，所以sinC =sin 5π12=sin(π6+π4)=sin π6cos π4+cos π6sin π4=√2+√64．【解析】先利用正弦定理化简bsinB +asinC =asinA +csinC 得到B =π3.选择条件①，求出a =1，C =π3，即得解；选择条件②，利用正弦定理求解；选择条件③，由A =π4得C =5π12，即得解．本题主要考查正弦定理、余弦定理的运用，以及三角形面积公式的应用，和角的正弦，考查运算能力和推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即m =0时，x =2， ∴2=4−k0+1，解得k =2，∴x =4−2m+1>0， 得y =12+24xx ⋅x −(8+16x)−m =36−16m+1−m(m ≥0)；(2)y =36−16m +1−m =37−16m +1−(m +1) ≤37−2√16m+1⋅(m +1)=29，当且仅当16m+1=m +1，即m =3时，等号成立，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．【解析】(1)根据年利润=年销售量×销售价格−成本−年促销费用即可列出y 与m 的函数关系；(2)结合(1)中所得的函数关系和均值不等式即可得解．本题考查函数的实际应用，训练了利用均值不等式求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：∵在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，PB =PC ，E 为线段BC 的中点， ∴AB =AC ，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ， ∵AE ∩PE =E ，AE ，PE ⊂平面PAE ，∴BC ⊥平面PAE ， ∵BC ⊂平面BCP ， ∴平面PAE ⊥平面BCP ．(2)解：∵BC ⊥平面PAE ，PA ⊂平面PAE ，∴BC ⊥PA ， 又BC//AD ，∴PA ⊥AD ， ∵PA =AB =√22PB ，∴PA 2+AB 2=PB 2，∴PA ⊥AB ，∵AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，分别以AE ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设PA =AB =√22PB =√2，AF =t ，则B(√62,−√22,0)，D(0,√2,0)，F(0,0，t)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,3√22,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,√22,t)， 设平面BDF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√62x +3√22y =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√62x +√22y +tz =0，取y =1，得n ⃗ =(√3,1，√2t )， 平面ABD 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， ∵二面角A −BD −F 的余弦值为35， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=√2t√4+2t 2=35，解得t =2√23，∴F(0,0，2√23)，P(0,0，√2)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2)，平面BDF 的法向量n ⃗ =(√3,1，32)， 设PD 与平面BDF 所成角的平面角为θ，则PD 与平面BDF 所成角的正弦值：sinθ=|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√222×52=√210．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题． (1)推导出AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，从而BC ⊥平面PAE ，由此能求出平面PAE ⊥平面BCP ． (2)推导出PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，从而PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，AE ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD 与平面BDF 所成角的正弦值．20.【答案】(1)证明：由a 1+a 2+a 3+⋯+a n +n =a n+1，得a 1+a 2+a 3+⋯+a n−1+n −1=a n (n ≥2)，两式相减得a n+1=2a n +1，所以a n+1+1=2(a n +1)(n ≥2)， 因为a 1=0，所以a 1+1=1，a 2=a 1+1=1，a 2+1=2(a 1+1)． 所以{a n +1}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由b n =n a n +1，又由(1)可知a n =2n−1−1，得b n =n2n−1， 从而T n ≥m −92+2a n，即1+22+322+⋯+n 2n−1≥m −92n ，因为T n =1+22+322+⋯+n2n−1，则12T n =12+222+323+⋯+n2n ， 两式相减得(1−12)T n =1+12+122+123+⋯+12n−1−n2n =2−n+22n，所以T n =4−n+22n−1． 由T n ≥m −92n 恒成立，即4−2n−52n≥m 恒成立，又(4−2n−32n+1)−(4−2n−52n )=2n−72n+1，故当n ≤3时，{4−2n−52n}单调递减；当n =3时，4−2×3−523=318；当n ≥4时，{4−2n−52n}单调递增；当n =4时，4−2×4−524=6116；则4−2n−52n的最小值为6116，所以实数m 的最大值是6116．【解析】(1)由a 1+a 2+a 3+⋯+a n +n =a n+1，得a 1+a 2+a 3+⋯+a n−1+n −1=a n (n ≥2)，两式相减得a n+1=2a n +1，变形为a n+1+1=2(a n +1)(n ≥2)，进而证明结论．(2)由b n =na n +1，又由(1)可知a n =2n−1−1，得b n =n2n−1，利用错位相减法及其等比数列的求和公式可得T n ，根据T n ≥m −92+2a n，及其数列的单调性，即可得出实数m 的最大值．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，点M 在直线y =32x 上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2，则M(c,3c2)，∵MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2c,−3c 2)⋅(0,−3c 2)=94，即9c 24=94，得c =1， ∴M(1,32)，又{1a 2+94b 2=1a 2=b 2+1，解得{a 2=4b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设动圆P 的半径为R ，点P 的坐标为(x,y)，由已知，{|PF 1|=1+R|PF 1|+|PF 2|=4，得R =3−|PF 2|≤3−(2−1)=2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2，∴当圆P 的半径最长时，其方程为(x −2)2+y 2=4．∵直线l 是圆P 和圆F 1的外公切线，∴直线l 的倾斜角不为90°且不平行于x 轴， 设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QF 1|=R r=21，可求得Q(−4,0)，设l ：y =k(x +4)，由l 与圆F 1外切，得√1+k 2=1，解得k =±√24． 当k =√24时，得y =√24x +√2，代入x 24+y 23=1并整理得，7x 2+8x −8=0．解得x 1=−4−6√27，x 2=−4+6√27，则|AB|=√1+(√24)2|x 1−x 2|=187．当k =−√24时，由图形的对称性可知，|AB|=187．又点F 1到直线l 的距离d =1，∴三角形F 1AB 的面积为S =12|AB|×d =12×187×1=97．【解析】(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由已知可得M(c,3c2)，再由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =94列式求得c ，可得M 的坐标，把M 坐标代入椭圆方程，结合隐含条件即可求得a 与b的值，则椭圆方程可求；(2)设动圆P 的半径为R ，点P 的坐标为(x,y)，由圆心距与半径间的关系及椭圆定义可得R≤2，且知当圆P的圆心为(2,0)时，R=2，求出当圆P的半径最长时，其方程为(x−2)2+y2=4，再求出l与x轴的交点坐标，设l：y=k(x+4)，由l与圆F1外切列式求解k，得到直线方程，代入椭圆方程，求得A，B的横坐标，求出|AB|，结合点F1到直线l的距离d=1，代入三角形面积公式可得三角形F1AB的面积．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆，直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=(2x2−4x+4)e x−ax2−e的导数为f′(x)=2x2e x−2ax，可得f′(1)=2e−2a，f(1)=2e−a−e=e−a，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y−(e−a)=(2e−2a)(x−1)，又切线过点(0,1−e)，可得1−e−(e−a)=−(2e−2a)，解得a=1；(2)由f(x)的导数f′(x)=2x2e x−2ax=2x(xe x−a)，当x<0时，a>0，有xe x−a<0，f′(x)>0，f(x)递增；当x≥0时，令g(x)=xe x−a(x≥0)，g′(x)=(x+1)e x>0，可得g(x)为增函数，又g(0)=−a<0，g(a)=ae a−a>0，存在m∈(0,a)，g(m)=0，即a=me m，可得当0<x<m时，xe x−a<0，f′(x)<0；当x>m时，xe x−a>0，f′(x)>0，所以f(x)在(−∞,0)，(m,+∞)递增，在(0,m)递减，再令ℎ(x)=(2x2−4x+4)e x(x<0)，ℎ′(x)=2x2e x>0，ℎ(x)递增，ℎ(x)<4，又ℎ(x)=[2(x−1)2+2]e x>0，所以0<ℎ(x)<4，有√a )<4−√a)2−e=−e<0，由f(0)=4−e>0，故f(x)在√a0)有且只有一个零点，由题意可得f(x)有三个零点，必有f(m)=(2m2−4m+4)e m−am2−e=(2m2−4m+4)e m−m3e m−e=(−m3+2m2−4m+4)e m−e<0，令u(x)=(−x3+2x2−4x+4)e x−e(x>0)，u′(x)=(−x3−x2)e x<0，u(x)为减函数，由u(1)=e−e=0，当f(m)<0，m>1时，a=me m>e，当x>2+√ea且e x>a时，a(x−2)2>e，x>lnm，f(x)>a(2x2−4x+4)−ax2−e=a(x−2)2−e>0，所以当a>0时，若f(x)有三个零点，则a的取值范围是(e,+∞)．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线的方程，代入(0,1−e)，解方程可得a的值；(2)求得f(x)的导数，判断x<0时，f(x)递增，且有一个负的零点；讨论x≥0时，运用函数零点存在定理和构造函数，求得导数和单调性，计算可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，以及函数零点个数问题解法，考查构造函数法、方程思想和化简运算能力、推理能力，是一道难题．。
湖南省双峰县第一中学高二数学下学期第一次月考试题理(2021年整理)
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理满分150分考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。
)1.设全集U R=，集合{|12}A x x=-≤和2{|lg(10)}B y y x==+,则()UA C B=（）A．{|1x x≤-或3}x>B．{|11}x x-≤<C．{|3}x x≤D．{|1x x<-或1}x≥2.复数121izi+=-（i是虚数单位）的实部与虚部之和为（）A．—1 B．—2 C． 1 D．23.已知流程图如图所示,该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ )A．2 B． 3 C．4 D．54.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ）A。
2 B。
1 C。
23D。
135．我市某学校组织学生前往南京研学旅行，途中4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起,则不同的站法种数是（）A。
964 B，1080 C．1296 D．1152第4题6.若()()122f x x f x dx =+⎰,则()1f x dx =⎰（ ）A. 1-B. 13- C. 13 D 。
17．已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，若ay x z +=的最大值为4，则a = （ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-8。
湖南省娄底市双峰县第一中学2019-2020学年高二5月考试数学试题(PDF版)
或 sinx＝－1，即 x＝π或 x＝7π.当 x∈（0，π）时，f′（x）<0；当 x∈（π，7π）时，f′（x）>0；
2
6
6
当 x∈（7π，3π]时，f′（x）<0，∴x0＝π，∴tan（2x0－π）＝ 3 .
62
3
16．64 解析：由已知可得球的半径 r=3，设球心到四棱锥底面的距离为 x，棱锥的高为 h＝3＋x， 3
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湖南省双峰县第一中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题(含答案)
双峰一中2019年高二下学期入学考试数学试卷（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.命题“2,0x R x x ∀∈-≤”的否定是( )A ．2,0x R x x ∃∈-≥B ．2,0x R x x ∃∈->C ．2,0x R x x ∀∈->D ． 2,0x R x x ∀∈-≥2.设，则( )A ．B ．C ．D ．3.若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4.在△ABC 中，若2cosA a ＝2cosB b ＝2cosC c ，则△ABC 是( )．A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5.在等比数列{a n }中，a 1+a n =82,a 3∙a n-2=81，且前n 项和S n =121，则此数列的项数n 等于( ) A.4 B.5 C.6 D.76.已知实数y x ,满足约束条件201 70x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则yx 的取值范围是（ ）A.[]1,3B.9[,3]5C.[]3,6D.9[,6]57函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）8.根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )． A ．①只有一解，②也只有一解B ．①有两解，②也有两解C ．①有两解，②只有一解D ．①只有一解，②有两解9..曲线f (x )= x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y= 4x －1，则P 0点的坐标为 （ ）A ．（1，0）B ．（2，8）C ．（1，0）和（－1，－4）D ．（2，8）和（－1，－4）10．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是( )A ．|k |≥1B ．|k |> 3C ．|k |≤ 3D ．|k |<111.已知两点，，若直线上存在点P ，使，则称该直线为“B 型直线”给出下列直线：其中为“B型直线”的是 A ． B ． C ． D ． 12.已知函数的定义域为，是的导函数，且满足，则不等式的解集为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为_______． 14.已知向量a=(x-l,2),b=(4,y),若a ⊥b,则93x y +的最小值为_______.15.P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c (c 为椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，椭圆的离心率为.________．16.已知函数f （x ）=（x-1）2（x+a ）在x=1处取得极大值，则实数a 的取值范围为_____．三、解答题：本题共70分.解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ， (1)求∠B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18.（12分）已知数列{}n a 满足)2*,(1221≥∈-+=-n N n a a nn n 且1a =5.(1)求32,a a 的值；(2)若数列{nn a 2λ+}为等差数列，请求出实数λ； (3)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S .19（12分）.已知函数().ln 2x a x x f +=(1)当2-=a 时，求函数()x f 的单调区间和极值； (2)若g(x)=f(x)+x2在[)+∞,1上是单调增函数，求实数a 的取值范围.20.（12分）如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，PA ⊥面ABCD ，且PA=AD=2，点M ，N 分别在PD ，PC 上，，PM=MD ，（Ⅰ）求证：PC ⊥面AMN ； （Ⅱ）求二面角B-AN-M 的余弦值。
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湖南省娄底市双峰县第一中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有（ ） A ．37种B ．1848种C ．3种D ．6种2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．2log ||y x =B ．21x y =-C ．ln y x =D ．21y x =+3．8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A ．38B ．83C ．38AD ．38C4．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为（ ） A ．66AB ．333AC ．3333A A ⋅ D ．4343A A ⋅5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( ) A ．18B ．14C ．25D ．126．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（ ） A ．81B ．60C ．6D ．117．天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.568．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7 B ．0.6C ．0.4D ．0.39．已知(1n +的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n 的值为（ ） A ．14B ．10C ．14或23D ．10或2310．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．11．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-12．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）14．在189x ⎛+ ⎝展开式中，常数项为展开式的第_____项.15．书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有_____种不同的插法（具体数字作答）16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围________.三、解答题17．一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.若这台机器在3个工作日内，不发生故障，可获利5万元；发生1次故障可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次故障要亏损1万元.这台机器在3个工作日内可能获利的均值是多少？18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（1）求B ；（2）若b =3a =，且2AD DC =，求BD 的长度.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =. （1）求证：1AA ⊥平面ABC ； （2）求二面角111A BC B --的余弦值.20．2021年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源.保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的活动，2021年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间[50,100]内）绘制成如图所示的频率分布直方图.若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.（1）求所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）记这3人中，ξ为测试成绩在[90,100]内的人数，求ξ的分布列和数学期望.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）过原点且不与坐标轴重合的直线l 与C 有两个交点,A B ，点A 在x 轴上的射影为M ，线段AM 的中点为N ，直线BN 交C 于点P ，证明：直线AB 的斜率与直线AP 的斜率乘积为定值.22．已知函数(1)()ln ,1a x f x x x R x -=-∈+ ． （1）若x=2是函数f （x ）的极值点，求曲线y=f （x ）在点（1,f （1））处的切线方程； （2）若函数f （x ）在(0,)+∞ 上为单调增函数，求a 的取值范围； （3）设m ，n 为正实数，且m>n ，求证：ln ln 2m n m nm n -+<- ．参考答案1．A 【分析】利用分类加法原理，分类进行求解. 【详解】取法分为三类：第一类：从语文书中取1本，有12种取法；第二类：从数学书中取1本，有14种取法；第三类：从英语书中取1本，有11种取法；所以共有12+14+11=37种取法. 故选：A. 【点睛】本题主要考查分类加法原理，合理分类是求解的关键，题目比较简单. 2．A 【分析】根据选项逐个验证，得出答案. 【详解】由于21xy =-，ln y x =是非奇非偶函数，21y x =+是偶函数但没有零点，只有2log ||y x =是偶函数又有零点.故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的性质，函数的奇偶性一般利用定义进行判定，属于基础题. 3．A 【分析】利用分步计数原理进行求解. 【详解】冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果. 故选：A. 【点睛】本题主要考查分步计数原理，题目较为简单，分清是分步计数原理和分类计数是求解关键.4．D 【分析】利用捆绑法进行求解. 【详解】甲、乙、丙3人站在一起有33A 种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有44A 种，共有3434A A ⋅种.故选：D. 【点睛】本题主要考查排列问题，相邻问题一般利用捆绑法求解，侧重考查数学建模的核心素养. 5．B 【分析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 6．A 【分析】至少有2件一等品包含三类：恰有2件一等品，恰有3件一等品，恰有4件一等品.分别求解再相加即可. 【详解】分三类：恰有2件一等品，有224560C C =种取法；恰有3件一等品，有314520C C =种取法；恰有4件一等品，有441C =种取法.所以抽法种数为6020181++=.故选：A. 【点睛】本题主要考查组合问题，合理分类是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 7．C 【分析】两地中恰有一个地方降雨分为两种情况：甲地降雨乙地不降雨，乙地降雨甲地不降雨，分别求解然后求和可得结果. 【详解】因为甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，所以这两地中恰有一个地方降雨的概率为0.2(10.3)(10.2)0.30.38⨯-+-⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查事件的独立性，把事件分解为独立事件的积、互斥事件的和，是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养. 8．B 【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题． 9．C 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求出第9项、第10项、第11项的二项式系数，再结合等差中项求解. 【详解】由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---，化简得2373220n n -+=，解得14n =或23n =【点睛】本题主要考查二项式定理，明确二项式系数为rn C 是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10．B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 11．D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题. 12．D 【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a 的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】绘制函数()12,021,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t =，由题意可知，方程230-+=t t a 在区间()1,2上有两个不同的实数根，令()()2312g t t t a t =-+<<，由题意可知：()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，据此可得：924<<a . 即a 的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．480 【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245480A A =（种）. 【考点定位】排列 14．13 【分析】先求出189x ⎛+ ⎝的通项公式，再令指数为零可得常数项为展开式的第13项.【详解】由题意181181831818219()3(9)rr r r r r r r T C x C x ---+==，由题意得31802r -=，解得12r =，所以在189x ⎛+ ⎝展开式中，常数项为展开式的第13项.故答案为：13. 【点睛】本题主要考查二项式定理展开式，通项公式是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15．504 【分析】利用定序相除法进行求解，先求9本书的所有排法，再求原来6本书的排法，相除可得结果. 【详解】原来的6本书，加上新买的3本书，随意排列共有99A 种排法，原来的6本书随意排列共有66A 种排法，而原来特有的顺序只有1种，所以共有9966=987=504A A ⨯⨯种方法.故答案为：504. 【点睛】本题主要考查排列问题，特定顺序要求的排列问题，一般是利用定序相除法来求解，侧重考查数学建模的核心素养. 16．16ln 326m e +≤≤【分析】利用函数的奇偶性和单调性,可得02ln 6mx x ≤-≤ 对[]1,3x ∈ 恒成立,通过参变分离即得ln 2x m x ≥且6ln 2xm x+≤对[]1,3x ∈ 恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到m 的取值范围. 【详解】 解:定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=()f x ∴ 为偶函数对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减,在(,0)-∞ 上单调递增由()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立 得()2ln 3(3)f mx x f --≥在[]1,3x ∈上恒成立32ln 33mx x ∴-≤--≤在[]1,3x ∈上恒成立,即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立此时ln 2x m x ≥且6ln 2xm x +≤对[]1,3x ∈ 恒成立 设ln ()x g x x =,则令1ln '()0xg x x-==,解得x e = ()g x ,'()g x 随x 的变化如下表∴ 当x e =时,max 1()g x e = 12m e∴≥设6ln ()x h x x +=,则当[]1,3x ∈时,25ln '()0xh x x --=< ∴ ()h x 在[1,3] 上单调递减,即当3x = 时,min 6ln 3()(3)3h x h +==则6ln 36m +≤.综上所述, 16ln 326m e +≤≤ 故答案为: 16ln 326m e +≤≤. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的方法. 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有()()12120f x f x x x -<-成立,说明()f x 在区间D 上为减函数; 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有()()12120f x f x x x ->-成立,说明()f x 在区间D 上为增函数.在解抽象不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围. 17．4.2515 【分析】先求所有可能获利的情况，然后再求解每种情况对应的概率，结合期望公式可求均值. 【详解】设这台机器3个工作日内可能获利X 万元， 则X 的可能取值为5、2.5、0、1-3(5)(10.1)0.729P X ==-=123( 2.5)0.1(10.1)0.243P X C ==⋅⋅-= 223(0)0.1(10.1)0.027P X C ==⋅⋅-=3(1)0.10.001P X =-==X 的分布列如下：所以，这台机器在3个工作日内可能获利的均值为()50.729 2.50.24300.027(1)0.001E X =⨯+⨯+⨯+-⨯3.6450.607500.0014.2515=++-=（万元）【点睛】本题主要考查随机变量的期望，求解随机变量的所有可能值及其相应概率是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．（1）3B π=（2）BD =【分析】（1）根据共线得到(2)cos cos a c B b C -=，利用正弦定理化简得到答案. （2）根据余弦定理得到9c =，cosC =，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）∵(2,)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，∴(2)cos cos a c B b C -=. 即(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+= 即sin (2cos 1)0A B -=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵(0,)B π∈，∴3B π=.（2）b =3a =，3B π=，在ABC 中，由余弦定理得：22229631cos 2232a cbc B ac c +-+-===⨯⨯，∴23540c c --=.则9c =或6c =-（舍去）.∴222cos2a b c C ab +-===2AD DC =∴13DC b ==在BDC 中，由余弦定理得：2222cos 972319BD CB DC CB DC C =+-⋅=+-⨯=，∴BD =【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力. 19．（1）见解析（2）1625【解析】 试题分析：本题考查线面垂直的判定和二面角的求法．（1）利用面面垂直的性质证明即可．（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解． 试题解析：(1)证明：因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.又平面ABC ⊥平面11AAC C ，平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC .（2）由（1）知1AA AC ⊥，1AA AB ⊥， 又3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥. 所以1,,AA AB AC 两两垂直．以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()()()110,3,0,0,0,4,0,3,4B A B ，()4,0,4C . 设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，则11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即34040y z x -=⎧⎨=⎩， 令3z =，则得()0,4,3n =．同理可得平面11B BC 的法向量为()3,4,0m =， 所以16cos ,25n m n m n m ⋅==. 由图形知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为1625． 点睛：用法向量法求二面角的大小时，两个法向量的夹角与二面角大小不一定相等，这里有两种情形，即法向量的夹角可能与二面角相等，也可能互为补角．解题时，在求得两个法向量的夹角的基础上，再根据所给的图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再得出二面角的大小． 20．（1）45；（2）分布列见解析，1.2. 【分析】（1）先根据分层抽样求出两组的人数，再根据古典概率求解所抽取的3人不属于同一组的概率；（2）先求ξ的所有取值，再求解分布列和数学期望. 【详解】认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16，根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人，4人.（1）从10人中任选3人，有310C 种不同情况，抽取的3人不属于同一组的情况有21126464C C C C +，故所抽取的3人不属于同一组的概率为2112646431045C C C C P C +==； （2）由条件可得ξ的取值可能有0，1，2，3，且363101(0)6C P C ξ===，21641301(1)2C C P C ξ===，23164103(2)10C C P C ξ===，343101(3)30C P C ξ===.ξ∴的分布列为ξ∴的数学期望为11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查古典概率和随机变量的分布列及期望，准确求解随机变量对应值的概率是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.21．（I ）22143x y +=（II ）定值1-【解析】试题分析：（1）（I ）由题意知， C 的焦点坐标为()10±，，利用定义求解,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（II ）设()()()112212,,,A x y P x y x x ≠，则()1111,,,2y B x y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由点,A P 在椭圆C 上得，两式相减得，得111133224BNy y k x x ==⋅， 1212BP y yk x x +=+.因为,,B N P 三点共线，所以BN BP k k =，即可证得AB AP k K ⋅为定值. 试题解析：（I ）由题意知， C 的焦点坐标为()10±，，532422a ==+=，b =所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （II ）设()()()112212,,,A x y P x y x x ≠，则()1111,,,2y B x y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由点,A P 在椭圆C 上得， 12122222143{143x y x y +=+=，两式相减得， 1222122234y y x x -=--.111133224BNy y k x x ==⋅， 1212BP y y k x x +=+.因为,,B N P 三点共线，所以BN BP k k =，即11211243y y y x x x +=⋅+. 11212121212112121212124413x 3AB AP y y y y y y y y y k K x x x x x x x x --+-∴⋅=⋅=⋅⋅=⋅=---+-，为定值. 22．(1)810x y +-= ；(2)2a ≤ ；（3）证明见解析 【解析】试题分析：（1）导函数为()()()222211x a x f x x x ++'-=+，由(2)0f '=，解得并检验94a =，再求得1(1)8k f '==，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程．（2）由题意可()()()2222101x a x f x x x +-+=≥+'在()0,+∞上恒成立，所以2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数得122a x x -≤+，所以()min122a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，x ∈(0,)+∞．（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形为2(1)ln 01mm n m n n-->+，设2(1)()ln 1x h x x x -=-+．求导可证h(x)>0.试题解析：（1）()()()222211x a x f x x x ++'-=+，由题意知(2)0f '=，代入得94a =，经检验，符合题意． 从而切线斜率1(1)8k f '==，切点为（1,0），所以切线方程为810x y +-= （2）()()()222211x a x f x x x ++'-=+，因为f （x ）在(0,)+∞上为单调增函数，所以()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即2(22)10x a x +-+≥在(0,)+∞上恒成立．当(0,)+∞时，由2(22)10x a x +-+≥，得122a x x-≤+． 设1(),g x x x =+x ∈(0,)+∞．，1()2g x x x=+≥． 所以当且仅当1x x=，即x=1时，g （x ）有最小值2．所以222a -≤，所以2a ≤．所以a 的取值范围是(,2]-∞．（3）要证ln ln 2m n m n m n -+<-，只需证112ln m mn n m n -+<，只需证2(1)ln 01m m n m n n-->+，设2(1)()ln 1x h x x x -=-+．由（2）知()h x 在(1,)+∞上是单调增函数，又1mn>．所以()(1)0mh h n>=， 即2(1)ln 01m m n m n n-->+成立，所以ln ln 2m n m n m n -+<-【点睛】对于两个变量的不等式、函数的证明，我们有一种常见方法是通过换元的形式把两个变量化成一个变量，要注意新的变元的范围，如本题令m t n=．构造新的函数2(1)()ln 1x h x x x -=-+，再进行证明．。