【强烈推荐】2010届高三数学专题复习教案--数列

阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 第 1 页 共 9 页 2010届高三数学专题复习――数列 一、本章知识结构：

二、重点知识回顾 １．数列的概念及表示方法 （１）定义：按照一定顺序排列着的一列数． （２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法． （３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．

（４）na与nS的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥． 2．等差数列和等比数列的比较 （１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．

（２）递推公式：110nnnnaadaaqqnN，·，，． 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 第 2 页 共 9 页 （３）通项公式：111(1)nnnaandaaqnN，，． （４）性质 等差数列的主要性质： ①单调性：0d≥时为递增数列，0d≤时为递减数列，0d时为常数列．

②若mnpq，则()mnpqaaaamnpqN，，，．特别地，当2mnp时，

有2mnpaaa． ③()()nmaanmdmnN，． ④232kkkkkSSSSS，，，…成等差数列． 等比数列的主要性质：

①单调性：当1001aq，或101aq时，为递增数列；当101aq，，，或1001aq时，为递减数

列；当0q时，为摆动数列；当1q时，为常数列． ②若mnpq，则()mnpqaaaamnpqN··，，，．特别地，若2mnp，则2mnpaaa·

．

③(0)nmnmaqmnqaN，，． ④232kkkkkSSSSS，，，„，当1q时为等比数列；当1q时，若k为偶数，不是等比数列．若k为奇数，是公比为1的等比数列． 三、考点剖析 考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. 已知数列.12}{2nnSnann项和的前

（1）求数列}{na的通项公式； （2）求数列.|}{|nnTna项和的前 解：（1）当111112,1211San时；、 当.213])1()1(12[)12(,2221nnnnnSSannnn时， .213111的形式也符合na.213}{,naann的通项公式为数列所以

、

（2）令.6,,0213*nnnan解得又N 当2212112||||||,6nnSaaaaaaTnnnnn时； 当||||||||||,67621nnaaaaaTn时

naaaaaa87621 .7212)12()6612(222226nnnnSSn 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 第 3 页 共 9 页 综上，.6,7212,6,1222nnnnnnTn 点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想．

例２、已知等差数列}{na的前n项和为nS，且35a，15225S. 数列}{nb是等比数列，

32325,128baabb（其中1,2,3,n„）.

（I）求数列}{na和{}nb的通项公式；（II）记,{}nnnnncabcnT求数列前项和. 解：（I）公差为d，

则,22571515,5211dada 12,2,11nadan故(1,2,3,n)„.

设等比数列}{nb的公比为q， ,128,82333qbqbb则 .2,83qb nnnqbb233(1,2,3,n)„.

（II）,2)12(nnnc 2323252(21)2,nnTn .2)12(2)32(2523221432nnnnnT

作差：115432)12(22222nnnnT

3112(12)2(21)212nnn





31122122(21)(21)222822nnnnnnn162(23)nn

1(23)26nnTn(1,2,3,n)„

.

点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。 考点二：求数列的通项与求和 例3.将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为

解：前n－1 行共有正整数1＋2＋„＋（n－1）个，即22nn个，因此第n 行第3 个数是全

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 „„„„„„ 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 第 4 页 共 9 页 体正整数中第22nn＋3个，即为262nn． 点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例4.图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含()fn个“福娃迎迎”，则(5)f ；()(1)fnfn＿＿＿＿

解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数：1+3+5+3+1 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1 第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41， 所以，f（５）＝４１ f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６ ()(1)fnfn4(1)n 点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。 考点三：数列与不等式的联系 例5.已知等比数列na的首项为311a，公比q满足10qq且。又已知1a，35a，59a成等差数列。 （1）求数列na的通项

（2）令nanb13log，求证：对于任意nN，都有122311111...12nnbbbbbb （1）解：∵315259aaa ∴24111109aqaaq ∴4291010qq ∵10qq且 ∴13q ∴113nnnaaq

（2）证明：∵133loglog3nannbn ， 11111(1)1nnbbnnnn 阳光家教网 www.ygjj.com 高三数学学习资料 第 5 页 共 9 页 ∴12231111111111...1122311nnbbbbbbnnn



122311111...12nnbbbbbb 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。 例６、 在数列||na，||nb中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，，成等差数列，11nnnbab，，成等比数列（n*N） （Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测||na，||nb的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：1122111512nnababab…． 解：（Ⅰ）由条件得21112nnnnnnbaaabb，由此可得 2233446912162025ababab，，，，，．

猜测2(1)(1)nnannbn，． 用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即 2(1)(1)kkakkbk，，

那么当n=k+1时， 22221122(1)(1)(1)(2)(2)kkkkkkaabakkkkkbkb

，

．

所以当n=k+1时，结论也成立． 由①②，可知2(1)(1)nnannbn，对一切正整数都成立．

（Ⅱ）11115612ab． n≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)nnabnnnn． 故112211111111622334(1)nnabababnn…… 111111116223341nn

…

111111562216412n

综上，原不等式成立． 点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力． 例７. 设数列na满足3*010,1,,nnaacaccNc其中为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]na对任意*nN成立的充分必要条件是[0,1]c；