(整理)微积分第六部分 无穷级数

第六部分 无穷级数[填空题] 1．数项级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 的和为 21。

2．数项级数∑∞=-0)!2()1(n nn 的和为 1cos 。

注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。

3．设1))1((lim ,1,01=->>∞→n npn n a e n p a 且，若级数∑∞=1n na收敛，则p 的取值范围是),2(+∞。

分析：因为在∞→n 时，)1(1-ne 与n1是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞→n n pn a e n 可知，当∞→n 时，n a 与11-p n是等价无穷小量。

由因为级数∑∞=1n n a 收敛，故∑∞=-111n p n收敛，因此2>p 。

4．幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。

分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。

由因为在0=x 时，级数∑∑∞=∞==-002)1(n n n nn a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。

5．幂级数∑∞=-+12)3(2n nnn x n 的收敛半径为 3。

分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。

因为22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n nnn n n n n =-+-+++++∞→，所以，根据比值判敛法，当3<x 时，原级数绝对收敛，当3>x 时，原级数发散。

由收敛半径的定义，应填3。

6．幂级数n n n x n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+221ln 1的收敛域为 )1,1[-。

分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数nn x n n ∑∞=2ln 1收敛半径为1，收敛域为)1,1[-；幂级数nn nx ∑∞=221收敛域为)2,2(-。

因此原级数在)1,1[-收敛，在），）21[1,2( --一定发散。

有根据阿贝尔定理，原级数在),2[]2,(+∞--∞ 也一定发散。

故应填)1,1[-。

7．已知),(,)(0+∞-∞∈=∑∞=x x ax f n n n，且对任意x ，)()(x f x F ='，则)(x F 在原点的幂级数展开式为 ),(,)0(11+∞-∞∈+∑∞=-x x na F n nn 。

分析：根据幂级数的逐项积分性质，及),(,)(0+∞-∞∈=∑∞=x x a x f n nn ，得 ∑⎰∑⎰∞=+∞=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-010001)()0()(n n n xn n n xx n a dt t a dt t f F x F ，故应填),(,)0(11+∞-∞∈+∑∞=-x x n a F n nn 。

8．函数xxe x f =)(在1=x 处的幂级数展开式为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∑∞=1)1(!1)!1(11n nx n n e 。

分析：已知∑∞==!1n nxx n e )),((+∞-∞∈x ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+-=∑∑∞=∞=--0011)1(!1)1(!1)1(])1[(n n n nx x xx n x n x e eex e xe⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑∞=1)1(!1)!1(11n nx n n e 。

根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。

9．已知]1,0[,1)(∈+=x x x f ，)(x S 是)(x f 的周期为1的三角级数的和函数，则)21(),0(S S 的值分别为 23，23。

10．设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=,121),1(2,210,)(x x x x x f),(,cos 2)(1+∞-∞∈+=∑∞=x x n a a x S n n π，其中 ),2,1,0(cos )(210==⎰n xdx n x f a n π，则=-)25(S 43。

[选择题]11．设常数0>α，正项级数∑∞=1n n a 收敛，则级数∑∞=-+-1212)1(n n nn a α[ ](A)发散。

(B)条件收敛。

(C)绝对收敛。

(D)敛散性与α的值有关。

答 C 分析：因为∑∑-==-≤121112n k kn k k aa，且正项级数∑∞=1n na收敛，所以∑∞=-112n n a收敛。

又因为⎪⎭⎫⎝⎛++≤+---αα212212121)1(n a n a n n n， 所以原级数绝对收敛。

12．设),3,2,1()11ln(cos =+=n nn a n π，则级数[ ](A)∑∞=1n na与∑∞=12n na都收敛。

(B)∑∞=1n na与∑∞=12n na都发散。

(C) ∑∞=1n na收敛，∑∞=12n na发散。

(D)∑∞=1n na发散，∑∞=12n na收敛。

答 C分析：因为)11ln()1()11ln(cos nnn a nn +-=+=π，所以级数∑∞=1n n a 是满足莱布尼兹条件的交错级数，因此∑∞=1n na收敛。

因为 )11(ln 22na n +=在∞→n 时与n 1是等价无穷小量，且调和级数∑∞=11n n 发散，所以∑∞=12n n a 发散。

13．设),3,2,1(10 =<<n na n ，则下列级数中肯定收敛的是[ ] (A)∑∞=1n n a 。

(B) ∑∞=-1)1(n n na 。

(C) ∑∞=2ln n n n a 。

(D) ∑∞=22ln n n n a 。

答 D分析：因为n a n 10<<，所以22ln ln 0n n n a n <<。

又因为0ln lim 2=∞→n n n n n ，且∑∞=11n nn 收敛，所以∑∞=22ln n n n a 收敛。

另外，取na n 21=，可以说明不能选(A)及(C)；取212)12(1-=-n a n ，n a n 412= ，因为 ()))12(41(41211122--=-∑∑∞=∞=-n n na a n n n n 发散，所以∑∞=-1)1(n n na 发散。

14．下列命题中正确的是[ ] (A)若),3,2,1( =<n v u n n ，则∑∑∞=∞=≤11n n n nv u。

(B) 若),3,2,1( =<n v u n n ，且∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛。

(C)若1lim =∞→nnn v u ，且∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛。

(D) 若),3,2,1( =<<n v u w n n n ，且∑∞=1n nw与∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛。

答 D分析：因为n n n v u w <<，所以n n n n w v w u -<-<0。

又因为∑∞=1n nw与∑∞=1n nv收敛，所以∑∞=-1)(n n nw v收敛，因而∑∞=-1)(n n n w u 收敛。

故∑∞=1n n u 收敛。

因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。

例如取级数∑∞=-11n n 与∑∞=121n n 可以说明(B)不对，取级数∑∞=-1)1(n nn 与∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-11)1(n n n n 就可以说明(C)不对。

15．下列命题中正确的是[ ] (A) 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛，则21)(n n nv u+∑∞=收敛。

(B) 若∑∞=1n nn v u收敛，则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛。

(C) 若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥。

(D) 若),3,2,1( =<n v u n n ，且∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv发散。

答 A分析：因为)(22)(22222nn n n n n n n v u v v u u v u +≤++=+，所以当∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛时，21)(n n n v u +∑∞=收敛。

取nv n u n n 1,1==可以排除选项(B)；取n u n 21=排除选项(C)；取级数n u n 1-=与21nv n =可以说明(D)不对。

16．若级数∑∞=1n nu，∑∞=1n nv都发散，则[ ](A)∑∞=+1)(n n nv u发散。

(B) n n n v u ∑∞=1发散。

(C) ∑∞=+1)(n n nv u发散。

(D) ∑∞=+122)(n n n v u 发散。

答 C分析：取n v n u n n 1,1=-=可以排除选项(A),(B)及(D)。

因为级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，所以级数∑∞=1n nu，∑∞=1n nv都发散，因而∑∞=+1)(n n nv u发散。

故选(C)。

17．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则[ ](A) 极限n n n u u 1lim+∞→小于1。

(B) 极限nn n u u1lim +∞→小于等于1。

(C) 若极限n n n u u 1lim +∞→存在，其值小于1。

(D) 若极限nn n u u1lim +∞→存在，其值小于等于1。

答 D分析：根据比值判敛法，若极限nn n u u 1lim +∞→存在，则当其值大于1时，级数∑∞=1n n u 发散。

因此选项(D)正确。

取21n u n =排除选项(C)。

因为正项级数∑∞=1n n u 收敛并不能保证极限nn n u u 1lim+∞→存在，所以选项(A)，(B)不对。

18．下列命题中正确的是[ ] (A) 若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径为0≠R ，则R a a nn n 1lim1=+∞→。

(B) 若极限nn n a a 1lim +∞→不存在，则幂级数nn n x a ∑∞=0没有收敛半径。

(C) 若幂级数nn nx a∑∞=0的收敛域为]1,1[-，则幂级数n n n x na ∑∞=1的收敛域为]1,1[-。

(D) 若幂级数nn n x a ∑∞=0的收敛域为]1,1[-，则幂级数nn n x n a ∑∞=+01的收敛域为]1,1[-。

答 D分析：极限ρ=+∞→nn n a a 1lim只是收敛半径为ρ1=R 的一个充分条件，因此选项(A)不对。

幂级数nn nx a∑∞=0没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。

取级数∑∞=1n nnn x 可以排除选项(C)。

选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。

19．若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a [ ](A)条件收敛。