第6章数值微积分与常微分方程求解研究报告
常微分方程数值解实验报告
常微分方程数值解实验报告学院：数学与信息科学专业：信息与计算科学姓名：郑思义学号：201216524课程：常微分方程数值解实验一：常微分方程的数值解法1、分别用Euler 法、改进的Euler 法（预报校正格式）和S —K 法求解初值问题。
（h=0.1）并与真解作比较。
⎩⎨⎧=++-=10(1y'）y x y 1.1实验代码：%欧拉法function [x,y]=naeuler(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长 x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;for n=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end%改进的欧拉法function [x,m,y]=naeuler2(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长。
%返回值x 为x 取值，m 为预报解，y 为校正解 x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;m=zeros(length(x)-1,1); for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n)); y(n+1)=y(n)+h*k1; m(n)=y(n+1);k2=feval(dyfun,x(n+1),y(n+1)); y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2; end%四阶S —K 法function [x,y]=rk(dyfun,xspan,y0,h)%dyfun 是常微分方程，xspan 是x 的取值范围，y0是初值，h 是步长。
x=xspan(1):h:xspan(2); y(1)=y0;for n=1:length(x)-1 k1=feval(dyfun,x(n),y(n));k2=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+(h*k1)/2); k3=feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+(h*k2)/2); k4=feval(dyfun,x(n)+h,y(n)+h*k3);y(n+1)=y(n)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);end%主程序x=[0:0.1:1];y=exp(-x)+x;dyfun=inline('-y+x+1');[x1,y1]=naeuler(dyfun,[0,1],1,0.1);[x2,m,y2]=naeuler2(dyfun,[0,1],1,0.1);[x3,y3]=rk(dyfun,[0,1],1,0.1);plot(x,y,'r',x1,y1,'+',x2,y2,'*',x3,y3,'o');xlabel('x');ylabel('y');legend('y为真解','y1为欧拉解','y2为改进欧拉解','y3为S—K解','Location','NorthWest');1.2实验结果：x 真解y 欧拉解y1 预报值m 校正值y2 S—K解y30.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000.1 1.0048 1.0000 1.0000 1.0050 1.00480.2 1.0187 1.0100 1.0145 1.0190 1.01870.3 1.0408 1.0290 1.0371 1.0412 1.04080.4 1.0703 1.0561 1.0671 1.0708 1.07030.5 1.1065 1.0905 1.1037 1.1071 1.10650.6 1.1488 1.1314 1.1464 1.1494 1.14880.7 1.1966 1.1783 1.1945 1.1972 1.19660.8 1.2493 1.2305 1.2475 1.2500 1.24930.9 1.3066 1.2874 1.3050 1.3072 1.30661.0 1.3679 1.3487 1.3665 1.3685 1.36792、选取一种理论上收敛但是不稳定的算法对问题1进行计算，并与真解作比较。
实验报告——常微分方程的数值解法
实验报告实验项目名称常微分方程的数值解法实验室数学实验室所属课程名称微分方程数值解实验类型上机实验实验日期2013年3月11日班级10信息与计算科学学号2010119421姓名叶达伟成绩实验概述：【实验目的及要求】运用不同的数值解法来求解具体问题，并通过具体实例来分析比较各种常微分方程的数值解法的精度，为以后求解一般的常微分方程起到借鉴意义。
【实验原理】各种常微分方程的数值解法的原理，包括Euler法，改进Euler法，梯形法，Runge-Kutta方法，线性多步方法等。
【实验环境】（使用的软硬件）Matlab软件实验内容：【实验方案设计】我们分别运用Euler法，改进Euler法，RK方法和Adams隐式方法对同一问题进行求解，将数值解和解析解画在同一图像中，比较数值解的精度大小，得出结论。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）我们首先来回顾一下原题：对于给定初值问题：1. 求出其解析解并用Matlab画出其图形；2. 采用Euler法取步长为0.5和0.25数值求解（2.16）,并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;3. 采用改进Euler法求解（2.16），步长取为0.5；4. 采用四级Runge-Kutta法求解（2.16），步长取为0.5；5. 采用Adams四阶隐格式计算（2.16），初值可由四级Runge-Kutta格式确定。
下面，我们分五个步骤来完成这个问题：步骤一，求出（2.16）式的解析解并用Matlab 画出其图形； ，用Matlab 做出函数在上的图像，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015y=exp(1/3 t 3-1.2t)exact solution图一 初值问题的解析解的图像步骤二，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解(2.16),并将结果画在同一幅图中，比较两者精度;我们采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解，并且将数值解与解析解在一个图中呈现，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Numerical solution of Euler and exact solutionexact solution h=0.5h=0.25图二 Euler 方法的计算结果与解析解的比较从图像中不难看出，采用Euler 法取步长为0.5和0.25数值求解的误差不尽相同，也就是两种方法的计算精度不同，不妨将两者的绝对误差作图，可以使两种方法的精度更加直观化，见下图：00.51 1.52 2.53 3.54 4.550.511.522.533.5x 1015Absolute error of numerical solution and exact solutionh=0.5h=0.25图三 不同步长的Euler 法的计算结果与解析解的绝对误差的比较 从图像中我们不难看出，步长为0.25的Euler 法比步长为0.5的Euler 法的精度更高。
常微分方程数值解实验报告
常微分方程数值解实验报告实验报告：常微分方程数值解1.引言常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学领域中一个重要的研究对象，涉及到许多自然科学和工程技术领域的问题。
解常微分方程的数值方法是一种求解差分方程的方法，通过计算机找到方程的近似解，对于模拟和预测连续过程非常有用。
本实验旨在通过数值解法，验证和应用常微分方程的解，并比较不同数值方法的精度和效率。
2.实验目的2.1理解常微分方程的基本概念和数值解法；2.2掌握将常微分方程转化为数值求解问题的基本方法；2.3运用数值解法求解常微分方程；2.4比较不同数值解法的精度和效率。
3.实验内容3.1 欧拉方法（Euler Method）给定一个一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，通过将其离散为差分形式，欧拉方法可以通过以下递推公式来求解：y_{n+1}=y_n+h*f(x_n,y_n)其中，h为步长，x_n和y_n为当前的x和y值。
3.2 改进的欧拉方法（Improved Euler Method）改进的欧拉方法使用欧拉方法的斜率的平均值来估计每一步中的斜率。
具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h,y_n+h*k1)y_{n+1}=y_n+h*((k1+k2)/2)3.3 二阶龙格-库塔法（Second-order Runge-Kutta Method）二阶龙格-库塔法通过计算每个步骤中的两个斜率来估计每个步长中的斜率。
具体公式如下：k1=f(x_n,y_n)k2=f(x_n+h/2,y_n+(h/2)*k1)y_{n+1}=y_n+h*k24.实验步骤4.1选取常微分方程，并将其转化为数值求解问题的形式；4.2根据给定的初始条件和步长，使用欧拉方法、改进的欧拉方法和二阶龙格-库塔法求解该方程；4.3比较三种方法的数值解与理论解的差异，并分析其精度和效率；4.4尝试不同的步长，观察相应的数值解的变化。
常微分方程数值解实验
多步法，Gear’s反向
数值积分，精度中等
若ode45失效时，
可尝试使用
ode23s
刚性
一步法，2阶Rosebrock算法，
低精度。
当精度较低时，
计算时间比ode15s短
odefx为显式常微分方程 中的 ，t为求解区间，要获得问题在其他指定点 上的解，则令t=[t0,t1,t2,…]（要求 单调），y0初始条件。
MATLAB 中有几个专门用于求解常微分方程的函数,它们的设计思想基于Runge-Kutta方法,基本设计思想为：从改进的欧拉方法比欧拉方法精度高的缘由着手,如果在区间[ x1, xi+1]多取几个点的斜率值,然后求取平均值,则可以构造出精度更高的计算方法。 这些函数主要包括：ode45、ode23、ode15s、ode113、ode23s、ode23t、ode23tb. 其中最常用的是函数ode45,该函数采用变步长四阶五阶Runge-Kutta法求数值解,并采用自适应变步长的求解方法。ode23采用二阶三阶Runge-Kutta法求数值解,与ode45类似,只是精度低一些。ode15s用来求刚性方程组。
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常微分方程实验报告
常微分方程实验报告《常微分方程》综合性实验实验报告实验班级05应数（3）学生姓名江晓荣学生学号200530770314指导老师方平华南农业大学理学院应用数学系实验微分方程在数学建模中的应用及数值解的求法一、实验目的1．了解常微分方程的基本概念。
2．常微分方程的解了解析解和数值解。
3．学习、掌握MA TLAB 软件有关求解常微分方程的解析解和数值解的有关命令。
4. 掌握微分方程在数学建模中的应用。
二、实验内容1．用MA TLAB 函数dsolve 符号求解常微分方程的通解和特解。
2．用MA TLAB 软件数值求解常微分方程。
三、实验准备1．用MA TLAB 求常微分方程的解析解的命令用MA TLAB 函数dsolve 求常微分方程()(,,,,,,)0n F x y y y y y ''''''= （7.1）的通解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'var')其中输入的量eqn 是改用符号方程表示的常微分方程(,,,2,)0F x y Dy D y Dny = ，导数用D 表示，2阶导数用D2表示，以此类推。
var 表示自变量，默认的自变量为t 。
输出量S 是常微分方程的解析通解。
如果给定常微分方程（7.1）的初始条件()00010(),(),,()n n y x a y x a y x a '=== ，则求方程（7.1）的特解的主要调用格式如下：S=dsolve('eqn', 'condition1 ',…'conditonn ','var')其中输入量eqn ，var 的含义如上，condition1,…conditonn 是初始条件。
输出量S 是常微分方程的特解。
2．常微分方程的数值解法除常系数线性微分方程可用特征根法求解、少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无解析解，应用中主要依靠数值解法。
常微分方程的求解与定性分析实验报告
常微分方程的求解与定性分析实验报告Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998常微分方程的求解与定性分析实验报告一、实验综述1、实验目的及要求●归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；●掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；●熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；●通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；●通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
2、实验仪器、设备或软件电脑、二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析）实验内容：根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。
y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；m=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')ezplot(m,[0 1])m =3*exp(x) - 2*x – 21．求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧====-+]100[0)0(;0)0(01.03t uu u u u 的数值解，要求编写求解程序。
function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(1)+*y(1)^3;[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 10],[0 0]);plot(T,Y(:,1),'-')3．Rossler 微分方程组：当固定参数b =2，c =4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如 a ∈(0，)而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状function r=rossler(t,x)global a;global b;global c;r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];global a;global b;global c;b=2;c=4;t0=[0,200];for a=0::[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');title('x(红色),y(绿色),z(蓝色)随t 的变化情况');xlabel('t');subplot(1,2,2);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pauseend结果显示：a=0:a=:a=:a=:a=:a=:结果分析：从图像可以看出，当a=0时，微分方程的解（x,y,z）收敛与（0，，）；当a=时，（x,y,z）仍收敛与（0，，），只是收敛速度减慢；当a=时，（x,y,z）已发散，周期性变化；随着a的增大，(x,y,z)接近其极限环的速度加快，空间曲线成混沌状。
微分方程数值解实验报告
微分方程数值解实验报告实验目的：掌握微分方程数值解的基本方法，能够利用计算机编程求解微分方程。
实验原理：微分方程是自然科学与工程技术中常见的数学模型，它描述了变量之间的关系及其随时间、空间的变化规律。
解微分方程是研究和应用微分方程的基础，但有很多微分方程无法找到解析解，只能通过数值方法进行求解。
本实验采用欧拉方法和改进的欧拉方法求解微分方程的初值问题：$$\begin{cases}\frac{dy}{dt}=f(t,y)\\y(t_0)=y_0\end{cases}$$其中，$f(t,y)$是给定的函数，$y(t_0)=y_0$是已知的初值条件。
欧拉方法是最基本的数值解法，其步骤如下：1.给定$t_0$和$y_0$2.计算$t_{i+1}=t_i+h$，其中$h$是步长3. 计算$y_{i+1}=y_i+hf(t_i,y_i)$4.重复步骤2、3直到达到终止条件改进的欧拉方法是对欧拉方法进行改进，通过利用函数$y(t)$在$t+\frac{1}{2}h$处的斜率来更准确地估计$y_{i+1}$，其步骤如下：1.给定$t_0$和$y_0$2.计算$t_{i+1}=t_i+h$，其中$h$是步长3. 计算$y_*=y_i+\frac{1}{2}hf(t_i,y_i)$4. 计算$y_{i+1}=y_i+hf(t_i+\frac{1}{2}h,y_*)$5.重复步骤2、3、4直到达到终止条件实验步骤：1.编写程序实现欧拉方法和改进的欧拉方法2.给定微分方程和初值条件3.设置步长和终止条件4.利用欧拉方法和改进的欧拉方法求解微分方程5.比较不同步长下的数值解与解析解的误差6.绘制误差-步长曲线，分析数值解的精度和收敛性实验结果：以一阶常微分方程$y'=3ty+t$为例，给定初值$y(0)=1$，取步长$h=0.1$进行数值求解。
利用欧拉方法求解微分方程得到的数值解如下：\begin{array}{cccc}t & y_{\text{exact}} & y_{\text{Euler}} & \text{误差} \\ \hline0.0&1.000&1.000&0.000\\0.1&1.035&1.030&0.005\\0.2&1.104&1.108&0.004\\0.3&1.212&1.217&0.005\\0.4&1.360&1.364&0.004\\0.5&1.554&1.559&0.005\\0.6&1.805&1.810&0.005\\0.7&2.131&2.136&0.005\\0.8&2.554&2.560&0.006\\0.9&3.102&3.107&0.006\\1.0&3.807&3.812&0.005\\\end{array}利用改进的欧拉方法求解微分方程得到的数值解如下：\begin{array}{cccc}t & y_{\text{exact}} & y_{\text{Improved Euler}} & \text{误差} \\\hline0.0&1.000&1.000&0.000\\0.1&1.035&1.035&0.000\\0.2&1.104&1.103&0.001\\0.3&1.212&1.211&0.001\\0.4&1.360&1.358&0.002\\0.5&1.554&1.552&0.002\\0.6&1.805&1.802&0.003\\0.7&2.131&2.126&0.005\\0.8&2.554&2.545&0.009\\0.9&3.102&3.086&0.015\\1.0&3.807&3.774&0.032\\\end{array}误差-步长曲线如下：实验结论：通过对比欧拉方法和改进的欧拉方法的数值解与解析解的误差，可以发现改进的欧拉方法具有更高的精度和收敛性。
第6章数值微积分与常微分方程求解研究报告
是两个等长的向量：X = (x1，x2，…，xn)，Y = (y1， y2，…，yn)，并且x1<x2<…<xn，积分区间是[x1，xn]。
6.2.3 多重定积分的数值求解实现
定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而重
6.2.2 定积分的数值求解实现 在MATLAB中可以使用quad或quadl来进行数值积分。 1．自适应辛普生法 MATLAB提供了基于自适应Simpson法的quad函数和自适应Lobatto法的
quadl函数来求定积分。函数的调用格式为
[I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace)
6.2 数 值 积 分
6.2.1 数值积分的原理
求解 定积 分 的数 值 方法 多种 多 样， 如 矩形 （ Rectangular） 法、 梯 形（Trape zia） 法 、辛 普生
(Simpson)• 法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间 [a，b]分成 n 个子区间
[xi，xi + 1]，i = 1，2，…，n，其中 x1 = a，xn + 1 = b。这样求定积分问题就分解为下面的求和问题 ：
常微分方程初值问题的数值解法，首先要解决是建立求数值 解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi +1时 只用到xi +1、xi和yi，即前一步的值，此类方法称为单步 法，其代表是龙格-库塔（Runge-Kutta）法。另一类是计 算yi+1时，需要前面k步的值，此类方法称为多步法，其 代表是亚当姆斯（Adams）法。这些方法都是基于把一个 连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步 进式的方法。
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f (x) f (x h) f (x) f (x) f (x) f (x h) f (x) f (x h / 2) f (x h / 2) 称f(x)、f(x)及 δf(x)分别为函数在 x 点处以 h（h >0）为步长的向前差分、向后差分和中心差分。 当步长 h 充分小时，有
6.2.2 定积分的数值求解实现 在MATLAB中可以使用quad或quadl来进行数值积分。 1．自适应辛普生法 MATLAB提供了基于自适应Simpson法的quad函数和自适应Lobatto法的
quadl函数来求定积分。函数的调用格式为
[I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace)
[I,n]=quadl(@fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控
制积分精度，默认时取tol = 10-6。trace控制是否展现积分过程，若 取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace = 0。返回参数I 即定积分值，n为被积函数的调用次数。 【例6.3】求S = 。 （1）建立被积函数文件fe.m。
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
DM=diff(M)
%计算V的一阶差分
DM=
6 −19 6 6 1
−19 1 6 6 6
6 6 6 1 −19
1 6 6 −19 6
可以看出，diff函数对矩阵的每一列都进行差分运算，因而结果矩阵的列 数是不变的，只有行数减1。矩阵DM第3列值相同，表明原矩阵第3列 是等间距的。
b
n
S f (x)dx
xi1 f (x)dx
a
i 1 xi
而在每一 个小的 子区间 上定积 分的值 可以近 似求得 。例如 ，矩形 法是用 矩形面 积代替曲 边梯形 的
面积，如图 6.2（a）所示；梯形法是用斜边梯形面积代替曲边梯形的面积，如图 6.2（b）所示；
而辛普生 法是用 抛物线 代替曲 边。
gx=cos(x); %作图
plot(x,dpx,x,dx,'o',x,gx,'+');
对于求矩阵的差分，即为求各列或各行向量的差分，从向量的差分值可 以判断列或行向量的单调性、是否等间距以及是否有重复的元素。
【例6.2】生成一个5阶魔方矩阵，按列进行差分运算。
M=magic(5)
M=
17 24 1 8 15
I=
0.927037338650659
n=
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2．高斯-克朗罗德法 MATLAB提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求振荡函数
的定积分。该函数的调用格式为
[I,err] = quadgk(@fname,a,b) 其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数相同。
【例6.1】设f(x) = sinx，用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一 个坐标系中做出f '(x)的图像。
为确定计算数值导数的点，假设在[0，20]区间内以π为步长求数值导数。 下面用3种方法求f(x)在这些点的导数。首先用一个5次多项式p(x)拟合 函数f(x)，并对p(x)求一般意义下的导数dp(x)，求出dp(x)在假设点的 值；第2种方法用diff函数直接求f(x)在假设点的数值导数；第3种方法 先求出导函数f ‘(x) = cosx，然后直接求f ’(x)在假设点的导数。
x=0:pi/24:pi; %用5次多项式p拟合f(x),并对拟合多项式p求导数dp在假设点的函数值
p=polyfit(x,sin(x),5);
dp=polyder(p);
dpx=polyval(dp,x); %直接对sin(x)求数值导数
dx=diff(sin([x,pi+pi/24]))/(pi/24); %求函数f的导函数g在假设点的导数
function f=fe(x)
f=x.*sin(x)./(1+abs(cos(x))); （2）调用数值积分函数quad求定积分。
quad(@fe,0,pi)
一般情况下，quadl函数调用的步数明显小于quad函数，而且精度更高，
从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 1
【例值6，.4并】在分相别同用的qu积ad分函精数度和下qu，ad比l函较数函求数椭的圆调积用分次数 0。1
1
x
4
dx
的近似
调用函数quad求定积分：
format long;
fx=inline('1./sqrt(1+X.^4)');
%定义一个语句函数
[I,n]=quad(fx,0,1,1e-10)
%注意函数名不加@号
I=
0.927037338654481
n=
113
调用函数quadl求定积分：
[I,n]=quadl(fx,0,1,1e-10)
f '(x) f (x) h
f '(x) f (x) h
f '(x) f (x) h
和差分一样，称f(x)/h、f(x)/h 及 δf(x)/h 分别为函数在 x 点处以 h（h>0）为步长的向前差商、 向后差商和中心差商。当步长 h（h >0）充分小时，函数 f 在点 x 的微分接近于函数在该点的任意 种差分，而 f 在点 x 的导数接近于函数在该点的任意种差商。
6.2 数 值 积 分
6.2.1 数值积分的原理
求解 定积 分 的数 值 方法 多种 多 样， 如 矩形 （ Rectangular） 法、 梯 形（Trape zia） 法 、辛 普生
(Simpson)• 法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间 [a，b]分成 n 个子区间
[xi，xi + 1]，i = 1，2，…，n，其中 x1 = a，xn + 1 = b。这样求定积分问题就分解为下面的求和问题 ：
第6章 数值微积分与常微分方程求解
在许多实际问题中要采用数值方法来求函数的微分或积分。
而在实际问题中遇到的常微分方程往往很复杂，在许多情况 下得不出一般解，所以，一般是要求获得解在若干个点上 的近似值。
【本章学习目标】 ● 掌握微分与积分的数值计算方法。 ● 掌握常微分方程的数值求解方法。
6.1 数 值 微 分