第三章节 整数乘法与因式分解
整式乘法与因式分解
整式乘法与因式分解
整式乘法是指将两个或多个整式相乘的计算过程。
在整式乘法中，我们将每个整式中的每一项与另一个整式中的每一项分别相乘，然后将所有的乘积相加，得到最后的结果。
因式分解是指将一个整式表示为两个或多个因式相乘的形式。
在因式分解中，我们通过寻找公因式、提取公因式、使用特定公式或利用分组等方法，将一个整式分解为较简单的因式相乘的形式。
整式乘法和因式分解在数学中有重要的应用。
整式乘法可以用于展开式的计算和方程式的求解，而因式分解能够帮助我们简化和理解复杂的整式。
例如，对于一个整式乘法的计算，如(2x + 3)(4x + 5)，我们可以将每个整式中的项相乘，然后将乘积相加，得到最终结果为8x^2 + 22x + 15。
而对于一个因式分解的例子，如x^2 + 5x + 6，我们可以找到两个因式 (x + 2)(x + 3) ，将它们相乘得到原始的整式。
整式乘法和因式分解是数学中的基础概念，对于解决各种数学问题和实际问题非常重要。
《整式的乘法》整式的乘除与因式分解PPT课件
(2) (x-3y)·(-6x)
=x ·(-6x)+(-3y) ·(-6x)
=-6x+18xy
单项式与多项式相乘时可先确定积的符号
❖ 例：计算 ❖ （１）２a·(3a-5b) ( 2 ) (-2b)(-4a+b)
解（１）２a ·(3a-5b)
❖
=2a·3a-2a·5b
=6a-10ab
( 2 ) (-2b)(-4a+b) =2a·4a-2b·b =8a-2b
练习：
1、化简 x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5)
2、（计１算）：(2a2- a - 4 ) ·(-9a )
( 2 )-xy(-x-y+1)
练习答案：
1、解：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5) =x·x-x·1+2x·x+2x·1-3x·2x+3x·5
3
2
=2
3
a b2
· 1 ab2Biblioteka +(-2ab)
·1
2
ab
= 1 a2 b3- a2 b2
3
单项式与多项式相乘的结 果是一个多项式，其项数与因 式中的项数相同
巩固练习： １.计算：(1)3a(5a-2b) (2)(x-3y)·(-6x)
解 (1)３a(5a-2b)
=3a ·5a+3a ·(-2b)
▪ 单项式与多项式相乘,就 是用单项式去乘多项式的每一 项,再把所得的积相加.
例5 计算:
(1) (-4 x2)·(3 x+ 1),
(2)(
2
3a
b2 -2ab)·
1 2
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 整式乘法的基本概念理解整式的定义及表示方法掌握整式乘法的基本原理1.2 整式的乘法法则学习整式乘法的基本法则练习整式乘法的计算方法1.3 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法1.4 单项式乘多项式理解单项式乘多项式的概念掌握单项式乘多项式的计算方法第二章：平方差公式与完全平方公式2.1 平方差公式推导平方差公式练习应用平方差公式解题2.2 完全平方公式推导完全平方公式练习应用完全平方公式解题2.3 平方根与乘方理解平方根与乘方的概念掌握平方根与乘方的计算方法第三章：因式分解3.1 因式分解的概念理解因式分解的定义及意义掌握因式分解的基本方法3.2 提取公因式法学习提取公因式法的方法练习提取公因式法解题3.3 公式法学习公式法的方法练习公式法解题3.4 分组分解法学习分组分解法的方法练习分组分解法解题第四章：应用题与综合练习4.1 应用题解法学习应用题的解法练习解决实际问题4.2 综合练习综合运用所学知识解决实际问题提高解题能力与思维水平第五章：复习与总结5.1 复习重点知识复习整式的乘法与因式分解的重点知识巩固所学内容5.2 总结全章内容总结整式的乘法与因式分解的主要概念和方法提高学生的综合运用能力第六章：多项式的乘法与除法6.1 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法6.2 单项式乘多项式与多项式乘单项式理解单项式乘多项式与多项式乘单项式的概念掌握单项式乘多项式与多项式乘单项式的计算方法6.3 多项式除以单项式理解多项式除以单项式的概念掌握多项式除以单项式的计算方法6.4 多项式除以多项式理解多项式除以多项式的概念掌握多项式除以多项式的计算方法第七章：分式与分式方程7.1 分式的概念与性质理解分式的定义及表示方法掌握分式的基本性质7.2 分式的运算学习分式的运算规则练习分式的计算方法7.3 分式方程理解分式方程的定义及解法掌握解分式方程的方法7.4 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及分式与分式方程的问题提高解决实际问题的能力第八章：二次三项式的因式分解8.1 二次三项式的概念理解二次三项式的定义及表示方法掌握二次三项式的性质8.2 二次三项式的因式分解学习二次三项式的因式分解方法练习二次三项式的因式分解技巧8.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及二次三项式的因式分解的问题提高解决实际问题的能力第九章：方程的解法与应用9.1 方程的解法学习方程的解法掌握解一元二次方程的方法9.2 方程的应用理解方程在实际问题中的应用练习解决实际问题中涉及方程的问题9.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及方程的问题提高解决实际问题的能力第十章：复习与总结10.1 复习重点知识复习本章的重点知识巩固所学内容10.2 总结全章内容总结本章的主要概念和方法提高学生的综合运用能力重点和难点解析1. 整式乘法的基本概念和原理：理解整式乘法的定义和表示方法，掌握整式乘法的原理是学习整式乘法的基础，需要重点关注。
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案一、教学目标：1. 理解整式乘法的基本概念和方法，能够熟练进行整式的乘法运算。
2. 掌握因式分解的基本原理和方法，能够对简单的一元二次方程进行因式分解。
3. 能够应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
二、教学内容：1. 整式乘法的基本概念和方法。
2. 整式乘法的运算规则。
3. 因式分解的基本原理和方法。
4. 因式分解的运算规则。
5. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 整式乘法的运算规则。
2. 因式分解的方法和技巧。
3. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解整式乘法与因式分解的基本概念和方法。
2. 采用示范法，示范整式乘法与因式分解的运算过程。
3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。
4. 采用问题解决法，引导学生应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
五、教学准备：1. 教案、教材、PPT等教学资源。
2. 练习题、测试题等教学资料。
3. 教学黑板、粉笔等教学工具。
4. 投影仪、电脑等教学设备。
六、教学进程：1. 导入：通过复习整式的加减法，引出整式乘法的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解整式乘法的基本概念和方法，重点讲解运算规则。
3. 示范：示范整式乘法的运算过程，让学生理解并掌握运算规则。
4. 练习：布置练习题，让学生通过练习巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调整式乘法的重要性。
七、作业布置：1. 完成练习题，巩固整式乘法的运算规则。
2. 预习下一节课的内容，为学习因式分解做准备。
八、课堂反馈：1. 课堂提问：通过提问了解学生对整式乘法的掌握情况。
2. 练习批改：及时批改学生的练习题，指出错误并给予讲解。
3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，调整教学方法。
九、课后反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的优缺点。
2. 根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。
复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(学生版)
3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（）A．–6 B．6 C．–9 D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）,A．25 B．20 C．15 D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是．}5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣一定能被（）—A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除；13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．:15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，》例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．【18．阅读理解。
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 单项式乘以单项式教学目标：了解单项式乘以单项式的运算法则。
掌握单项式乘以单项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以单项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以单项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以单项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
1.2 单项式乘以多项式教学目标：了解单项式乘以多项式的运算法则。
掌握单项式乘以多项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以多项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以多项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以多项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第二章：因式分解2.1 提公因式法教学目标：了解提公因式法的概念。
掌握提公因式法的运用。
教学重点：提公因式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用提公因式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解提公因式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
2.2 公式法教学目标：了解公式法的概念。
掌握公式法的运用。
教学重点：公式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用公式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解公式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第六章：十字相乘法6.1 十字相乘法的原理教学目标：理解十字相乘法的原理。
掌握十字相乘法的步骤。
教学重点：十字相乘法的原理和步骤。
如何正确运用十字相乘法分解因式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾提公因式法和公式法。
讲解：讲解十字相乘法的原理和步骤，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
人教版初中数学整式的乘法与因式分解课文课件PPT
例2、运用完全平方公式计算: (1) 1022 ; (2) 992 .
(2) 992=(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000 - 200 +1 = 9801.
应用新知
利用完全平方公式计算：
① 1982 = (200 -2) 2 = 2002 -2×200×2 + 22 = 40 000 -800 +4 = 39 204 .
•
10.剪纸艺术传达着人们美好的情感， 美化着 人们的 生活， 而且能 够填补 创作者 精神上 的空缺 ，使沉 浸于艺 术中的 人们忘 掉一切 烦恼。 或许这 便是它 能在民 间顽强 地生长 ，延续 至今而 生命力 旺盛不 衰的原 因吧。
感谢观看，欢迎指导！
A.ab B.0 C.2ab D.4ab 3、若使x2 -6x + m成为形如(x-a)2的完全平方形式，则 m,a的值（ B ）
A.m=9,a=9 C.m=3,a=3
B.m=9,a=3 D.m=-3,a=-2
拓展提升:
4、已知 a+b=5,ab=6.求：a2+3ab+b2的值
解:a2+3ab+b2 =a2+2ab+b2+ab =(a+b)2+ab
•
6.另外，木质材料受温度、湿度的影 响比较 大，榫 卯同质 同构的 链接方 式使得 连接的 两端共 同收缩 或舒张 ，整体 结构更 加牢固 。而铁 钉等金 属构件 与木质 材料在 同样的 热力感 应下， 因膨胀 系数的 不同， 从而在 连接处 引起松 动，影 响整体 的使用 寿命。
•
7.家具的主体建构中所占比例较大。 建筑中 的木构 是梁柱 系统， 家具中 的木构 是框架 系统， 两个结 构系统 之间同 样都靠 榫卯来 连接， 构造原 理相同 。根据 建筑物 体积、 材质、 用途等 方面的 不同， 榫卯呈 现出不 同的连 接构建 方式。
整式乘法与因式分解ppt课件
运用公式解决问题时应注意什么？
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b；
（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
练习1 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
−m − 2n m − 2n = m2 − 2n2
−a + b −a − b = −a2 − b2
−3a − 2 + 3a − 2 = 9a2 − 4
计算
3x + 4 3x − 4
3a − 4b −4b − 3a
31 4a+3b
a2
+
1 2
b2
31 4a−3b
a2
−
1 2
b2
计算 (1)99×101 (2)39.8×40.2
2（a b+c）-（3 b+c） =（b+c）（2a-3）.
把 8a3b2+12ab3c分解因式．
8a3b2 +12ab3c =4ab2 2a2+4ab2 3bc =4ab（2 2a2+3bc）.
提公因式法练习： 1、10a-5c 2、ab-2abc 3、5xy-xyz 4、a2+ab-ac
13、4x2 − 100 14、12y4 − 3y2 15、x3 − 64x 16、2a4 − 50a2
公式法因式分解练习：
1、x2 − 6x y − z + 9 y − z 2 2、 a + b 2 − 4 a + b c + 42
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第三课时 整数乘法与因式分解
整数乘法的相关知识点
1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
=n
m a a 。
=16a ===。
2、幂的乘方，底数不变，指数相乘。
=n
m a )(。
=16a ===。
3、积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
=n ab )(。
=n 16n n 82⋅===。
以上三个公式中m ，n 都是什么数？这三个公式是怎样推导出来的？
4、乘法公式：①=-+))((b a b a 。
②=+2)(b a 。
公式①②分别叫什么公式？写出公式②的另外一种形式
5、有两个等式3322)()()()(a b b a a b b a --=--=-由这两个式子推出=-n b a )(⎩
⎨⎧ 思考一下b a -与a b -之间有什么关系？
小练习
① 若222=-b a ，求22)()(b a b a +-的值.
② 若322=-y x ，求22)()(y x x y +-的值.
③ 已知5.1,5==+ab b a ，求22b a +和2)(b a -的值.
④ 已知16221684=⨯⨯m ，求m 的值.
⑤比较1002与753的大小？思考一下幂的大小要如何比较？
因式分解的相关知识点
1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
注意：①分解因式的对象是多项式，不是单项式，也不是分式。
②分解因式的结果必须是整式的乘积的形式。
③不是所有的多项式都能分解因式。
④分解因式要彻底，直到不能分解为止。
)1)(1(1)
)((2)(2222y
x y x y x b a b a a b a a -+=-++=+这两个等式是分解因式吗？ 2、如果把整式乘法看做一个变形的过程，那么分解因式就是它的逆变形。
实质上整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。
3、分解因式的步骤：①提公因式法 （什么是公因式？）
②公式法 （公式有那几个？）
③分组分解法 （分解方式一般分为“3+1”式和“2+2”式） ④十字相乘法 （用哪个等式来进行推导？）
4、若一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种方法叫做提公因式法。
)(c b a m cm bm am ++=++
口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
想一想口诀中的每句话都是什么意思？
))(())(c a b c a b c b a c b a --+-++--+（的公因式是什么？
5、把乘法公式从右至左使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
22222)(2)
)((b a b ab a b a b a b a ±=+±-+=-
6、分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解 时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解
因式，然后再对整体作因式分解。
))(()()(n m b a b a n b a m bn an bm am ++=+++=+++
))(()(222222c b a c b a c b a c b ab a -+++=-+=-++
7、十字相乘法:是一种适用于二次三项式类型题目的简便方法，它可以用来分解因式和
【专项训练】
一、整式乘法
1、=--⋅33)2
1)(2(2xy xy x 。
2、=⨯-⨯⨯)104()103(48。
3、如果32=n x ，则=23)3(n x 。
4、=---)]2([32a a a 。
5、若32)1(2)52(=-+-k k k k ，则=k 。
6、=⨯-201620174.0)2
12(。
7、1112x x x n n m =+-且，541y y y n m =--，则=mn 。
8、已知0352=-+y x 求=⋅y x 324。
9、若6141319,27,81===c b a ，请用“<”连接c b a ,,这3个数。
10、请证明当n 为正整数时212263235++⋅-⋅⋅n n n n 能被13整除。
11、计算 ①）（）（325103
1103⨯⨯⨯ ②22232))()(2(y x y x y x -
③
))(221x x x n n ++-（④2754)2()2()2()2(y x x y x y y x -----
⑤)13)(52+-+x x （ ⑥)5
2(5)21(2222ab a ab b ab a --+-
12、化简求值
①若102=a ，84=b ，求4
2)(ab 的值。
②)45()3(822a b a b a a +--，其中2=a ，26
1=
b 。
二、因式分解
①22248)4(3ax x a -+②xy y x 4422+--
③如果16)1(2+-+x m x 是完全平方式，求m .
④q p q p m +--)(2⑤3223y xy y x x +--
⑥232++x x ⑦3722+-x x
⑧15+19y +6y 2 ⑨242562++x x
⑩153122-+x x ⑪3025202--x x
⑫2)322)((----y x y x
三、因式分解（难！真的很难，能力不行就别看）
① 22484b ab ax x -+- ② 222222)(4c b a b a -+- ③ 171824-+-m m
④ x x x 8235-- ⑤ 124++m m ⑥ 142222---+xy y x y x
⑦ 48)4)(3)(2)(1(-----x x x x ⑧ 35424422---++y x y xy x
⑨ 91024+-x x ⑩ 222234c bc b ab a -++- ⑪ 444y x +
⑫ )1(4)(2----y x y x ⑬ 22)1(9)1(--+x x
⑭ 已知312=
-y x ，2=xy ，求43342y x y x -的值。
⑮ 已知2=+b a ，求)(8)22222b a b a +--（的值。